命题区间8 磁场的性质 带电粒子在磁场中的运动
(满分88分)
题型一 磁场的性质及磁场对电流的作用
1．(4分)(2022·全国乙卷T18 子母题)安装适当的软件后，利用智能手机中的磁传感器可以测量磁感应强度B。如图所示，在手机上建立直角坐标系，手机显示屏所在平面为xOy面。某同学在某地对地磁场进行了四次测量，每次测量时y轴指向不同方向而z轴正向保持竖直向上。根据表中测量结果可推知下列说法错误的是( )
测量序号 Bx/μT By/μT Bz/μT
1 0 21 －45
2 0 －20 －46
3 21 0 －45
4 －21 0 －45
[A]测量地点位于北半球
[B]当地的地磁场大小约为50 μT
[C]第2次测量时y轴正向指向南方
[D]第3次测量时x轴正向指向东方
2．(4分)(2021·广东卷T5 补偿题)截面为正方形的绝缘弹性长管中心有一固定长直导线，长管外表面固定着对称分布的四根平行长直导线。若中心直导线通入电流I1，四根平行直导线均通入电流I2，I1 I2，电流方向如图所示。下列截面图可能正确表示通电后长管发生形变的是( )
[A] [B] [C] [D]
3．(4分)(2021·全国甲卷T16 姊妹题)两足够长直导线均折成直角，按图示方式放置在同一平面内，EO与O′Q在一条直线上，PO′与OF在一条直线上，两导线相互绝缘，通有相等的电流I，电流方向如图所示。若一根无限长直导线通过电流I时，所产生的磁场在距离导线d处的磁感应强度大小为B，则图中与导线距离均为d的M、N两点处的磁感应强度大小分别为( )
[A]B、0 [B]0、2B [C]2B、2B [D]B、B
4．(6分)(多选)(2021·6月浙江选考T15 补偿题)如图所示，有两根用超导材料制成的长直平行细导线a、b，分别通以80 A和100 A流向相同的电流，两导线构成的平面内有一点p，到两导线的距离相等。下列说法正确的是( )
[A]两导线受到的安培力Fb＝1.25 Fa
[B]导线所受的安培力可以用F＝ILB计算
[C]移走导线b前后，p点的磁感应强度方向改变
[D]在离两导线平面有一定距离的有限空间内，不存在磁感应强度为零的位置
5．(12分)(2022·全国甲卷T25 补偿题)光点式检流计是一种可以测量微小电流的仪器，其简化的工作原理示意图如图所示。图中A为轻质绝缘弹簧，C为位于纸面上的线圈，虚线框内有与纸面垂直的匀强磁场；M为置于平台上的轻质小平面反射镜，轻质刚性细杆D的一端与M固连且与镜面垂直，另一端与弹簧下端相连，PQ为圆弧形的、带有均匀刻度的透明读数条，PQ的圆心位于M的中心，使用前需调零，使线圈内没有电流通过时，M竖直且与纸面垂直；入射细光束沿水平方向经PQ上的O点射到M上后沿原路反射。线圈通入电流后弹簧长度改变，使M发生倾斜，入射光束在M上的入射点仍近似处于PQ的圆心，通过读取反射光射到PQ上的位置，可以测得电流的大小。已知弹簧的劲度系数为k，磁场磁感应强度大小为B，线圈C的匝数为N，沿水平方向的长度为l，细杆D的长度为d，圆弧PQ的半径为r，r d，d远大于弹簧长度改变量的绝对值。
(1)若在线圈中通入的微小电流为I，求平衡后弹簧长度改变量的绝对值Δx及PQ上反射光点与O点间的弧长s；
(2)某同学用此装置测一微小电流，测量前未调零，将电流通入线圈后，PQ上反射光点出现在O点上方，与O点间的弧长为s1。保持其他条件不变，只将该电流反向接入，则反射光点出现在O点下方，与O点间的弧长为s2。求待测电流的大小。
题型二 带电粒子在匀强磁场中的运动
1．(6分)(多选)(2023·全国甲卷T20 子母题)光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴的匀强磁场，筒上P点开有一个小孔，过P点的横截面是以O为圆心的圆，如图所示。一带电粒子从P点沿PO射入，然后与筒壁发生碰撞。假设粒子在每次碰撞前、后瞬间，速度沿圆上碰撞点的切线方向的分量大小不变，沿法线方向的分量大小不变、方向相反；电荷量不变。不计重力。下列说法正确的是( )
[A]粒子的运动轨迹可能通过圆心O
[B]最少经2次碰撞，粒子就可能从小孔射出
[C]射入小孔时粒子的速度越大，在圆内运动时间越短
[D]每次碰撞后瞬间，粒子速度方向反向延长线一定过O点
2．(4分)(2023·湖南卷T6 补偿题)如图所示，真空中有区域Ⅰ和Ⅱ，区域Ⅰ中存在匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向下(与纸面平行)，磁场方向垂直纸面向里，等腰直角三角形CGF区域(区域Ⅱ)内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外。图中A、C、O三点在同一直线上，AO与GF垂直，且与电场和磁场方向均垂直。A点处的粒子源持续将比荷一定但速率不同的粒子射入区域Ⅰ中，只有沿直线AC运动的粒子才能进入区域Ⅱ。若区域Ⅰ中电场强度大小为E、磁感应强度大小为B1，区域Ⅱ中磁感应强度大小为B2，则粒子从CF的中点射出，它们在区域Ⅱ中运动的时间为t0。若改变电场或磁场强弱，能进入区域Ⅱ中的粒子在区域Ⅱ中运动的时间为t，不计粒子的重力及粒子之间的相互作用，下列说法正确的是( )
[A]若仅将区域Ⅰ中磁感应强度大小变为2B1，则t>t0
[B]若仅将区域Ⅰ中电场强度大小变为2E，则t>t0
[C]若仅将区域Ⅱ中磁感应强度大小变为B2，则t＝
[D]若仅将区域Ⅱ中磁感应强度大小变为，则t＝t0
3．(4分)(2022·广东卷T7 补偿题)如图所示，一个立方体空间被对角平面MNPQ划分成两个区域，两区域分布有磁感应强度大小相等、方向相反且与z轴平行的匀强磁场。一质子以某一速度从立方体左侧垂直Oyz平面进入磁场，并穿过两个磁场区域。下列关于质子运动轨迹在不同坐标平面的投影中，可能正确的是( )
[A] [B]
[C] [D]
4．(6分)(多选)(2024·河北卷T10)如图，真空区域有同心正方形ABCD和abcd，其各对应边平行，ABCD的边长一定，abcd的边长可调，两正方形之间充满恒定匀强磁场，方向垂直于正方形所在平面。A处有一个粒子源，可逐个发射速度不等、比荷相等的粒子，粒子沿AD方向进入磁场。调整abcd的边长，可使速度大小合适的粒子经ad边穿过无磁场区后由BC边射出。对满足前述条件的粒子，下列说法正确的是( )
[A]若粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角为45°，则粒子必垂直BC射出
[B]若粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角为60°，则粒子必垂直BC射出
[C]若粒子经cd边垂直BC射出，则粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角必为45°
[D]若粒子经bc边垂直BC射出，则粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角必为60°
5．(4分)(2020·全国Ⅰ卷T18 补偿题)一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，为半圆，ac、bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半径。一束质量为m、电荷量为q(q＞0)的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为( )
[A]
[C]
6．(4分)(2024·湖北卷T7)如图所示，在以O点为圆心、半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。圆形区域外有大小相等、方向相反、范围足够大的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子沿直径AC方向从A点射入圆形区域。不计重力，下列说法正确的是( )
[A]粒子的运动轨迹可能经过O点
[B]粒子射出圆形区域时的速度方向不一定沿该区域的半径方向
[C]粒子连续两次由A点沿AC方向射入圆形区域的最小时间间隔为
[D]若粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短，粒子运动的速度大小为
7．(14分)(2020·7月浙江选考T22 补偿题)某种离子诊断测量简化装置如图所示。竖直平面内存在边界为矩形EFGH、方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，探测板CD平行于HG水平放置，能沿竖直方向缓慢移动且接地。a、b、c三束宽度不计、间距相等的离子束中的离子均以相同速度持续从边界EH水平射入磁场，b束中的离子在磁场中沿半径为R的四分之一圆弧运动后从下边界HG竖直向下射出，并打在探测板的右边缘D点。已知每束每秒射入磁场的离子数均为N，离子束间的距离均为0.6R，探测板CD的宽度为0.5R，离子质量均为m、电荷量均为q，不计重力及离子间的相互作用。
(1)求离子速度v的大小及c束中的离子射出磁场边界HG时与H点的距离s；
(2)求探测到三束离子时探测板与边界HG的最大距离Lmax；
(3)若打到探测板上的离子被全部吸收，求离子束对探测板的平均作用力的竖直分量F与板到HG距离L的关系。
8．(16分)(2024·湖南卷T15)如图，有一内半径为2r、长为L的圆筒，左、右端面圆心O′、O处各开有一小孔。以O为坐标原点，取O′O方向为x轴正方向建立xyz坐标系。在筒内x≤0区域有一匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向沿x轴正方向；筒外x≥0区域有一匀强电场，场强大小为E，方向沿y轴正方向。一电子枪在O′处向圆筒内多个方向发射电子，电子初速度方向均在xOy平面内，且在x轴正方向的分速度大小均为v0。已知电子的质量为m、电量为e，设电子始终未与筒壁碰撞，不计电子之间的相互作用及电子的重力。求：
(1)若所有电子均能经过O进入电场，求磁感应强度B的最小值；
(2)取(1)问中最小的磁感应强度B，若进入磁场中电子的速度方向与x轴正方向最大夹角为θ，求tan θ的绝对值；
(3)取(1)问中最小的磁感应强度B，求电子在电场中运动时y轴正方向的最大位移。
8 / 8高考真题衍生卷·命题区间8
题型一
1．D [如图所示，
地球可视为一个磁偶极，磁南极大致指向地理北极附近，磁北极大致指向地理南极附近。通过这两个磁极的假想直线(磁轴)与地球的自转轴大约成11.3度的倾斜。由表中z轴数据可看出z轴的磁场竖直向下，则测量地点应位于北半球，A正确；磁感应强度为矢量，故由表格可看出此处的磁感应强度大致为B＝＝，计算得B ≈ 50 μT，B正确；由选项A可知测量地在北半球，而北半球地磁场指向北方斜向下，则第2次测量，测量By＜0，故y轴指向南方，第3次测量Bx＞0，故x轴指向北方而y轴则指向西方，C正确，D错误。故选D。]
2．C [因I1 I2，则可不考虑四个边上的直导线之间的相互作用。根据两通电直导线间的安培力作用满足“同向电流相互吸引，异向电流相互排斥”，则正方形左右两侧的直导线 I2要受到 I1吸引的安培力，形成凹形，正方形上下两边的直导线 I2要受到 I1排斥的安培力，形成凸形，故变形后的形状如图C。故选C。]
3．B [PF方向可视为存在一条无限长直线，EQ方向也可视为存在一条无限长直线。利用题目条件，由右手螺旋定则，两条无限长导线在M点处产生的磁感应强度大小都为B，方向相反，故合磁感应强度为0。两无限长直导线在N点处产生的磁感应强度大小都为B，方向都垂直于纸面向里，故合磁感应强度为2B，B正确。]
4．BCD [两导线受到的安培力是相互作用力，大小相等，故A错误；导线所受的安培力可以用F＝ILB计算，因为磁场与导线垂直，故B正确；移走导线b前，b的电流较大，则p点磁场方向与b产生磁场方向同向，向里，移走导线b后，p点磁场方向与a产生磁场方向相同，向外，故C正确；在离两导线所在的平面有一定距离的有限空间内，两导线在任意点产生的磁场均不在同一条直线上，故不存在磁感应强度为零的位置，故D正确。故选BCD。]
5．解析：(1)由题意当线圈中通入微小电流I时，线圈中的安培力为F＝NBIl
根据胡克定律有F＝NBIl＝k|Δx|
则|Δx|＝
设此时细杆转过的弧度为θ，则可知反射光线转过的弧度为2θ，又因为d Δx，r d
则sin θ≈θ，sin 2θ≈2θ
所以有Δx＝d·θ，s＝r·2θ
联立可得s＝Δx＝。
(2)设待测电流为I′，电流反向前、后弹簧弹力的变化量F＝2NBI′l
弹簧长度改变量绝对值为Δx′，则有F＝kΔx′
反射前、后反射光线转过的角度为
则通入电流I′时，平面镜实际偏转角度为φ＝·，根据φ＝
解得I′＝。
答案：(1) (2)
题型二
1．BD [
假设粒子带负电，第一次在A点和筒壁发生碰撞如图甲所示，O1为圆周运动的圆心。由几何关系可知∠O1AO为直角，即粒子此时的速度方向为OA，说明粒子速度方向反向延长线过O点，由圆的对称性知在其他点撞击同理，D正确；假设粒子运动过程过O点，则过P点的速度的垂线和OP连线的中垂线是平行的，不能交于一点，无法确定圆心，由圆的对称性可知撞击筒壁以后的A点的速度垂线和AO连线的中垂线依旧平行，不能确定圆心，则粒子不可能过O点，A错误；由题意可知粒子射入磁场以后运动轨迹的圆心组成的多边形应为以筒壁为内接圆的多边形，碰撞最少时应为三角形，如图乙所示，
即撞击两次，B正确；速度越大粒子做圆周运动的半径越大，碰撞次数可能会增多，粒子在圆内运动时间不一定减少，C错误。故选BD。]
2．D [由题意知粒子在叠加场中沿直线AC运动，则粒子在叠加场中受力平衡，有qv0B1＝qE，得v0＝，则粒子在磁场中运动的轨迹半径R0＝＝，又因为粒子从CF中点射出，设CO＝d，则R0＝，设粒子在磁场中转过的角度为θ，则t0＝＝。若仅将B1变为2B1，则R1＝，可知粒子仍从CF边射出，粒子在磁场中转过的角度不变，周期不变，所以t1＝t0，A错误；若仅将E变为2E，则v2＝2v0，R2＝2R0，则粒子恰好从F点射出，同上可知t2＝t0，B错误；若仅将B2变为B2，则R3＝R0＝d，则粒子从OF边射出，设粒子在磁场中转过的角度为α，则sin α＝，所以α＝，则t3＝＝t0，C错误；若仅将B2变为B2，则R4＝＝d，则粒子从OF边射出，设粒子在磁场中转过的角度为β，则sin β＝，所以β＝，t4＝t0，D正确。]
3．A [由题意知当质子射出后先在MN左侧运动，刚射出时根据左手定则可知在MN左侧受到y轴正方向的洛伦兹力，即在MN左侧会向y轴正方向偏移，做匀速圆周运动，y轴坐标增大；在MN右侧根据左手定则可知洛伦兹力反向，质子在y轴正方向上做减速运动，故A正确，B错误；根据左手定则可知质子在整个运动过程中都只受到平行于Oxy平面的洛伦兹力作用，在z轴方向上没有运动，z轴坐标不变，故C、D错误。故选A。]
4．ACD [根据几何关系可知，若粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角为45°，则粒子必经过cd边，作出粒子运动轨迹图如图甲所示，
粒子从C点垂直于BC射出，故A、C正确。若粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角为60°时，若粒子从cd边再次进入磁场，作出粒子运动轨迹如图乙所示，
则粒子不可能垂直BC射出；若粒子从bc边再次进入磁场，作出粒子运动轨迹如图丙所示，
则粒子一定垂直BC射出，故B错误，D正确。故选ACD。]
5．C [带电粒子在匀强磁场中运动，运动轨迹如图所示，由洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，解得r＝，运动时间t＝＝，θ为带电粒子在磁场中运动轨迹所对的圆心角，粒子在磁场中运动时间由轨迹所对圆心角决定。采用放缩法，粒子垂直ac射入磁场，则轨迹圆圆心必在直线ac上，将粒子的轨迹半径从零开始逐渐放大，当r≤0.5R(R为的半径)和r≥1.5R时，粒子从ac、bd区域射出磁场，运动时间等于半个周期。当0.5R]
6．D [在圆形匀强磁场区域内，沿着径向射入的粒子，总是沿径向射出的，根据圆的特点可知粒子的运动轨迹不可能经过O点，故A、B错误；粒子连续两次由A点沿AC方向射入圆形区域时间最短，则根据对称性可知轨迹如图所示。
则最短时间有t＝2T＝，故C错误；粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短，则轨迹如图所示。
设粒子在磁场中运动的半径为r，根据几何关系可知r＝，根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，可得v＝，故D正确。故选D。]
7．解析：(1)由qvB＝得v＝
a、b、c三种离子束的运动轨迹如图所示，根据几何关系得OO′＝0.6R
s＝＝0.8R。
(2)a、c束中的离子从同一点Q射出，α＝β
tan α＝
Lmax＝R。
(3)a或c束中每个离子动量的竖直分量pz＝p cos α＝0.8qBR
0＜L≤R
F1＝Np＋2Npz＝2.6NqBR
R＜L≤0.4R
F2＝Np＋Npz＝1.8NqBR
L＞0.4R
F3＝Np＝NqBR。
答案：(1) 0.8R (2)R (3)见解析
8．解析：(1)电子在匀强磁场中运动时，将其分解为沿x轴的匀速直线运动和在yOz平面内的匀速圆周运动，设电子入射时沿y轴的分速度大小为vy，由电子在x轴方向做匀速直线运动得
L＝v0t
在yOz平面内，设电子做匀速圆周运动的半径为R，周期为T，由牛顿第二定律知
Bevy＝
可得
R＝
且
T＝＝
由题意可知所有电子均能经过O进入电场，则有
t＝nT(n＝1，2，3，…)
联立得
B＝(n＝1，2，3，…)
当n＝1时，B有最小值，可得
Bmin＝。
(2)将电子的速度分解，如图所示。
当θ有最大值时，vy最大，R最大，此时R＝r，又
Bmin＝，R＝
联立可得
vym＝
|tan θ|＝＝。
(3)当vy最大时，电子在电场中运动时沿y轴正方向有最大位移ym，根据匀变速直线运动规律有
ym＝
由牛顿第二定律知
a＝
又vym＝
联立得ym＝。
答案：(1) (2)
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