16.3.1　平方差公式 课件(共31张PPT) 2025-2026学年数学人教版八年级上册

(共31张PPT)
第16章 整式的乘法
16.3　乘法公式
16.3.1　平方差公式
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
情境导入
有一个狡猾的地主,把一边长为a米的正方形土地租给王大爷种植．第二年他对王大爷说: “我把这块地的一边增加1米, 另一边减少1米,继续租给你,你看如何？”王大爷没细想就答应了．回到家中,就把这件事和邻居讲了,邻居说:“王大爷您明年租的土地面积变小了.”王大爷非常吃惊．同学们,你能告诉王大爷这是为什么吗？
新知初探
贰
新知初探
后来的面积为(a+1)(a-1)
所以面积变小了
任务一　探究平方差公式
活动1
思考
为什么邻居觉得王大爷租的土地面积变小了？
原来的面积为a2
=a2-a+a-a
=a2-1
思考
为什么邻居觉得王大爷租的土地面积变小了？
a米
a米
a米
a米
原来
后来
你能用图形割补的方法来解答王大爷 的土地面积变小的原因吗？
归纳总结
a2
从代数角度——多项式乘以多项式
？
a米
a米
(a+1)米
(a-1)米
a2
从几何角度——图形的面积
(a+1)(a-1)= a2
a米
a米
归纳总结
a米
a米
前边我们学习了整式的乘法，知道了多项式与多项式相乘的法则．根据所学知识,计算下列多项式的积,你能发现什么规律？
（1） = 　 ；
（2） = ；
（3） = 　．
活动2
你能发现它们的运算形式与结果有什么规律
(1)(x+1)(x-1)= x2 -1 ;
(2)(m+2)(m-2)= m2 -4 ;
(3)(2x+1)(2x-1)= 4x2-1 .
问题1 等式的左边有什么特点？两个多项式是什么运算？
两个数的和乘以这两个数的差
问题2 等式的右边有什么特点？
平方差形式
问题3 你能从以上3个等式发现了什么规律？能否用字母来表示？
(a+b)(a-b)=a2-b2.
你能发现它们的运算形式与结果有什么规律
(1)(x+1)(x-1)= x2 -1 ;
(2)(m+2)(m-2)= m2 -4 ;
(3)(2x+1)(2x-1)= 4x2-1 .
问题4 你能证明(a+b)(a-b)=a2-b2吗？
(a+b)(a-b)
利用图形的面积证明
=a2-ab+ab-b2
= a2-b2
证明猜想
从代数角度
从几何角度
a
a
b
b
a2-b2
a
b
b
b
(a+b)(a-b)=a2-b2
a-b
a-b
(a+b)(a-b)
你能用图形的面积说明平方差公式吗？
(a+b)(a-b)=
a2-b2
两个数的和与这两个数的差的积, 等于这两个数的平方差.
公式变形:
1.（a – b ) ( a + b) = a2 - b2
2.（b + a )( -b + a ) = a2 - b2
平方差公式
平方差公式
注：这里的两数可以是两个单项式也可以是两个多项式等．
(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2
相同为a
相反为b，-b
适当交换
合理加括号
【归纳总结】平方差公式的结构特点
1．等号左边：
(1)两个二项式的积；
(2)两个二项式中有相同项和相反项．
2．等号右边：
(1)二项式；
(2)相同项的平方减去相反项的平方．
范例应用
解：（1）
例1　运用平方差公式计算：
（1）（3x+2）(3x-2); （2）(-x+2y)(-x-2y) .
（2）
方法总结：应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；
(3)公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式．
即时测评
1
x
-3
a
12-x2
(-3)2-a2
a
1
a2-12
0.3x
1
( 0.3x)2-12
(1+x)(1-x)
(-3+a)(-3-a)
(0.3x-1)(1+0.3x)
(1+a)(-1+a)
a
b
a2-b2
(a-b)(a+b)
利用平方差公式填表。
填一填
范例应用
解:(1) (x-1)(x+1)(x2+1)
=(x2-1)(x2+1)
=x4-1.
例2 计算:
(1)(x-1)(x+1)(x2+1);
平方差公式可以多次应用.
例2 计算:
(2) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5);
(3) 102×98.
解：(2) (y+2)(y-2)- (y-1)(y+5)
= y2-22-(y2+4y-5)
= y2-4-y2-4y+5
= - 4y + 1.
不符合平方差公式运算条件的乘法，按乘法法则进行运算.
(3) 102×98
= 1002-22
=10000 – 4
=（100＋2）(100－2)
=9996；
通过合理变形，利用平方差公式，可以简化运算.
即时测评
计算:
(1) 51×49; (2)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2) .
解: (1) 原式=（50＋1）(50－1)
= 502-12
=2500 – 1
=2499；
(2) 原式=(3x)2-42-(6x2+5x-6)
= 9x2-16-6x2-5x+6
= 3x2-5x-10.
当堂达标
叁
当堂达标
1.下列各式中不能用平方差公式计算的是（ ）
A.(m-n)(-m-n) B.(x3-y3)(y3+x3)
C.(-m+n)(m-n) D.(2x-3)(3+2x)
2.在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是( )
A.(x+1)(1+x) B.( 0.1a+b)(b- 0.1 a)
C.(-a+b)(a-b) D.(x2-y)(x+y2)
3.用平方差公式计算(a+2)(a-2)(a2+4)的结果正确的是( )
A.a4-16 B.a4+16 C.(a-1)4 D.(a+1)4
4.对于任意整数m，能整除代数式(m+3)(m-3)-(m-2)(m+2)的整数是（ ）A.4 B.3 C.5 D. 2
C
B
A
C
（1）（3a+2b）（3a-2b） （2）（-3x-5y）（-3x+5y）
（3）101×99 （4）（a-b）（a+b）（a2+b2）
5.用平方差公式计算:
（2）（-3x-5y）（-3x+5y）=（-3x）2-(5y)2=9x2-25y2;
解：（1）（3a+2b）（3a-2b）=（3a）2-（2b）2=9a2-4b2；
（3）101×99=(100+1)(100-1)=1002-1=10000-1=9999;
（4）（a-b）（a+b）（a2+b2）=(a2-b2)(a2+b2)=a4-b4.
6.先化简，再求值：(x+1)(x–1) +x2(1–x) +x3，
其中x＝2.
解：原式=x2–1＋x2–x3＋x3
=2x2–1.
将x＝2代入上式，
原式=2×22–1=7.
课堂小结
肆
课堂小结
平方差公式
内容
注意
两个数的 与这两个数的 ，等于这两个数的
1.符号表示：
2.紧紧抓住 “一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；对于不能直接应用公式的，可能要经过变形才可以应用.
和
平方差.
差的积
(a+b)(a–b)=a2–b2
课后作业
基础题：1.课后习题 第 1题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第8题
谢
谢