1.4用一元二次方程解决问题暑假预习练（含解析） 苏科版数学九年级上册

中小学教育资源及组卷应用平台
1.4用一元二次方程解决问题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．今年我市计划扩大城区绿地面积，现有一块长方形绿地，它的短边长为60m，若将短边增长到长边相等（长边不变），使扩大后的绿地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加1600，设扩大后的正方形绿地边长为xm，下面所列方程正确的是（ ）
A．x（x-60）=1600
B．x（x+60）=1600
C．60（x+60）=1600
D．60（x-60）=1600
2．如图，在长为32m，宽为20m的矩形空地上修建同样宽的道路（图中阴影部分），剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为540m2．设道路的宽为xm，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　）
A．32x+20x﹣2x2＝540
B．32x+20x＝32×20﹣540
C．（32﹣x）（20﹣x）＝540
D．（32﹣x）（20﹣x）＝32×20﹣540
3．某种服装，平均每天可销售50件，每件利润40元．若每件降价5元，则每天多售10件．如果要在扩大销量的同时，使每天的总利润达到2100元，每件应降价多少元？若设每件应降价元，则可列方程得（ ）
A． B．
C． D．
4．芳芳有一个无盖的收纳箱，该收纳箱展开后的图形（实线部分）如图，将该图形补充四个边长为的小正方形后，得到一个矩形，已知矩形的面积为，根据图中信息，可得的值为（ ）
A．10 B．20 C．25 D．30
5．某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒．设平均每次降价的百分率为，根据题意所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．国家实施”精准扶贫“政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人．设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为，根据题意列方程得（　　）
A． B． C． D．
7．如图，一次函数y＝2x+3的图像交y轴于点A，交x轴于点B，点P在线段AB上（不与A，B重合），过点P分别作OB和OA的垂线，垂足分别为C，D．当矩形OCPD的面积为1时，点P的坐标为（）
A． B．（1，1） C．或（1，1） D．不存在
8．某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有飞机场( )
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
9．某水产品公司今年10月的营业额为25万元，按计划12月的营业额要达到36万元，设该公司11，12两月的营业额的月平均增长率为，根据题意列方程，则下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．某公司有总经理1名，部门经理名，每个部门有名普通员工．若总经理、部门经理、普通员工共57人，则该公司部门经理的人数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
11．方程的整数解有（ ）
A．3组 B．4组 C．5组 D．6组
12．九年级举行篮球赛，初赛采用单循环制（每两个班之间都进行一场比赛），据统计，比赛共进行了28场，求九年级共有多少个班．若设九年级共有x个班，根据题意列出的方程是（　　）
A．x（x﹣1）=28 B．x（x﹣1）=28 C．2x（x﹣1）=28 D．x（x+1）=28
二、填空题
13．某商品原价100元，经过连续两次涨价后，售价为144元，设两次涨价的百分率相同，则这个百分率是 ．
14．某工厂一月份生产零件1000个，二月份生产零件1200个，那么二月份比一月份增产 个增长率是 .
15．据调查，某市2012年的房价为4000元/，预计2014年将达到4840元/，求这两年的年平均增长率，设年平均增长率为，根据题意，所列方程为
16．某种商品经过连续两次降价后，由原来的每件60元下调至每件48.6元，求这种商品平均每次降价的百分率是 ．
17．如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当△PQC的面积等于16cm2时，运动时间为 s．
三、解答题
18．小冰准备将家中一幅长2m，宽1.4m的人物画镶在班级后墙的中央，并且四周必须留相等的距离，已知班级后墙长8m，高4m，请问画的四周与墙的宽度为多少？
19．某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．
（1）求每个月生产成本的下降率；
（2）请你预测4月份该公司的生产成本．
20．在一块面积为的矩形材料的四角，各剪掉一个大小相同的正方形（剪掉的正方形作废料处理，不再使用），做成一个无盖的长方体盒子，要求盒子的长为，宽为高的2倍，盒子的宽和高应为多少？
21．某种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有100台电脑被感染．每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？
22．第四届数字中国建设峰会于2021年4月25日在福州开幕，在其中一场数字产品的交易碰头会上，与会的每两家公司之间都签订了一份互助协议，所有公司共签订了210份协议，求共有多少家公司参加这场交易碰头会？
23．某军舰以的速度由西向东航行，一艘电子侦察船以的速度由南向北航行，它能侦察出周围（包括）范围内的目标．如图，当该军舰行至A处时，电子侦察船正位于A处正南方向的B处，且．如果军舰和侦察船仍按原速度沿原方向继续航行，那么航行途中侦察船能否侦察到这艘军舰？如果能，最早何时能侦察到？如果不能，请说明理由．
24．一个两位数，十位数字与个位数字之和是6，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的积是1008，求这个两位数．
《1.4用一元二次方程解决问题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C A B C B C B C A
题号 11 12
答案 D B
1．A
【分析】根据题意可得扩建的部分相当于一个长方形，这个长方形的长和宽分别为xm和（x－60）m，根据长方形的面积计算法则列出方程．
【详解】解：由题意得扩建的部分相当于一个长方形，这个长方形的长和宽分别为xm和（x－60）m，
∴，
故选A.
2．C
【分析】把道路进行平移，可得草坪面积＝长为32﹣x，宽为20﹣x的面积，把相关数值代入即可求解．
【详解】解：把道路进行平移，可得草坪面积为一个矩形，长为32﹣x，宽为20﹣x，
∴可列方程为：（32﹣x）（20﹣x）＝540．故选C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，是正确列出一元二次方程的关键．
3．A
【分析】关系式为：每件服装的盈利×（原来的销售量+增加的销售量）＝2100，设每件服装应降价x元，根据题意，即可列出方程．
【详解】解：设每件服装应降价x元，根据题意，得：
故选：A．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，得到现在的销售量是解决本题的难点；根据每天盈利得到相应的等量关系是解决本题的关键．
4．B
【分析】根据题意和图形信息得到补全后的矩形长为x+30，宽为x+20,根据矩形的面积公式即可列出方程进行求解.
【详解】依题意得到补全后的矩形长为x+30，宽为x+20,
故(x+30)( x+20)=2000,
解得x1=20,x2=-70(舍去)
故选B.
【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系进行列式.
5．C
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格降低的百分率，把相应数值代入即可求解．
【详解】解：设平均每次降价的百分率为，
则第一次降价后的价格为：，
第二次降价后的价格为：，
故，
故选C．
6．B
【分析】等量关系为：2016年贫困人口年贫困人口，把相关数值代入计算即可．
【详解】解：设这两年全省贫困人口的年平均下降率为，根据题意得：
，
故选B．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，得到2年内变化情况的等量关系是解决本题的关键．
7．C
【分析】设，由题意可得，则，，列方程求解即可．
【详解】解：设，
由题意可得：，
点P在线段AB上（不与A，B重合），则
∴，，
由题意可得：，即，
解得：或，均符合题意，
即，或
故选：C
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，涉及了一次函数的性质，解题的关键是设点P坐标，根据题意列出方程．
8．B
【详解】解：设这个航空公司共有飞机场共有x个．
x(x 1)＝15×2，
解得x ＝5，x ＝ 4（不合题意，舍去）．
答：这个航空公司共有飞机场共有5个．
故选B．
9．C
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．
【详解】解：根据题意可得：，
故选：．
10．A
【分析】首先根据题意得到相等关系：总经理+部门经理+所有员工＝57，并根据相等关系列出方程；然后再解这个方程，即可得到该公司部门经理的人数.
【详解】根据题意得：
1+a+a2=57，
整理得：a2+a-56＝0，
解得：a＝7或a＝－8（舍去）.
故选：A.
【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的应用，根据题意找出题目中的相等关系是解题的关键.
11．D
【分析】将y看作未知数，运用一元二次方程的判别式，确定x的取值范围，从而确定一元二次方程解的情况.
【详解】解：
∵x是整数解
∴x=-1，y2-4y+4=0，解得y=2；
x=0，y2-3y=0，解得y=0或y=3；
x=1，y2-2y-2=0，y没有整数解；
x=2，y2-y-2=0，解得y=-1或y=2；
x=3，y2=0，解得y=0.
故选D.
【点睛】本题主要考查了非一次不定方程（组），方程和不等式的相关性质，关键寻求并缩小某个字母的取值范围，通过验算获得全部解答.
12．B
【分析】赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），x个班比赛总场数=x（x-1）÷2，即可列方程求解．
【详解】设九年级共有x个班，每个班都要赛（x-1）场，但两班之间只有一场比赛，
故x（x-1）=28．
故选B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据比赛场数与参赛队之间的关系为：比赛场数=队数×（队数-1）÷2，进而得出方程是解题关键．
13．20%
【分析】
根据原价为100元，连续两次涨价后，现价为144元，根据增长率的求解方法，列方程求．
【详解】
解：设这个百分率是，
依题意有：，
，
解得：，（舍去），
答：这个百分率是．
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是根据增长率的求解公式列出方程．
14． 200, 20℅
【详解】已知一月份生产零件1000个，二月份生产零件1200个，可得二月份比一月份增产：1200-1000=200（个）零件，增长率为.
15．4000×（1+x）2=4840
【详解】试题分析：2012年的房价为4000×（1+x），
2013年的房价为4000×（1+x）（1+x）2=4000×（1+x）2，
即所列的方程为4000×（1+x）2=4840．
故答案是4000×（1+x）2=4840．
考点：一元二次方程．
16．10%
【分析】设每次降价的百分率为x，为两次降价的百分率，根据售价由原来的每件60元降到每件48.6元，列出方程即可．
【详解】解：设每次降价的百分率为x，
依题意得：60=48.6．
解得：x=0.1=10%或x=1.9（舍去），
答：这种商品平均每次降价的百分率是10%．
故答案为：10%．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
17．2．
【分析】设运动时间为xs（0≤x≤6），则PB=（12-2x）cm，CQ=（6-x）cm，利用三角形面积的计算公式结合△PQC的面积等于16cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】设运动时间为xs（0≤x≤6），则PB＝（12﹣2x）cm，CQ＝（6﹣x）cm，
依题意，得：（12﹣2x）（6﹣x）＝16，
整理，得：x2﹣12x+20＝0，
解得：x1＝2，x2＝10（不合题意，舍去）．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
18．画的四周与墙的宽度约为3.91m.
【分析】设画的四周与墙的宽度为x，根据题意可知：（8－2x）（4－2x）＝2×1.4，解出方程，求出答案.
【详解】设画的四周与墙的宽度为xm，（8-2x）（4-2x）=2×1.4，
x2-6x-7.3=0，（x-3）2=15.3，x1≈3.91，x2≈0.91（舍去）．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，主要是把实际问题转换成数学问题.
19．（1）每个月生产成本的下降率为5%；（2）预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．
【分析】（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
（2）由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本×（1﹣下降率），即可得出结论．
【详解】（1）设每个月生产成本的下降率为x，
根据题意得：400（1﹣x）2=361，
解得：x1=0.05=5%，x2=1.95（不合题意，舍去）．
答：每个月生产成本的下降率为5%；
（2）361×（1﹣5%）=342.95（万元），
答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．
20．宽，高
【分析】设盒子的高为xcm，则宽为2xcm，根据矩形的面积公式结合矩形材料的面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设盒子的高为xcm，则宽为2xcm，
依题意，得：（25+2x）（2x+2x）=888，
整理，得：2x2+25x-222=0，
解得：x1=6，x2=-（不合题意，舍去），
∴2x=12．
答：盒子的宽为12cm，高为6cm．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21．9台
【分析】设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑．则经过一轮感染，1台电脑感染给了x台电脑，这台电脑又感染给了台电脑．等量关系：经过两轮感染后就会有100台电脑被感染.
【详解】解设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台电脑，依题意得：
，
整理得，
解得（舍去），
答：每轮感染中平均一台电脑感染9台电脑.
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，能够正确表示每轮感染中，有多少台电脑被感染，是解决此题的关键．
22．共有21家公司参加这场交易碰头会
【分析】每家公司都与其他公司鉴定了一份合同，设有x家公司参加，则每个公司要签（x-1）份合同，签订合同共有x（x-1）份，根据“所有公司共签订了210份协议”列出方程求解即可．
【详解】解：设有x家公司参加，根据题意得，
x（x﹣1）＝210
整理得：x2﹣x﹣420＝0
解得：x1＝21，x2＝﹣20（舍去）
答：共有21家公司参加这场交易碰头会．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，甲乙之间互签合同，只能算一份，解答时注意舍去不符合题意的解．
23．最早再过2小时能侦察到．
【分析】设侦察船由B出发到侦察到这艘军舰经过的时间是x小时，由题中信息可以知道军船和侦察船的行使方向互相垂直，所以军船和侦察船的距离和时间的关系式是：s2＝（90 30x）2＋（20x）2，s≤50时侦察船可侦察到这艘军舰，所以可以将s＝50代入关系式：s2＝（90 30x）2＋（20x）2求时间x．
【详解】解：能．设侦察船最早由B出发经过x小时侦察到军舰，
则，
两边平方得：（90 30x）2＋（20x）2≤502，
整理得13x2 54x＋56≤0，
即（13x 28）（x 2）≤0，
∴，
即当经过2小时至小时时，侦察船能侦察到这艘军舰．
∴最早再过2小时能侦察到．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是能找出军船和侦察船的距离关系，利用勾股定理正确列出一元二次方程．
24．42
【分析】可设个位数字为未知数，利用两个数字和为6表示出十位数字，根据新两位数×原来的两位数=1008列方程求得个位上的数字及十位上的数字，再求原来的两位数即可．
【详解】设原两位数的个位数字为x，十位数字为（6－x），
根据题意可知，[10（6－x）+x]×[10x+（6－x）]=1008，
解得x1=x2=2，
∴6－x=4，
故这个两位数是42．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，能正确用每一位上的数字表示这个两位数是解决此题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)