上海虹口区2024-2025学年高二下学期数学期末区统考试卷（含答案）

虹口区2024-2025学年第二学期高二年级数学期末
2025.6
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．抛物线的准线方程为 .
2．函数的导数 .
3．经过平面外一点与该平面平行的直线有 条.
4．直线与的夹角大小为 .
5．若一个球的体积为，则该球的表面积为 .
6．二项式展开式中的常数项为 （用数字作答）.
7．在正四面体中，直线与所成角的大小为 .
8．某校高一年级100名同学在一次数学测验中成绩（百分制，均为整数）的频率分布直方图如右图，则成绩在之间的学生人数为 .
9．从甲、乙等7名学生中选派4名学生参加演讲比赛，则甲和乙至少一人参加的概率为 .
10．已知圆锥的母线长为6，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆球的表面积为 .
11．如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，分别是在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的渐近线方程为 .
12．曲线与曲线分别交于两点，设曲线在点处的切线斜率为，曲线在点处的切线斜率为，若，则 .
二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）.
13．已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则（ ）.
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
14．随着Deepseek的流行，各种大模型层出不穷，现有甲、乙两个大模型，在对甲、乙两个大模型进行深度体验后，6位评委分别对甲、乙进行打分（满分10分），得到如图所示的统计表格：
模型名称 评委编号 1 2 3 4 5 6
甲 8.0 9.2 8.0 8.2 8.6 8.4
乙 7.8 9.0 8.3 8.4 8.5 8.5
则下列结论正确的是（ ）.
A．甲得分的平均数大于乙得分的平均数 B．甲得分的中位数大于乙得分的中位数
C．甲得分的极差大于乙得分的极差 D．甲得分的方差大于乙得分的方差
15．对于定义在上的两个函数，若是奇函数，是偶函数，且当时，，则时，下列结论一定成立的是（ ）.
A． B．
C． D．
16．对于曲线，给出两个结论：（1）曲线所围成的封闭图形的面积小于8；
（2）曲线上的点到原点的距离的最大值为，则（ ）.
A．（1）成立，（2）成立 B．（1）成立，（2）不成立
C．（1）不成立，（2）成立 D．（1）不成立，（2）不成立
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）．
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知圆经过点，且圆心为．
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线经过两点，且与圆相交于点，求线段的长．
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，分别为、中点．
（1）求证：平面；
（2）若，平面平面，求二面角的余弦值．
19．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分）
某校为了解学生的身高情况，从高一、高二、高三三个年级中采用分层抽样的方法抽取了100名学生进行调查，其中高一、高二、高三的学生人数之比为4：3：3．
（1）求从高一、高二、高三各年级抽取的学生人数；
（2）从抽取的100名学生中随机选取2人协助工作人员调查，求这2人来自不同年级的概率（用最简分数表示）；
（3）经过调查，抽取的高二学生身高的平均数为，方差为60，其中被抽中的小李身高是.试求除去小李后其余被抽中的高二学生身高的平均数与方差（结果精确到.
20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
设．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若曲线在点处的切线与曲线也相切，求的值；
（3）若函数的图像恒在函数的图像的上方，求的取值范围．
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
在平面直角坐标系中，分别为椭圆的左、右焦点．
（1）若的离心率为，且，求的方程；
（2）若过原点的直线与相交于两点，是上异于的任意一点，求证：直线的斜率之积是定值；
（3）设直线的一个法向量为是上任意一点，对于平面内的一定点，定义．证明：若，则直线与椭圆相切．
虹口区2024-2025学年第二学期高二年级数学期末
2025.6
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．抛物线的准线方程为 .
【答案】
2．函数的导数 .
【答案】
3．经过平面外一点与该平面平行的直线有 条.
【答案】无数
4．直线与的夹角大小为 .
【答案】
5．若一个球的体积为，则该球的表面积为 .
【答案】
6．二项式展开式中的常数项为 （用数字作答）.
【答案】24
7．在正四面体中，直线与所成角的大小为 .
【答案】
8．某校高一年级100名同学在一次数学测验中成绩（百分制，均为整数）的频率分布直方图如右图，则成绩在之间的学生人数为 .
【答案】5
9．从甲、乙等7名学生中选派4名学生参加演讲比赛，则甲和乙至少一人参加的概率为 .
【答案】
10．已知圆锥的母线长为6，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆球的表面积为 .
【答案】
11．如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，分别是在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的渐近线方程为 .
【答案】
12．曲线与曲线分别交于两点，设曲线在点处的切线斜率为，曲线在点处的切线斜率为，若，则 .
【答案】
【解析】因为的图像与的图像关于直线对称，
且函数的图像像关于直线对称，可知点关于直线对称，
设，则，由于，故．
设，账，
由题意可得：，解得或（舍去），
可得，则，所以．
二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）.
13．已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则（ ）.
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
14．随着Deepseek的流行，各种大模型层出不穷，现有甲、乙两个大模型，在对甲、乙两个大模型进行深度体验后，6位评委分别对甲、乙进行打分（满分10分），得到如图所示的统计表格：
模型名称 评委编号 1 2 3 4 5 6
甲 8.0 9.2 8.0 8.2 8.6 8.4
乙 7.8 9.0 8.3 8.4 8.5 8.5
则下列结论正确的是（ ）.
A．甲得分的平均数大于乙得分的平均数 B．甲得分的中位数大于乙得分的中位数
C．甲得分的极差大于乙得分的极差 D．甲得分的方差大于乙得分的方差
【答案】D
15．对于定义在上的两个函数，若是奇函数，是偶函数，且当时，，则时，下列结论一定成立的是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】B
16．对于曲线，给出两个结论：（1）曲线所围成的封闭图形的面积小于8；
（2）曲线上的点到原点的距离的最大值为，则（ ）.
A．（1）成立，（2）成立 B．（1）成立，（2）不成立
C．（1）不成立，（2）成立 D．（1）不成立，（2）不成立
【答案】A
对（1）：因为，当且仅当时取等号，，当且仅当时取等号，故曲线在一个长为4，宽为2的矩形内部，故曲线所围成的封闭图形的面积小于，正确；
对（2）：设曲线上一长为，则，设，
到原点的距离的平方为，
当时，距青严方在最大值为，故距离的最大值为，正确．
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）．
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知圆经过点，且圆心为．
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线经过两点，且与圆相交于点，求线段的长．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）由题意知，圆的半径．（3分）
所以图的标准方程为．（6分）
（2）由题意知，直线的斜率为，（8分）
故它的方程为，即．（10分）
所以，圆心到直线的距离为．（12分）
故线段的长等于．（14分）
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，分别为、中点．
（1）求证：平面；
（2）若，平面平面，求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】（1）取中点，连接．在中，分别为中点.
∴点．（2分）
又正方形中，为中点.（4分）
∴且．（6分）
∴四边形BMNE为平行四通形，∴.
∵平面平面平面.
（2）设的中点分别为，连接，
在中，故，∵平面平面平面，
∵平面平面，
∴平面，又四边形为正方形，∴．（8分）
以所在直线分别为轴，建立如图所示的空闻直角坐标系，
则由，得，
所以．（10分）
设平面的法向量为，则，取，
则．而平面的一个法向量为．（12分）
于是．易知二面角为锐角，
故其余弦为．（14分）
19．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分）
某校为了解学生的身高情况，从高一、高二、高三三个年级中采用分层抽样的方法抽取了100名学生进行调查，其中高一、高二、高三的学生人数之比为4：3：3．
（1）求从高一、高二、高三各年级抽取的学生人数；
（2）从抽取的100名学生中随机选取2人协助工作人员调查，求这2人来自不同年级的概率（用最简分数表示）；
（3）经过调查，抽取的高二学生身高的平均数为，方差为60，其中被抽中的小李身高是.试求除去小李后其余被抽中的高二学生身高的平均数与方差（结果精确到.
【答案】（1）40,30,30 （2） （3）
【解析】（1）高一、高二、高三的学生人数之比为，总份数为．
所以从高一、高二、高三抽取的学生人数分别为：人、人、人．
（2）从100名学生中随机抽取2人，抽法总数为：．（6分）
所抽取的2人来自不同年级的情况数为：
高一和高二：，高一和高三：，
高二和高三：．（8分）
所以2人来自不同年级的情况总数为：．
因此2人来自不同年级的概率为：．（10分）
（3）设从高二学生中抽出的30人的身高分别为，
则由条件，这30人身高的平均数为，
身高的方差为．（12分）
不妨设小李的身高为，则除去小李后其余被抽中的29位高二学生的身高平均数、方差分别为
20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
设．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若曲线在点处的切线与曲线也相切，求的值；
（3）若函数的图像恒在函数的图像的上方，求的取值范围．
【答案】（1）在上严格减，在上严格增． （2） （3）
【解析】（1）当时，，其定义域为，
且，于是当时，；当时，．
因此，函数在上严格减，在上严格增．（4分）
（2）因，
故曲线在点处的切线的方程为．（6分）
设直线与曲线相切于点，且（8分）
则，且，解得．（10分）
（3）由题意得，分离参数得．（12分）
设，则．
令，得；令，得．（14分）
即函数在上严格增，在上严格减．
故函数的最大值为．因此的取值范围为．（16分）
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
在平面直角坐标系中，分别为椭圆的左、右焦点．
（1）若的离心率为，且，求的方程；
（2）若过原点的直线与相交于两点，是上异于的任意一点，求证：直线的斜率之积是定值；
（3）设直线的一个法向量为是上任意一点，对于平面内的一定点，定义．证明：若，则直线与椭圆相切．
【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】（1）由题意，得解得从而．
所以的方程为．（4分）
（2）由题设，关于原点对称，设，（6分）
并设，则
即
于是．
（3）（i）当直线的斜率不存在时，设其方程为，则它的一个法向量为．
设，因的坐标分别为，
故
从而，所以．
因为，故，所以，从而直线与椭圆相切．
（ii）若直线的斜率存在，设其方程为，则它的一个法向量为．
因为是上一点，故设，
则
从而，
所以
联立方程，可得．
其判别式．（16分）
因为，故，
所以，从而，所以方程组只有一组解．
从而直线与椭圆只有一个交点，故直线与椭圆相切．（18分）