1.2 集合间的基本关系—— (教学方式：基本概念课—逐点理清式教学)
[课时目标]
1．理解集合之间包含与相等的含义，能从教材实例中抽象出子集、真子集的概念．
2．能识别给定集合的子集、真子集，掌握列举有限集所有集合的方法．
3．会判断集合间的关系，并能用符号和Venn图表示．
4．在具体情境中，了解空集的含义，并注意空集在解题中的影响．
逐点清(一) 子集与集合相等
[多维理解]
1．Venn图
在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．
2．子集
定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是______________，就称集合A为集合B的子集
记法与 读法 记作______(或B A)，读作“________”(或“B包含A”)
图示
性质 (1)任何一个集合是它本身的子集，即______． (2)对于集合A，B，C，若A B，且B C，则______
3.集合相等
如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作______，也就是说，若A B，且B A，则________．
|微|点|助|解|
(1)“A是B的子集”的含义：对任意x∈A都能推出x∈B.
(2)注意“∈”与“ ”的区别：“ ”用于表示集合与集合之间的关系；“∈”用于表示元素与集合之间的关系．
[微点练明]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若a∈A，则{a} A.( )
(2)如果集合B A，那么若元素a不属于A，则必不属于B.( )
2．已知集合A＝{x|x是三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}，C＝{x|x是等腰直角三角形}，D＝{x|x是等边三角形}，则( )
A．A B B．C B
C．D C D．A D
3．已知集合A＝{0,1，a2}，B＝{0,1,2a＋3}，若A＝B，则a等于( )
A．－1或3 B．0或1
C．3 D．－1
4．指出下列各对集合之间的关系：
(1)A＝{x|－1(2)A＝{x|x是正方形}，B＝{x|x是矩形}；
(3)A＝{－1,1}，
B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；
(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，
N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．
逐点清(二) 真子集与空集
[多维理解]
1．真子集
定义 如果集合A B，但存在元素x∈B，且______，就称集合A是集合B的真子集
记法与 读法 记作________(或B?A)，读作“________”(或“B真包含A”)
图示
性质 ①真子集具有传递性，即若A?B，B?C，则A?C； ②含有n个元素的有限集合的真子集个数为(2n－1)个
2.空集
定义 一般地，我们把____________的集合叫做空集
记法 ______
规定 空集是任何集合的子集，即 A
特性 (1)空集只有一个子集，即它本身， ； (2)A≠ ，则 ?A
|微|点|助|解|
(1)在真子集的定义中，A?B首先要满足A B，其次至少有一个x∈B，但x A.
(2)0，{0}，{ }与 之间的关系
与0 与{0} 与{ }
相同点 都表示无的意思 都是集合 都是集合
不同点 是集合； 0是实数 不含任何元素； {0}含一个元素0 不含任何元素；{ }含一个元素，该元素是
关系 0 ?{0} ?{ }或 ∈{ }
[微点练明]
1．已知集合M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{0,1,2}，则集合M与N的关系是( )
A．M＝N B．N?M
C．M?N D．N M
2．下列四个集合中，是空集的是( )
A．{x|x＋3＝3} B．{(x，y)|y2＝－x2，x，y∈R}
C．{x|x2≤0} D．{x|x2－x＋1＝0，x∈R}
3．满足{1} A?{1,2,3,4}的集合A的个数为( )
A．7 B．8
C．15 D．16
4．已知集合Q＝{x|k＋1≤x≤2k－1}＝ ，则实数k的取值范围是________．
5．填写下表，并回答问题：
集合 集合的子集 子集的个数
{a}
{a，b}
{a，b，c}
由此猜想：含n个元素的集合{a1，a2，…，an}的所有子集的个数是多少？真子集的个数及非空真子集的个数呢？
逐点清(三) 由集合间的关系求参数范围
[典例] 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B A，求实数m的取值范围．
听课记录：
[变式拓展]
1．若本例条件“B A”变为A B，求实数m的取值范围．
2．本例条件不变，是否存在实数m，使得A＝B？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
3．若本例条件“集合A”变为“A＝{x|x＜－5或x＞2}”，“集合B”变为“B＝{x|2a－3＜x＜a－2}”，其他条件不变，求实数a的取值范围．
|思|维|建|模|
利用集合间的关系求参数的关注点
(1)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值．
(2)要注意“空集”的情况，空集是任何集合的子集．
[针对训练]
设M＝{x|x2－2x－3＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若N M，求所有满足条件的a的集合．
1．2 集合间的基本关系
[逐点清(一)]
[多维理解] 2.集合B中的元素 A B A包含于B A A A C 3.A＝B A＝B
[微点练明]
1．(1)√ (2)√
2．选B 因为等腰直角三角形必为等腰三角形，所以C B.
3．选C 由A＝B，得a2＝2a＋3，解得a＝－1或a＝3.当a＝－1时，A＝{0,1,1}与集合元素的互异性矛盾，舍去．当a＝3时，A＝{0,1，9}＝B，满足题意．故选C.
4．解：(1)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A B.
(2)正方形是特殊的矩形，故A B.
(3)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．
(4)M＝{正奇数}，N＝{不含1的正奇数}，故N M.
[逐点清(二)]
[多维理解] 1.x A A?B A真包含于B
2．不含任何元素
[微点练明]
1．选C 解方程x2－3x＋2＝0得x＝2或x＝1，则M＝{1,2}，因为1∈M且1∈N,2∈M且2∈N，所以M N.又因为0∈N但0 M，所以M?N.
2．选D A中集合为{0}，B中为{(0,0)}，C中为{0}，而D中方程无解，是空集．
3．选A ∵{1} A，∴1∈A，∵A?{1,2,3,4}，∴满足题意的集合A有{1}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4}，共7个．故选A.
4．解析：∵Q＝{x|k＋1≤x≤2k－1}＝ ，
∴k＋1>2k－1，解得k<2.
答案：{k|k<2}
5．解：
集合 集合的子集 子集的个数
1
{a} ，{a} 2
{a，b} ，{a}，{b}，{a，b} 4
{a，b，c} ，{a}，{b}，{c}，{a，b}， {a，c}，{b，c}，{a，b，c} 8
由此猜想：含n个元素的集合{a1，a2，…，an}的所有子集的个数是2n，真子集的个数是2n－1，非空真子集的个数是2n－2.
[逐点清(三)]
[典例] 解：若B＝ ，满足B A，则m＋1>2m－1，解得m<2.若B≠ ，满足B A，则解得2≤m≤3.
综上，符合题意的实数m的取值范围为{m|m≤3}．
[变式拓展]
1．解：若A B，数轴表示如下：
依题意有即
此时m的取值范围是 .
2．解：假设存在满足题意的实数m.若A＝B，
则必有m＋1＝－2且2m－1＝5，此时无解，即不存在使得A＝B的实数m.
3．解：①当B＝ 时，2a－3≥a－2，解得a≥1.显然成立．
②当B≠ 时，2a－3＜a－2，解得a＜1.由已知A B，如图在数轴上表示出两个集合，
由图可知，2a－3≥2或a－2≤－5，解得a≥或a≤－3.又因为a＜1，所以a≤－3.
综上，实数a的取值范围为{a|a≥1或a≤－3}．
[针对训练]
解：因为M＝{x|x2－2x－3＝0}＝{x|(x＋1)(x－3)＝0}＝{－1,3}，N＝{x|ax－1＝0}，若a＝0，则N＝ ，此时满足N M；若a≠0，则N＝，因为N M，故＝－1或＝3，解得a＝－1或a＝，所以a的取值集合为.(共54张PPT)
1.2
集合间的基本关系
(教学方式：基本概念课—逐点理清式教学)
课时目标
1．理解集合之间包含与相等的含义，能从教材实例中抽象出子集、真子集的概念．
2．能识别给定集合的子集、真子集，掌握列举有限集所有集合的方法．
3．会判断集合间的关系，并能用符号和Venn图表示．
4．在具体情境中，了解空集的含义，并注意空集在解题中的影响．
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一) 子集与集合相等
逐点清(二) 真子集与空集
逐点清(三) 由集合间的关系求参数范围
4
课时跟踪检测
逐点清(一) 子集与集合相等
01
1．Venn图
在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．
多维理解
2．子集
定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是______________，就称集合A为集合B的子集
记法与 读法 记作______ (或B A)，读作“___________”(或“B包含A”)
图示
性质 (1)任何一个集合是它本身的子集，即______.
(2)对于集合A，B，C，若A B，且B C，则_____
集合B中的元素
A B
A包含于B
A A
A C
3．集合相等
如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作______，也就是说，若A B，且B A，则______.
A＝B
A＝B
|微|点|助|解|
(1)“A是B的子集”的含义：对任意x∈A都能推出x∈B.
(2)注意“∈”与“ ”的区别：“ ”用于表示集合与集合之间的关系；“∈”用于表示元素与集合之间的关系．
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若a∈A，则{a} A. ( )
(2)如果集合B A，那么若元素a不属于A，则必不属于B. ( )
微点练明
√
√
√
2．已知集合A＝{x|x是三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}，C＝{x|x是等腰直角三角形}，D＝{x|x是等边三角形}，则( )
A．A B B．C B
C．D C D．A D
解析：因为等腰直角三角形必为等腰三角形，所以C B.
3．已知集合A＝{0,1，a2}，B＝{0,1,2a＋3}，若A＝B，则a等于( )
A．－1或3 B．0或1
C．3 D．－1
解析：由A＝B，得a2＝2a＋3，解得a＝－1或a＝3.当a＝－1时，A＝{0,1,1}与集合元素的互异性矛盾，舍去．当a＝3时，A＝{0,1,9}＝B，满足题意．故选C.
√
4．指出下列各对集合之间的关系：
(1)A＝{x|－1解：(1)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A B.
(2)A＝{x|x是正方形}，B＝{x|x是矩形}；
解：正方形是特殊的矩形，故A B.
(3)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；
解：集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．
(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．
解：M＝{正奇数}，N＝{不含1的正奇数}，故N M.
逐点清(二) 真子集与空集
02
1．真子集
多维理解
定义 如果集合A B，但存在元素x∈B，且______，就称集合A是集合B的真子集
记法与 读法 记作______(或B?A)，读作“____________”(或“B真包含A”)
x A
A真包含于B
续表
2．空集
定义 一般地，我们把______________的集合叫做空集
记法
___
规定 空集是任何集合的子集，即 A
特性 (1)空集只有一个子集，即它本身， ；
(2)A≠ ，则 A
不含任何元素
|微|点|助|解|
(1)在真子集的定义中，A?B首先要满足A B，其次至少有一个x∈B，但x A.
(2)0，{0}，{ }与 之间的关系
√
微点练明
√
2．下列四个集合中，是空集的是( )
A．{x|x＋3＝3} B．{(x，y)|y2＝－x2，x，y∈R}
C．{x|x2≤0} D．{x|x2－x＋1＝0，x∈R}
解析：A中集合为{0}，B中为{(0,0)}，C中为{0}，而D中方程无解，是空集．
√
4．已知集合Q＝{x|k＋1≤x≤2k－1}＝ ，则实数k的取值范围是________．
解析：∵Q＝{x|k＋1≤x≤2k－1}＝ ，∴k＋1>2k－1，解得k<2.
{k|k<2}
5．填写下表，并回答问题：
集合 集合的子集 子集的个数
{a}
{a，b}
{a，b，c}
由此猜想：含n个元素的集合{a1，a2，…，an}的所有子集的个数是多少？真子集的个数及非空真子集的个数呢？
解：
集合 集合的子集 子集的个数
1
{a} ，{a} 2
{a，b} ，{a}，{b}，{a，b} 4
{a，b，c} ，{a}，{b}，{c}，{a，b}， {a，c}，{b，c}，{a，b，c} 8
由此猜想：含n个元素的集合{a1，a2，…，an}的所有子集的个数是2n，真子集的个数是2n－1，非空真子集的个数是2n－2.
逐点清(三) 由集合间的关系求
参数范围
03
[典例] 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B A，求实数m的取值范围．
[变式拓展]
1．若本例条件“B A”变为A B，求实数m的取值范围．
解：若A B，数轴表示如下：
2．本例条件不变，是否存在实数m，使得A＝B？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
解：假设存在满足题意的实数m.若A＝B，
则必有m＋1＝－2且2m－1＝5，此时无解，即不存在使得A＝B的实数m.
3．若本例条件“集合A”变为“A＝{x|x＜－5或x＞2}”，“集合B”变为“B＝{x|2a－3＜x＜a－2}”，其他条件不变，求实数a的取值范围．
解：①当B＝ 时，2a－3≥a－2，解得a≥1.显然成立．
②当B≠ 时，2a－3＜a－2，解得a＜1.由已知A B，如图在数轴上表示出两个集合，
|思|维|建|模|
利用集合间的关系求参数的关注点
(1)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值．
(2)要注意“空集”的情况，空集是任何集合的子集．
设M＝{x|x2－2x－3＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若N M，求所有满足条件的a的集合．
针对训练
课时跟踪检测
04
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2
√
1．已知集合A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{3,4,5，x}，若B A，则x可以取的值为( )
A．1,2,3,4,5,6 B．1,2,3,4,6
C．1,2,3,6 D．1,2,6
解析：由B A和集合元素的互异性可知，x可以取的值为1,2,6.
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√
2．下列集合中为 的是( )
A．{0} B．{ }
C．{x|x2＋4＝0} D．{x|x＋1≤2x}
解析：集合{0}中有一个元素0，A不符合题意；集合{ }中有一个元素 ，B不符合题意；由方程x2＋4＝0，即x2＝－4，此时方程无解，可得{x|x2＋4＝0}＝ ，C符合题意；不等式x＋1≤2x，解得x≥1，{x|x＋1≤2x}＝{x|x≥1}，D不符合题意．故选C.
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√
3．集合M＝{x∈N|－2A．7 B．8
C．15 D．16
解析：集合M中共有0,1,2,3四个元素，真子集的个数是24－1＝15.
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√
5．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是( )
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√
6．(多选)已知集合A＝{2，－1}，集合B＝{m2－m，－1}，且A＝B，则实数m等于( )
A．2 B．－1
C．－2 D．4
解析：∵A＝B，∴m2－m＝2，∴m＝2或m＝－1.
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7．(多选)已知A B，A C，B＝{2,0,1,8}，C＝{1,9，3,8}，则A可以是( )
A．{1,8} B．{2,3}
C．{1} D．{2}
解析：∵A B，A C，∴A中的元素应为B和C的共同元素．∵B＝{2,0,1,8}，C＝{1,9,3,8}，∴B和C的共同元素为1和8.∴A {1,8}．结合选项知，A、C选项满足题意，故选AC.
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8．已知集合M＝{x∈Z|1≤x≤m}，若集合M有4个子集，则实数m＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：根据题意，集合M有4个子集，则M中有2个元素，又由M＝{x∈Z|1≤x≤m}，其元素为大于等于1而小于等于m的全部整数，故m＝2.
√
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√
9．设集合A＝{－1,1}，集合B＝{x|x2－2ax＋1＝0}，若B≠ ，B A，则a等于( )
A．－1 B．0
C．1 D．±1
解析：当B＝{－1}时，x2－2ax＋1＝0有两个相等的实根－1，即a＝－1；当B＝{1}时，x2－2ax＋1＝0有两个相等的实根1，即a＝1；当B＝{－1,1}时，不成立．故a＝±1.
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√
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解析：依题意有a－2＝0或2a－2＝0.当a－2＝0时，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1,0,2}，不满足A B；当2a－2＝0时，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{－1,0,1}，满足A B.所以a＝1，故选B.
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11．设集合M＝{(x，y)|x＋y＜0，xy＞0}和P＝{(x，y)|x＜0，y＜0}，那么M与P的关系为_______．
解析：∵xy＞0，∴x，y同号．又x＋y＜0，∴x＜0，y＜0，即集合M表示第三象限内的点．而集合P表示第三象限内的点，故M＝P.
16
M＝P
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12．若A＝{1,2}，B＝{x|x A}，则B＝____________________.
解析：因为A＝{1,2}，B＝{x|x A}，所以集合B中的元素是集合A的子集： ，{1}，{2}，{1,2}，则集合B＝{ ，{1}，{2}，{1,2}}．
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{ ，{1}，{2}，{1,2}}
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13．已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|116
{m|m≤4}
1
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2
14．已知非空集合P满足：①P {1,2,3,4,5}；②若a∈P，则6－a∈P.符合上述条件的集合P的个数为______．
解析：由a∈P,6－a∈P，且P {1,2,3,4,5}可知，P中元素在取值方面应满足的条件是1,5同时选，2,4同时选，3可单独选，可一一列出满足条件的集合P为{3}，{1,5}，{2,4}，{1,3,5}，{2,3,4}，{1,5,2,4}，{1,2,3,4,5}，共7个．
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15．(15分)已知集合A＝{1,2,3}．
(1)若M是A的子集，且至少含有元素3，写出满足条件的所有集合M；
解：∵M A,3∈M，∴集合M可能为{3}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}．
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1
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3
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(2)若B＝{x|ax－3＝0}，且B A，求实数a的取值集合．
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16．(15分)若集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，x∈R}至多有一个真子集，求a的取值范围．
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16课时跟踪检测(三) 集合间的基本关系
(满分100分，选填小题每题5分)
1．已知集合A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{3,4,5，x}，若B A，则x可以取的值为( )
A．1,2,3,4,5,6 B．1,2,3,4,6
C．1,2,3,6 D．1,2,6
2．下列集合中为 的是( )
A．{0} B．{ }
C．{x|x2＋4＝0} D．{x|x＋1≤2x}
3．集合M＝{x∈N|－2A．7 B．8
C．15 D．16
4．若x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝，则集合A，B间的关系为( )
A．A?B B．B?A
C．A＝B D．A B
5．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是( )
6．(多选)已知集合A＝{2，－1}，集合B＝{m2－m，－1}，且A＝B，则实数m等于( )
A．2 B．－1
C．－2 D．4
7．(多选)已知A B，A C，B＝{2,0,1,8}，C＝{1,9，3,8}，则A可以是( )
A．{1,8} B．{2,3}
C．{1} D．{2}
8．已知集合M＝{x∈Z|1≤x≤m}，若集合M有4个子集，则实数m＝ ( )
A．1 B．2
C．3 D．4
9．设集合A＝{－1,1}，集合B＝{x|x2－2ax＋1＝0}，若B≠ ，B A，则a等于( )
A．－1 B．0
C．1 D．±1
10．(2023·新课标Ⅱ卷)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A B，则a＝( )
A．2 B．1
C. D．－1
11.设集合M＝{(x，y)|x＋y＜0，xy＞0}和P＝{(x，y)|x＜0，y＜0}，那么M与P的关系为_______．
12．若A＝{1,2}，B＝{x|x A}，则B＝________.
13．已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|114．已知非空集合P满足：①P {1,2,3,4,5}；②若a∈P，则6－a∈P.符合上述条件的集合P的个数为________．
15．(15分)已知集合A＝{1,2,3}．
(1)若M是A的子集，且至少含有元素3，写出满足条件的所有集合M；
(2)若B＝{x|ax－3＝0}，且B A，求实数a的取值集合．
16．(15分)若集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，x∈R}至多有一个真子集，求a的取值范围．
课时跟踪检测(三)
1．选D 由B A和集合元素的互异性可知，x可以取的值为1,2,6.
2．选C 集合{0}中有一个元素0，A不符合题意；集合{ }中有一个元素 ，B不符合题意；由方程x2＋4＝0，即x2＝－4，此时方程无解，可得{x|x2＋4＝0}＝ ，C符合题意；不等式x＋1≤2x，解得x≥1，{x|x＋1≤2x}＝{x|x≥1}，D不符合题意．故选C.
3．选C 集合M中共有0,1,2,3四个元素，真子集的个数是24－1＝15.
4．选B ∵B＝＝{(x，y)|y＝x，x≠0}，∴B?A.
5．选B 由x2－x＝0，得x＝1或x＝0，故N＝{0,1}，易得N?M，其对应的Venn图如选项B所示．
6．选AB ∵A＝B，∴m2－m＝2，∴m＝2或m＝－1.
7．选AC ∵A B，A C，∴A中的元素应为B和C的共同元素．∵B＝{2,0,1,8}，C＝{1,9,3,8}，∴B和C的共同元素为1和8.∴A {1,8}．结合选项知，A、C选项满足题意，故选AC.
8．选B 根据题意，集合M有4个子集，则M中有2个元素，又由M＝{x∈Z|1≤x≤m}，其元素为大于等于1而小于等于m的全部整数，故m＝2.
9．选D 当B＝{－1}时，x2－2ax＋1＝0有两个相等的实根－1，即a＝－1；当B＝{1}时，x2－2ax＋1＝0有两个相等的实根1，即a＝1；当B＝{－1,1}时，不成立．故a＝±1.
10．选B 依题意有a－2＝0或2a－2＝0.当a－2＝0时，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1,0,2}，不满足A B；当2a－2＝0时，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{－1,0,1}，满足A B.所以a＝1，故选B.
11．解析：∵xy＞0，∴x，y同号．又x＋y＜0，∴x＜0，y＜0，即集合M表示第三象限内的点．而集合P表示第三象限内的点，故M＝P.
答案：M＝P
12．解析：因为A＝{1,2}，B＝{x|x A}，所以集合B中的元素是集合A的子集： ，{1}，{2}，{1,2}，则集合B＝{ ，{1}，{2}，{1,2}}．
答案：{ ，{1}，{2}，{1,2}}
13．解析：由集合B＝{x|11时，要使B A，则满足解得1答案：{m|m≤4}
14．解析：由a∈P,6－a∈P，且P {1,2,3,4,5}可知，P中元素在取值方面应满足的条件是1,5同时选，2,4同时选，3可单独选，可一一列出满足条件的集合P为{3}，{1,5}，{2,4}，{1,3,5}，{2,3,4}，{1,5,2,4}，{1,2,3,4,5}，共7个．
答案：7
15．解：(1)∵M A,3∈M，∴集合M可能为{3}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}．
(2)当a＝0时，B＝ ，满足B A；
当a≠0时，B＝；
若B A，则＝1或＝2或＝3，
解得a＝3或a＝或a＝1.综上所述，实数a的取值集合为.
16．解：①当A无真子集时，即A＝ 时，
则方程ax2＋2x＋1＝0无实根，
所以解得a>1.
②当A只有一个真子集时，即A为单元素集，这时有两种情况：当a＝0时，方程化为2x＋1＝0，解得x＝－，符合题意；
当a≠0时，由Δ＝4－4a＝0，解得a＝1，符合题意．综上，当集合A至多有一个真子集时，a的取值范围是{a|a＝0或a≥1}．
