22.1.1 二次函数 教案 人教版数学九年级上册

22.1.1 二次函数
一、教学目标
1.理解二次函数的概念，掌握二次函数的一般形式y = ax + bx + c（a，b，c是常数，a≠0）。
2.能够根据实际问题列出二次函数的表达式，并确定自变量的取值范围。
3.判断一个函数是否为二次函数，能识别二次函数各项的系数。
4.通过对实际问题的分析和建模，经历从具体情境中抽象出二次函数概念的过程，体会数学建模的思想。
5.在探究二次函数概念的过程中，培养学生观察、比较、分析、归纳和概括的能力，发展学生的数学思维。
二、教学重难点
教学重点
1.二次函数的概念及一般形式。
2.能够根据实际问题列出二次函数表达式。
教学难点
1.从实际问题中抽象出二次函数的模型，确定自变量的取值范围。
2.理解二次函数概念中 “a≠0” 这一条件的必要性。
三、教学方法
1.讲授法：通过清晰的讲解，向学生传授二次函数的概念、一般形式等重要知识点，确保学生对基础知识有准确的理解。
2.讨论法：组织学生对实际问题进行讨论，引导学生相互交流、启发，共同探索如何从问题中抽象出二次函数关系，培养学生的合作能力和思维能力。
3.练习法：安排针对性的练习题，让学生在练习中巩固对二次函数概念的理解，掌握列出二次函数表达式的方法，及时发现和解决学生存在的问题。
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
1.回顾旧知
提问：“同学们，我们之前学过哪些函数呢？” 引导学生回忆一次函数y = kx + b（k≠0）和正比例函数y = kx（k≠0）的形式及特点。
展示一些一次函数和正比例函数的表达式，让学生判断并说明理由，复习函数的定义和相关性质。
2.创设情境
展示一些生活中的实际问题情境图片或视频，如喷泉的水流轨迹、投篮时篮球的运动轨迹、桥梁的形状等。
提出问题：“这些生活中的现象都可以用数学中的函数来描述，那它们所对应的函数是我们之前学过的一次函数或正比例函数吗？今天我们就来探究一种新的函数。”
（二）讲授新课（25 分钟）
1.问题探究
问题 1：用 16m 长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔，怎样围可使小兔的活动范围最大？设长方形的长为xm，面积为ym ，试写出y与x之间的函数关系式。
引导学生分析：长方形的长为xm，因为篱笆长 16m，所以宽为(8 - x)m，根据长方形面积公式可得y = x(8 - x)= -x + 8x。
问题 2：正方体的棱长为x，表面积为y，写出y与x之间的函数关系式。
学生容易得出：y = 6x 。
问题 3：某工厂一种产品现在的年产量是 20 件，计划今后两年增加产量。如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？
分析：一年后的产量为20(1 + x)件，两年后的产量为20(1 + x)(1 + x)=20(1 + x) ，即y = 20(1 + x) = 20x + 40x + 20。
2.观察归纳
让学生观察以上三个函数关系式y = -x + 8x，y = 6x ，y = 20x + 40x + 20，思考它们有什么共同特点。
组织学生小组讨论，鼓励学生积极发表自己的看法。
引导学生从函数的项数、自变量的最高次数等方面进行分析，总结出这些函数的共同特征：函数表达式都是整式，自变量的最高次数是 2。
3.概念讲解
给出二次函数的定义：一般地，如果y = ax + bx + c（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。
强调二次函数的一般形式中，a，b，c是常数，且a≠0。解释当a = 0时，函数就变成了一次函数y = bx + c，不符合二次函数的定义。
指出在二次函数y = ax + bx + c中，ax 是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
4.例题讲解
例 1：判断下列函数是否为二次函数，如果是，指出二次项系数、一次项系数和常数项。
（1）y = 3x ；（2）y = x(x - 5)；（3）y = 2 - x ；
（4）y = （5）y = (x + 2)(x - 2) - (x - 1)
分析：
对于（1），是二次函数，二次项系数为 3，一次项系数为 0，常数项为 0；
对于（2），先化简y = x(x - 5)=x - 5x，是二次函数，二次项系数为 1，一次项系数为 - 5，常数项为 0；
对于（3），是二次函数，二次项系数为 - 1，一次项系数为 0，常数项为 2；
对于（4）y = 不是二次函数，因为它的表达式不是整式；
对于（5），先化简y = (x + 2)(x - 2) - (x - 1) = x - 4 - (x - 2x + 1)=2x - 5，不是二次函数，是一次函数。
例 2：已知函数y = (m - 2)x^{m - 2}+ mx - 1，当m为何值时，这个函数是二次函数？
分析：根据二次函数的定义，自变量的最高次数是 2 且二次项系数不为 0。所以m - 2 = 2且m - 2≠0。解m - 2 = 2得m = ±2，又因为m - 2≠0，即m≠2，所以m = - 2。
（三）课堂练习（12 分钟）
1.基础练习
教材课后练习题：指出下列函数中哪些是二次函数，如果是，写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。
（1）y = 1 - x ；（2） y = -（3）y = x(1 - x)；（4）y = (x - 1) - (x + 1)(x - 1)
让学生独立完成，教师巡视指导，及时纠正学生出现的错误。
2.提高练习
已知一个直角三角形的两条直角边的和为 10cm。
（1）设其中一条直角边长为xcm，直角三角形的面积为Scm ，求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。
(2）求当x = 5cm 时直角三角形的面积。
（四）课堂小结（7 分钟）
1.引导回顾
与学生一起回顾本节课所学的主要内容，提问：“同学们，今天我们学习了二次函数，谁能说一说二次函数的定义是什么？”
请学生回答二次函数的一般形式以及各项的名称，教师进行补充和强调。
2.重点强调
再次强调二次函数概念中 “a≠0” 这一关键条件，以及从实际问题中抽象出二次函数模型时，确定自变量取值范围的重要性。
3.总结判断一个函数是否为二次函数的方法和步骤。
学习方法总结
引导学生回顾在探究二次函数概念过程中所运用的数学方法，如从实际问题中抽象出数学模型、观察归纳等方法，鼓励学生在今后的学习中继续运用这些方法探索新知识。
（五）布置作业（3 分钟）
1.必做题
教材习题 22.1 第 1、2 题：
第 1 题：下列函数中，哪些是二次函数？
（1）y = 2x + 3x + 1；（2）y = 3 - 2x + x ；（3）y = x ；（4）y = x - (x - 1) ；（5）y = x(x + 1)；
第 2 题：n支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，写出比赛的场次数m与球队数n之间的函数关系式。
要求学生认真完成，书写规范，通过作业巩固课堂所学的二次函数概念及表达式的确定方法。
2.选做题
某商场将进价为 2000 元的冰箱以 2400 元售出，平均每天能售出 8 台。为了配合国家 “家电下乡” 政策的实施，商场决定采取适当的降价措施。调查表明：这种冰箱的售价每降低 50 元，平均每天就能多售出 4 台。设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润为y元，求y与x之间的函数关系式。
选做题具有一定的难度，旨在让学有余力的学生进一步提升运用二次函数知识解决实际问题的能力，培养学生的拓展思维。
五、教学反思
在本节课的教学过程中，通过实际问题情境引入，激发了学生的学习兴趣和探究欲望。在概念讲解和例题分析环节，学生能够积极参与思考和讨论，但部分学生在从实际问题中抽象出二次函数表达式以及确定自变量取值范围时仍存在困难，需要在后续教学中加强练习和指导。在小组讨论活动中，部分学生的合作意识还有待提高，应进一步引导学生学会倾听和交流。总体而言，本节课基本达到了教学目标，但在教学方法和学生参与度的提升方面还有一定的改进空间。