上海宝山区2024-2025学年高一下学期数学期末区统考试卷（含答案）

宝山区2024-2025学年第二学期高一年级数学期末
2025.6
一、填空题（本大题共有12题,满分42分,第1-6题每题3分,第7-12题每题4分）
1．函数的最小正周期是 ．
2．已知集合，则 ．
3．已知，则 ．
4．已知复数（i是虚数单位），则的值为 ．
5．若，用表示 ．
6．某扇形的弧所对的圆心角为，且半径等于5，则其面积为 ．
7．平行四边形中，是的中点，记，则 ．（用表示）
8．如图，某池塘中的浮萍蔓延的面积（单位：）与时间（单位：月）满足关系式：且，则浮萍面积从到至少需要经过 个月．（精确到0.1）
9．已知函数有唯一的零点，则实数的取值范围是 ．
10．已知函数的定义域为，满足，且在上为严格减函数，则不等式的解集为 ．
11．如图，以边长为1的正方形的各边为基准向外作正三角形，构成八边形．若点在八边形的内部（含边界），则的最小值为 ．
12．已知函数，若对于任意正整数在区间上总存在个实数使得，则的最大值是 ．
二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分）.
13．＂＂是＂＂的（ ）条件.
A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要
14．若均是单位向量，且，则（ ）.
A． B．7 C． D．6
15．已知对任意且均有意义，则函数的大致图像是（ ）.
A． B．
C． D．
16．已知非空集合满足：，函数
已知如下两个命题：（1）存在唯一的非空集合对，使得为偶函数；（2）存在无穷多非空集合对，使得方程无解.则下列选项中正确的是（ ）.
A．（1）、（2）都正确 B．（1）、（2）都错误
C．（1）正确，（2）错误 D．（1）错误，（2）正确
三、解答题（本大题共有5题，满分46分）．
17．（本题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分）
已知点．
（1）求的单位向量；
（2）求向量与夹角的余弦值．
18．（本题满分8分，第1小题满分3分，第2小题满分5分）
已知关于的实系数一元二次方程．
（1）若（i是虚数单位）是此方程的一个根，求的值；
（2）若是此方程的两个虚根，且满足，求的值．
19．（本题满分8分，第1小题满分5分，第2小题满分3分）
已知向量，且函数．
（1）若，求的值；
（2）求函数在上的严格增区间．
20．（本题满分10分，第1小题①满分2分，第1小题②满分4分，第2小题满分4分）
上海某区计划将某乡村规划成休闲度假区，该度假区形状如图，设想在其中规划出三个功能区：为露营区，为垂钓区，为活动区．已知为直角三角形，为内一点，且．
（1）安全起见，垂钓区周围需要筑护栏，已知，
①求的大小；
②求护栏的长度（精确到0.01）；
（2）求露营区面积的最大值.
21．（本题满分12分，第1小题满分3分，第2小题满分4分，第3小题满分5分）
已知函数的定义域为，对任意，定义：
（1）若，判断和是否是集合中的元素；
（2）若，是否存在实数，使得？若存在，求实数的取值范围，若不存在，请说明理由；
（3）若，设，且，求证：＂是上的减函数＂是＂＂的充分不必要条件．
宝山区2024-2025学年第二学期高一年级数学期末
2025.6
一、填空题（本大题共有12题,满分42分,第1-6题每题3分,第7-12题每题4分）
1．函数的最小正周期是 ．
【答案】
2．已知集合，则 ．
【答案】
3．已知，则 ．
【答案】
4．已知复数（i是虚数单位），则的值为 ．
【答案】
5．若，用表示 ．
【答案】
6．某扇形的弧所对的圆心角为，且半径等于5，则其面积为 ．
【答案】
7．平行四边形中，是的中点，记，则 ．（用表示）
【答案】
8．如图，某池塘中的浮萍蔓延的面积（单位：）与时间（单位：月）满足关系式：且，则浮萍面积从到至少需要经过 个月．（精确到0.1）
【答案】
9．已知函数有唯一的零点，则实数的取值范围是 ．
【答案】
10．已知函数的定义域为，满足，且在上为严格减函数，则不等式的解集为 ．
【答案】
11．如图，以边长为1的正方形的各边为基准向外作正三角形，构成八边形．若点在八边形的内部（含边界），则的最小值为 ．
【答案】
12．已知函数，若对于任意正整数在区间上总存在个实数使得，则的最大值是 ．
【答案】
二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分）.
13．＂＂是＂＂的（ ）条件.
A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要
【答案】
14．若均是单位向量，且，则（ ）.
A． B．7 C． D．6
【答案】
15．已知对任意且均有意义，则函数的大致图像是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】
16．已知非空集合满足：，函数
已知如下两个命题：（1）存在唯一的非空集合对，使得为偶函数；（2）存在无穷多非空集合对，使得方程无解.则下列选项中正确的是（ ）.
A．（1）、（2）都正确 B．（1）、（2）都错误
C．（1）正确，（2）错误 D．（1）错误，（2）正确
【答案】
三、解答题（本大题共有5题，满分46分）．
17．（本题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分）
已知点．
（1）求的单位向量；
（2）求向量与夹角的余弦值．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）因为向量，所以，
即的单位向量．
（2）向量，设向量与夹角为，
所以．
即向量与夹角的余弦值为．
18．（本题满分8分，第1小题满分3分，第2小题满分5分）
已知关于的实系数一元二次方程．
（1）若（i是虚数单位）是此方程的一个根，求的值；
（2）若是此方程的两个虚根，且满足，求的值．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）若是此方程的一个根，z则它的另一个根为，
由韦达定理得从而．
（2）若是此方程的两个虚根，则于是
由韦达定理所以.
，解得或4.
又是此方程的两个虚根，，所以，所以．
19．（本题满分8分，第1小题满分5分，第2小题满分3分）
已知向量，且函数．
（1）若，求的值；
（2）求函数在上的严格增区间．
【答案】（1）或 （2）和
【解析】（1）．
若，则，当时,
所以或即或时，．
（2）时，，当即
或者当即时，函数均为严格增函数．
所以函数在上的严格增区间为和．
20．（本题满分10分，第1小题①满分2分，第1小题②满分4分，第2小题满分4分）
上海某区计划将某乡村规划成休闲度假区，该度假区形状如图，设想在其中规划出三个功能区：为露营区，为垂钓区，为活动区．已知为直角三角形，为内一点，且．
（1）安全起见，垂钓区周围需要筑护栏，已知，
①求的大小；
②求护栏的长度（精确到0.01）；
（2）求露营区面积的最大值.
【答案】（1）① ② 4.54km （2）
【解析】（1）①在中，由正弦定理得，
解得，易知为锐角，所以．
②中，，从而，又，所以
在中，由余弦定理得
计算得，即护栏的长度为4.54km．
（2）设，则，
由正弦定理得，则，
因为，则当，即时，，
所以露营区面积的最大值为．
另解：由余弦定理得
（当且仅当时区等号）
所以，所以
所以露营区面积的最大值为.
21．（本题满分12分，第1小题满分3分，第2小题满分4分，第3小题满分5分）
已知函数的定义域为，对任意，定义：
（1）若，判断和是否是集合中的元素；
（2）若，是否存在实数，使得？若存在，求实数的取值范围，若不存在，请说明理由；
（3）若，设，且，求证：＂是上的减函数＂是＂＂的充分不必要条件．
【答案】（1）； （2）当时，；当时，不存在实数. （3）证明见解析
【解析】（1）由已知，因为，所以．
取，则，所以．
（2）因为，所以对任意恒成立，所以，因式分解，得对任意恒成立．
①当时，，则，
从而，右式，所以，即．
②当时，，则
从而，右式，此时不存在满足条件的实数.
综上所述，当时，；当时，不存在实数.
（3）①若是上的减函数
当时，
又因为是上的减函数且，所以
所以，所以，即充分性成立．
②若，则，
其中
令，满足，不妨取，此时，
易发现，与是减函数矛盾，所以必要性不成立．
综上，＂是上的减函数＂是＂＂的充分不必要条件．