14.3 角的平分线 第1课时 角平分线的性质 课件(共26张PPT) 2025-2026学年数学人教版八年级上册

(共26张PPT)
第14章 全等三角形
14.3 角的平分线
第1课时 角平分线的性质
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
情境导入
如图所示的是一个平分角的仪器，其中AB =AD，BC =DC，将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE，AE 就是∠DAB 的平分线．你能说明它的道理吗？
A
B
D
C
E
A
B
D
E
C
如图所示的是一个平分角的仪器，其中AB =AD，BC =DC，
将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE，AE 就是∠DAB 的平分线．你能说明它的道理吗？
在△POM和△PON中,
所以△ADC≌△ABC(SAS),
所以∠DAC= ∠BAC.
所以AE是∠DAB的平分线.
新知初探
贰
新知初探
任务一　探究用尺规作已知角的平分线
　 (1)如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，M,N分别是OA,OB上的点，探究PM与PN的关系.
A
O
B
C
P
M
N
当OM与ON满足什么关系时,PM=PN
OM=ON
证明：因为OC是∠AOB的平分线，
所以∠POM=∠PON,
在△POM和△PON中,
所以△POM≌△PON(SAS),
所以PM=PN.
活动1
A
O
B
P
M
N
(2)如图，M,N分别是∠AOB的的边OA,OB上的点，OM=ON，
点P在∠AOB的内部，PM=PN.
连接OP，OP是∠AOB的平分线吗？为什么
OP就是∠AOB 的平分线．
∠POM=∠PON
　△POM≌△PON
OM=ON，OP=OP，PM=PN,
【思考】从上面的探究过程，你受到哪些启发？
请大家找到用尺规作角的平分线的方法，并说明作图方法与仪器的关系.
做一做
已知: ∠AOB.
求作：∠AOB的平分线.
A
B
O
A
B
M
N
C
O
仔细观察步骤
作角平分线是最基本的尺规作图，大家一定要掌握噢!
作法：
（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.
（2）分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.
（3）画射线OC.射线OC即为所求.
半径小于 MN或等于 MN，可以吗？
任务二 探究角平分线的性质
(1)利用尺规我们可以作一个角的平分线，
那么角的平分线有什么性质呢？
猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
如图，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC，在OC 上任取一点P，过点P 画出OA，OB 的垂线，分别记垂足为D，E，通过动画演示，观察PD、PE并作比较，你得到什么结论？
活动1
问题3 如何证明这个猜想？
猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
已知：如图，OC是∠AOB的角平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．
求证：PD =PE．
PD=PE
△PDO≌△PEO
PD⊥OA，PE⊥OB
OC是∠AOB的角平分线
∠PDO=∠PEO
∠POD=∠POE
OP=OP
已知：如图，OC是∠AOB的角平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．
求证：PD =PE．
证明：因为PD⊥OA，PE⊥OB，
所以∠PDO=∠PEO，
因为OC是∠AOB的角平分线，
所以∠POD=∠POE，
在△POD与△POE中，
所以△POD≌△POE(AAS),
所以PD=PE.
问题3 如何证明这个猜想？
猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
应用所具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离.
定理的作用：
证明线段相等.
应用格式：
因为OP 是∠AOB的平分线，
所以PD = PE
（角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.
推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.
PD⊥OA,PE⊥OB，
(3)由角的平分线的性质的证明过程，你能
概括出证明几何命题的一般步骤吗？
（2）根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
(题设)
(结论)
已知：如图，OC是∠AOB的角平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．
（1）明确命题中的已知和求证；
（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．
求证：PD =PE．
（1）所画图形应符合题意，并具有一般性和代表性.在画图的时候要考虑是否存在不同的情形，若存在，则要分别画出图形，再分别进行证明；
（2）证明过程中的每一步推理都要有依据，比如：已知条件、定义、定理等.
范例应用
A
B
C
D
E
F
证明： 因为AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB, DF⊥AC，
所以 DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，
DE=DF，
BD=CD，
所以 Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).
所以 EB=FC.
例题 如图所示，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD,
DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E,F.求证：EB=FC.
分析：先利用角平分线的性质定理得到DE=DF，再利用“HL”证明Rt△BDE ≌ Rt△CDF.
即时测评
1.如图,已知BG是∠ABC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F,DE=6,则DF的长度是(　　)
(A)2 (B)3 (C)4 (D)6
2.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,∠ABC的平分线BD交AC于点D,AD=3,BC=10,则△BDC的面积是　 　.
D
15
当堂达标
叁
当堂达标
2.如图所示，在△ABC中，AB = AC，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，则下列四个结论：①AD 上任意一点到点C、点B的距离相等；②AD上任意一点到AB，AC的距离相等；③BD = CD，AD⊥BC；④∠BDE =∠CDF．其中，正确的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.在△ABC中, ∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是 .
D
1.如图所示，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D．下列结论中错误的是（ ）
A.PC = PD B.OC = OD C.∠CPO =∠DPO D.OC = PO
D
3
解:点E即为所求,如图所示.
4.如图所示,四边形ABCD,在CD上求作一点E，使点E到射线AD与射线AB的距离相等.
5.如图AB=AC,BD=CD,DE⊥BA,点E为垂足,DF⊥AC,
点F为垂足,求证:DE=DF.
证明:在△ABD和△ACD中,
所以△ABD≌△ACD(SSS).
所以∠BAD=∠CAD.
因为DE⊥BA,DF⊥AC,
所以DE=DF.
课堂小结
肆
课堂小结
角的平分线的性质
会用尺规作图法画出一个已知角的平分线
性质
应用
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
利用角的平分线的性质解决计算与证明题
命题的证明的一般步骤
课后作业
基础题：1.课后习题 第 1,2题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第7题
谢
谢