22.1.2 二次函数 y=ax2的图像和性质 教案 人教版数学九年级上册

22.1.2 二次函数 y=ax 的图像和性质
一、教学目标
1.会用描点法画出二次函数y=ax 的图像，知道该图像是一条抛物线。
2.掌握二次函数y=ax 的性质，包括开口方向、对称轴、顶点坐标以及函数的增减性。
3.能根据a的取值判断二次函数y=ax 图像的开口方向、开口大小，并能利用其性质解决简单问题。
4.经历画二次函数y=ax 图像的过程，体会从特殊到一般的数学思想，培养学生的动手操作能力和观察分析能力。
5.在探究二次函数y=ax 性质的过程中，学会通过观察图像归纳总结函数性质，提高学生的数学思维能力。
二、教学重难点
教学重点
1.用描点法画出二次函数y=ax 的图像。
2.掌握二次函数y=ax 的性质，包括开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性。
教学难点
1.理解二次函数y=ax 图像的对称性。
2.灵活运用二次函数y=ax 的性质解决实际问题。
三、教学方法
实验探究法：让学生动手画出二次函数y=ax 的图像，通过亲身体验来感知图像的特点，为探究性质奠定基础。
观察归纳法：引导学生观察画出的图像，归纳总结出二次函数y=ax 的性质，培养学生的观察能力和归纳能力。
讲练结合法：在讲解知识点后，及时安排练习题，让学生巩固所学知识，做到学以致用。
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
回顾旧知
提问学生：“我们上节课学习了二次函数的概念，谁能说一说二次函数的一般形式是什么？”（学生回答：y=ax +bx+c，其中a≠0）
接着问：“当b=0，c=0时，二次函数的形式是什么呢？”（学生回答：y=ax ）
引入新课
教师说：“y=ax 是一种最简单的二次函数，这节课我们就来研究它的图像和性质。” 板书课题：22.1.2 二次函数y=ax 的图像和性质。
（二）探究新知（25 分钟）
1.画二次函数y=x 的图像
教师引导学生按照列表、描点、连线的步骤画y=x 的图像。
列表：让学生选取一些x的值，包括正数、负数和 0，计算出对应的y值
x ..... -3 -2 -1 0 1 2 3 ......
y=x2 ...... 9 4 1 0 1 4 9
描点：学生根据表格中的数据在平面直角坐标系中描出相应的点。
连线：引导学生用平滑的曲线将描出的点连接起来，得到y=x 的图像。
教师强调：连线时要注意曲线的平滑性，不能画成折线。
2.认识抛物线
告诉学生：二次函数y=x 的图像是一条曲线，这条曲线叫做抛物线y=x 。
说明：抛物线是轴对称图形，y轴是它的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点，y=x 的顶点是原点(0,0)。
3..探究y=ax （a≠0）的图像和性质
让学生分别画出y=2x 和y=-x ，y=-x 的图像。
引导学生观察这几个函数的图像，思考以下问题：
抛物线y=ax 的开口方向与a的取值有什么关系？（当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下）
抛物线y=ax 的对称轴是什么？顶点坐标是什么？（对称轴都是y轴，顶点坐标都是(0,0)）
当a>0时，在对称轴左侧（x<0），y随x的增大而怎样变化？在对称轴右侧（x>0），y随x的增大而怎样变化？当x=0时，y的值有什么特点？（当a>0时，在对称轴左侧，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，y随x的增大而增大；当x=0时，y有最小值 0）
当a<0时，在对称轴左侧（x<0），y随x的增大而怎样变化？在对称轴右侧（x>0），y随x的增大而怎样变化？当x=0时，y的值有什么特点？（当a<0时，在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减小；当x=0时，y有最大值 0）
抛物线y=ax 的开口大小与|a|有什么关系？（|a|越大，抛物线的开口越窄；|a|越小，抛物线的开口越宽）
师生共同总结二次函数y=ax 的性质：
当a>0时，抛物线开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是(0,0)，在对称轴左侧，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，当x=0时，y有最小值 0。
当a<0时，抛物线开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标是(0,0)，在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减小，当x=0时，y有最大值 0。
|a|越大，抛物线的开口越窄；|a|越小，抛物线的开口越宽。
（三）巩固练习（10 分钟）
1.填空题
抛物线y=3x 的开口向___，对称轴是___，顶点坐标是___，当x=0时，y有最___值，是___。
2.抛物线y=x 的开口向___，对称轴是___，顶点坐标是___，当x>0时，y随x的增大而___。
3.下列抛物线中，开口最宽的是（ ）
A. y=2x B. y=-3x C. y=x D. y=-x
4.对于抛物线y=ax ，若a>0，则当x1A. y1y2 C. y1=y2 D. 无法确定
5.已知抛物线y=ax 经过点(1,-2)，求a的值，并说出该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
（四）课堂小结（7 分钟）
1.教师引导学生回顾本节课所学内容，包括二次函数y=ax 的图像是抛物线，以及它的性质（开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性等）。
2.让学生说一说在画图像和探究性质过程中的收获和遇到的问题，师生共同解决。
3.强调：a的取值决定了抛物线y=ax 的开口方向和开口大小，我们要熟练掌握这些性质并能灵活运用。
（五）布置作业（3 分钟）
必做题：教材对应练习题，画出y=3x 和y=-x 的图像，并写出它们的性质。
选做题：已知点A(-2,y1)，B(1,y2)在抛物线y=-x 上，比较y1和y2的大小。
五、板书设计
22.1.2 二次函数y=ax 的图像和性质
1.抛物线的定义：二次函数的图像是一条抛物线
2.y=x 的图像画法：列表、描点、连线
3.y=ax （a≠0）的性质：
开口方向：a>0向上，a<0向下
对称轴：y轴
顶点坐标：(0,0)
4.增减性：
a>0：x<0时，y随x增大而减小；x>0时，y随x增大而增大
a<0：x<0时，y随x增大而增大；x>0时，y随x增大而减小
最值：a>0有最小值 0；a<0有最大值 0
开口大小：|a|越大，开口越窄；|a|越小，开口越宽
六、教学反思
本节课通过让学生动手画图，自主探究二次函数y=ax 的图像和性质，充分调动了学生的学习积极性。在教学过程中，大部分学生能够跟上节奏，掌握所学知识，但也有部分学生在画图像时不够规范，在理解增减性方面存在困难。在今后的教学中，要加强对这些学生的指导，多让他们进行练习，同时可以采用小组合作的方式，让学生之间相互帮助，共同提高。此外，还可以增加一些与实际生活相关的例题，让学生体会数学的实用性，提高学习兴趣。