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1.4用一元二次方程解决问题
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题
1.今年我市计划扩大城区绿地面积,现有一块长方形绿地,它的短边长为60m,若将短边增长到长边相等(长边不变),使扩大后的绿地的形状是正方形,则扩大后的绿地面积比原来增加1600,设扩大后的正方形绿地边长为xm,下面所列方程正确的是( )
A.x(x-60)=1600
B.x(x+60)=1600
C.60(x+60)=1600
D.60(x-60)=1600
2.如图,在长为32m,宽为20m的矩形空地上修建同样宽的道路(图中阴影部分),剩余的空地上种植草坪,使草坪的面积为540m2.设道路的宽为xm,根据题意,下面列出的方程正确的是( )
A.32x+20x﹣2x2=540
B.32x+20x=32×20﹣540
C.(32﹣x)(20﹣x)=540
D.(32﹣x)(20﹣x)=32×20﹣540
3.某种服装,平均每天可销售50件,每件利润40元.若每件降价5元,则每天多售10件.如果要在扩大销量的同时,使每天的总利润达到2100元,每件应降价多少元?若设每件应降价元,则可列方程得( )
A. B.
C. D.
4.芳芳有一个无盖的收纳箱,该收纳箱展开后的图形(实线部分)如图,将该图形补充四个边长为的小正方形后,得到一个矩形,已知矩形的面积为,根据图中信息,可得的值为( )
A.10 B.20 C.25 D.30
5.某种药品原价为36元/盒,经过连续两次降价后售价为25元/盒.设平均每次降价的百分率为,根据题意所列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
6.国家实施”精准扶贫“政策以来,很多贫困人口走向了致富的道路.某地区2016年底有贫困人口9万人,通过社会各界的努力,2018年底贫困人口减少至1万人.设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为,根据题意列方程得( )
A. B. C. D.
7.如图,一次函数y=2x+3的图像交y轴于点A,交x轴于点B,点P在线段AB上(不与A,B重合),过点P分别作OB和OA的垂线,垂足分别为C,D.当矩形OCPD的面积为1时,点P的坐标为()
A. B.(1,1) C.或(1,1) D.不存在
8.某航空公司有若干个飞机场,每两个飞机场之间都开辟一条航线,一共开辟了10条航线,则这个航空公司共有飞机场( )
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
9.某水产品公司今年10月的营业额为25万元,按计划12月的营业额要达到36万元,设该公司11,12两月的营业额的月平均增长率为,根据题意列方程,则下列方程正确的是( )
A. B. C. D.
10.某公司有总经理1名,部门经理名,每个部门有名普通员工.若总经理、部门经理、普通员工共57人,则该公司部门经理的人数为( )
A.7 B.8 C.9 D.10
11.方程的整数解有( )
A.3组 B.4组 C.5组 D.6组
12.九年级举行篮球赛,初赛采用单循环制(每两个班之间都进行一场比赛),据统计,比赛共进行了28场,求九年级共有多少个班.若设九年级共有x个班,根据题意列出的方程是( )
A.x(x﹣1)=28 B.x(x﹣1)=28 C.2x(x﹣1)=28 D.x(x+1)=28
二、填空题
13.某商品原价100元,经过连续两次涨价后,售价为144元,设两次涨价的百分率相同,则这个百分率是 .
14.某工厂一月份生产零件1000个,二月份生产零件1200个,那么二月份比一月份增产 个增长率是 .
15.据调查,某市2012年的房价为4000元/,预计2014年将达到4840元/,求这两年的年平均增长率,设年平均增长率为,根据题意,所列方程为
16.某种商品经过连续两次降价后,由原来的每件60元下调至每件48.6元,求这种商品平均每次降价的百分率是 .
17.如图,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动;同时,点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动,点P运动到点B时,点Q也停止运动;当△PQC的面积等于16cm2时,运动时间为 s.
三、解答题
18.小冰准备将家中一幅长2m,宽1.4m的人物画镶在班级后墙的中央,并且四周必须留相等的距离,已知班级后墙长8m,高4m,请问画的四周与墙的宽度为多少?
19.某公司今年1月份的生产成本是400万元,由于改进技术,生产成本逐月下降,3月份的生产成本是361万元.假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同.
(1)求每个月生产成本的下降率;
(2)请你预测4月份该公司的生产成本.
20.在一块面积为的矩形材料的四角,各剪掉一个大小相同的正方形(剪掉的正方形作废料处理,不再使用),做成一个无盖的长方体盒子,要求盒子的长为,宽为高的2倍,盒子的宽和高应为多少?
21.某种电脑病毒传播速度非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有100台电脑被感染.每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?
22.第四届数字中国建设峰会于2021年4月25日在福州开幕,在其中一场数字产品的交易碰头会上,与会的每两家公司之间都签订了一份互助协议,所有公司共签订了210份协议,求共有多少家公司参加这场交易碰头会?
23.某军舰以的速度由西向东航行,一艘电子侦察船以的速度由南向北航行,它能侦察出周围(包括)范围内的目标.如图,当该军舰行至A处时,电子侦察船正位于A处正南方向的B处,且.如果军舰和侦察船仍按原速度沿原方向继续航行,那么航行途中侦察船能否侦察到这艘军舰?如果能,最早何时能侦察到?如果不能,请说明理由.
24.一个两位数,十位数字与个位数字之和是6,把这个数的个位数字与十位数字对调后,所得的新两位数与原来的两位数的积是1008,求这个两位数.
《1.4用一元二次方程解决问题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C A B C B C B C A
题号 11 12
答案 D B
1.A
【分析】根据题意可得扩建的部分相当于一个长方形,这个长方形的长和宽分别为xm和(x-60)m,根据长方形的面积计算法则列出方程.
【详解】解:由题意得扩建的部分相当于一个长方形,这个长方形的长和宽分别为xm和(x-60)m,
∴,
故选A.
2.C
【分析】把道路进行平移,可得草坪面积=长为32﹣x,宽为20﹣x的面积,把相关数值代入即可求解.
【详解】解:把道路进行平移,可得草坪面积为一个矩形,长为32﹣x,宽为20﹣x,
∴可列方程为:(32﹣x)(20﹣x)=540.故选C.
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,找准等量关系,是正确列出一元二次方程的关键.
3.A
【分析】关系式为:每件服装的盈利×(原来的销售量+增加的销售量)=2100,设每件服装应降价x元,根据题意,即可列出方程.
【详解】解:设每件服装应降价x元,根据题意,得:
故选:A.
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用,得到现在的销售量是解决本题的难点;根据每天盈利得到相应的等量关系是解决本题的关键.
4.B
【分析】根据题意和图形信息得到补全后的矩形长为x+30,宽为x+20,根据矩形的面积公式即可列出方程进行求解.
【详解】依题意得到补全后的矩形长为x+30,宽为x+20,
故(x+30)( x+20)=2000,
解得x1=20,x2=-70(舍去)
故选B.
【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用,解题的关键是根据题意找到等量关系进行列式.
5.C
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程,可先表示出第一次降价后的价格,那么第一次降价后的价格降低的百分率,把相应数值代入即可求解.
【详解】解:设平均每次降价的百分率为,
则第一次降价后的价格为:,
第二次降价后的价格为:,
故,
故选C.
6.B
【分析】等量关系为:2016年贫困人口年贫困人口,把相关数值代入计算即可.
【详解】解:设这两年全省贫困人口的年平均下降率为,根据题意得:
,
故选B.
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程,得到2年内变化情况的等量关系是解决本题的关键.
7.C
【分析】设,由题意可得,则,,列方程求解即可.
【详解】解:设,
由题意可得:,
点P在线段AB上(不与A,B重合),则
∴,,
由题意可得:,即,
解得:或,均符合题意,
即,或
故选:C
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用,涉及了一次函数的性质,解题的关键是设点P坐标,根据题意列出方程.
8.B
【详解】解:设这个航空公司共有飞机场共有x个.
x(x 1)=15×2,
解得x =5,x = 4(不合题意,舍去).
答:这个航空公司共有飞机场共有5个.
故选B.
9.C
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,平均增长率问题,若设变化前的量为,变化后的量为,平均变化率为,则经过两次变化后的数量关系为.
【详解】解:根据题意可得:,
故选:.
10.A
【分析】首先根据题意得到相等关系:总经理+部门经理+所有员工=57,并根据相等关系列出方程;然后再解这个方程,即可得到该公司部门经理的人数.
【详解】根据题意得:
1+a+a2=57,
整理得:a2+a-56=0,
解得:a=7或a=-8(舍去).
故选:A.
【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的应用,根据题意找出题目中的相等关系是解题的关键.
11.D
【分析】将y看作未知数,运用一元二次方程的判别式,确定x的取值范围,从而确定一元二次方程解的情况.
【详解】解:
∵x是整数解
∴x=-1,y2-4y+4=0,解得y=2;
x=0,y2-3y=0,解得y=0或y=3;
x=1,y2-2y-2=0,y没有整数解;
x=2,y2-y-2=0,解得y=-1或y=2;
x=3,y2=0,解得y=0.
故选D.
【点睛】本题主要考查了非一次不定方程(组),方程和不等式的相关性质,关键寻求并缩小某个字母的取值范围,通过验算获得全部解答.
12.B
【分析】赛制为单循环形式(每两班之间都赛一场),x个班比赛总场数=x(x-1)÷2,即可列方程求解.
【详解】设九年级共有x个班,每个班都要赛(x-1)场,但两班之间只有一场比赛,
故x(x-1)=28.
故选B.
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用,根据比赛场数与参赛队之间的关系为:比赛场数=队数×(队数-1)÷2,进而得出方程是解题关键.
13.20%
【分析】
根据原价为100元,连续两次涨价后,现价为144元,根据增长率的求解方法,列方程求.
【详解】
解:设这个百分率是,
依题意有:,
,
解得:,(舍去),
答:这个百分率是.
故答案为:.
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的应用,解题关键是根据增长率的求解公式列出方程.
14. 200, 20℅
【详解】已知一月份生产零件1000个,二月份生产零件1200个,可得二月份比一月份增产:1200-1000=200(个)零件,增长率为.
15.4000×(1+x)2=4840
【详解】试题分析:2012年的房价为4000×(1+x),
2013年的房价为4000×(1+x)(1+x)2=4000×(1+x)2,
即所列的方程为4000×(1+x)2=4840.
故答案是4000×(1+x)2=4840.
考点:一元二次方程.
16.10%
【分析】设每次降价的百分率为x,为两次降价的百分率,根据售价由原来的每件60元降到每件48.6元,列出方程即可.
【详解】解:设每次降价的百分率为x,
依题意得:60=48.6.
解得:x=0.1=10%或x=1.9(舍去),
答:这种商品平均每次降价的百分率是10%.
故答案为:10%.
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.
17.2.
【分析】设运动时间为xs(0≤x≤6),则PB=(12-2x)cm,CQ=(6-x)cm,利用三角形面积的计算公式结合△PQC的面积等于16cm2,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其较小值即可得出结论.
【详解】设运动时间为xs(0≤x≤6),则PB=(12﹣2x)cm,CQ=(6﹣x)cm,
依题意,得:(12﹣2x)(6﹣x)=16,
整理,得:x2﹣12x+20=0,
解得:x1=2,x2=10(不合题意,舍去).
故答案为:2.
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.
18.画的四周与墙的宽度约为3.91m.
【分析】设画的四周与墙的宽度为x,根据题意可知:(8-2x)(4-2x)=2×1.4,解出方程,求出答案.
【详解】设画的四周与墙的宽度为xm,(8-2x)(4-2x)=2×1.4,
x2-6x-7.3=0,(x-3)2=15.3,x1≈3.91,x2≈0.91(舍去).
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用,主要是把实际问题转换成数学问题.
19.(1)每个月生产成本的下降率为5%;(2)预测4月份该公司的生产成本为342.95万元.
【分析】(1)设每个月生产成本的下降率为x,根据2月份、3月份的生产成本,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其较小值即可得出结论;
(2)由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本×(1﹣下降率),即可得出结论.
【详解】(1)设每个月生产成本的下降率为x,
根据题意得:400(1﹣x)2=361,
解得:x1=0.05=5%,x2=1.95(不合题意,舍去).
答:每个月生产成本的下降率为5%;
(2)361×(1﹣5%)=342.95(万元),
答:预测4月份该公司的生产成本为342.95万元.
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出一元二次方程;(2)根据数量关系,列式计算.
20.宽,高
【分析】设盒子的高为xcm,则宽为2xcm,根据矩形的面积公式结合矩形材料的面积,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论.
【详解】解:设盒子的高为xcm,则宽为2xcm,
依题意,得:(25+2x)(2x+2x)=888,
整理,得:2x2+25x-222=0,
解得:x1=6,x2=-(不合题意,舍去),
∴2x=12.
答:盒子的宽为12cm,高为6cm.
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.
21.9台
【分析】设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑.则经过一轮感染,1台电脑感染给了x台电脑,这台电脑又感染给了台电脑.等量关系:经过两轮感染后就会有100台电脑被感染.
【详解】解设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台电脑,依题意得:
,
整理得,
解得(舍去),
答:每轮感染中平均一台电脑感染9台电脑.
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用,能够正确表示每轮感染中,有多少台电脑被感染,是解决此题的关键.
22.共有21家公司参加这场交易碰头会
【分析】每家公司都与其他公司鉴定了一份合同,设有x家公司参加,则每个公司要签(x-1)份合同,签订合同共有x(x-1)份,根据“所有公司共签订了210份协议”列出方程求解即可.
【详解】解:设有x家公司参加,根据题意得,
x(x﹣1)=210
整理得:x2﹣x﹣420=0
解得:x1=21,x2=﹣20(舍去)
答:共有21家公司参加这场交易碰头会.
【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用,甲乙之间互签合同,只能算一份,解答时注意舍去不符合题意的解.
23.最早再过2小时能侦察到.
【分析】设侦察船由B出发到侦察到这艘军舰经过的时间是x小时,由题中信息可以知道军船和侦察船的行使方向互相垂直,所以军船和侦察船的距离和时间的关系式是:s2=(90 30x)2+(20x)2,s≤50时侦察船可侦察到这艘军舰,所以可以将s=50代入关系式:s2=(90 30x)2+(20x)2求时间x.
【详解】解:能.设侦察船最早由B出发经过x小时侦察到军舰,
则,
两边平方得:(90 30x)2+(20x)2≤502,
整理得13x2 54x+56≤0,
即(13x 28)(x 2)≤0,
∴,
即当经过2小时至小时时,侦察船能侦察到这艘军舰.
∴最早再过2小时能侦察到.
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,解题的关键是能找出军船和侦察船的距离关系,利用勾股定理正确列出一元二次方程.
24.42
【分析】可设个位数字为未知数,利用两个数字和为6表示出十位数字,根据新两位数×原来的两位数=1008列方程求得个位上的数字及十位上的数字,再求原来的两位数即可.
【详解】设原两位数的个位数字为x,十位数字为(6-x),
根据题意可知,[10(6-x)+x]×[10x+(6-x)]=1008,
解得x1=x2=2,
∴6-x=4,
故这个两位数是42.
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,能正确用每一位上的数字表示这个两位数是解决此题的关键.
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