/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
2025秋人教九上数学第二十一章测试卷
(时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列方程中，一定是一元二次方程的是( A )
A．x2－2＝0 B．x2＋y＝1
C．x－ ＝1 D．x2＋x＝x2＋1
2．用配方法解方程x2－4x＋1＝0，配方后的方程是( B )
A．(x＋2)2＝3 B．(x－2)2＝3
C．(x－2)2＝5 D．(x＋2)2＝5
3．一元二次方程x(x－2)＝x－2的解是( D )
A．x1＝x2＝0 B．x1＝x2＝1
C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝1，x2＝2
4．(2024·自贡)关于x的方程x2＋mx－2＝0根的情况是( A )
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
5．(2024·黑龙江)关于x的一元二次方程(m－2)x2＋4x＋2＝0有两个实数根，则m的取值范围是( D )
A．m≤4 B．m≥4
C．m≥－4且m≠2 D．m≤4且m≠2
6．(镇平县期中)已知a，b是一元二次方程x2＋x－8＝0的两个实数根，则代数式a2＋2a＋b－ab的值为( C )
A．－1 B．1 C．15 D．17
7．为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由15元降为9元，设平均每次降价的百分率是x，则根据题意，下列方程正确的是( A )
A．15(1－x)2＝9 B．15(1－2x)2＝9
C．15(1－x)＝9 D．15(1－2x)＝9
8．(黑龙江中考)如图，在长为100 m，宽为50 m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3 600 m2，则小路的宽是( A )
A.5 m
B．70 m
C．5 m或70 m
D．10 m
9．等腰三角形ABC中，BC＝8，AB，AC的长是关于x的方程x2－10x＋m＝0的两根，则m的值是( A )
A．16或25 B．16 C．25 D．5或8
10．(仙桃中考)关于x的方程x2＋2(m－1)x＋m2－m＝0有两个实数根α，β，且α2＋β2＝12，那么m的值为( A )
A．－1 B．－4 C．－4或1 D．－1或4
二、填空题(每小题3分，共15分)
11. 方程(x＋1)2＝9的根是__x1＝2，x2＝－4__．
12．(邵阳中考)我国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x步，则依题意列方程为__x(x＋12)＝864__．
13．(2024·成都)若m，n是一元二次方程x2－5x＋2＝0的两个实数根，则m＋(n－2)2的值为__7__．
14．对于实数m，n，先定义一种运算“ ”如下：m n＝若x (－2)＝10，则实数x的值为__3__．
15．(大庆中考)已知关于x的一元二次方程：x2－2x－a＝0，有下列结论：①当a＞－1时，方程有两个不相等的实根；②当a＞0时，方程不可能有两个异号的实根；③当a＞－1时，方程的两个实根不可能都小于1；④当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3.以上4个结论中，正确的有__①③④__．(填序号)
三、解答题(共75分)
16．(8分)解下列方程：
(1)(2x－5)2－2＝0; (2)(x＋1)(x－1)＝2x.
解：x1＝，x2＝ 解：x1＝＋，x2＝－
17．(9分)(广东中考)已知关于x，y的方程组与的解相同．
(1)求a，b的值；
(2)若一个三角形的一条边的长为2，另外两条边的长是关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．
解：(1)由题意得，关于x，y的方程组的相同解，也是方程组的解，解得把分别代入ax＋2y＝－10与x＋by＝15中，得a＝－4，b＝12
(2)当a＝－4，b＝12时，关于x的方程x2＋ax＋b＝0就变为x2－4x＋12＝0，解得x1＝x2＝2，又∵(2)2＋(2)2＝(2)2，∴以2，2，2为边的三角形是等腰直角三角形
18．(9分)(十堰中考)已知关于x的一元二次方程x2－2x－3m2＝0.
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根分别为α，β，且α＋2β＝5，求m的值．
解：(1)∵a＝1，b＝－2，c＝－3m2，∴Δ＝(－2)2－4×1×(－3m2)＝4＋12m2>0，∴方程总有两个不相等的实数根
(2)由题意，得解得∵αβ＝－3m2，∴－3m2＝－3，∴m＝±1，∴m的值为±1
19．(9分)已知 ABCD的两邻边AB，AD的长是关于x的一元二次方程x2－mx＋－＝0的两个实数根．
(1)当m为何值时，四边形ABCD是菱形？并求此时菱形的边长；
(2)当AB的长为2时， ABCD的周长是多少？
解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD.∵AB，AD的长是关于x的一元二次方程x2－mx＋－＝0的两个实数根，∴Δ＝(－m)2－4(－)＝m2－2m＋1＝0，解得m1＝m2＝1，∴方程为x2－x＋＝0，解得x1＝x2＝，∴菱形的边长为，∴当m＝1时， ABCD是菱形，此时菱形的边长为
(2)将x＝2代入x2－mx＋－＝0中，得4－2m＋－＝0，解得m＝，∴原方程为x2－x＋1＝0.∵AB，AD的长是关于x的一元二次方程x2－x＋1＝0的两个实数根，∴AB＋AD＝，∴平行四边形ABCD的周长＝2(AB＋AD)＝2×＝5
20．(9分)如图，某城建部门计划在新修的城市广场的一块矩形空地上修建一个面积为1 200 m2的停车场，将停车场四周余下的空地修建成同样宽的通道，已知矩形空地的长为50 m，宽为40 m.
(1)求通道的宽度；
(2)某公司希望用80万元的承包金额承揽修建广场的工程，城建部门认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以51.2万元达成一致，若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．
解：(1)设通道宽度为x m，依题意得(50－2x)(40－2x)＝1 200，即x2－45x＋200＝0，解得x1＝5，x2＝40(舍去)，答：通道的宽度为5 m (2)设每次降价的百分率为x，依题意得80(1－x)2＝51.2，解得x1＝0.2＝20%，x2＝1.8(舍去)，答：每次降价的百分率为20%
21．(10分)如图①，用篱笆靠墙围成矩形花圃ABCD，墙可利用的最大长度为15米，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围成，篱笆总长为24米．
(1)若围成的花圃面积为40平方米时，求AB的长；
(2)如图②，若计划在花圃中间再用一道篱笆隔成两个小矩形，且围成的花圃面积为50平方米，请你判断能否成功围成花圃？如果能，求AB的长；如果不能，请说明理由．
解：(1)设BC的长度为x米，则AB的长度为米，根据题意得x·＝40，整理得x2－24x＋80＝0，解得x1＝4，x2＝20.∵20＞15，∴x2＝20舍去．∴＝10(米).答：AB的长为10米
(2)不能围成，理由如下：设BC的长为y米，则AB的长为米，根据题意得y·＝50，整理得y2－24y＋150＝0.∵Δ＝(－24)2－4×1×150＝－24＜0，∴该方程无实数根，∴不能围成面积为50平方米的花圃
22．(10分)某商场以每件20元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于38元，经市场调查发现：该商品每天的销售量y(件)与每件售价x(元)之间符合一次函数关系，如图所示．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)该商场销售这种商品要想每天获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？
解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，把点(25，70)，点(35，50)代入，得解得故y与x之间的函数关系式为y＝－2x＋120(20≤x≤38)
(2)根据题意，得(x－20)(－2x＋120)＝600，整理，得x2－80x＋1 500＝0，解得x＝30或x＝50(不合题意，舍去)，答：每件商品的销售价应定为30元
23．(11分)如图，在矩形ABCD中，AB＝5 cm，BC＝6 cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1 cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2 cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t s.
(1)填空：BQ＝__2t_cm__，PB＝__(5－t)_cm__；(用含t的代数式表示)
(2)当t为何值时，PQ的长度等于5 cm
(3)是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26 cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
解：(2)由题意得(5－t)2＋(2t)2＝52，解得t1＝0(不合题意，舍去)，t2＝2，∴当t＝2 s时，PQ的长度等于5 cm
(3)存在，当t＝1 s时，能够使得五边形APQCD的面积等于26 cm2.理由如下：矩形ABCD的面积是5×6＝30(cm2)，若使得五边形APQCD的面积等于26 cm2，则△PBQ的面积为30－26＝4(cm2)，则(5－t)×2t×＝4，解得t1＝4(不合题意，舍去)，t2＝1，即当t＝1 s时，五边形APQCD的面积等于26 cm2
21世纪教育网(www.21cnjy.com)/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
2025秋人教九上数学第二十一章测试卷
(时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列方程中，一定是一元二次方程的是( A )
A．x2－2＝0 B．x2＋y＝1
C．x－ ＝1 D．x2＋x＝x2＋1
2．用配方法解方程x2－4x＋1＝0，配方后的方程是( B )
A．(x＋2)2＝3 B．(x－2)2＝3
C．(x－2)2＝5 D．(x＋2)2＝5
3．一元二次方程x(x－2)＝x－2的解是( D )
A．x1＝x2＝0 B．x1＝x2＝1
C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝1，x2＝2
4．(2024·自贡)关于x的方程x2＋mx－2＝0根的情况是( A )
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
5．(2024·黑龙江)关于x的一元二次方程(m－2)x2＋4x＋2＝0有两个实数根，则m的取值范围是( D )
A．m≤4 B．m≥4
C．m≥－4且m≠2 D．m≤4且m≠2
6．(镇平县期中)已知a，b是一元二次方程x2＋x－8＝0的两个实数根，则代数式a2＋2a＋b－ab的值为( C )
A．－1 B．1 C．15 D．17
7．为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由15元降为9元，设平均每次降价的百分率是x，则根据题意，下列方程正确的是( A )
A．15(1－x)2＝9 B．15(1－2x)2＝9
C．15(1－x)＝9 D．15(1－2x)＝9
8．(黑龙江中考)如图，在长为100 m，宽为50 m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3 600 m2，则小路的宽是( A )
A.5 m
B．70 m
C．5 m或70 m
D．10 m
9．等腰三角形ABC中，BC＝8，AB，AC的长是关于x的方程x2－10x＋m＝0的两根，则m的值是( A )
A．16或25 B．16 C．25 D．5或8
10．(仙桃中考)关于x的方程x2＋2(m－1)x＋m2－m＝0有两个实数根α，β，且α2＋β2＝12，那么m的值为( A )
A．－1 B．－4 C．－4或1 D．－1或4
二、填空题(每小题3分，共15分)
11. 方程(x＋1)2＝9的根是__x1＝2，x2＝－4__．
12．(邵阳中考)我国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x步，则依题意列方程为__x(x＋12)＝864__．
13．(2024·成都)若m，n是一元二次方程x2－5x＋2＝0的两个实数根，则m＋(n－2)2的值为__7__．
14．对于实数m，n，先定义一种运算“ ”如下：m n＝若x (－2)＝10，则实数x的值为__3__．
15．(大庆中考)已知关于x的一元二次方程：x2－2x－a＝0，有下列结论：①当a＞－1时，方程有两个不相等的实根；②当a＞0时，方程不可能有两个异号的实根；③当a＞－1时，方程的两个实根不可能都小于1；④当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3.以上4个结论中，正确的有__①③④__．(填序号)
三、解答题(共75分)
16．(8分)解下列方程：
(1)(2x－5)2－2＝0; (2)(x＋1)(x－1)＝2x.
解：x1＝，x2＝ 解：x1＝＋，x2＝－
17．(9分)(广东中考)已知关于x，y的方程组与的解相同．
(1)求a，b的值；
(2)若一个三角形的一条边的长为2，另外两条边的长是关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．
解：(1)由题意得，关于x，y的方程组的相同解，也是方程组的解，解得把分别代入ax＋2y＝－10与x＋by＝15中，得a＝－4，b＝12
(2)当a＝－4，b＝12时，关于x的方程x2＋ax＋b＝0就变为x2－4x＋12＝0，解得x1＝x2＝2，又∵(2)2＋(2)2＝(2)2，∴以2，2，2为边的三角形是等腰直角三角形
18．(9分)(十堰中考)已知关于x的一元二次方程x2－2x－3m2＝0.
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根分别为α，β，且α＋2β＝5，求m的值．
解：(1)∵a＝1，b＝－2，c＝－3m2，∴Δ＝(－2)2－4×1×(－3m2)＝4＋12m2>0，∴方程总有两个不相等的实数根
(2)由题意，得解得∵αβ＝－3m2，∴－3m2＝－3，∴m＝±1，∴m的值为±1
19．(9分)已知 ABCD的两邻边AB，AD的长是关于x的一元二次方程x2－mx＋－＝0的两个实数根．
(1)当m为何值时，四边形ABCD是菱形？并求此时菱形的边长；
(2)当AB的长为2时， ABCD的周长是多少？
解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD.∵AB，AD的长是关于x的一元二次方程x2－mx＋－＝0的两个实数根，∴Δ＝(－m)2－4(－)＝m2－2m＋1＝0，解得m1＝m2＝1，∴方程为x2－x＋＝0，解得x1＝x2＝，∴菱形的边长为，∴当m＝1时， ABCD是菱形，此时菱形的边长为
(2)将x＝2代入x2－mx＋－＝0中，得4－2m＋－＝0，解得m＝，∴原方程为x2－x＋1＝0.∵AB，AD的长是关于x的一元二次方程x2－x＋1＝0的两个实数根，∴AB＋AD＝，∴平行四边形ABCD的周长＝2(AB＋AD)＝2×＝5
20．(9分)如图，某城建部门计划在新修的城市广场的一块矩形空地上修建一个面积为1 200 m2的停车场，将停车场四周余下的空地修建成同样宽的通道，已知矩形空地的长为50 m，宽为40 m.
(1)求通道的宽度；
(2)某公司希望用80万元的承包金额承揽修建广场的工程，城建部门认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以51.2万元达成一致，若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．
解：(1)设通道宽度为x m，依题意得(50－2x)(40－2x)＝1 200，即x2－45x＋200＝0，解得x1＝5，x2＝40(舍去)，答：通道的宽度为5 m (2)设每次降价的百分率为x，依题意得80(1－x)2＝51.2，解得x1＝0.2＝20%，x2＝1.8(舍去)，答：每次降价的百分率为20%
21．(10分)如图①，用篱笆靠墙围成矩形花圃ABCD，墙可利用的最大长度为15米，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围成，篱笆总长为24米．
(1)若围成的花圃面积为40平方米时，求AB的长；
(2)如图②，若计划在花圃中间再用一道篱笆隔成两个小矩形，且围成的花圃面积为50平方米，请你判断能否成功围成花圃？如果能，求AB的长；如果不能，请说明理由．
解：(1)设BC的长度为x米，则AB的长度为米，根据题意得x·＝40，整理得x2－24x＋80＝0，解得x1＝4，x2＝20.∵20＞15，∴x2＝20舍去．∴＝10(米).答：AB的长为10米
(2)不能围成，理由如下：设BC的长为y米，则AB的长为米，根据题意得y·＝50，整理得y2－24y＋150＝0.∵Δ＝(－24)2－4×1×150＝－24＜0，∴该方程无实数根，∴不能围成面积为50平方米的花圃
22．(10分)某商场以每件20元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于38元，经市场调查发现：该商品每天的销售量y(件)与每件售价x(元)之间符合一次函数关系，如图所示．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)该商场销售这种商品要想每天获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？
解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，把点(25，70)，点(35，50)代入，得解得故y与x之间的函数关系式为y＝－2x＋120(20≤x≤38)
(2)根据题意，得(x－20)(－2x＋120)＝600，整理，得x2－80x＋1 500＝0，解得x＝30或x＝50(不合题意，舍去)，答：每件商品的销售价应定为30元
23．(11分)如图，在矩形ABCD中，AB＝5 cm，BC＝6 cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1 cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2 cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t s.
(1)填空：BQ＝__2t_cm__，PB＝__(5－t)_cm__；(用含t的代数式表示)
(2)当t为何值时，PQ的长度等于5 cm
(3)是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26 cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
解：(2)由题意得(5－t)2＋(2t)2＝52，解得t1＝0(不合题意，舍去)，t2＝2，∴当t＝2 s时，PQ的长度等于5 cm
(3)存在，当t＝1 s时，能够使得五边形APQCD的面积等于26 cm2.理由如下：矩形ABCD的面积是5×6＝30(cm2)，若使得五边形APQCD的面积等于26 cm2，则△PBQ的面积为30－26＝4(cm2)，则(5－t)×2t×＝4，解得t1＝4(不合题意，舍去)，t2＝1，即当t＝1 s时，五边形APQCD的面积等于26 cm2
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
