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第14章 全等三角形
14.3 角的平分线
第1课时 角平分线的性质
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
情境导入
如图所示的是一个平分角的仪器,其中AB =AD,BC =DC,将点A 放在角的顶点,AB 和AD 沿着角的两边放下,沿AC 画一条射线AE,AE 就是∠DAB 的平分线.你能说明它的道理吗?
A
B
D
C
E
A
B
D
E
C
如图所示的是一个平分角的仪器,其中AB =AD,BC =DC,
将点A 放在角的顶点,AB 和AD 沿着角的两边放下,沿AC 画一条射线AE,AE 就是∠DAB 的平分线.你能说明它的道理吗?
在△POM和△PON中,
所以△ADC≌△ABC(SAS),
所以∠DAC= ∠BAC.
所以AE是∠DAB的平分线.
新知初探
贰
新知初探
任务一 探究用尺规作已知角的平分线
(1)如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上一点,M,N分别是OA,OB上的点,探究PM与PN的关系.
A
O
B
C
P
M
N
当OM与ON满足什么关系时,PM=PN
OM=ON
证明:因为OC是∠AOB的平分线,
所以∠POM=∠PON,
在△POM和△PON中,
所以△POM≌△PON(SAS),
所以PM=PN.
活动1
A
O
B
P
M
N
(2)如图,M,N分别是∠AOB的的边OA,OB上的点,OM=ON,
点P在∠AOB的内部,PM=PN.
连接OP,OP是∠AOB的平分线吗?为什么
OP就是∠AOB 的平分线.
∠POM=∠PON
△POM≌△PON
OM=ON,OP=OP,PM=PN,
【思考】从上面的探究过程,你受到哪些启发?
请大家找到用尺规作角的平分线的方法,并说明作图方法与仪器的关系.
做一做
已知: ∠AOB.
求作:∠AOB的平分线.
A
B
O
A
B
M
N
C
O
仔细观察步骤
作角平分线是最基本的尺规作图,大家一定要掌握噢!
作法:
(1)以点O为圆心,适当长为半径画弧,交OA于点M,交OB于点N.
(2)分别以点M,N为圆心,大于 MN的长为半径画弧,两弧在∠AOB的内部相交于点C.
(3)画射线OC.射线OC即为所求.
半径小于 MN或等于 MN,可以吗?
任务二 探究角平分线的性质
(1)利用尺规我们可以作一个角的平分线,
那么角的平分线有什么性质呢?
猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
如图,任意作一个角∠AOB,作出∠AOB的平分线OC,在OC 上任取一点P,过点P 画出OA,OB 的垂线,分别记垂足为D,E,通过动画演示,观察PD、PE并作比较,你得到什么结论?
活动1
问题3 如何证明这个猜想?
猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
已知:如图,OC是∠AOB的角平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.
求证:PD =PE.
PD=PE
△PDO≌△PEO
PD⊥OA,PE⊥OB
OC是∠AOB的角平分线
∠PDO=∠PEO
∠POD=∠POE
OP=OP
已知:如图,OC是∠AOB的角平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.
求证:PD =PE.
证明:因为PD⊥OA,PE⊥OB,
所以∠PDO=∠PEO,
因为OC是∠AOB的角平分线,
所以∠POD=∠POE,
在△POD与△POE中,
所以△POD≌△POE(AAS),
所以PD=PE.
问题3 如何证明这个猜想?
猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
性质定理:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
应用所具备的条件:
(1)角的平分线;
(2)点在该平分线上;
(3)垂直距离.
定理的作用:
证明线段相等.
应用格式:
因为OP 是∠AOB的平分线,
所以PD = PE
(角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等).
推理的理由有三个,必须写完全,不能少了任何一个.
PD⊥OA,PE⊥OB,
(3)由角的平分线的性质的证明过程,你能
概括出证明几何命题的一般步骤吗?
(2)根据题意,画出图形,并用符号表示已知和求证;
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
(题设)
(结论)
已知:如图,OC是∠AOB的角平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.
(1)明确命题中的已知和求证;
(3)经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程.
求证:PD =PE.
(1)所画图形应符合题意,并具有一般性和代表性.在画图的时候要考虑是否存在不同的情形,若存在,则要分别画出图形,再分别进行证明;
(2)证明过程中的每一步推理都要有依据,比如:已知条件、定义、定理等.
范例应用
A
B
C
D
E
F
证明: 因为AD是∠BAC的角平分线, DE⊥AB, DF⊥AC,
所以 DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中,
DE=DF,
BD=CD,
所以 Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).
所以 EB=FC.
例题 如图所示,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,
DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E,F.求证:EB=FC.
分析:先利用角平分线的性质定理得到DE=DF,再利用“HL”证明Rt△BDE ≌ Rt△CDF.
即时测评
1.如图,已知BG是∠ABC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F,DE=6,则DF的长度是( )
(A)2 (B)3 (C)4 (D)6
2.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,∠ABC的平分线BD交AC于点D,AD=3,BC=10,则△BDC的面积是 .
D
15
当堂达标
叁
当堂达标
2.如图所示,在△ABC中,AB = AC,AD是∠BAC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E、F,则下列四个结论:①AD 上任意一点到点C、点B的距离相等;②AD上任意一点到AB,AC的距离相等;③BD = CD,AD⊥BC;④∠BDE =∠CDF.其中,正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.在△ABC中, ∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是 .
D
1.如图所示,OP平分∠AOB,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别是C、D.下列结论中错误的是( )
A.PC = PD B.OC = OD C.∠CPO =∠DPO D.OC = PO
D
3
解:点E即为所求,如图所示.
4.如图所示,四边形ABCD,在CD上求作一点E,使点E到射线AD与射线AB的距离相等.
5.如图AB=AC,BD=CD,DE⊥BA,点E为垂足,DF⊥AC,
点F为垂足,求证:DE=DF.
证明:在△ABD和△ACD中,
所以△ABD≌△ACD(SSS).
所以∠BAD=∠CAD.
因为DE⊥BA,DF⊥AC,
所以DE=DF.
课堂小结
肆
课堂小结
角的平分线的性质
会用尺规作图法画出一个已知角的平分线
性质
应用
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
利用角的平分线的性质解决计算与证明题
命题的证明的一般步骤
课后作业
基础题:1.课后习题 第 1,2题。
提高题:2.请学有余力的同学完成课后习题第7题
谢
谢