高考真题衍生卷·命题区间9
题型一
1．解析：(1)粒子在磁场中做圆周运动时的速度为
v＝＝v0
根据洛伦兹力提供向心力
Bqv＝m＝mv
解得做圆周运动的半径为
r＝
周期为T＝。
(2)根据题意，已知任何相等的时间内P沿题图中闭合曲线通过的曲线长度都相等，由于曲线表示的为速度相应的曲线，根据a＝可知任意点的加速度大小相等，故可得
＝
解得E＝Bv0。
(3)根据题意分析可知从b点到c点粒子在磁场中转过的角度为270°，绕一圈的过程中两次在电场中运动，根据对称性可知粒子的运动轨迹如图所示，从a到b过程中粒子做类平抛运动，得
t＝v0
故可得该段时间内沿y方向位移为
L＝v0t
根据几何知识可得
xbc＝r
由粒子在两次电场中运动的对称性可知移动一周时粒子位移的大小为
xaa′＝xbc－2L
联立解得
xaa′＝。
答案：(1) (2)Bv0 (3)
2．解析：(1)粒子在电场中做类平抛运动的加速度为a＝；由题意，粒子的速度偏转角为θ＝30°，故有tan θ＝＝，求得t＝，故粒子的水平位移x＝v0t＝，竖直位移y＝＝，故粒子发射位置到P的距离为s＝＝。
(2)粒子进入磁场时的速度大小为v＝＝，由qvB＝得B＝＝。
粒子运动轨迹如图所示时：
磁感应强度最大，粒子由Q点射出，设此时的轨迹圆圆心为O1，由几何关系可知，R1＝＝，对应B1＝
粒子运动轨迹如图所示时：
磁感应强度最小，粒子从N点射出，设此时轨迹圆圆心为O2，O2可通过作入射速度方向的垂线和PN的中垂线交点得到。过O2作PQ的垂线与PQ的延长线交于点A，由几何关系得O2A＝，故O2Q＝R2，结合PB＝QB＝L，在△O2PB中运用勾股定理得：
(L)2＋(L＋R2)2＝，解得：R2＝(＋1)L，对应B2＝＝(1－)(计算R2也可通过三角函数，∠PO2B＝15°，PB＝L，R2＝＝＝(＋1)L，故磁感应强度的取值范围(1－)＜B＜。
(3)粒子从QN中点G射出时粒子运动轨迹如图所示：
设此时轨迹圆圆心为O3
由几何关系可知，PD＝，sin θ＝，cos θ＝
R3＝＝
设F为轨迹与挡板MN最近处的点，O3F⊥PQ与PQ相交于点E。
由几何关系，O3E＝R3，故EF＝R3，F到MN的距离为dmin＝L－R3＝L。
答案：
(2)(1－)＜B＜
(3)L
3．解析：(1)根据动能定理得
qU0＝
带电粒子进入磁场，由洛伦兹力提供向心力得
qvB＝m
又有r＝
联立解得U0＝。
(2)使粒子不能打在挡板OM上，则加速电压最小时，粒子的运动轨迹恰好与挡板OM相切，如答图甲所示，
甲
设此时粒子加速后的速度大小为v1，在上方磁场中运动的轨迹半径为r1，在下方磁场中运动的轨迹半径为r2
由几何关系得2r1＝r2＋
解得r1＝r2
由题意知，粒子在下方磁场中运动的速度为v0，由洛伦兹力提供向心力得
qv1B＝，qv0B＝
由动能定理得qUmin＝
解得Umin＝。
(3)画出粒子的运动轨迹，由几何关系可知P点的位置满足k(2rP－2r2)＋2rP＝xCP(k＝1，2，3，…)。当k＝1时，轨迹如答图乙所示；当k＝5时，轨迹如答图丙所示。由题意可知，每个粒子的整个运动过程中电压恒定，粒子在下面的磁场中运动时，根据洛伦兹力提供向心力，有qv0B＝，解得r2＝，为定值，由第(2)问可知，rP≥r2，所以当k取1，rP＝r2时，xCP取最小值，即CH＝xCPmin＝·，CS→无穷远。
乙
丙
答案： (3)见解析
题型二
1．解析：(1)小球在电磁场中做匀速圆周运动，则电场力与重力平衡，可得
Eq＝mg
R2两端的电压U2＝Ed
根据欧姆定律得U2＝·R2
联立解得E0＝。
(2)若粒子从上极板左端射出，则
r＝
由qvB＝，得B＝
若粒子从上极板右端射出，则粒子运动轨迹如图所示
设粒子在电磁场中做圆周运动的半径为R，根据几何关系
(R－d)2＋(d)2＝R2
解得R＝2d
根据qvB＝m
解得B＝
故为使小球不打在极板上，两极板间磁场的磁感应强度的取值范围是B＞或B＜。
答案：(1)
(2)B＞或B＜
2．BC [由题可知电子所受电场力水平向左，电子从N到P的过程中电场力做负功，故A错误；根据沿着电场线方向电势逐渐降低可知N点的电势高于P点，故B正确；由于洛伦兹力一直都与速度方向垂直，故电子从M到N洛伦兹力都不做功，故C正确；由于M点和P点在同一等势面上，故从M到P电场力做功为0，而洛伦兹力不做功，M点速度为0，根据动能定理可知电子在P点速度也为0，则电子在M点和P点都只受电场力作用，在匀强电场中电子在这两点所受电场力相等，即合力相等，故D错误。故选BC。]
3．B [等离子体垂直于磁场喷入板间时，根据左手定则可得金属板Q带正电荷，金属板P带负电荷，则电流方向由金属棒a端流向b端。等离子体穿过金属板P、Q时产生的电动势U满足q＝qB1v，由欧姆定律I＝和安培力公式F＝BIL可得F安＝B2L×＝，再根据金属棒ab垂直导轨放置，恰好静止，可得F安＝mg sin θ，则v＝；金属棒ab受到的安培力方向沿导轨向上，由左手定则可判定导轨处磁场的方向垂直导轨平面向下。故选B。]
4．D [设样品每平方米载流子(电子)数为n，电子定向移动的速率为v，则时间t内通过样品的电荷量q＝nevtb，根据电流的定义式得I＝＝nevb，当电子稳定通过样品时，其所受电场力与洛伦兹力平衡，则有evB＝e，联立解得U＝B，结合题图可得k＝＝ V/T，解得n≈2.3×1016，故选D。]
5．AC [带正电的粒子受到的洛伦兹力向上偏转，极板MN带正电为发电机正极，A正确；粒子受到的洛伦兹力和电场力相互平衡时，此时令极板间距为d，则qvB＝q，可得U＝Bdv，因此增大间距U变大，增大速率U变大，U大小和正、负带电粒子数密度无关，B、D错误，C正确。故选AC。]
6 / 6命题区间9 带电粒子在复合场中的运动
(满分74分)
题型一 带电粒子在组合场中的运动
1．(14分)(2024·新课标卷T26)一质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子始终在同一水平面内运动，其速度可用图示的直角坐标系内一个点P(vx，vy)表示，vx、vy分别为粒子速度在水平面内两个坐标轴上的分量。粒子出发时P位于图中a(0，v0)点，粒子在水平方向的匀强电场作用下运动，P沿线段ab移动到b(v0，v0)点；随后粒子离开电场，进入方向竖直、磁感应强度大小为B的匀强磁场，P沿以O为圆心的圆弧移动至c(－v0，v0)点；然后粒子离开磁场返回电场，P沿线段ca回到a点。已知任何相等的时间内P沿图中闭合曲线通过的曲线长度都相等。不计重力，求：
(1)粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期；
(2)电场强度的大小；
(3)P沿图中闭合曲线移动1周回到a点时，粒子位移的大小。
2．(12分)(2021·全国甲卷T25 补偿题)如图所示，长度均为L的两块挡板竖直相对放置，间距也为L，两挡板上边缘P和M处于同一水平线上，在该水平线的上方区域有方向竖直向下的匀强电场，电场强度大小为E；两挡板间有垂直纸面向外、磁感应强度大小可调节的匀强磁场。一质量为m，电荷量为q(q>0)的粒子自电场中某处以大小为v0的速度水平向右发射，恰好从P点处射入磁场，从两挡板下边缘Q和N之间射出磁场，运动过程中粒子未与挡板碰撞。已知粒子射入磁场时的速度方向与PQ的夹角为60°，不计重力。
(1)求粒子发射位置到P点的距离；
(2)求磁感应强度大小的取值范围；
(3)若粒子正好从QN的中点射出磁场，求粒子在磁场中的轨迹与挡板MN的最近距离。
3．(16分)(2021·河北卷T14 补偿题)如图所示，一对长平行栅极板水平放置，极板外存在方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，极板与可调电源相连。正极板上O点处的粒子源垂直极板向上发射速度为v0、带正电的粒子束，单个粒子的质量为m、电荷量为q。一足够长的挡板OM与正极板成37°倾斜放置，用于吸收打在其上的粒子。C、P是负极板上的两点，C点位于O点的正上方，P点处放置一粒子靶(忽略靶的大小)，用于接收从上方打入的粒子，CP长度为L0，忽略栅极的电场边缘效应、粒子间的相互作用及粒子所受重力，sin 37°＝。
(1)若粒子经电场一次加速后正好打在P点处的粒子靶上，求可调电源电压U0的大小；
(2)调整电压的大小，使粒子不能打在挡板OM上，求电压的最小值Umin；
(3)若粒子靶在负极板上的位置P点左右可调，则负极板上存在H、S两点(CH≤CP＜CS，H、S两点未在图中标出)，对于粒子靶在HS区域内的每一点，当电压从零开始连续缓慢增加时，粒子靶均只能接收到n(n≥2)种能量的粒子，求CH和CS的长度(假定在每个粒子的整个运动过程中电压恒定)。
题型二 带电粒子在叠加场中的运动
1．(12分)(2022·湖南卷T13 子母题)如图所示，两个定值电阻的阻值分别为R1和R2，直流电源的内阻为r，平行板电容器两极板水平放置，板间距离为d，板长为d，极板间存在方向水平向里的匀强磁场。质量为m、带电量为＋q的小球以初速度v沿水平方向从电容器下板左侧边缘A点进入电容器，做匀速圆周运动，此过程中，小球未与极板发生碰撞，重力加速度大小为g，忽略空气阻力。
(1)求直流电源的电动势E0；
(2)为使小球不打在极板上，求两极板间磁场的磁感应强度的取值范围。
2．(6分)(多选)(2022·广东卷T8 补偿题)如图所示，磁控管内局部区域分布有水平向右的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场。电子从M点由静止释放，沿图中所示轨迹依次经过N、P两点。已知M、P在同一等势面上，下列说法正确的有( )
[A]电子从N到P，电场力做正功
[B]N点的电势高于P点的电势
[C]电子从M到N，洛伦兹力不做功
[D]电子在M点所受的合力大于在P点所受的合力
3．(4分)(2021·河北卷T5 补偿题)如图所示，距离为d的两平行金属板P、Q之间有一匀强磁场，磁感应强度大小为B1，一束速度大小为v的等离子体垂直于磁场喷入板间。相距为L的两光滑平行金属导轨固定在与导轨平面垂直的匀强磁场中，磁感应强度大小为B2，导轨平面与水平面夹角为θ，两导轨分别与P、Q相连。质量为m，电阻为R的金属棒ab垂直导轨放置，恰好静止。重力加速度为g，不计导轨电阻、板间电阻和等离子体中的粒子重力。下列说法正确的是( )
[A]导轨处磁场的方向垂直导轨平面向上，v＝
[B]导轨处磁场的方向垂直导轨平面向下，v＝
[C]导轨处磁场的方向垂直导轨平面向上，v＝
[D]导轨处磁场的方向垂直导轨平面向下，v＝
4．(4分)(2024·江西卷T7)石墨烯是一种由碳原子组成的单层二维蜂窝状晶格结构新材料，具有丰富的电学性能。现设计一电路测量某二维石墨烯样品的载流子(电子)浓度。如图(a)所示，在长为a、宽为b的石墨烯表面加一垂直向里的匀强磁场，磁感应强度为B，电极1、3间通以恒定电流I，电极2、4间将产生电压U。当I＝1.00×10-3 A时，测得U B关系图线如图(b)所示，元电荷e＝1.60×10-19 C，则此样品每平方米载流子数最接近( )
[A]1.7×1019 [B]1.7×1015
[C]2.3×1020 [D]2.3×1016
5．(6分)(多选)(2024·湖北卷T9)磁流体发电机的原理如图所示，MN和PQ是两平行金属极板，匀强磁场垂直于纸面向里。等离子体(即高温下电离的气体，含有大量正、负带电粒子)从左侧以某一速度平行于极板喷入磁场，极板间便产生电压。下列说法正确的是( )
[A]极板MN是发电机的正极
[B]仅增大两极板间的距离，极板间的电压减小
[C]仅增大等离子体的喷入速率，极板间的电压增大
[D]仅增大喷入等离子体的正、负带电粒子数密度，极板间的电压增大
6 / 6
