22.1.2 二次函数 y=ax 的图像和性质
一、教学目标
1.会用描点法画出二次函数y=ax 的图像,知道该图像是一条抛物线。
2.掌握二次函数y=ax 的性质,包括开口方向、对称轴、顶点坐标以及函数的增减性。
3.能根据a的取值判断二次函数y=ax 图像的开口方向、开口大小,并能利用其性质解决简单问题。
4.经历画二次函数y=ax 图像的过程,体会从特殊到一般的数学思想,培养学生的动手操作能力和观察分析能力。
5.在探究二次函数y=ax 性质的过程中,学会通过观察图像归纳总结函数性质,提高学生的数学思维能力。
二、教学重难点
教学重点
1.用描点法画出二次函数y=ax 的图像。
2.掌握二次函数y=ax 的性质,包括开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性。
教学难点
1.理解二次函数y=ax 图像的对称性。
2.灵活运用二次函数y=ax 的性质解决实际问题。
三、教学方法
实验探究法:让学生动手画出二次函数y=ax 的图像,通过亲身体验来感知图像的特点,为探究性质奠定基础。
观察归纳法:引导学生观察画出的图像,归纳总结出二次函数y=ax 的性质,培养学生的观察能力和归纳能力。
讲练结合法:在讲解知识点后,及时安排练习题,让学生巩固所学知识,做到学以致用。
四、教学过程
(一)导入新课(5 分钟)
回顾旧知
提问学生:“我们上节课学习了二次函数的概念,谁能说一说二次函数的一般形式是什么?”(学生回答:y=ax +bx+c,其中a≠0)
接着问:“当b=0,c=0时,二次函数的形式是什么呢?”(学生回答:y=ax )
引入新课
教师说:“y=ax 是一种最简单的二次函数,这节课我们就来研究它的图像和性质。” 板书课题:22.1.2 二次函数y=ax 的图像和性质。
(二)探究新知(25 分钟)
1.画二次函数y=x 的图像
教师引导学生按照列表、描点、连线的步骤画y=x 的图像。
列表:让学生选取一些x的值,包括正数、负数和 0,计算出对应的y值
x ..... -3 -2 -1 0 1 2 3 ......
y=x2 ...... 9 4 1 0 1 4 9
描点:学生根据表格中的数据在平面直角坐标系中描出相应的点。
连线:引导学生用平滑的曲线将描出的点连接起来,得到y=x 的图像。
教师强调:连线时要注意曲线的平滑性,不能画成折线。
2.认识抛物线
告诉学生:二次函数y=x 的图像是一条曲线,这条曲线叫做抛物线y=x 。
说明:抛物线是轴对称图形,y轴是它的对称轴,对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点,y=x 的顶点是原点(0,0)。
3..探究y=ax (a≠0)的图像和性质
让学生分别画出y=2x 和y=-x ,y=-x 的图像。
引导学生观察这几个函数的图像,思考以下问题:
抛物线y=ax 的开口方向与a的取值有什么关系?(当a>0时,抛物线开口向上;当a<0时,抛物线开口向下)
抛物线y=ax 的对称轴是什么?顶点坐标是什么?(对称轴都是y轴,顶点坐标都是(0,0))
当a>0时,在对称轴左侧(x<0),y随x的增大而怎样变化?在对称轴右侧(x>0),y随x的增大而怎样变化?当x=0时,y的值有什么特点?(当a>0时,在对称轴左侧,y随x的增大而减小;在对称轴右侧,y随x的增大而增大;当x=0时,y有最小值 0)
当a<0时,在对称轴左侧(x<0),y随x的增大而怎样变化?在对称轴右侧(x>0),y随x的增大而怎样变化?当x=0时,y的值有什么特点?(当a<0时,在对称轴左侧,y随x的增大而增大;在对称轴右侧,y随x的增大而减小;当x=0时,y有最大值 0)
抛物线y=ax 的开口大小与|a|有什么关系?(|a|越大,抛物线的开口越窄;|a|越小,抛物线的开口越宽)
师生共同总结二次函数y=ax 的性质:
当a>0时,抛物线开口向上,对称轴是y轴,顶点坐标是(0,0),在对称轴左侧,y随x的增大而减小;在对称轴右侧,y随x的增大而增大,当x=0时,y有最小值 0。
当a<0时,抛物线开口向下,对称轴是y轴,顶点坐标是(0,0),在对称轴左侧,y随x的增大而增大;在对称轴右侧,y随x的增大而减小,当x=0时,y有最大值 0。
|a|越大,抛物线的开口越窄;|a|越小,抛物线的开口越宽。
(三)巩固练习(10 分钟)
1.填空题
抛物线y=3x 的开口向___,对称轴是___,顶点坐标是___,当x=0时,y有最___值,是___。
2.抛物线y=x 的开口向___,对称轴是___,顶点坐标是___,当x>0时,y随x的增大而___。
3.下列抛物线中,开口最宽的是( )
A. y=2x B. y=-3x C. y=x D. y=-x
4.对于抛物线y=ax ,若a>0,则当x1A. y1y2 C. y1=y2 D. 无法确定
5.已知抛物线y=ax 经过点(1,-2),求a的值,并说出该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
(四)课堂小结(7 分钟)
1.教师引导学生回顾本节课所学内容,包括二次函数y=ax 的图像是抛物线,以及它的性质(开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性等)。
2.让学生说一说在画图像和探究性质过程中的收获和遇到的问题,师生共同解决。
3.强调:a的取值决定了抛物线y=ax 的开口方向和开口大小,我们要熟练掌握这些性质并能灵活运用。
(五)布置作业(3 分钟)
必做题:教材对应练习题,画出y=3x 和y=-x 的图像,并写出它们的性质。
选做题:已知点A(-2,y1),B(1,y2)在抛物线y=-x 上,比较y1和y2的大小。
五、板书设计
22.1.2 二次函数y=ax 的图像和性质
1.抛物线的定义:二次函数的图像是一条抛物线
2.y=x 的图像画法:列表、描点、连线
3.y=ax (a≠0)的性质:
开口方向:a>0向上,a<0向下
对称轴:y轴
顶点坐标:(0,0)
4.增减性:
a>0:x<0时,y随x增大而减小;x>0时,y随x增大而增大
a<0:x<0时,y随x增大而增大;x>0时,y随x增大而减小
最值:a>0有最小值 0;a<0有最大值 0
开口大小:|a|越大,开口越窄;|a|越小,开口越宽
六、教学反思
本节课通过让学生动手画图,自主探究二次函数y=ax 的图像和性质,充分调动了学生的学习积极性。在教学过程中,大部分学生能够跟上节奏,掌握所学知识,但也有部分学生在画图像时不够规范,在理解增减性方面存在困难。在今后的教学中,要加强对这些学生的指导,多让他们进行练习,同时可以采用小组合作的方式,让学生之间相互帮助,共同提高。此外,还可以增加一些与实际生活相关的例题,让学生体会数学的实用性,提高学习兴趣。