专题三 电场与磁场
(满分90分)
一、单项选择题：本题共7小题，每小题4分，共28分。每小题只有一个选项符合题目要求。
1．如图所示，真空中两个静止的点电荷电量的绝对值分别为q1、q2，激发的电场的电场线分布如图，图中P、Q两点关于点电荷q1水平对称，P、Q两点的电势分别为φP、φQ，一个带电粒子(仅在电场力作用下)沿虚线轨迹从M移动至N。下列说法正确的是( )
[A]q1[B]φQ>φP
[C]q1、q2连线的延长线上有一点电场强度为零，这一点在q1的左侧
[D]在粒子从M移动至N的过程中它的电势能先变大后变小
2．真空中，在x轴上x＝0和x＝8 m处分别固定两个点电荷Q1和Q2。电荷间连线上的电场强度E随x变化的图像如图所示(＋x方向为电场强度正方向)，其中x＝3 m处E＝0。将一个正试探电荷在x＝2 m处由静止释放(重力不计，取无穷远处电势为零)。则( )
[A]Q1、Q2为等量同种电荷
[B]Q1、Q2带电荷量之比为9∶25
[C]在x＝3 m处电势等于0
[D]该试探电荷向x轴正方向运动时，电势能一直减小
3．如图所示的圆，两条虚线为水平和竖直方向的直径，通电导线a、b分别垂直纸面放在最左端和最下端，优弧ab的中点c处也垂直纸面放一通电导线，三根导线的电流方向如图，电流的大小相等。空间加一磁感应强度大小为B的匀强磁场，圆心O处的磁感应强度为零。仅将c点的电流方向改为垂直纸面向里，则圆心O处的磁感应强度大小应为( )
[A](2＋2)B [B](2－2)B
[C]2B [D]0
4．如图所示，水平面内三点A、B、C为等边三角形的三个顶点，三角形的边长为L，O点为AB边的中点。CD为光滑绝缘细杆，D点在O点的正上方，且D点到A、B两点的距离均为L，在A、B两点分别固定点电荷，电荷量均为－Q。现将一个质量为m、电荷量为＋q的中间有细孔的小球套在细杆上，从D点由静止释放。已知静电力常量为k，重力加速度为g，且k＝mg，忽略空气阻力。下列说法正确的是( )
[A]固定在A、B处两点电荷的合电场在C、D两点的场强相同
[B]小球在D点刚释放时的加速度大小为＋g
[C]小球到达C点的速度大小为
[D]小球在D、C两点之间做往复运动
5．如图所示，横截面是圆的匀强磁场区域(纸面)，其半径为R，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外。一电荷量为－q(q>0)、质量为m的粒子自P点沿与直径PQ成30°角的方向射入圆形磁场区域，粒子射出磁场时的运动方向与直径PQ垂直，不计粒子所受的重力，则粒子的速率和在磁场中运动的时间分别为( )
[A]， ，
[C]， ，
6．如图所示，直角三角形ABC区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，∠A＝60°，∠B＝30°，放置在A点的放射源沿着AC方向发出各种速率的带负电粒子，放置在B点的放射源沿着BC方向发出各种速率的带正电粒子，正、负粒子的比荷相同，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。若从边界AC飞出的正粒子在磁场中飞行的最长时间为t，则从边界BC飞出的负粒子在磁场中飞行的最长时间为( )
[A]t [B]t
[C]t [D]2t
7．如图所示，半径为R、圆心为O的圆形区域内有方向垂直于纸面向外的匀强磁场(图中未画出)。两个质量、电荷量都相同的带正电粒子，以不同的速率从a点先后沿直径ac和弦ab方向射入磁场区域，ab和ac的夹角为30°，已知沿ac方向射入的粒子刚好从b点射出，沿ab方向射入的粒子刚好从O点正下方射出，不计粒子重力。则( )
[A]沿ac方向射入的粒子在磁场中运动轨迹半径为R
[B]沿ab方向射入的粒子在磁场中运动轨迹半径为R
[C]沿ac方向射入的粒子与沿ab方向射入的粒子在磁场中运动的时间之比为2∶1
[D]沿ac方向射入的粒子与沿ab方向射入的粒子在磁场中运动的周期之比为1∶2
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。
8．如图所示，真空中固定两个等量异种点电荷A、B，其连线中点为O。在A、B所形成的电场中，以O点为圆心、半径为R的圆面垂直AB，以O为几何中心、边长为2R的正方形abcd平面垂直圆面且与AB共面，两平面边线交点分别为e、f ，g为圆面边缘上一点。下列说法正确的是( )
[A]圆面边缘上各点，电场强度均相同，电势都相等
[B]沿线段eOf 移动的电荷受到的电场力先减小后增大
[C]将一试探电荷由e点沿圆弧egf 移到f 点，电场力始终不做功
[D]将一试探电荷由a点移到O点比由a点移到e点电势能的变化量大
9．如图甲所示，两平行金属板A、B放在真空中，间距为d，P点在A、B板间，A、B板间的电势差U随时间t的变化情况如图乙所示，t＝0时，在P点由静止释放一质量为m、电荷量为e的电子，当t＝2T时，电子回到P点。电子运动过程中未与极板相碰，不计重力，下列说法正确的是( )
甲 乙
[A]U1∶U2＝1∶2
[B]U1∶U2＝1∶3
[C]在0～2T时间内，当t＝T时电子的电势能最小
[D]在0～2T时间内，电子的电势能减小了
10．如图所示，边长为L的正三角形abc区域内存在方向垂直纸面向外的匀强磁场(图中未画出)，正三角形中心O有一粒子源，可以沿abc平面任意方向发射相同的带电的粒子，粒子质量为m，电荷量为q。粒子速度大小为v时，恰好没有粒子穿出磁场区域，不计粒子的重力。下列说法正确的是( )
[A]磁感应强度大小为
[B]磁感应强度大小为
[C]若发射粒子速度为2v时，在磁场中运动的最短时间为
[D]若发射粒子速度为2v时，在磁场中运动的最短时间为
三、非选择题：本题共3小题，共44分。
11．(14分)如图甲所示，竖直挡板MN左侧空间有方向竖直向上的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，电场和磁场的范围足够大，电场强度E＝40 N/C，磁感应强度B随时间t变化的关系图像如图乙所示，选定磁场垂直纸面向里为正方向。t＝0时刻，一带正电的微粒质量m＝8×10-4 kg、电荷量q＝2×10-4 C，在O点具有方向竖直向下、大小为0.12 m/s的速度v，O′是挡板MN上一点，直线OO′与挡板MN垂直，g取10 m/s2。求：
甲 乙
(1)微粒再次经过直线OO′时与O点的距离；
(2)微粒在运动过程中离开直线OO′的最大距离(结果保留3位有效数字)；
(3)水平移动挡板，使微粒能垂直射到挡板上，挡板与O点间的水平距离应满足的条件。
12．(14分)如图甲所示，在xOy平面的第Ⅰ象限内有沿x轴正方向的匀强电场E1，在x≤0区域内同时存在着竖直向上的匀强电场E2和垂直纸面的磁场B1(未画出)，E1＝0.1 N/C，E2＝0.25 N/C，磁场B1随时间t变化的规律如图乙所示，t0＝ s，设垂直纸面向外为磁场正方向。一个质量为m、电荷量为q的带正电液滴从P点以速度v0＝2 m/s沿x轴负方向入射，恰好沿y轴负方向以速度v经过原点O后进入x≤0的区域。已知m＝5×10-6 kg，q＝2×10-4 C，t＝0时液滴恰好通过O点，重力加速度g取10m/s2。
(1)求液滴第一次到达O点时速度v的大小；
(2)求液滴在0～5t0时间内的路程。
13．(16分)如图所示，金属板的右侧存在两种左右有理想边界的匀强磁场，磁场的上边界AE与下边界BF间的距离足够大。ABCD区域里磁场的方向垂直于纸面向里，CDEF区域里磁场的方向垂直于纸面向外，两区域中磁感应强度的大小均为B，两磁场区域的宽度相同。当加速电压为某一值时，一电子由静止开始，经电场加速后，以速度v0垂直于磁场边界AB进入匀强磁场，经t0＝的时间后，垂直于另一磁场边界EF离开磁场。已知电子的质量为m，电荷量为e。则：
(1)求每一磁场的宽度d；
(2)若要保证电子能够从磁场右边界EF穿出，加速电压U至少应大于多少？
(3)现撤去加速装置，使ABCD区域的磁感应强度变为2B，使电子仍以速率v0从磁场边界AB射入，可改变射入时的方向(其他条件不变)。要使得电子穿过ABCD区域的时间最短时，求电子穿过两区域的时间t。
7 / 7专题过关验收卷·专题三
1．D [根据电场线分布可知，q1处电场强度大，故q1>q2，A错误；根据电场线与等势面垂直，可分别画出过P、Q两点的等势面，电场线越密的电势降落越快，故φQ<φP，B错误；因为q1>q2，所以q1、q2连线的延长线上电场强度为零的点在q2的右侧，C错误；根据带电粒子的运动轨迹可知，该粒子所受电场力的方向与电场方向相反，故带负电，电场力先做负功后做正功，故电势能先变大后变小，D正确。]
2．B [由x＝3 m处E＝0，可知Q1、Q2带同种电荷，根据电场强度的叠加有－＝0，整理得＝，A错误，B正确；由于无穷远处电势为零，两电荷为同种正电荷，可知在x＝3 m处电势不为零，C错误；该试探电荷向x轴正方向运动时，电场力先做正功，电势能减小，后做负功，电势能又开始增大，D错误。]
3．B [
假设三根导线a、b、c在圆心O处产生的磁感应强度大小为B0，由安培定则可知三根导线在O点产生的磁场情况如图所示。由于空间加一磁感应强度大小为B的匀强磁场，圆心O处的磁感应强度为零，则B＝＝(＋1)B0，如果仅将导线c的电流反向，则O点的磁感应强度大小为B′＝＝(2－2)B，B正确。]
4．C [在A、B两点分别固定一点电荷，电荷量均为－Q，那么A、B两点在D点的电场强度方向由D指向O，在C点的电场强度方向由C指向O，根据点电荷场强公式E＝k，以及矢量合成法则可知，C点和D点的电场强度大小相同，但方向不同，故A错误；小球在D点刚释放时，小球受到A点电荷的库仑力大小为FA＝k，受到B点电荷的库仑力大小为FB＝k，因为它们的夹角为60°，则库仑力合力大小为F库＝k，小球除受到库仑力外还受到重力和支持力，它们的合力为F＝(F库＋mg)cos 45°＝2mg·cos 45°，根据牛顿第二定律，可得小球加速度为a＝＝＝g，故B错误；由题意可知，C、D处于A、B两点电荷的连线的中垂面上，且C、D到中点O点距离相等，那么C点的电势和D点的电势相等，则小球从D点到C点的过程中，重力做正功，库仑力做功为零，根据动能定理可得mgL sin 60°＝mv2，解得v＝＝，故C正确；因小球到达C点时速度沿杆向下，故小球不可能在D、C两点之间做往复运动，故D错误。]
5．B [根据题意作图，
连接MO，如图所示，根据几何关系可知四边形O′MOP为菱形，所以粒子的运动半径与磁场半径相等，由洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，解得v＝，粒子在磁场中转过的圆心角∠MO′P＝120°，运动的时间t＝·T＝·＝，故A、C、D错误，B正确。]
6．C [由题所给条件：正、负粒子的比荷相同，可知正负粒子在磁场中做圆周运动的周期相同。从A点飞出的正粒子飞行时间最长，由几何关系可知，从A点飞出的正粒子运动的圆心角为60°，则t＝·，从BC飞出速度方向与BC相切的负粒子，在磁场中飞行的时间最长，由几何关系可知，从BC飞出的负粒子运动的圆心角为90°，则粒子运动时间为t′＝·＝。故选C。]
7．C [沿ac方向射入的粒子，从b点射出，偏转角为60°，粒子轨道半径r＝2R cos 30°＝R，A错误；沿ab方向射入的粒子，刚好从O点正下方射出，偏转角为30°，则根据余弦定理得(R)2＝2r′2－2r′2cos 30°，解得r′＝(＋1)R，B错误；根据T＝可知，两粒子在磁场中运动的周期相等，根据t＝T可知两粒子在磁场中运动的时间之比为t∶t′＝60°∶30°＝2∶1，C正确，D错误。]
8．AC [由等量异种点电荷的电场分布可知，圆面边缘上各点，电场强度均相同，该面是等势面，电势都相等，选项A正确；在eOf 线上，O点电场强度最大，则沿线段eOf 移动的电荷受到的电场力先增大后减小，选项B错误；竖直圆面egf 是等势面，电场强度方向与该面垂直，则将一试探电荷由e点沿圆弧egf 移到f 点，电场力始终不做功，选项C正确；因O点和e点电势相等，则将一试探电荷由a点移到O点与由a点移到e点电势能的变化量相等，选项D错误。]
9．BD [0～T时间内平行板间的电场强度为E1＝，电子以加速度a1＝＝向上做匀加速直线运动，当t＝T时电子的位移x1＝a1T2，速度v1＝a1T。T～2T时间内平行板间的电场强度E2＝，电子加速度a2＝，以v1的初速度向上做匀减速直线运动，速度变为0后开始向下做匀加速直线运动，位移x2＝，由题意知t＝2T时电子回到P点，则x1＋x2＝0，联立可得U2＝3U1，A错误，B正确。当速度最大时，电子动能最大，电势能最小，而0～2T时间内电子先向上做匀加速直线运动，之后做匀减速直线运动，后又做方向向下的匀加速直线运动，在t＝T时，电子的动能Ek1＝＝，电子在t＝2T时回到P点，此时速度v2＝v1－a2T＝－(负号表示方向向下)，电子的动能为Ek2＝＝，Ek1＜Ek2，根据能量守恒定律知，电势能的减少量等于动能的增加量，在t＝2T时电子的电势能最小，C错误，D正确。]
10．BC [磁场垂直纸面向外，粒子恰好没有穿出磁场区域，因此粒子做圆周运动的直径等于O点垂直于cd的线段大小，设垂足为d，由几何关系得Od＝L，所以，半径为r＝L，由于洛伦兹力提供向心力，即有qvB＝m，得B＝＝，A错误，B正确；当发射粒子速度为2v时，由公式qvB＝m，得r′＝＝，求最短时间，也就是在磁场中转过最小的角度，当粒子从垂足d出去时，时间最短，由几何关系可得，转过的角度为θ＝60°，则时间为，又因为T＝＝＝，则t＝＝，C正确，D错误。]
11．解析：(1)由题意可知，微粒所受的重力为G＝mg＝8×10-3 N
电场力的大小为F＝qE＝8×10-3 N
qE＝mg，因此重力与电场力平衡
微粒在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有qvB＝m
代入数据解得R＝0.6 m
由公式T＝可解得T＝10π s
则微粒在0～5π s内转过半个圆周，再次经过直线OO′时与O点的距离l＝2R＝1.2 m。
(2)微粒运动半个周期后向上匀速运动，运动的时间为t＝5π s，轨迹如图所示，位移大小s＝vt
解得s≈1.88 m
因此，微粒离开直线OO′的最大距离l′＝s＋R＝2.48 m。
(3)由图可知，要使微粒能垂直打在挡板上，挡板MN与O点间的水平距离应满足L＝(2n＋1)R＝0.6(2n＋1) m (n＝0，1，2，…)
答案：(1)1.2 m (2)2.48 m (3)L＝0.6(2n＋1) m (n＝0，1，2，…)
12．解析：(1)对液滴在水平方向和竖直方向的运动由动量定理有
－E1qt＝0－mv0
mgt＝mv
解得
v＝5 m/s。
(2)液滴在第Ⅱ、Ⅲ象限有E2q＝mg
则液滴在第Ⅱ、Ⅲ象限中在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，则
qvB1＝m，T＝
当B1＝2 T时，r1＝ m，T1＝ s
当B1＝4 T时，r2＝ m，T2＝ s
液滴在0～5t0，即0～ s内运动轨迹如图所示
则液滴在0～5t0，即0～ s时间内的路程
s＝πr1＋2πr2
解得s＝ m。
答案：(1)5 m/s (2) m
13．解析：(1)由题意可知电子在每一磁场中做匀速圆周运动的周期T＝
电子在每一磁场中运动的时间为
t1＝＝＝
故电子在每一磁场中转过的角度为
故电子在两匀强磁场的运动轨迹如图所示
电子在磁场中运动时，洛伦兹力提供向心力，则
evB＝
由图可知d＝r sin 45°
解得d＝。
(2)若电子恰好不从EF边穿出磁场，电子应和CD相切，在ABCD区域中转半圈后从AB边离开磁场，设此时对应的电压为U，电子进入磁场时的速度为v，则
evB＝m
R＝d
eU＝mv2
解得U＝。
(3)若要电子穿过ABCD区域的时间最短，则需要电子对称地穿过ABCD区域，运动轨迹如图所示
电子在两区域的半径关系为r2＝2r1＝
由sin θ＝
解得θ＝
在ABCD区域的周期T1′＝
第一段时间为t1′＝T1′＝
在区域CDEF中的圆心必在EF上(如图所示)，且
φ＝θ
在CDEF区域的周期T2′＝
第二段时间t2′＝T2′＝
通过两区域的总时间t＝t1′＋t2′＝。
答案：(1) (3)
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