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2024级高一第二学期期末考试数学科答题卡
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考 号
注意事项
1．答题前请将姓名、班级、考场、准考证
号填写清楚。 [0] [0] [0] [0] [0]
2．客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修 [1] [1] [1] [1] [1]
改时用橡皮擦干净。 [2] [2] [2] [2] [2]
3.必须在题号对应的答题区域内作答，超出 [3] [3] [3] [3] [3]
答题区域书写无效。 [4] [4] [4] [4] [4]
[5] [5] [5] [5] [5]
[6] [6] [6] [6] [6]
正确填涂 缺考标记 [7] [7] [7] [7] [7]
[8] [8] [8] [8] [8]
[9] [9] [9] [9] [9]
客观题(1~8为单选题;9~11为多选题)
1 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D]
2 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D]
3 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D]
4 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D]
5 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D]
填空题
12. 13. 14.
解答题
15.
16.
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[5] [5] [5] [5] [5]
[6] [6] [6] [6] [6]
正确填涂 缺考标记 [7] [7] [7] [7] [7]
[8] [8] [8] [8] [8]
[9] [9] [9] [9] [9]
17.
18.
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[8] [8] [8] [8] [8]
[9] [9] [9] [9] [9]
19.2024 级高一第二学期期末答案
19 2
DBDB AADC 9.ABC 10.ABC 11.ACD 12. 1 13. 14. , 2
37 2
15.解:（1） f x sinxcosx 3cos2 x 3 1 sin2x 3 cos2x sin 2x
，2 2 2 3
2x 2kπ π , 2 kπ π x kπ 5π ,kπ π 令 ，解得 ， x Z3 2 2 12 12
所以 f x 5π π 的单调递增区间为 kπ , kπ , x Z . 12 12
由（1）得 f sin(2 3 )
3 5
cos 2 cos 2 3
sin 2
6 2 3 3 5
16.解:（1）由于前 2 组的频率和为 0.3，前 3 组的频率和为 0.75，
所以可知 70%分位数一定位于第三组 66,76 内，
设 70%分位数为 x，则0.3 0.045 x 66 0.7，解得 x 74.89
（2）①根据频率直方图计算样本平均数：
x 51 0.1 61 0.2 71 0.45 81 0.2 91 0.05 70
因为样本标准差， s 10，所以 x s, x s 60,80 ，又 78 60,80 ，则可知该产品属于
一等品．
②记三件一等品为 A,B,C ，两件二等品为 a,b，
摸出两件产品总基本事件共 10 个，分别为：
A,B ， A,C ， A,a ， A,b ， B,C ， B,a ， B,b ， C,a ， C,b ， a,b ，
设摸出两件产品中至少有一个一等品记为事件A，则A包含的基本事件共 9 个，分别是：
A,B ， A,C ， A,a ， A,b ， B,C ， B,a ， B,b ， C,a ， C,b ，
所以 P A 9 9 . 则摸出两件产品中至少有一个一等品的概率为 .
10 10
17. 3解:（1）因为 a bcosC bsinC ，
3
由正弦定理可得 sin A sin BcosC 3 sin BsinC ，
3
又 sin A sin π B C sin B C sin Bcos C cos Bsin C，
所以 sin BcosC cos BsinC sin BcosC 3 sin BsinC ，
3
1
所以 cos BsinC 3 sin BsinC ，又C 0, π ，所以 sinC 0，
3
2π
所以 cos B 3 sin B ，即 tan B 3，又 B 0, π ，所以 B ；
3 3
1
（2）因为 ABC的面积为3 3，即 ac sin B 3 3，2
1
即 ac sin
2π
3 3 1 3
2 3 ，则
ac 3 3， ac 12，
2 2
1
因为 BC 3BD，所以 BD BC，3
在△ABD中 AD2 BA2 BD2 2BA BD cos B，
1 2AD2 c2 a 1
1
即 ac
2
ca 1 ac ac 12，当且仅当 c a，即 a 6， c 2时取等
3 3 3 3 3
号，
所以 AD 2 3，即 AD的最小值为 2 3，此时 a 6， c 2，
b2则 a2 c2 2ac cosB 62 22 2 6 2
1 2
52 ，
所以b 2 13，即 AC 2 13 .
18.解:（1）如图所示，设点 F 是棱 AD的中点，连接 PF，EF，BD，
由 PA PD及点 F 是棱 AD的中点，可得 PF AD，
因为平面 PAD 平面 ADC，平面 PAD 平面 ADC AD，PF 平
面 PAD，故 PF 平面 ABCD，
又因为 AC 平面 ABCD，所以 PF AC，
又因为四边形 ABCD为菱形，所以 BD AC，
而 EF是△ABD的中位线，所以EF //BD，可得 EF AC，
又由 PF EF F ，且 PF 平面 PEF，EF 平面 PEF，
所以 AC 平面 PEF，又因为 PE 平面 PEF，所以 PE AC ．
（2）若 PA AB BD 2，由于菱形 ABCD，易证正三角形 PAD中 PF 3，由于 PF 平
面 ABCD，
1
所以VE PCD VP ECD S
1
△CDE PF S PF
1 3 2
△CDB 2 3 1．3 3 3 4
（3）设点G是 AC与 EF的交点，由（1）可知 AC 平面 PEF，
又 PG， EG均在平面 PEF内，从而有 PG AC， EG AC，
故 PGE为二面角 P AC B的平面角，所以 tan PGE tan PGF 2，
所以 tan PGF 2，
因为 PA AB，所以△PAD为等边三角形．
不妨设菱形 ABCD的边长为 2a，GE b．
PF
则在直角△PFG中， PF 3a，FG b， tan PGF 3a，所以 ，FG 2b
2
因为 PF 平面 ABCD，所以 PEF为直线 PE与平面 ABCD所成的角．
PF 3a
则 tan PEF 1，所以直线 PE与平面 ABCD所成的角为 45°
EF 2b
1
19.【详解】（1）当 x 1时， x 3 4，故 f 1 f 4 n，
3
因为 x 3,6 时， f x 3x2 15x 30，所以 f 4 18，
因为 f 1 2 1，所以 2 18 n，解得 n 4．
3
（2）当 x 0,3 时， x 3 3,6 ，则 f x 3 3 x 3 2 15 x 3 30 3x2 3x 12，
f x 1 f x 3 4 f x 1 f x 3 1 4 3x2又 ，故 3x 12 4 x2 x，3 3 3
所以当 x 0,3 时， f x x2 x．
2 7
x
0 2 4 5（3）由 x ，即： x 0 4
x 1 0 x 0，
4 1 4 1
所以 g x log 2 7 2 x 的定义域为 0, ， 4 1
若存在满足题意的 ，首先有 h x 2sin x cos 2x 0 x 0, π在 时恒成立， 2
h x 2sin x cos 2x 2 sin2即 x 2sin x 0 x π在 0, 时恒成立， 2
首先有 h 0 0，
其次令 y 2 t 2 2t , t sin x 0,1 ，
关于 t的二次函数 y 2 t 2 2t t 1 的对称轴为 2 ，
0 1当 1
1 1
，即 时，还要保证 2 2 0，解得 2，
2 2 2
1
当 1时，只需 h 0 0，解得0 1 2 ， 2
所有 h x 2sin x cos 2x 0在 x 0,
π
时恒成立当且仅当0 2． 2
2
因为 h x 2 sin2 x 2sin x 2 sin x
1 1 ，
2 2
x 0, π 又因为 ，所以 sin x 0,1 ， 2
1 2 π
当0 h x 1 1时， 2 sin x
在 x 0, 上单调递增，2 2 2 2
此时 h x 的值域 , 2 是 0,3 的子集．
3
1 2 π
当 2时， h x 2 sin x
1 1 在 x 0, 上先增后减，2 2 2 2
π
在 x 0或 处取得最小值，且 h 0 0,3 h π ， 2 0,3 ， h x
1
2 2 max
，
2
其中 1 为对勾函数，
2
1 2 2在 上单调递减，在 2上单调递增，
2 2 2
2 1 3 9 1 9
又 2 2 2, 0,3
2
， ， ，故 的值域 是 的子集，
2
2 4 2 4
综上， h x 的值域是 0,3 的子集．
故只需考虑 f x 在 x 0,3 的情况即可，
7
因为 y 2 在 0, x 上单调递减，4 1
根据复合函数的单调性得到 g x log 72 2
x 在 0, 上单调递减， 4 1
x 0,3 f x x2 x x 1
2
1 1
又 时， 图象的对称轴为 x ，开口向上，
2 4 2
故 f x x2 x在 x 0,3 上单调递增，
当 x 0,3 时，令 k x f x g x x 2 x 7 log 2 2 x ， 4 1
则 k x 在 x 0,3 上单调递增，
k 1 1 1 log 13 0 k 2 6 log 37其中 2 ， 0，3 2 15
由零点存在性定理可知： x0 1,2 使得 k x0 0，
又 f h x g h x ，故需要满足 h x x0，所以只需满足 h x xmin 0，
当0
1
时， h x xmin 0，不符合要求；2
h 0 x
1 0
当 2时，则 ，解得 x 2 x ，
2 h
π
2 x
0 0
0
2
由于 x0 1,2 ，故 x0 2 x0 无解，
综上， 不存在．
42024 级高一第二学期期末考试
数学科试卷
命题人：高一数学备课组
一.选择题:共 8小题,共8 5 40分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目
要求的.
2
1．设集合 A x x 1 9 ,B x x 4 ，则 A B （ ）
A． 4 B． 1, C． 2,4 D． 2,
2．当1 m 2时，复数m 2 i 4 i 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
1 1 1
3. 甲、乙、丙三人破译一份密码，若三人各自独立破译出密码的概率为 ， ， ，且
2 3 3
他们是否破译出密码互不影响，则这份密码被破译出的概率为（ ）
2 4 5 7
A. B. C. D.
9 9 9 9
4．设 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（ ）
A．若 // ， ，则 // B．若 ⊥ ， // ，则 ⊥
C．若 ⊥ ， ⊥ ，则 // D．若 // ， // ，则 //
5. 在 ABC中，角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c，如果a cos A bcosB，则 ABC一定
是（ ）
A．等腰或直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
π
6. 已知函数 f x Asin x (其中 A 0, 0, )的部
2
分图象如图所示，点M ,N是函数图象与 x轴的交点，点 P是函数
图象的最高点，且 PMN是边长为 2 的正三角形，ON 3OM ，
则 f x Asin x 的解析式可以是（ ）
A. f (x) 3 sin x B. f (x) 2sin x
2 4 2 3
1（共 4 页）
C. f (x) 3 sin
x
D. f (x) 3 sin x
2 3 4
B A B C 2 B D7．在四边形 ABCD 中，A 0,0 ，B 1,2 ，AB DC， BA BC BD ，则四边形 ABCD
的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2 2sin πx ,0 x 2
8．已知函数 f x 2 ，若存在实数 x1、 x2 、 x3 且 x1 x2 x3，使得
x 1, x 0
f x1 f x2 f x3 ，则 x1 f x1 x2 f x2 x3 f x3 的取值范围为（ ）
9 9 9 9
A． , B． , 2 C． 2
2, D． , 4 4 2
二．多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9．给定一组数 5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则（ ）
8
A．平均数为 3 B．众数为 2 和 3 C．方差为 D．第 85 百分位数为 4.5
5
10．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记下每次朝上的点数，设事件 = “第一次的点数
不大于 3 ”， = “第二次的点数不小于 4 ”， = “两次的点数之和为 3 的倍数”，
则下列结论正确的是（ ）
1
A．事件 发生的概率 = B．事件 与事件 相互独立
2
1
C．事件 发生的概率 = D．事件 与事件 对立
3
11．已知正方体 1 1 1 1 的棱长为 2， 是正方形 1 1 的中心， 是棱
(包含顶点) 上的动点， 则以下结论正确的是（ ）
A． 的最小值为 5
B．不存在点 ，使 与 1 1 所成角等于 30
C．二面角 正切值的取值范围为 1， 2
25
D．当 为 中点时，三棱锥 的外接球表面积为
4
三．填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共 15 分.
12.已知向量 a,b 满足 | a | 1,| b | 2，且 (3a b) (2b a) ，则 a b .
2（共 4 页）
13. 已知圆台的上底半径为 2，下底半径为 4，则经过母线中点且与底面平行的平面将圆
台分成上下两部分的体积之比为__________.
14.在 ABC中，角 A,B,C的对边分别为 a,b,c
3
， a 2， A ，若 b c有最大值，4
则实数 的取值范围是 .
四．解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
3
15．（13 分）已知函数 f x sinxcosx 3cos2x ．
2
(1)求 f x 的单调递增区间；
(2)已知 f 3 ，求 cos 2 的值。
5 6
16.（15 分）某公司生产某种产品，从生产的正品中随机抽取 1000 件，测得产品质量差（质
量差＝生产的产品质量－标准质量，单位mg）的样本数据统计如下：
(1)求样本数据的 70%分位数；（精确到 0.01）
(2)公司从生产的正品中按产品质量差进行分拣，若质量差在 x s，x s 范围内的产品为
一等品，其余为二等品．其中 x， s分别为样本平均数和样本标准差，计算可得 s 10（同
一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．
①若产品的质量差为78mg，试判断该产品是否属于一等品；
②假如公司包装时要求，3件一等品和 2件二等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子
中摸出 2件产品进行检验，求摸出 2件产品中至少有 1件一等品的概率．
3（共 4 页）
17．（15 分）在 ABC中，角A，B，C 3的对边分别为 a，b，c，且满足 a bcosC bsinC .
3
(1)求 B的大小；
(2)若 ABC的面积为3 3，且 BC 3BD，当线段 AD的长最短时，求 AC的长.
18．（17 分）如图所示，四边形 ABCD为菱形，PA PD，平面 PAD 平面 ADC，点 E是
棱 AB的中点．
(1)求证：PE AC；
(2)若PA AB BD 2，求三棱锥 E PCD的体积．
(3)若PA AB，当二面角 P AC B的正切值为 2时，求直线
PE与平面 ABCD所成的角．
1
19.（17 分）已知函数 f x 满足 f x f x 3 n ，且 f 1 2 ，当 x 3,6 时，
3
f x 3x2 15x 30．函数 g x log 2 2
7
4x 1
．
(1)求实数 n的值；
(2)当 x 0,3 时，求 f x 的解析式；
(3)设h x 2sin x cos2x π ，是否存在实数 ，使不等式 f h x g h x 在 x
0,
2
时恒成立？若存在，求实数 的取值范围；若不存在，请说明理由．
4（共 4 页）
