第二章对称图形——圆暑假预习练（含解析） 苏科版数学九年级上册

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第二章对称图形——圆
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在直角坐标系中，如果是以原点为圆心，以为半径的圆，那么点的位置（ ）
A．在内 B．在外 C．在上 D．不能确定
2．如图，五边形ABCDE内接于⊙O，若∠CAD＝40°，则∠B+∠E的度数是（　　）
A．200° B．215° C．230° D．220°
3．在同一平面内，点P到圆上的点的最大距离为7，最小距离为1，则此圆的半径为( )
A．6 B．4 C．3 D．4或3
4．如图，已知空间站A与星球B距离为a，信号飞船C在星球B附近沿圆形轨道行驶，B，C之间的距离为b．数据S表示飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最小值是（ ）
A．a B． C． D．b
5．如图，有一圆弧形桥拱，已知圆弧所在圆的半径，桥拱的跨度，则拱高为（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示，等边的顶点在⊙上，边、与⊙分别交于点、，点是劣弧上一点，且与、不重合，连接、，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，A，B，C是⊙O上三点，∠ACB=25°，则∠BAO的度数是（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
8．如图所示，四边形的四个顶点都在上，称这样的四边形为圆内接四边形，则图中（ ）
A． B． C． D．
9．如图，圆锥母线长，底面圆半径，则圆锥侧面展开图的圆心角是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在⊙O中，点A是的中点，∠ADC＝24°，则∠AOB的度数是（　　）
A．24° B．26° C．48° D．66°
11．如图，在半径为，圆心角等于45°的扇形AOB内部作一个正方形CDEF，使点C在OA上，点D、E在OB上，点F在上，则阴影部分的面积为（结果保留π）（ ）
A． B． C． D．
12．一个扇形的弧长是，面积是，则此扇形的半径是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知⊙O是正方形ABCD与正三角形EFG的外接圆，正方形的边长为a，则正三角形EFG的边长为 ．
14．如图，在中，，，，以为圆心，长为半径的圆弧交于点．若、、三点中只有一点以为圆心的内，则的半径的取值范围是 ．

15．如图，，，分别切于A，B，E点．
（1）若，则 ；
（2）若，则的周长 ．
16．小于半圆的弧（如图中的 ）叫做 ；大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中的 ）叫做 ．
17．定义：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段 相连组成的 图形叫做多边形，各边相等 也相等的多边形叫做正多边形．
三、解答题
18．如图，⊙O的直径CD分别与弦AB、AF交于点E、H，连接CF、AD、AO，已知CF=CH、．
(1)求证：AB⊥CD；
(2)若AE=4、OH=1，求AO的长；
19．如图，某家设计公司设计了这样一种纸扇：纸扇张开的最大角度与的比为黄金比，那么制作一把这样的纸扇至少要用多少平方厘米的纸？（纸扇有两面，结果精确到）
20．如图，已知是的直径，弦于点，点在上，.
（1）判断、的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求线段的长；
（3）若恰好经过圆心，求的度数.
21．下列图形是中心对称图形吗？如是中心对称图形，指出其对称中心．
22．如图,已知等边△ABC内接于☉O,BD为内接正十二边形的一边,CD=5 cm,求☉O的半径R.
23．如图，直线分别与⊙O相切于点，且．求：
（1）的度数；
（2）⊙O的半径．
24．如图，大蚂蚁沿着大圆爬一圈，小蚂蚁沿着两个小圆各爬了一圈．谁爬的路程长？请通过计算说明．
《第二章对称图形——圆》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D D B C C C B C C
题号 11 12
答案 B B
1．C
【分析】勾股定理求得的长，然后根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【详解】解：的半径为，点A到圆心的距离为，
即点A到圆心的距离等于圆的半径，
点A在上．
故选：C．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：设的半径为r，点P到圆心的距离，则有点P在圆外 ；点P在圆上 ；点P在圆内 ．
2．D
【分析】连接CE，根据圆内接四边形对角互补可得∠B+∠AEC=180°，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠CED=∠CAD，然后求解即可．
【详解】解：如图，连接CE，
∵五边形ABCDE是圆内接五边形，
∴四边形ABCE是圆内接四边形，
∴∠B+∠AEC=180°，
∵∠CED=∠CAD=40°，
∴∠B+∠AED=180°+40°=220°．
故选D．
【点睛】本题考查了圆周角定理及圆内接四边形的性质，同弧所对的圆周角相等的性质，熟记性质并作辅助线构造出圆内接四边形是解题的关键．
3．D
【分析】分清楚情况P在圆内和圆外，然后再进行计算即可
【详解】当P点在圆内时，半径为（7+1）÷2=4
当P点在圆外时，半径为（7-1）÷2=3
故选D
【点睛】本题考查点到圆的距离，能够分析出两种情况是解题关键
4．B
【分析】此题主要考查线段长度的最值，
只有空间站A与星球B、飞船C在同一直线上，且点C在之间时，S取到最小值，据此求解即可．
【详解】解：空间站A与星球B、飞船C在同一直线上时，S取到最小值．
故选：B．
5．C
【分析】根据垂径定理和勾股定理得出求解即可．
【详解】解：根据垂径定理可知，
在直角中，根据勾股定理得：
则
解得：或4，
根据题中，可知不合题意，故舍去，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理等知识，得出关于的等式是解题关键．
6．C
【分析】根据等边三角形的性质可得，再根据圆内接四边形的对角互补即可求得答案．
【详解】解：是等边三角形，
，
，
故选C．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质及圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
7．C
【分析】连接OB，要求∠BAO的度数，只要在等腰三角形OAB中求得一个角的度数即可得到答案，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠AOB=50°，然后根据等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理即可求得．
【详解】解：连接OB，
∵∠ACB=25°，
∴∠AOB=2×25°=50°，
由OA=OB，
∴∠BAO=∠ABO，
∴∠BAO=（180°﹣50°）=65°．
故选C．
【点睛】考点：圆周角定理．
8．B
【分析】先证明：∠DAC+∠ACD=∠DBC+∠ABD=∠ABC，再利用三角形的内角和定理可得： 再利用四边形的内角和可得答案.
【详解】由圆内接四边形对角互补得．
证明:
连接AC、BD
∵∠DAC=∠DBC，∠ACD=∠ABD(同弧所对的圆周角相等)
∴∠DAC+∠ACD=∠DBC+∠ABD=∠ABC
∵∠DAC+∠ACD+∠ADC=180°(三角形内角和180°)
∴∠ABC+∠ADC=180°
故选B
【点睛】本题考查圆内接四边形对角互补的知识点，牢记定理是解题关键．
9．C
【分析】知道圆锥底面圆的半径，则可求得底面圆的周长，即圆锥侧面展开图扇形的弧长，又知扇形的半径，根据弧长公式可求得扇形的圆心角．
【详解】圆锥底面圆的周长为：，则
解得：
即圆锥侧面展开图的圆心角是120°
故选：C．
【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图中求圆心角的问题，掌握上述知识是解题关键．
10．C
【分析】直接利用圆周角求解．
【详解】解：∵点A是的中点，
∴，
∴∠AOB=2∠ADC=2×24°=48°．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
11．B
【分析】首先要明确，然后依面积公式计算即可．
【详解】解：连接OF，
∵∠AOD=45°，四边形CDEF是正方形，
∴OD=CD=DE=EF，
在Rt△OFE中，OE=2EF，
∵OF=，，
∴，
解得：EF=1，
∴EF=OD=CD=1，
∴
．
故选：B．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算，勾股定理的应用，得到正方形和三角形的边长是解题的关键．
12．B
【分析】根据扇形面积公式和扇形的弧长公式之间的关系：S扇形=，把对应的数值代入即可求得半径r的长．
【详解】解：∵S扇形=，
∴，
∴r=12（cm）；
故选：B．
【点睛】本题考查了扇形面积和弧长公式之间的关系，解此类题目的关键是掌握住扇形面积公式和扇形的弧长公式之间的等量关系：S扇形=．
13．
【分析】连接AC、OE、OF，作OM⊥EF于M，先求出圆的半径，再在Rt△OME中利用30°角的性质即可解决问题．
【详解】解：连接AC、OE、OF，作OM⊥EF于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝a，∠ABC＝90°，
∴AC是直径，AC＝a，
∴OE＝OF＝a，
∵OM⊥EF，
∴EM＝MF，
∵△EFG是等边三角形，
∴∠GEF＝60°，
在Rt△OME中，
∵OE＝a，∠OEM＝∠GEF＝30°，
∴EM＝OE＝a，
∴EF＝a．
故答案为a．
【点睛】本题主要考查正多边形和圆，关键是掌握正多边形的性质和圆的性质，同时作辅助线也是解题的关键．
14．
【分析】解直角三角形得到AB的长，然后由B，C，D与⊙A的位置，确定⊙A的半径的取值范围．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，
∴AB＝2BC＝4，，
则AD＝AB﹣BD＝4﹣2＝2，
∵B、C、D三点中只有一点在⊙A内，
∴⊙A的半径r的取值范围是．
故答案是：．
【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，要确定点与圆的位置关系，主要根据点与圆心的距离与半径的大小关系来进行判断．当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
15． 70° 20cm
【分析】（1）连接OA、OB和OE，根据圆的切线性质求出∠AOB的度数，再次利用圆的切线的性质求出∠AOC=∠EOC=∠AOE和∠EOD=∠EOB，即可得出答案；
（2）根据切线长定理得出CE=CA，DE=DB，PA=PB，再结合周长公式计算即可得出答案．
【详解】（1）连接OA、OB和OE，
∵点A和点B均为圆O的切点，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∴∠AOB＝360°﹣∠P﹣∠PAO﹣∠PBO＝140°，
又CA和CE均为圆的切线，
∴∠ACO=∠ECO，∠OAC=∠OEC=90°，
∴∠AOC=∠EOC=∠AOE，
同理可得∠EOD=∠EOB，
∴∠COD=∠EOC+∠EOD=∠AOE＋∠EOB＝∠AOB=70°，
故答案为：70°；
（2）∵PA、PB和CD分别切圆O于点A、B和E点，
∴CE=CA，DE=DB，PA=PB，
∴△PCD的周长=PC+PD+CD=PC+AC+PD+DB=PA+PB=2PA=20cm，
故答案为：20cm．
【点睛】本题考查的是圆的切线，难度适中，需要熟练掌握圆的切线的性质以及切线长定理．
16． （或） 劣弧 （或） 优弧
【分析】根据劣弧和优弧的定义即可直接填空．
【详解】小于半圆的弧（如图中的（或））叫做劣弧；大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中的（或））叫做优弧．
故答案为：（或），劣弧；（或），优弧．
【点睛】本题考查找出圆中的优弧和劣弧及优弧和劣弧的定义．掌握优弧和劣弧的定义是解答本题的关键．
17． 首尾顺次 封闭 各内角
【分析】根据多边形及正多边形的定义进行解答即可．
【详解】解：在一个平面内，由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭图形叫做多边形．如果多边形的各边都相等，各内角也相等，那么就称它为正多边形．
故答案为∶ 首尾顺次，封闭，各内角．
【点睛】此题考查了多边形和正多边形的定义，解题的关键是熟知它们的定义．
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先证明AH=AD，再证明∠HAE=∠DAE即可得到结论；
（2）证明HE=DE，设OE=x，得HE=DE =x+1，OD=AO =2x+1，再由勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）∵CF=CH，
∴∠F=∠CHF．
∵∠F=∠D，∠CHF=∠AHD，
∴∠D=∠AHD，
∴AH=AD．
∵=，
∴∠HAE=∠DAE．
∴AE⊥HD，即AB⊥CD．
（2）∵AH=AD，∠HAE=∠DAE，
∴HE=DE．
设OE=x．
∵OH=1，
∴HE=x+1=DE，
∴OD=2x+1=AO．
在Rt△OAE中，∵OE2+AE2=AO2，AE＝4，
∴x2+42=(2x+1)2，
解得x1=-3（舍去），x2=．
∴AO=2×+1=，
即AO的长等于．
【点睛】可不是主要考查了圆周角定理，勾股定理运用，等腰三角形的性质等知识，会结合题意灵活运用勾股定理和方程思想是解题的关键．
19．约
【分析】本题的关键是θ与360°－θ的比是黄金比，求得θ, 再根据纸面为两个扇形面积的差，可求得答案．
【详解】解:∵θ与360°-θ的比为黄金比，
∴
解得:
∴所用纸的面积=cm2
【点睛】本题主要考查扇形面积的计算以及黄金比，掌握扇形的面积公式是解题的关键．
20．（1）；（2）16；（3）30°
【分析】（1）根据圆周角定理可得出∠M=∠D=∠C，由此即可得出结论；
（2）先根据AE=16，BE=4得出OB的长，进而得出OE的长，连接OC，根据勾股定理得出CE的长，进而得出结论；
（3）根据题意画出图形，根据圆周角定理可知，∠M=∠BOD，由∠M=∠D可知∠D=∠BOD，故可得出∠D的度数．
【详解】（1）BC∥MD．理由如下：
∵∠M=∠D，∠M=∠C，∴∠D=∠C，∴BC∥MD；
（2）连接OC．
∵AE=16，BE=4，∴OB==10，∴OE=10﹣4=6．
∵CD⊥AB，∴CE=CD．在Rt△OCE中，∵OE2+CE2=OC2，即62+CE2=102，解得：CE=8，∴CD=2CE=16；
（3）如图2．
∵∠M=∠BOD，∠M=∠D，∴∠D=∠BOD，即∠BOD=2∠D．
∵AB⊥CD，∴∠BOD+∠D=90°，即3∠D=90°，解得：∠D=30°．
【点睛】本题考查了垂径定理，熟知“平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”是解答此题的关键．
21．中心对称图形有禁止标志、风轮叶片、正方形、正六边形；对称中心分别是圆心、中心、对角线交点、中心．
【分析】根据中心对称图形的定义即可求解，再找到其对称中心即可．
【详解】解：图中是中心对称图形的有禁止标志、风轮叶片、正方形、正六边形．
对称中心分别是圆心、中心、对角线交点、中心．
【点睛】本题考查的是中心对称图形的定义，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
22．5.
【详解】试题分析：首先连接OB，OC，OD，由等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，可求得∠BOC，∠BOD的度数，继而证得△COD是等腰直角三角形，继而求得答案．
试题解析：连接OB、OC、OD.
∵等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，
∴∠BOC＝×360°＝120°，∠BOD＝×360°＝30°.
∴∠COD＝∠BOC－∠BOD＝90°.
∵OC＝OD，∴∠OCD＝45°.
∴OC＝CD·cos45°＝5× ＝5(cm)．
∴⊙O的半径R＝5 cm.
【点睛】本题考查了正多边形与圆以及等腰直角三角形性质，正确地添加辅助线是解题的关键，注意掌握数形结合思想的应用．
23．（1）90°；（2）
【分析】（1）根据切线的性质得到OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，再根据平行线的性质得∠GCF+∠EBF=180°，则有∠OBC+∠OCB=90°，即∠BOC=90°；
（2）由勾股定理可求得BC的长，再根据三角形的面积，即可求得半径．
【详解】解：（1）连接OF；
根据切线长定理得：BE=BF，CF=CG，
∠OBF=∠OBE，∠OCF=∠OCG；
∵AB∥CD
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠OBF+∠OCF=90°，
∴∠BOC=90°；
（2）∵OB=6cm，OC=8cm，
∴BC=10cm，
故半径为：4.8．
【点睛】此题主要是综合运用了切线长定理和切线的性质定理．由勾股定理可求得BC的长是关键．
24．大蚂蚁和小蚂蚁爬的路程一样长，见解析
【分析】利用圆的周长公式分别求出大、小蚂蚁爬行的路程，然后比较即可．
【详解】解：大圆的周长，两个小圆的周长和，
∴大圆的周长＝两个小圆的周长和，
∴大蚂蚁和小蚂蚁爬的路程一样长．
【点睛】本题考查了圆的认识，圆的周长的计算，熟练掌握圆的周长公式是解题的关键．
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