重庆市第八中学校2024-2025学年高一下学期7月期末考试数学试卷（含答案）

重庆市第八中学校2024-2025学年高一下学期7月期末考试数学试题
一、单选题
1．的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
2．已知是边长为4的等边三角形，则（ ）
A．4 B． C． D．8
3．已知，，为空间中不重合的平面，m，n为空间中不重合的直线，下列命题正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，，则
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A．5 B． C． D．4
5．在等腰梯形中，，，P是底边上的动点，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
6．已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知三棱锥底面边长均为3，侧棱，且平面ABC，则该三棱锥外接球的半径长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
8．已知，函数满足，且在区间上恰好存在两条对称轴，则的最大值为（ ）
A．2 B．5 C．8 D．11
二、多选题
9．已知是虚数单位，复数，则下列说法正确的是（ ）
A．复数z的虚部为 B．
C． D．z在复平面内对应的点在第一象限
10．已知点P是所在平面内一点，且, ，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则点P是边BC的中点
B．若点P是边BC上靠近B点的三等分点，则
C．若，则
D．若点P在BC边的中线上，且，则点P是的重心
11．如图，在正三棱台中，，P，D分别是线段，BC上的点，，是上、下底面的中心，M是底面ABC内一点，下列结论正确的是（ ）
A．
B．若，平面，则点M的轨迹长等于
C．
D．当时，四点、O、D、P构成的图形为直角梯形
三、填空题
12．已知向量，向量，则的值是 .
13．如图，在△ABC中，，DB⊥平面ABC，且，BD＝3，FC＝4，AE＝5.则此几何体的体积为 ．
14．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若边上的高为，当取得最大值时， .
四、解答题
15．已知，，，记在方向上的投影向量为．
(1)求的值；
(2)若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围．
16．如图，正四棱锥P-ABCD的所有棱长均为6，平面平面，平面，点在棱上.
(1)若，求证：平面平面；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.
17．在中，角所对的边分别为，，，.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，其外接圆圆心为O，.记和的面积分别为，，求的取值范围.
18．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，O是AD的中点，平面ABCD，，，平面平面.
(1)求证：；
(2)如图，且，求点M到平面PBC的距离；

(3)设四棱锥P-ABCD的外接球球心为Q，在线段PB上是否存在点E，使得直线与平面AEC所成的角的正弦值为？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由.
19．在平面直角坐标系xOy中，定义向量为函数的有序相伴向量.
(1)设（），写出函数的有序相伴向量；
(2)若的有序相伴向量为，若函数，，与直线有且仅有二个不同的交点，求实数k的取值范围；
(3)若的有序相伴向量为，当函数在区间上时值域为，则称区间为函数的“和谐区间”.当时，是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B B D A A C CD BD
题号 11
答案 ABC
12．
13．96
14．/
15．（1）∵，，与的夹角为30°，，
∴．
（2）∵向量与的夹角为钝角，
∴
，
∴即或，
又与不能共线，
当与共线时，设，，
得，
所以实数的取值范围为．
16．（1）证明：因为平面，平面，所以，即，
因为平面平面，平面平面，，
所以平面，又平面，所以，
所以在平面内，
又，所以在中，，
所以可得，，则，
又因为正四棱锥的所有棱长均相等，则为等腰三角形且为等边三角形，且正四棱锥的所有侧面都是等边三角形，
因为的中点，所以，
因为是正三角形，所以，
因为，平面，平面，
所以平面，因为平面，
所以平面平面．
（2）取的中点，连接，则平面，以为原点，过点作与平行的所在直线为轴，与平行的所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
因为正四棱锥的所有棱长均为，
所以，，，
则，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，直线与平面所成的角为，
则，即，令，则得，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
17．（1），即，
由正弦定理得，，
因为，所以，
又，所以，即，
因为，所以，所以，即．
（2）设外接圆半径为，则，
且由正弦定理，即，
因为，，
所以，
，
所以，
由为锐角三角形知，，，令，
则，
∵，
∴．
18．（1）∵四边形ABCD为正方形，∴，
又平面，平面，∴∥平面，
又平面，平面平面，
∴；
（2）取BC中点N，连接ON，则，
∵平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD，
∴，，
∴以O为原点，OA，ON，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，
于是，，，，
设平面的一个法向量为，
则，得，故可取，
∴点M到平面PBC的距离为．
（3）存在点E，使得直线与平面AEC所成的角的正弦值为，
∵，且平面ABCD为正方形，
∴点Q在平面上的射影是ABCD的中心，
可设，则，
∴，解得．
即，，
设，，
∴，，，
设平面AEC的一个法向量为，
则，得，
取，
设直线与平面AEC所成的角为，
∴，
化简得，∴或，
∴当或时，直线与平面AEC所成角的正弦值为．
19．（1）因为，
所以函数的有序相伴向量；
（2）若的有序相伴向量为，则，
所以
，其中，，
如图所示为的草图：
，，，
由图象可知，若函数与直线有且仅有2个不同的交点，
则或，所以；
（3）有唯一“和谐区间”，理由如下：
，假设存在“和谐区间”，
则由，得，
①若a，，则由，知，与值域矛盾，
故不存在“和谐区间”；
②同理a，时，由，知，与值域矛盾，
故不存在“和谐区间”；
下面讨论，
③若，则，故的最小值为，于是，
所以，所以的最大值为2，故，
此时的定义域为，值域为，符合题意；
④若，当时，同理可得，，但此时，舍去；
当时，在上单调递减，所以，，
于是，
令，则有，
又为奇函数，且在单调递增，
所以，所以
即，同一坐标系内，画出图象与，如下：
可知，当时，，
所以，从而，矛盾．
综上所述，有唯一“和谐区间”．