16.3.2　完全平方公式 第1课时 完全平方公式 课件(共33张PPT) 2025-2026学年数学人教版八年级上册

(共33张PPT)
第16章 整式的乘法
16.3.2　完全平方公式
第1课时 完全平方公式
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
情境导入
上节课我们已经探究了一种特殊形式的多项式乘法， 是什么公式呢？
两数之和乘以两数之差等于两数的平方差.
平方差公式
.
问题 1 运用平方差公式计算:
(1)(2a+3b)(2a-3b);
(2)101×99.
解：(1)(2a+3b)(2a-3b)=(2a)2-(3b)2=4a2-9b2.
(2)101×99
=(100+1)(100-1)
=1002-12
=10000-1
=9999.
平方差公式
.
转化的数学思想
问题 2 你能迅速算出1022的结果吗？992呢？
新知初探
贰
新知初探
任务一　探究完全平方公式
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
(1) (p+1)2=(p+1)(p+1)= .
p2+2p+1
(2) (m+2)2=(m+2)(m+2)= .
m2+4m+4
(3) (p–1)2=(p–1)(p–1)= .
p2–2p+1
(4) (m–2)2=(m–2)(m–2)= .
m2–4m+4
问题1
活动1
比较式子等号的左右两边， 你发现了什么规律吗？
根据你发现的规律，你能写出下列式子的答案吗？
(a+b)2= .
a2+2ab+b2
(a–b)2= .
a2–2ab+b2
问题2
我发现等号左边是 两数和（差）的平方，
等号右边是
两数的平方和加（减）这两数的积的两倍.
(a+b)2 =
(a-b)2 =
a2+2ab+b2
a2-2ab+b2
完全平方公式
（a+b)2= .
a2+2ab+b2
（a-b)2= .
a2-2ab+b2
也就是说，两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.这两个公式叫作（乘法的）完全平方公式.
简记为：“首平方，尾平方，积的2倍放中间”
知识要点
完全平方公式
公式特点：1.积为三项
其中两项为两数的平方，用加号连接
是两数积的2倍
中间项
此项符号与等式左边两数间的符号相同
2.公式中的字母a，b 可以表示单项式、多项式.
公式中的a,b只能表示数吗？
(a+b)2 =
(a-b)2 =
a2+2ab+b2
a2-2ab+b2
你能验证完全平方公式吗？有哪些验证方法？
(1)用多项式乘法证明
活动2
(2)借助几何图形推导完全平方公式
上面就是两数和的完全平方公式.
两个数的和的平方，等于它们的平方和，加上它们的积的2倍.
证明猜想
用多项式乘法证明
证明猜想
用多项式乘法证明
两数差的完全平方公式是什么？
（1）你能用多项式的乘法法则来说明这个公式成立吗？
（2）小颖写出了如下的算式：(a-b)2=[a+(-b)]2,她是怎么想的？你能继续做下去吗？
证明猜想
借助几何图形推导
问题 你能根据下图中的面积说明完全平方公式吗
设大正方形ABCD的面积为S.
S= =S1+S2+S3+S4= .
(a+b)2
a2+b2+2ab
S1
S2
S3
S4
证明
几何解释:
a
a
b
b
=
+
+
+
a2
ab
ab
b2
（a+b)2= .
a2+2ab+b2
和的完全平方公式：
a2
ab
b(a b)
=
a2 2ab+b2 .
=
(a b)2
a b
a b
a
a
ab
b(a b)
b
b
(a b)2
几何解释:
（a-b)2= .
a2-2ab+b2
差的完全平方公式：
即时测评
下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？
(1)(x+y)2=x2 +y2
(2)(x –y)2 =x2 –y2
(3) (–x +y)2 =x2+2xy +y2
(4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2
×
×
×
×
(x +y)2 =x2+2xy +y2
(x –y)2 =x2 –2xy +y2
(–x +y)2 =x2 –2xy +y2
(2x +y)2 =4x2+4xy +y2
想一想
范例应用
例1 运用完全平方公式计算：
解: (4m+n)2=
=16m2
(1)(4m+n)2；
(a +b)2= a2 + 2 ab + b2
(4m)2
+2 (4m) n
+n2
+8mn
+n2；
谁是公式中的 a 和 b 呢？？
小铭同学是这样计算的，他做的对吗？如果不对，正确的做法是什么？
=
(a - b)2 = a2 - 2 ab + b2
y2
=y2
-y
+
解：
+
-2 y
例1 (2)
y2
-
-2 y
=y2
-y
-
解： =
即时测评
利用完全平方公式计算：
(1)(5－a)2； (2)(－3m－4n)2； (3)(－3a＋b)2.
(3)(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2.
解：(1)(5－a)2＝25－10a＋a2；
(2)(－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2；
(1) 1022；
解： 1022
= (100+2)2
=10000+400+4
=10404.
(2) 992.
992
=9801.
例2 运用完全平方公式计算：
归纳总结：运用完全平方公式进行简便计算，要熟记完全平方公式的特征，将原式转化为能利用完全平方公式的形式．
= (100 –1)2
=10000 -200+1
解：（1）相等，因为：
方法一 ：(-a-b)2=(-a)2-2(-a) b+b2
=a2+2ab+b2
=(a+b)2.
方法二:(-a-b) =[-(a+b)]2
=(a+b)
（1）（a+b）2=(-a-b)2相等吗？
（2）（a-b）2=(b-a)2相等吗？
思
考
（2）相等，因为：
方法一 ：(b-a)2=b2-2b a+a2
=a2-2ab+b2
=(a-b)2.
方法二:(b-a) =[-(a-b)]2
=(a-b) .
我发现
当堂达标
叁
当堂达标
1.计算：(2x-y)2=（　　）
A.4x2-4xy+y2 B.4x2-2xy+y2 C.4x2-y2 D.4x2+y2
2.将1052变形正确的是（ ）
A.1052=1002+52 B.1052=(100-5)(100+5)
C.1052=1002+2×100×5+52 D.1052=1002+100×5+52
3.若(3x-a)2=9x2-bx+16，则a+b的值为（ ）.
A.28 B.-28 C.24或-24 D.28或-28
4.下列变形中：①(b－4c)2＝b2－16c2；②(a－2bc)2＝a2＋4abc＋4b2c2；
③(x＋y)2＝x2＋xy＋y2；④(4m－n)2＝16m2－8mn＋n2.错误的是(　　)
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
A
C
D
A
解：(1) (-2m-n)2
=(2m+n)2
=(2m)2+2·2m·n+n2
=4m2+4mn+n2 ；
(2) (2x+3y)(-2x-3y)
=-(2x+3y)2
=-[(2x)2+2·2x·3y+(3y)2]
=-4x2-12xy-9y2 .
5.计算：(1) (-2m-n)2 ； (2) (2x+3y)(-2x-3y) .
6.若a+b=5,ab=-6, 求a2+b2,a2-ab+b2.
解：a2+b2=（a+b)2-2ab=52-2×(-6)=37；
a2-ab+b2=a2+b2-ab=37-(-6)=43.
课堂小结
肆
课堂小结
完全平方公式
法则
注意
(a±b)2= a2 ±2ab+b2
1.项数、符号、字母及其指数
2.不能直接应用公式进行计算的式子，可能需要先添括号变形成符合公式的要求才行
常用
结论
3.弄清完全平方公式和平方差公式不同（从公式结构特点及结果两方面）
a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab;
4ab=(a+b)2-(a-b)2.
课后作业
基础题：1.课后习题 第 2题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第6题
谢
谢