1.1.1集合的概念
第 1 课时 集合的概念—— (教学方式：基本概念课—逐点理清式教学)
[课时目标]
1．通过实例了解集合与元素的含义，能判断元素与集合的关系．
2．能利用集合元素的确定性、互异性、无序性解决一些简单的问题．
3．熟记常用数集的表示符号，通过常用数集准确把握元素与集合之间的关系．
逐点清(一) 元素与集合的概念
[多维理解]
1．元素与集合的含义
元素 一般地，把__________统称为元素
集合 把一些______组成的总体叫做集合，简称为____
符号 表示 元素通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示，集合通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示
|微|点|助|解|
(1)“集合”是数学中的一个基本概念，同“点”“线”“面”等概念一样都是描述性概念．
(2)集合是一个“整体”，一些对象一旦组成了集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象．
(3)组成集合的元素可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物等．
2．集合相等
只要构成两个集合的元素是______的，我们就称这两个集合是相等的．
3．集合中元素的特征
确定性 一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的
互异性 一个集合中的任何两个元素都不相同．也就是说，集合中的元素没有重复
无序性 集合中的元素是没有顺序的
[微点练明]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)在一个集合中可以找到两个相同的元素．( )
(2)好听的歌能组成一个集合．( )
(3)方程(x－1)2(x＋2)＝0所有解组成的集合有3个元素．( )
(4)分别由元素0,1,2和2,0,1组成的两个集合是相等的．( )
2．(多选)考察下列每组对象，能组成集合的是( )
A．中国各地最美的乡村
B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点
C．不小于3的自然数
D．唐宋散文八大家
3．集合中“元素”的英文单词“element”中的字母构成的集合中元素的个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
4．已知集合A中含有3个元素a,0，－1，集合B中含有3个元素c＋b，，1，且集合A和集合B是相等的，则a＝______，b＝______，c＝______.
逐点清(二) 元素与集合的关系
[多维理解]
1．元素与集合的关系
关系 概念 记法 读法
属于 如果____________，就说a属于集合A ______ “a属于A”
不属于 如果____________，就说a不属于集合A ______ “a不属于A”
2．常用数集及其记法
名称 非负整数集 (或自然数集) 正整数集 整数集 有理 数集 实数 集
记法 ____ ____或N＋ __ __ __
|微|点|助|解|
(1)元素和集合是两个完全不同的概念，元素是集合中的某一对象，而集合是由所有的元素组成的．
(2)由元素的确定性可知，对于任何a与A，a∈A或a A这两种情况必有一种且只有一种成立．
(3)符号“∈”和“ ”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性(开口对着集合)，左右两边不能互换．
(4)N是非负整数集(即自然数集)，而N*与N＋表示正整数集，N包括元素0，而N*与N＋不包括元素0.
[微点练明]
1．若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是( )
A．3.14 B．－5
C. D.
2．集合M是由大于－2且小于1的实数构成的，则下列关系正确的是( )
A.∈M B．0 M
C．1∈M D．－∈M
3．已知集合A中元素满足2x＋a>0，a∈R，若1 A，且2∈A，则( )
A．a>－4 B．a≤－2
C．－4
4．(多选)下列说法正确的是( )
A．集合N与集合N*是同一个集合
B．集合N中的元素都是集合Z中的元素
C．集合Q中的元素都是集合Z中的元素
D．集合Q中的元素都是集合R中的元素
5．用符号“∈”和“ ”填空：
(1)设集合A为所有偶数组成的集合，则0______A，－2 024________A；
(2)设集合B是由平面直角坐标系中所有第二象限的点组成的集合，则－1________B，(－1,1)________B.
逐点清(三) 集合中元素特征的应用
[典例] 已知集合A中含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的值．
听课记录：
[变式拓展]
1．本例若去掉条件“a∈A”，其他条件不变，求实数a的取值范围．
2．本例条件中“若1和a互换位置”，求实数a的值．
|思|维|建|模| 由集合中的元素特征求参数的步骤
[针对训练]
1．由a2,2－a,3组成的一个集合A，若A中元素个数不是2，则实数a的取值可以是( )
A．－1 B．1
C. D．2
2．已知集合P有三个元素－1,2a＋1，a2－1.若0∈P，则实数a的值为( )
A．－ B．1
C．－或1 D．0或1
1.1.1 集合的概念
[逐点清(一)]
[多维理解] 1.研究对象 元素 集 2.一样
[微点练明]
1．(1)× (2)× (3)× (4)√
2．选BCD A中“最美”标准不明确，不符合确定性，B、C、D中的元素标准明确，均可构成集合，故选BCD.
3．选D 由集合中元素的互异性可知，该集合中共有“e”“l”“m”“n”“t”5个元素．
4．解析：∵集合A和集合B是相等的，又≠0，∴a＝1，c＋b＝0，＝－1，∴b＝－2，c＝2.
答案：1 －2 2
[逐点清(二)]
[多维理解] 1.a是集合A的元素 a∈A a不是集合A中的元素 a A
2．N N* Z Q R
[微点练明]
1．选D 因为是实数，但不是有理数，所以选D.
2．D
3．选D 由题意可知
解得－44．选BD 因为集合N*表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集，所以A、C中的说法不正确，B、D中的说法正确．
5．(1)∈ ∈ (2) ∈
[逐点清(三)]
[典例] 解：由题意，可知a＝1或a2＝a，
若a＝1，则a2＝1，这与a2≠1相矛盾，故a≠1.
若a2＝a，则a＝0或a＝1(舍去)，又当a＝0时，A中含有元素1和0，满足集合中元素的互异性，符合题意．综上可知，实数a的值为0.
[变式拓展]
1．解：由集合中元素的互异性可知a2≠1，
即a≠±1.所以a的取值范围是a≠±1.
2．解：若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.
当a＝1时，集合A有重复元素，与集合中元素的互异性矛盾，所以a≠1.
当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合集合中元素的互异性，所以a＝－1.
[针对训练]
1．选D 由题意知a2,2－a,3组成一个集合A，A中元素个数不是2，因为a2＝2－a＝3无解，故由a2,2－a,3组成的集合A的元素个数为3，故a2≠2－a≠3，即a≠－2，a≠±1，a≠±，即a可取2，故A、B、C错误，D正确．
2．选C 因为0∈P，所以2a＋1＝0或a2－1＝0.当2a＋1＝0，即a＝－时，P中含有元素－1，0，－，满足题意；当a2－1＝0，即a＝±1时，若a＝1，则P中含有元素－1,3,0，满足题意；若a＝－1，则P中含有元素－1，0，不满足题意．综上，实数a的值为－或1.(共51张PPT)
集合的概念
(教学方式：基本概念课—逐点理清式教学)
1.1.1
课时目标
1．通过实例了解集合与元素的含义，能判断元素与集合的关系．
2．能利用集合元素的确定性、互异性、无序性解决一些简单的问题．
3．熟记常用数集的表示符号，通过常用数集准确把握元素与集合之间的关系．
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一) 元素与集合的概念
逐点清(二) 元素与集合的关系
逐点清(三) 集合中元素特征的应用
4
课时跟踪检测
逐点清(一) 元素与集合的概念
01
1．元素与集合的含义
元素 一般地，把_________统称为元素
集合 把一些_____组成的总体叫做集合，简称为____
符号表示 元素通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示，集合通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示
研究对象
元素
集
多维理解
|微|点|助|解|
(1)“集合”是数学中的一个基本概念，同“点”“线”“面”等概念一样都是描述性概念．
(2)集合是一个“整体”，一些对象一旦组成了集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象．
(3)组成集合的元素可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物等．
2．集合相等
只要构成两个集合的元素是_____的，我们就称这两个集合是相等的．
3．集合中元素的特征
一样
确定性 一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的
互异性 一个集合中的任何两个元素都不相同．也就是说，集合中的元素没有重复
无序性 集合中的元素是没有顺序的
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)在一个集合中可以找到两个相同的元素． ( )
(2)好听的歌能组成一个集合． ( )
(3)方程(x－1)2(x＋2)＝0所有解组成的集合有3个元素． ( )
(4)分别由元素0,1,2和2,0,1组成的两个集合是相等的． ( )
×
×
×
√
微点练明
2．(多选)考察下列每组对象，能组成集合的是( )
A．中国各地最美的乡村
B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点
C．不小于3的自然数
D．唐宋散文八大家
√
√
√
解析：A中“最美”标准不明确，不符合确定性，B、C、D中的元素标准明确，均可构成集合，故选BCD.
3．集合中“元素”的英文单词“element”中的字母构成的集合中元素的个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：由集合中元素的互异性可知，该集合中共有“e”“l”“m”“n”
“t”5个元素．
√
1
－2
2
逐点清(二) 元素与集合的关系
02
1．元素与集合的关系
关系 概念 记法 读法
属于 如果________________，就说a属于集合A _______________ “a属于A”
不属于 如果___________________，就说a不属于集合A _______________ “a不属于A”
a是集合A的元素
a∈A
a不是集合A中的元素
a A
多维理解
2．常用数集及其记法
名称 非负整数集 (或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法 _ ________ ___或N＋ ___ ___ ___
N
N*
Z
Q
R
|微|点|助|解|
(1)元素和集合是两个完全不同的概念，元素是集合中的某一对象，而集合是由所有的元素组成的．
(2)由元素的确定性可知，对于任何a与A，a∈A或a A这两种情况必有一种且只有一种成立．
(3)符号“∈”和“ ”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性(开口对着集合)，左右两边不能互换．
(4)N是非负整数集(即自然数集)，而N*与N＋表示正整数集，N包括元素0，而N*与N＋不包括元素0.
√
微点练明
√
√
3．已知集合A中元素满足2x＋a>0，a∈R，若1 A，且2∈A，则( )
A．a>－4 B．a≤－2
C．－44．(多选)下列说法正确的是( )
A．集合N与集合N*是同一个集合
B．集合N中的元素都是集合Z中的元素
C．集合Q中的元素都是集合Z中的元素
D．集合Q中的元素都是集合R中的元素
解析：因为集合N*表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集，所以A、C中的说法不正确，B、D中的说法正确．
√
√
5．用符号“∈”和“ ”填空：
(1)设集合A为所有偶数组成的集合，则0_____A，－2 024_____A；
(2)设集合B是由平面直角坐标系中所有第二象限的点组成的集合，则－1_____B，(－1,1)_____B.
∈
∈
∈
逐点清(三)
集合中元素特征的应用
03
[典例] 已知集合A中含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的值．
解：由题意，可知a＝1或a2＝a，
若a＝1，则a2＝1，这与a2≠1相矛盾，故a≠1.
若a2＝a，则a＝0或a＝1(舍去)，
又当a＝0时，A中含有元素1和0，满足集合中元素的互异性，符合题意．综上可知，实数a的值为0.
多维理解
[变式拓展]
1．本例若去掉条件“a∈A”，其他条件不变，求实数a的取值范围．
解：由集合中元素的互异性可知a2≠1，即a≠±1.
所以a的取值范围是a≠±1.
2．本例条件中“若1和a互换位置”，求实数a的值．
解：若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.
当a＝1时，集合A有重复元素，与集合中元素的互异性矛盾，所以a≠1.
当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合集合中元素的互异性，所以a＝－1.
|思|维|建|模| 由集合中的元素特征求参数的步骤
√
针对训练
√
课时跟踪检测
04
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
√
1．(多选)下列各组对象能构成集合的是( )
A．倒数等于它本身的数 B．某班视力较好的同学
C．所有锐角三角形 D．小于π的正整数
解析：根据集合的概念，可知集合中元素具有确定性，可得选项A、C、D中的元素都是确定的，故选项A、C、D能构成集合，但B选项中“视力较好”的标准不明确，不符合确定性，不能构成集合．故选ACD.
√
√
1
5
6
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8
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15
2
3
4
√
√
1
5
6
7
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9
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11
12
13
14
15
3
4
2
√
3．设不等式3－2x<0的解集为M，下列关系正确的是( )
A．0∈M,2∈M B．0 M,2∈M
C．0∈M,2 M D．0 M,2 M
解析：本题是判断0和2与集合M间的关系，因此只需判断0和2是否是不等式3－2x<0的解即可．当x＝0时，3－2x＝3>0，所以0 M；当x＝2时，3－2x＝－1<0，所以2∈M.
1
5
6
7
8
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3
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2
√
4．(多选)若以集合A的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这个四边形不可能是( )
A．梯形 B．平行四边形
C．菱形 D．矩形
解析：由于a，b，c，d四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条边都不相等．
√
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
√
5．已知集合M具有性质：若a∈M，则2a∈M，现已知－1∈M，则下列元素一定是M中的元素的是( )
A．1 B．0
C．－2 D．2
解析：因为－1∈M，所以2×(－1)∈M，即－2∈M.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
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3
4
2
√
6．集合A中有三个元素2,3,4，集合B中有三个元素2,4,6，若x∈A且x B，则x等于( )
A．2 B．3
C．4 D．6
解析：集合A中的元素3不在集合B中，且仅有这个元素符合题意．
1
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6
7
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10
11
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2
√
7．已知集合M是方程x2－x＋m＝0的解组成的集合，若2∈M，则下列判断正确的是( )
A．1∈M B．0∈M
C．－1∈M D．－2∈M
解析：由2∈M知2为方程x2－x＋m＝0的一个解，所以22－2＋m＝0，解得m＝－2.所以方程为x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝2.故方程的另一根为－1，所以－1∈M.
1
5
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3
4
2
8．(多选)下列说法正确的是( )
A．N*中最小的数是1
B．若－a N*，则a∈N*
C．若a∈N*，b∈N*，则a＋b的最小值是2
D．x2＋4＝4x的实数解组成的集合中含有两个元素
√
√
1
5
6
7
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9
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3
4
2
1
5
6
7
8
9
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11
12
13
14
15
3
4
2
√
解析：当a，b全为正数时，代数式的值是3；当a，b全是负数时，代数式的值是－1；当a，b是一正一负时，代数式的值是－1.综上可知B正确．
1
5
6
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3
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√
1
5
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3
4
2
故当x＝0时，这几个实数均为0；
当x>0时，它们分别是x，－x，x，x，－x；
当x<0时，它们分别是x，－x，－x，－x，x.
最多表示2个不同的数，故集合中的元素最多为2个．故选A.
1
5
6
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15
3
4
2
11．设集合D是满足方程y＝x2的有序数对(x，y)的集合，则－1______D，(－1,1)______D.
解析：因为集合D中的元素是有序数对(x，y)，而－1是数，所以－1 D，(－1,1)∈D.
∈
1
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6
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12
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15
3
4
2
12．已知集合P中的元素x满足：x∈N，且2解析：因为集合P中恰有三个不同元素，且元素x满足x∈N，且26
1
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13
14
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3
4
2
13．已知集合M有2个元素x,2－x，若－1 M，则下列说法一定错误的是______．
①2∈M；②1∈M；③x≠3.
②
1
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3
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14
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2
14．(16分)已知集合A含有两个元素m，m2－3m，其中m∈R.
(1)实数m不能取哪些数？
解：根据题意，可得m≠m2－3m，解得m≠0且m≠4，因此，实数m不能取0和4.
1
5
6
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8
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3
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(2)若4∈A，求实数m的值．
解：由(1)的结论，可知m≠4，若4∈A，则m2－3m＝4，解得m＝－1(m＝4不符合题意)，因此，实数m的值是－1.
1
5
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3
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2
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1
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14
15
3
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2
(2)若2∈S，则在S中必含有其他的两个元素，试求出这两个元素．??课时跟踪检测(一) 集合的概念
(满分100分，选填小题每题5分)
1．(多选)下列各组对象能构成集合的是( )
A．倒数等于它本身的数
B．某班视力较好的同学
C．所有锐角三角形
D．小于π的正整数
2．(多选)下列元素与集合的关系正确的是( )
A．－1∈N B．0 N*
C.∈Q D.∈R
3．设不等式3－2x<0的解集为M，下列关系正确的是( )
A．0∈M,2∈M B．0 M,2∈M
C．0∈M,2 M D．0 M,2 M
4．(多选)若以集合A的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这个四边形不可能是( )
A．梯形 B．平行四边形
C．菱形 D．矩形
5．已知集合M具有性质：若a∈M，则2a∈M，现已知－1∈M，则下列元素一定是M中的元素的是( )
A．1 B．0
C．－2 D．2
6．集合A中有三个元素2,3,4，集合B中有三个元素2,4,6，若x∈A且x B，则x等于( )
A．2 B．3
C．4 D．6
7．已知集合M是方程x2－x＋m＝0的解组成的集合，若2∈M，则下列判断正确的是( )
A．1∈M B．0∈M
C．－1∈M D．－2∈M
8．(多选)下列说法正确的是( )
A．N*中最小的数是1
B．若－a N*，则a∈N*
C．若a∈N*，b∈N*，则a＋b的最小值是2
D．x2＋4＝4x的实数解组成的集合中含有两个元素
9．已知a，b是非零实数，代数式＋＋的值组成的集合是M，则下列判断正确的是( )
A．0∈M B．－1∈M
C．3 M D．1∈M
10．由实数x，－x，|x|, ，－ 所组成的集合中，含有元素的个数最多为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
11．设集合D是满足方程y＝x2的有序数对(x，y)的集合，则－1_____D，(－1,1)_____D.
12．已知集合P中的元素x满足：x∈N，且213．已知集合M有2个元素x,2－x，若－1 M，则下列说法一定错误的是________．
①2∈M；②1∈M；③x≠3.
14．(16分)已知集合A含有两个元素m，m2－3m，其中m∈R.
(1)实数m不能取哪些数？
(2)若4∈A，求实数m的值．
15．(19分)设集合S中的元素全是实数，且满足下面两个条件：①1 S；②若a∈S，则∈S.
(1)求证：若a∈S，则1－∈S；
(2)若2∈S，则在S中必含有其他的两个元素，试求出这两个元素．
课时跟踪检测(一)
1．选ACD 根据集合的概念，可知集合中元素具有确定性，可得选项A、C、D中的元素都是确定的，故选项A、C、D能构成集合，但B选项中“视力较好”的标准不明确，不符合确定性，不能构成集合．故选ACD.
2．BD
3．选B 本题是判断0和2与集合M间的关系，因此只需判断0和2是否是不等式3－2x<0的解即可．当x＝0时，3－2x＝3>0，所以0 M；当x＝2时，3－2x＝－1<0，所以2∈M.
4．选BCD 由于a，b，c，d四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条边都不相等．
5．选C 因为－1∈M，所以2×(－1)∈M，即－2∈M.
6．选B 集合A中的元素3不在集合B中，且仅有这个元素符合题意．
7．选C 由2∈M知2为方程x2－x＋m＝0的一个解，所以22－2＋m＝0，解得m＝－2.所以方程为x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝2.故方程的另一根为－1，所以－1∈M.
8．选AC 因为N*表示正整数集，容易判断A、C正确；对于B，若a＝，则满足－a N*，但a N*，B错误；对于D，x2＋4＝4x的实数解只有2，所以组成的集合中只有一个元素，D错误．
9．选B 当a，b全为正数时，代数式的值是3；当a，b全是负数时，代数式的值是－1；当a，b是一正一负时，代数式的值是－1.综上可知B正确．
10．选A ∵＝|x|，－＝－|x|，故当x＝0时，这几个实数均为0；当x>0时，它们分别是x，－x，x，x，－x；当x<0时，它们分别是x，－x，－x，－x，x.最多表示2个不同的数，故集合中的元素最多为2个．故选A.
11．解析：因为集合D中的元素是有序数对(x，y)，而－1是数，所以－1 D，(－1,1)∈D.
答案： ∈
12．解析：因为集合P中恰有三个不同元素，且元素x满足x∈N，且2答案：6
13．解析：依题意解得x≠－1，x≠1且x≠3.对于①，当x＝2或2－x＝2，即x＝2或x＝0时，M中的元素为0,2，故①可能正确；对于②，当x＝1或2－x＝1，即x＝1时，M中两元素为1,1不满足互异性，故②不正确，③显然正确．
答案：②
14．解：(1)根据题意，可得m≠m2－3m，解得m≠0且m≠4，因此，实数m不能取0和4.
(2)由(1)的结论，可知m≠4，若4∈A，则m2－3m＝4，解得m＝－1(m＝4不符合题意)，因此，实数m的值是－1.
15．解：(1)证明：因为1 S，a∈S，
所以1－a≠0，且∈S，
可得＝＝1－∈S，
故若a∈S，则1－∈S.
(2)由2∈S，得＝－1∈S；
由－1∈S，得＝∈S；
而当∈S时，＝2∈S，…，因此当2∈S时，集合S中必含有－1，两个元素．