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2025秋人教版九上数学第二十一章综合评价
时间：100分钟 满分：120分
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列方程是一元二次方程的是(C)
A．3x2＋y＝2 B．x2－＋1＝0 C．x2－5x＝3 D．x－3y＋1＝0
2．一元二次方程3x2－2＝4x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是(B)
A．3，4 B．3，－4 C．3，2 D．3，－2
3．已知m是方程x2－x－2＝0的一个根，则m2－m＋2 022的值为(A)
A．2 024 B．2 022 C．2 023 D．2 021
4．一元二次方程x2－8x－1＝0配方后为(A)
A．(x－4)2＝17 B．(x＋4)2＝15
C．(x＋4)2＝17 D．(x－4)2＝17或(x＋4)2＝17
5．已知a，b，c为常数，点P(a，c)在第四象限，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况是(A)
A．有两个不等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
6．若关于x的方程2x2－ax＋2b＝0的两根之和为4，两根之积为－3，则a，b的值分别为(D)
A．a＝－8，b＝－6 B．a＝4，b＝－3 C．a＝3，b＝8 D．a＝8，b＝－3
7．我国古代数学著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6 210 文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6 210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是(A)
A．3(x－1)x＝6 210 B．3(x－1)＝6 210
C．(3x－1)x＝6 210 D．3x＝6 210
8．规定：对于任意实数a，b，c，有【a，b】★c＝ac＋b，其中等式右边是通常的乘法和加法运算，如【2，3】★1＝2×1＋3＝5.若关于x的方程【x，x＋1】★(mx)＝0有两个不等的实数根，则m的取值范围为(D)
A．m< B．m>
C．m>且m≠0 D．m<且m≠0
9．三角形的每条边的长都是方程x2－6x＋8＝0的根，则三角形的周长是(D)
A．6或12 B．6或10 C．10或12 D．6或10或12
10．如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有下列结论：①若x＝－1是方程的根，则a－b＋c＝0；②若a＋b＋c＝0，则b2－4ac≥0；③若方程两根为－1和2，则2a＋c＝0；④若方程ax2＋c＝0有两个不等的实数根，则方程ax2＋bx＋c＝0必有两个不等的实数根．其中结论正确的个数有(D)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．若关于x的一元二次方程(m－2)x2＋3x＋m2－4＝0的常数项为0，则m的值为__－2__．
12．某班学生去参加义务劳动，其中一组到一果园摘梨子，第一个进园的学生摘了1个梨子，第二个学生摘了2个，第三个学生摘了3个……以此类推，后来的学生都比前面的学生多摘1个梨子，这样恰好平均每个学生摘了6个梨子，请问这组学生的人数为__11__人．
13．已知a，b是方程x2＋3x－4＝0的两根，则a2＋4a＋b－3＝__－2__．
14．如图，数轴上点A表示的数为3x＋1，点B表示的数为x2＋2x.若AB＝5，且点A在数轴的正半轴上，则x的值为__3__．
15．给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则我们称这个矩形是给定矩形的“减半矩形”，当已知矩形的长和宽分别为3＋和3－时，其“减半矩形”的对角线长为____．
三、解答题(共75分)
16．(6分)用适当的方法解下列方程：
(1)(x＋1)(x－2)＝x＋1；
解：x1＝－1，x2＝3；
(2)x2－16x＋18＝0.
解：x1＝8＋，x2＝8－.
17．(6分)已知关于x的一元二次方程x2－(2m－1)x＋3＝0.
(1)当m＝2时，判断方程根的情况；
(2)当m＝－2时，求出方程的根．
解：(1)当m＝2时，方程为x2－3x＋3＝0，Δ＝(－3)2－4×1×3＝－3＜0，∴此方程没有实数根；
(2)当m＝－2时，方程为x2＋5x＋3＝0，解得x＝，故方程的根为x1＝，x2＝.
18．(6分)小明同学解方程x2＋8x－9＝0的过程如下所示．
解方程：x2＋8x－9＝0.
解：x2＋8x＝9，…第一步
(x＋4)2＝9，…第二步
即x＋4＝3或x＋4＝－3，…第三步
所以x1＝－1，x2＝－7.…第四步
(1)小明同学是用__配方法__(填“配方法”“公式法”或“因式分解法”)来求解的．从第__二__步开始出现错误；
(2)请用不同于(1)中的方法解该方程．
解：(2)公式法：∵x2＋8x－9＝0，∴a＝1，b＝8，c＝－9.∴Δ＝b2－4ac＝82－4×1×(－9)＝100.∴x＝＝－4±5.∴x1＝1，x2＝－9；
因式分解法：∵x2＋8x－9＝0，∴(x－1)(x＋9)＝0.∴x－1＝0或x＋9＝0.∴x1＝1，x2＝－9.
19．(8分)为了切实让老百姓得到实惠，某种药品原价为200元/瓶，经过连续两次降价后，现仅卖98元/瓶，求该种药品平均每次降价的百分率．
解：设该种药品平均每次降价的百分率是x.由题意，得200(1－x)2＝98，解得x1＝1.7(不合题意，舍去)，x2＝0.3＝30%.
答：该种药品平均每次降价的百分率是30%.
20．(8分)已知关于x的一元二次方程x2＋3x＋k－2＝0有实数根．
(1)求实数k的取值范围；
(2)设方程的两个实数根分别为x1，x2，若(x1＋1)(x2＋1)＝－1，求k的值．
解：(1)∵关于x的一元二次方程x2＋3x＋k－2＝0有实数根，
∴Δ＝32－4×1×(k－2)≥0，解得k≤.
∴k的取值范围是k≤；
(2)∵方程x2＋3x＋k－2＝0的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1＋x2＝－3，x1x2＝k－2.
∵(x1＋1)(x2＋1)＝－1，
∴x1x2＋(x1＋x2)＋1＝－1，
即k－2＋(－3)＋1＝－1，
解得k＝3.∴k的值是3.
21．(8分)如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为14米)，围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃．为了方便出入，建造时，在BC上用其他材料做了宽为2米的两扇小门，在EF上用其他材料做了宽为1米的一扇小门．
(1)设花圃的一边AB长为x米，请用含x的代数式表示另一边AD的长为__(27－3x)__米；
(2)若此时花圃的面积刚好为54 m2，求此时花圃的长与宽．
解：(2)由(1)，得长为(27－3x)米，宽为x米，
∴x(27－3x)＝54，即x2－9x＋18＝0，
解得x1＝3，x2＝6.
当x＝3时，27－3x＝18>14，不合题意，舍去；
当x＝6时，27－3x＝9.
答：此时花圃的长为9米，宽为6米．
22．(10分)根据以下素材，探索完成任务.
素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个．
素材2 该工厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个．
续表
问题解决
任务1 求该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率；
任务2 为使月销售利润达到10 000元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少？
解：任务1：设该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为x.
根据题意，得100(1＋x)2＝144，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不符合题意，舍去).
答：该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为20%；
任务2：设该零件的实际售价应定为y元/个，则每个的销售利润为(y－30)元，月销售量为600－10(y－40)＝(1 000－10y) 个．
根据题意，得(y－30)(1 000－10y)＝10 000，
整理，得y2－130y＋4 000＝0，
解得y1＝50，y2＝80.
又∵要尽可能让车企得到实惠，
∴y＝50.
答：该零件的实际售价应定为50元/个．
23．(11分)请阅读下列材料：
问题：已知方程x2＋x－1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以x＝.把x＝代入已知方程，得2＋－1＝0.化简，得y2＋2y－4＝0.故所求方程为y2＋2y－4＝0.
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程：(要求：把所求方程化为一般形式)
(1)已知方程x2＋x－2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的3倍；
(2)已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
解：(1)设所求方程的根为y，则y＝3x，所以x＝y.
把x＝y代入方程x2＋x－2＝0，得
2＋y－2＝0，即y2＋3y－18＝0；
(2)由题意可知a≠0，设所求方程的根为y，则y＝(x≠0)，于是x＝(y≠0).
把x＝代入方程ax2＋bx＋c＝0，得a2＋b＋c＝0，
去分母，得a＋by＋cy2＝0.
若c＝0，则原方程为ax2＋bx＝0，
于是，方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为0，不合题意，
∴c≠0.
故所求方程为cy2＋by＋a＝0(c≠0，a≠0).
24．(12分)如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，AD＝2 cm，点P以2 cm/s的速度从点A出发，沿折线A－B－C向点C运动，同时点Q以1 cm/s的速度从点C出发，沿CD向点D运动，当其中一个动点到达终点时，另一点也随之停止运动．
(1)当点P在AB上运动时，设运动时间为x s，则AP＝__2x__cm，BP＝__(6－2x)__cm，CQ＝__x__cm，DQ＝__(6－x)__cm(用含x的代数式表示)；
(2)两动点运动几秒时，四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的？
(3)是否存在某一时刻，使得点P与点Q之间的距离为 cm？若存在，求出该时刻；若不存在，请说明理由．
解：(2)由题意可知此时点P应在AB上．由(1)得BP＝(6－2x) cm，CQ＝x cm，则有(x＋6－2x)×2＝2×6×，解得x＝；
(3)存在．设经过t s使得点P与点Q之间的距离为 cm.①当0综上所述，当t＝或时，点P与点Q之间的距离为 cm.
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2025秋人教版九上数学第二十一章综合评价
时间：100分钟 满分：120分
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列方程是一元二次方程的是(C)
A．3x2＋y＝2 B．x2－＋1＝0 C．x2－5x＝3 D．x－3y＋1＝0
2．一元二次方程3x2－2＝4x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是(B)
A．3，4 B．3，－4 C．3，2 D．3，－2
3．已知m是方程x2－x－2＝0的一个根，则m2－m＋2 022的值为(A)
A．2 024 B．2 022 C．2 023 D．2 021
4．一元二次方程x2－8x－1＝0配方后为(A)
A．(x－4)2＝17 B．(x＋4)2＝15
C．(x＋4)2＝17 D．(x－4)2＝17或(x＋4)2＝17
5．已知a，b，c为常数，点P(a，c)在第四象限，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况是(A)
A．有两个不等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
6．若关于x的方程2x2－ax＋2b＝0的两根之和为4，两根之积为－3，则a，b的值分别为(D)
A．a＝－8，b＝－6 B．a＝4，b＝－3 C．a＝3，b＝8 D．a＝8，b＝－3
7．我国古代数学著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6 210 文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6 210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是(A)
A．3(x－1)x＝6 210 B．3(x－1)＝6 210
C．(3x－1)x＝6 210 D．3x＝6 210
8．规定：对于任意实数a，b，c，有【a，b】★c＝ac＋b，其中等式右边是通常的乘法和加法运算，如【2，3】★1＝2×1＋3＝5.若关于x的方程【x，x＋1】★(mx)＝0有两个不等的实数根，则m的取值范围为(D)
A．m< B．m>
C．m>且m≠0 D．m<且m≠0
9．三角形的每条边的长都是方程x2－6x＋8＝0的根，则三角形的周长是(D)
A．6或12 B．6或10 C．10或12 D．6或10或12
10．如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有下列结论：①若x＝－1是方程的根，则a－b＋c＝0；②若a＋b＋c＝0，则b2－4ac≥0；③若方程两根为－1和2，则2a＋c＝0；④若方程ax2＋c＝0有两个不等的实数根，则方程ax2＋bx＋c＝0必有两个不等的实数根．其中结论正确的个数有(D)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．若关于x的一元二次方程(m－2)x2＋3x＋m2－4＝0的常数项为0，则m的值为__－2__．
12．某班学生去参加义务劳动，其中一组到一果园摘梨子，第一个进园的学生摘了1个梨子，第二个学生摘了2个，第三个学生摘了3个……以此类推，后来的学生都比前面的学生多摘1个梨子，这样恰好平均每个学生摘了6个梨子，请问这组学生的人数为__11__人．
13．已知a，b是方程x2＋3x－4＝0的两根，则a2＋4a＋b－3＝__－2__．
14．如图，数轴上点A表示的数为3x＋1，点B表示的数为x2＋2x.若AB＝5，且点A在数轴的正半轴上，则x的值为__3__．
15．给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则我们称这个矩形是给定矩形的“减半矩形”，当已知矩形的长和宽分别为3＋和3－时，其“减半矩形”的对角线长为____．
三、解答题(共75分)
16．(6分)用适当的方法解下列方程：
(1)(x＋1)(x－2)＝x＋1；
解：x1＝－1，x2＝3；
(2)x2－16x＋18＝0.
解：x1＝8＋，x2＝8－.
17．(6分)已知关于x的一元二次方程x2－(2m－1)x＋3＝0.
(1)当m＝2时，判断方程根的情况；
(2)当m＝－2时，求出方程的根．
解：(1)当m＝2时，方程为x2－3x＋3＝0，Δ＝(－3)2－4×1×3＝－3＜0，∴此方程没有实数根；
(2)当m＝－2时，方程为x2＋5x＋3＝0，解得x＝，故方程的根为x1＝，x2＝.
18．(6分)小明同学解方程x2＋8x－9＝0的过程如下所示．
解方程：x2＋8x－9＝0.
解：x2＋8x＝9，…第一步
(x＋4)2＝9，…第二步
即x＋4＝3或x＋4＝－3，…第三步
所以x1＝－1，x2＝－7.…第四步
(1)小明同学是用__配方法__(填“配方法”“公式法”或“因式分解法”)来求解的．从第__二__步开始出现错误；
(2)请用不同于(1)中的方法解该方程．
解：(2)公式法：∵x2＋8x－9＝0，∴a＝1，b＝8，c＝－9.∴Δ＝b2－4ac＝82－4×1×(－9)＝100.∴x＝＝－4±5.∴x1＝1，x2＝－9；
因式分解法：∵x2＋8x－9＝0，∴(x－1)(x＋9)＝0.∴x－1＝0或x＋9＝0.∴x1＝1，x2＝－9.
19．(8分)为了切实让老百姓得到实惠，某种药品原价为200元/瓶，经过连续两次降价后，现仅卖98元/瓶，求该种药品平均每次降价的百分率．
解：设该种药品平均每次降价的百分率是x.由题意，得200(1－x)2＝98，解得x1＝1.7(不合题意，舍去)，x2＝0.3＝30%.
答：该种药品平均每次降价的百分率是30%.
20．(8分)已知关于x的一元二次方程x2＋3x＋k－2＝0有实数根．
(1)求实数k的取值范围；
(2)设方程的两个实数根分别为x1，x2，若(x1＋1)(x2＋1)＝－1，求k的值．
解：(1)∵关于x的一元二次方程x2＋3x＋k－2＝0有实数根，
∴Δ＝32－4×1×(k－2)≥0，解得k≤.
∴k的取值范围是k≤；
(2)∵方程x2＋3x＋k－2＝0的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1＋x2＝－3，x1x2＝k－2.
∵(x1＋1)(x2＋1)＝－1，
∴x1x2＋(x1＋x2)＋1＝－1，
即k－2＋(－3)＋1＝－1，
解得k＝3.∴k的值是3.
21．(8分)如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为14米)，围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃．为了方便出入，建造时，在BC上用其他材料做了宽为2米的两扇小门，在EF上用其他材料做了宽为1米的一扇小门．
(1)设花圃的一边AB长为x米，请用含x的代数式表示另一边AD的长为__(27－3x)__米；
(2)若此时花圃的面积刚好为54 m2，求此时花圃的长与宽．
解：(2)由(1)，得长为(27－3x)米，宽为x米，
∴x(27－3x)＝54，即x2－9x＋18＝0，
解得x1＝3，x2＝6.
当x＝3时，27－3x＝18>14，不合题意，舍去；
当x＝6时，27－3x＝9.
答：此时花圃的长为9米，宽为6米．
22．(10分)根据以下素材，探索完成任务.
素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个．
素材2 该工厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个．
续表
问题解决
任务1 求该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率；
任务2 为使月销售利润达到10 000元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少？
解：任务1：设该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为x.
根据题意，得100(1＋x)2＝144，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不符合题意，舍去).
答：该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为20%；
任务2：设该零件的实际售价应定为y元/个，则每个的销售利润为(y－30)元，月销售量为600－10(y－40)＝(1 000－10y) 个．
根据题意，得(y－30)(1 000－10y)＝10 000，
整理，得y2－130y＋4 000＝0，
解得y1＝50，y2＝80.
又∵要尽可能让车企得到实惠，
∴y＝50.
答：该零件的实际售价应定为50元/个．
23．(11分)请阅读下列材料：
问题：已知方程x2＋x－1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以x＝.把x＝代入已知方程，得2＋－1＝0.化简，得y2＋2y－4＝0.故所求方程为y2＋2y－4＝0.
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程：(要求：把所求方程化为一般形式)
(1)已知方程x2＋x－2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的3倍；
(2)已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
解：(1)设所求方程的根为y，则y＝3x，所以x＝y.
把x＝y代入方程x2＋x－2＝0，得
2＋y－2＝0，即y2＋3y－18＝0；
(2)由题意可知a≠0，设所求方程的根为y，则y＝(x≠0)，于是x＝(y≠0).
把x＝代入方程ax2＋bx＋c＝0，得a2＋b＋c＝0，
去分母，得a＋by＋cy2＝0.
若c＝0，则原方程为ax2＋bx＝0，
于是，方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为0，不合题意，
∴c≠0.
故所求方程为cy2＋by＋a＝0(c≠0，a≠0).
24．(12分)如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，AD＝2 cm，点P以2 cm/s的速度从点A出发，沿折线A－B－C向点C运动，同时点Q以1 cm/s的速度从点C出发，沿CD向点D运动，当其中一个动点到达终点时，另一点也随之停止运动．
(1)当点P在AB上运动时，设运动时间为x s，则AP＝__2x__cm，BP＝__(6－2x)__cm，CQ＝__x__cm，DQ＝__(6－x)__cm(用含x的代数式表示)；
(2)两动点运动几秒时，四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的？
(3)是否存在某一时刻，使得点P与点Q之间的距离为 cm？若存在，求出该时刻；若不存在，请说明理由．
解：(2)由题意可知此时点P应在AB上．由(1)得BP＝(6－2x) cm，CQ＝x cm，则有(x＋6－2x)×2＝2×6×，解得x＝；
(3)存在．设经过t s使得点P与点Q之间的距离为 cm.①当0综上所述，当t＝或时，点P与点Q之间的距离为 cm.
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