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复习讲义
第一篇 吃透考点
专题一 数与式
第5讲 二次根式
聚焦核心
1.二次根式的概念及其性质
相 关 概 念 定义:形如 ___0)的式子叫作二次根式
最简二次根式:必须同时满足以下两个条件
(1)被开方数不含______
(2)被开方数中不含能__________的因数或因式
性 质 非负性:当时, ___0
___
分母
开得尽方
性 质 ____
___
____
____·____, _____)
___(, _____)
续表
=
2.二次根式的运算
乘除运 算 乘法 _____
除法 _ ___
加减运 算 先将二次根式化成______________,再将__________相同的 二次根式合并
最简二次根式
被开方数
第5讲 二次根式
案例分析
考点一 二次根式的相关概念
名师指导
1.二次根式在实数范围内有意义的条件是被开方数为非负数.在分式
中,还要使分母不为0.
2.化二次根式为最简二次根式的方法:(1)若被开方数是分数
(包括小数)或分式,则先利用二次根式的性质把它写成二次根式除法
的形式,然后把分母化为有理数或有理式;(2)若被开方数是整数或整式,
则先将它分解因数或因式,然后把开得尽方的因数或因式开方后移出根
号外.
例1 教材变式[湘教版八上第174页第1题变式]当 是怎样的实数时,
下列二次根式有意义?
(1) ;
解:由,得.因此当时, 在实数范围内有意义.
(2) ;
解:因为,所以为全体实数时,在实数范围内有意义.
思路点拨 二次根式 在实数范围内有意义的条件:被开方数为非负实
数,即 .
(3) .
解:由,且,得.
因此当时,在实数范围内有意义.
考点专练
1.(2025·广西南宁·模拟)下列式子为最简二次根式的是( ).
B
A. B. C. D.
2.(2025·广西河池·模拟)要使式子在实数范围内有意义, 应满
足的条件是______.
3.(2024·广西北部湾经济区·中考)化简: _____.
考点二 二次根式的性质
名师指导
1.二次根式的双重非负性:
(1)被开方数是非负数,即;
(2) 是非负数,即.
2.如果几个非负数的和等于0,那么这几个数都等于0.
3.,(为任意实数).
例2 (2024·四川乐山·中考)已知,化简
的结果为( ).
A. B.1 C. D.
提示:由二次根式的性质,得.因为 ,所以
, .所以 .
思路点拨 先根据化简二次根式,再根据 去绝对值符号.
B
考点专练
4.(2024·内蒙古呼伦贝尔·中考)实数, 在数轴上的对应位置如图1所
示,则 的化简结果是( ).
图1
A.2 B. C. D.
提示:由题图可知, ,0 .所以.因此 .
A
5.(2023·江苏连云港·中考)计算: ___.
6.(2025·柳州·中考模拟)若实数, 满足
,则 ___.
5
7
提示:因为,又 ,
,所以, .解方程组
得所以 .
考点三 二次根式的运算
名师指导
1.二次根式的乘除:根号外含有因数的,先将这些因数相乘(除)
作为结果的因数,再将根号内的被开方数相乘(除).
2.二次根式的加减:先将二次根式化为最简二次根式,再将被开方
数相同的二次根式合并.
3.二次根式的混合运算:先将二次根式化为最简二次根式,再运算.
能运用乘法公式的,运用乘法公式简便运算.运算顺序是先乘方,再乘
除,最后加减,有括号先算括号里面的.
例3 (2024·山东济宁·中考)下列各式运算正确的是( ).
A. B.
C. D.
提示:与不能合并,所以选项A错误; ,所以选项B正确; ,所以选项C错误; ,所以选项D错误.
思路点拨 根据二次根式的运算法则,进行逐项判断.
B
考点专练
7.(2025·辽宁大连·中考模拟)下列各式计算正确的是( ).
D
A. B.
C. D.
8.教材变式[湘教版八上第175页第7题变式]我国南宋著名数学家秦九
韶提出了利用三角形三边长,, 求三角形面积的公式,即
.在中,, ,
,则边 上的高为( ).
A. B. C. D.
提示:根据题意,得.所以边 上的高为 .
A
9.(2024·吉林长春·中考)计算: ____.
10.计算: ___________.
11.计算:
(1)(2024·河南·中考) ;
解:原式 .
(2) .
解:原式.
考点四 二次根式的估值及大小比较
名师指导
1.确定与二次根式相邻的两个连续整数的方法:
方法步骤 示例
(1)对二次根式进行平方(2)找出与平方后所得的数相 邻的两个开得尽方的整数(3)对这两个整数开方(4)二 次根式的值在这两个整数的算术平方根之间 ____________________________
2.二次根式比较大小的两种常用方法:
(1)平方法:将要比较大小的两个数先平方,根据平方后数的大
小来确定原数的大小.
(2)作差法:将要比较大小的两个数相减,根据所得的差与0的大
小关系来确定两数的大小.
例4(1)(2024·天津·中考)估算 的值介于( ).
C
A.1和2之间 B.2和3之间 C.3和4之间 D.4和5之间
提示:因为,,所以 ,即
.所以 介于3和4之间.
思路点拨(1)找到两个与的值最接近的开得尽方的整数,的值介于这两个整数的算术平方根之间.
(2)(2024·山东临沂·中考模拟)比较大小:___.(填“ ”“ ”或“ ”)
提示:(方法一)因为,,而 ,所以 .
(方法二).因为,所以 .则.因此,即.所以 .
<
思路点拨(2)思路一,利用平方法,比较与的大小,得出与 的大小关系;思路二,利用作差法,若,则 ;若 ,则;若,则 .
考点专练
12.(2023·内蒙古赤峰·中考)如图2,数轴上表示实数 的点可能是
( ).
图2
B
A.点 B.点 C.点 D.点
13.(2024·广西桂林·模拟) 是黄金分割数,它体现了数学之美,被
大量用于美术、建筑等领域.估算 的值介于( ).
C
A. 和0之间 B.0和0.5之间 C.0.5和1之间 D.1和1.5之间
14.(2024·山西·中考)比较大小:2.(填“ ”“ ”或“ ”)
第5讲 二次根式
靶向锤炼
达标练
1.(2024·广西玉林·模拟)如果式子有意义,那么 的值可以是
( ).
D
A. B. C. D.1
2.下列二次根式为最简二次根式的是( ).
C
A. B. C. D.
3.下列各式计算正确的是( ).
D
A. B.
C. D.
4.(2024·四川德阳·中考)化简: ___.
5.比较大小:___.(填“ ”“ ”或“ ”)
3
提示:因为,,,所以 .
6.若,则 ___.
7.(2023·天津·中考)计算 的结果为___.
1
1
8.(2023·甘肃兰州·中考)计算: .
解:原式 .
提分练
9.(2024·重庆·中考)已知,则实数 的范围是( ).
B
A. B. C. D.
提示:.因为 ,
所以.所以 .
10.开放性题(2023·湖北黄冈·中考)请写出一个正整数的值,使得
是整数: _________________.
2(答案不唯一)
11.开放性题(2023·山东潍坊·中考)从,, 中任意选择两个
数,分别填在算式里面的“”与“ ”中,该算式的结果
是_ _______________________.
(答案不唯一)
12.(2023·甘肃武威·中考)计算: .
解:原式 .
冲刺练
13.理解与运用
【解题示例】已知,求
的值,
解:因为
, ,
所以 .
【方法运用】已知 ,请仿照以上方法求
的值.
解:因为,,所以
.