湖南省长沙市望城区第二中学2024-2025学年高一下学期7月期末数学试卷（含部分解析）

高一期末数学试卷
一、单选题
1．已知集合，，若中有且仅有一个元素，则实数的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
2．若，则有（　　）
A． B． C． D．
3．已知，，则（　　）
A． B． C． D．1
4．西安大唐不夜城的“不倒翁小姐姐”因为一段“把手给我”的短视频而被人熟知.“不倒翁小姐姐”不倒的原因在于其脚下的半球形工具.如图，半球内有一内接正四棱锥，这个内接正四棱锥的高与半球的半径相等且体积为，那么这个半球的表面积为（　　）
A． B． C． D．
5．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则角C的大小为（　　）
A． B． C． D．
6．一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根的一个充分不必要条件是(　　)
A． B． C． D．
7．已知函数，数列满足，且为正整数）．则（　　）
A．－1 B．1 C． D．
8．已知是偶函数，对，且，都有，且则的解集是（　　）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．设集合 ，下列集合中，是 的子集的是（　　）
A． B．
C． D．
10．函数满足，，有，下列说法正确的有（　　）
A．
B．
C．为奇函数
D．记，则在上单调递减
11．在 中，给出下列四个命题，其中正确的命题是（　　）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
三、填空题
12．已知函数 ，若 ，则 　 　．
13．若不等式对任意满足的正实数x，y，z均成立，则实数的最大值为　 　．
14．已知 ，若 ， 其中 ， ，则 的最大值为　 　．
四、解答题
15．已知函数 的定义域是 ，求实数 的取值范围.
16．如图，在梯形 中， .
（1）用 ， 表示 ， ， ；
（2）若 ，且 ，求 的大小.
17．已知为锐角，.
（1）求的值；
（2）求的值.
18．如图，矩形 所在平面与半圆弧 所在平面垂直，且 ， 是 上异于 ， 两点的一个动点.
（1）证明： 平面 ；
（2）当四棱锥 的体积最大且最大值为9时，求该四棱锥 的侧面积.
19．在锐角三角形中，角A，B，C所对的边分别为 ，且
（1）求角C的大小；
（2）若 ，求 的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】D
3．【答案】B
【解答】设半球的半径为，连接交于点，连接，
则，则，
∵内接正四棱锥的高与半球的半径相等且体积为，
∴四棱锥的体积，所以，
所以这个半球的表面积.
故选：B.
5．【答案】A
【解答】由及正弦定理，
得，
所以.
所以，又，
所以，，又，
所以.
故答案为：A.
6．【答案】C
7．【答案】C
8．【答案】B
【解答】因为是偶函数，所以，故关于对称，
由，且，都有，可得在上单调递增，
所以在上单调递减，
因为关于对称，所以，
由可得或，
所以当时，，所以，此时；
当时，，所以，此时；
综上所述，的解集是。
故答案为：B
9．【答案】A,C,D
【解答】解不等式 ，即 ，解得 ，则 ，
，所以，A、C、D选项中的集合均为集合A的子集.
故答案为：ACD.
10．【答案】A,B,C
11．【答案】A,B
【解答】对于A：在 中， ，
所以若A＜B，则sinA＜sinB符合题意；
若sinA＜sinB，则A＜B，所以B符合题意；
对于C：
当 时，0＜2A≤π，0＜2B≤π，0≤ ，
sin2A＞0，sin2B＞0，cos（B A）＞0
∴则 ；
当 时（A和B不可能同时在第二象限），
π＜2A＜2π，0＜2B≤π，∴sin2A＜0，sin2B＞0
当0≤A B≤ 时，cos（B A）＞0，
∴则 ，
当 时，cos（B A）＜0，
；C不符合题意；
对于D：
，
D不符合题意；
故答案为：AB．
12．【答案】
【解答】
令 ，∵
∵ ，∴ ，故
∴
故答案为：
13．【答案】
【解答】解：因为x，y，z为正实数，所以，
又因为，所以，即，又，
所以，
当且仅当时等号成立，故实数的最大值为.
故答案为：.
14．【答案】0
【解答】解： ，
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ，
可得 恒成立，
由 的导数 ，可判断 在R上递增，
由 ，即有 ，
则 ，即 ，
可得 的最大值为0，
故答案为：0．
15．【答案】 的定义域是 ，
即对任意的 ，都有 ，
当 时，显然满足题意，
当 时，则有 ，
解得： ，
综上所述： .
16．【答案】（1）解： ， ，
（2）解： ， ， .
，且 ， ，解得： ，
，
17．【答案】（1）解：因为，且所以，
又为锐角，所以，
因此
（2）解：因为为锐角，所以，
又因为，
所以，
因此，
因为，
所以，
因此
18．【答案】（1）证明：由题设知，平面 平面 ，平面 平面 ，
， 平面 ，所以 平面 .
又 平面 ，故 .
因为 为 上异于 ， 的点，且 为半圆弧 的直径，
所以 .
又 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
（2）解：由题意可知，当 是半圆弧 的中点时，四棱锥 的体积最大.
设 ，则 ，则 ，解得 .
此时， ， .
易知，此时 为等腰直角三角形，可求得 .
由（1）知， 平面 .
所以 ， .
易证， ，
所以 .
又因为 ，所以 .
故该四棱锥 的侧面积为 .
19．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
即，
又∵sinB≠0，
∴，
∴，
又C∈（0，π），
∴ C= ；
（2）解： 由（1），结合正弦定理，得，
∴a=2sinA，b=2sinB=2sin（A+30°），
∴=4[sin2A+sin2(A+30°)]，
，
由得60°所以，
所以，
所以，
所以 的取值范围为.