第一章一元二次方程暑假预习练（含解析） 苏科版数学九年级上册

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第一章一元二次方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知3是关于x的方程的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰的两条边的边长，则的周长为（ ）
A．7 B．10 C．11 D．10或11
3．若函数的图象与一次函数y＝kx＋2的图象有公共点，则k的取值范围是（ ）
A．k≥ B．k≥，且k≠0
C．k≤，且k≠0 D．k≤
4．“五一”期间，市工会组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了 45 场比赛，则这次参加比赛的队伍有（ ）
A．12 支 B．11 支 C．9 支 D．10 支
5．关于的方程是一元二次方程，则（ ）
A． B． C． D．
6．某市决定改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，绿地面积增加，这两年平均每年绿地面积的增长率是（ ）
A． B． C． D．
7．某地区2017年投入教育经费2500万元，预计到2019年共投入8000万元．设这两年投入教育经费的年平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．方程x2－3x=4根的判别式的值是（ ）．
A．－7 B．25 C．±5 D．5
9．如果2是方程的一个根，则常数k的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
10．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
11．小明在解方程时出现了错误，解答过程如下：
∵，，（第一步），
∴（第二步），
∴（第三步），
∴，（第四步）．
小明解答过程开始出错的步骤是（　　）
A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步
12．方程-x2+3x=1用公式法求解，先确定a，b，c的值，正确的是（ ）
A．a=-1，b=3，c=-1 B．a=-1，b=3，c=1
C．a=-1，b=-3，c=-1 D．a=1，b=-3，c=-1
二、填空题
13．若方程的一个根是m，则代数式 ．
14．若方程有实数根，则a的取值范围是 ．
15．已知实数满足，试求的值．
解：设．
原方程可化为，即，解得．
∵．
上面的这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂问题简单化．请根据以上阅读材料，解决问题．
已知实数满足，则的值为 ．
16．已知，.则的值为 .
17．若代数式与代数式的值相等，则 ．
三、解答题
18．根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知x2﹣2xy＋2y2＋6y＋9＝0，求xy的值；
(2)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2＋b2﹣10a﹣12b＋61＝0，求△ABC的最大边c的值；
(3)已知a﹣b＝8，ab＋c2﹣16c＋80＝0，求a＋b＋c的值．
19．试用配方法证明：无论x取何值，代数式的值都不小于-．
20．用直接开平方法解下列方程：
（1）；
（2）．
21．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化为一般形式．
(1)正方体的表面积为36，求正方体的边长x；
(2)在新春佳节到来之际，九(6)班所有的同学准备送贺卡相互祝贺，所有同学送完后共送了1 980张，求九(6)班的同学人数x.
22．解方程：
我们已经学习了一元二次方程的多种解法：如因式分解法，开平方法，配方法和公式法，还可以运用十字相乘法，请从以下一元二次方程中任选两个，并选择你认为适当的方法解这个方程．
①x2-4x-1=0 ，②x(2x+1)=8x-3，③x2+3x+1=0 ，④x2-9=4(x-3)
我选择第几个方程．
23．解方程：
(1)；
(2)．
24．某学校生物兴趣小组在该校空地上围了一块面积为200平方米的矩形试验田，用来种植蔬菜，如图，试验田一面靠墙，墙长35米，另外三面用49米的长篱笆围成，其中一边开有一扇1米宽的门（不包括篱笆），求试验田垂直于墙的一边的长为多少米？
《第一章一元二次方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D B D B A A B A D
题号 11 12
答案 C A
1．B
【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）逐一判断各选项即可．
【详解】解：A. ：是一元一次方程，不符合条件；
B. ：只含有一个未知数，且的最高次数为2，是一元二次方程；
C. ：含有两个未知数和，是二元一次方程，不符合条件；
D. ：含有两个未知数和，且乘积项的次数为2，是二元二次方程，不符合条件；
故选：B．
2．D
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程解的定义，构成三角形的条件，等腰三角形的定义，先把代入原方程求出m的值，进而解方程求出或，再分当腰长为3时，则底边长为4，当腰长为4时，则底边长为3，两种情况利用构成三角形的条件进行求解即可．
【详解】解：∵3是关于x的方程的一个实数根，
∴，
解得，
∴原方程为，
解方程得或，
当腰长为3时，则底边长为4，
∵，
∴此时能构成三角形，
∴此时的周长为；
当腰长为4时，则底边长为3，
∵，
∴此时能构成三角形，
∴此时的周长为，
综上所述，的周长为10或11，
故选D．
3．B
【分析】联立两个函数的解析式可得kx2＋2x﹣4＝0，再根据根的判别式求出k的取值范围即可．
【详解】解：由得kx＋2＝，
整理得kx2＋2x﹣4＝0，
∵图象有公共点，
∴Δ＝22＋4 k×4≥0，
∴k≥﹣．
∴k的取值范围是k≥﹣且k≠0，
故选：B．
【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数的问题，解题的关键是掌握反比例函数和一次函数的解析式、根据根的判别式求出k的取值范围．
4．D
【详解】解：设这次有x个队参加比赛，由题意得：
x(x-1)=45，解得x=10或﹣9（舍去）；
∴这次有10个队参加比赛．故选D．
5．B
【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为的形式，则这个方程就为一元二次方程．
【详解】解：若关于x的方程是一元二次方程，则．
故选：B．
6．A
【分析】可设这两年平均每年的增长率为x，因为经过两年时间，让市区绿地面积增加44%，则有（1+x）2=1+44%，解这个方程即可求出答案．
【详解】设这两年平均每年的绿地增长率为x，根据题意得，
（1+x）2=1+44%，
解得x1=-2.2（舍去），x2=0.2．
答：这两年平均每年绿地面积的增长率为20%．
故选A．
【点睛】本题考查了增长率的问题，一般公式为：原来的量×（1±x）2=现在的量，增长用+，减少用-．但要注意解的取舍，及每一次增长的基础．
7．A
【分析】本题考查的是一元二次方程的实际应用，增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果教育经费的年平均增长率为x，根据2017年投入2500万元，则2018的教育经费为：万元，2019的教育经费为：万元，再利用总量为8000万元可得方程．
【详解】解：设教育经费的年平均增长率为x，则2018的教育经费为：万元，2019的教育经费为：万元，
那么可得方程：，
故选A．
8．B
【详解】解：方程化为：
，a=1,b=-3,c=-4
∴9+16=25
故选B
9．A
【分析】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，把代入已知方程，从而列出关于的新方程，通过解方程来求的值．
【详解】解：是方程的一个根，
，
，
解得 ；
故选：A．
10．D
【详解】试题分析：△=22-4×4=-12<0，故没有实数根；
故选D．
考点：根的判别式．
11．C
【分析】根据公式法，可得第三步为，即可解答．
【详解】解：根据公式法可得，
故第三步为，
所以第三步开始出错，
故选：C．
【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，熟知一元二次方程的解的公式是解题的关键．
12．A
【详解】解：-x2+3x=1，-x2+3x-1=0，∴a=-1，b=3，c=-1．故选A．
13．6
【分析】由方程的一个根是m可得，进而可求出的值．
【详解】解：把代入，得
，
∴，
∴代数式．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义，能使一元二次方程成立的未知数的值叫作一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程解得定义是解答本题的关键．
14．
【分析】根据直接开平方法的条件求解即可．
【详解】解：∵方程有实数根，，
∴，则，
故答案为：．
【点睛】本题考查直接开平方法解一元二次方程，熟知直接开平方法解一元二次方程时，必须满足这一条件是解答的关键．
15．
【分析】本题考查了解一元二次方程，根据换元法解一元二次方程是解题的关键．令，则原方程为，结合可得答案．
【详解】解：令；
则原方程为；
解得：或；
∵；
∴；
∴；
故答案为：．
16．5
【分析】由于x+y=，xy=1方便运算，故可考虑将代数式化为含（x+y）和xy的项，再整体代入（x+y）和xy的值，进行代数式的求值运算．
【详解】解： ∵，.
∴x+y=，xy=1，
∵=，
∴原式==5,
故答案为5.
【点睛】本题考查了代数式求值和二次根式的运算．由于直接代入计算复杂容易出错，因此可考虑整体代入，
17．或
【分析】利用两代数式的值相等列方程（x-4）2=9（4-x），再移项得到（x-4）2+9（x-4）=0，然后利用因式分解法解方程.
【详解】解：根据题意得（x-4）2=9（4-x），
（x-4）2+9（x-4）=0，
（x-4）（x-4+9）=0，
x-4=0或x-4+9=0，
所以x1=4，x2=-5．
故答案为4或-5.
【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
18．(1)9
(2)6、7、8、9、10
(3)8
【分析】（1）将已知的等式化为，再根据平方式的非负性即可求解；
（2）将已知的等式化为，再根据平方式的非负性即可求出a、b，再根据三角形三边的关系即可就出c的取值范围，即可求解；
（3）将已知的等式化为，再根据平方式的非负性即可求解；
【详解】（1）∵ ，
∴，
∴，
∴ ，，
∴ ，，
∴ ，
即xy的值是9；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，，
∴a=5，b=6，
∵，，
∴，
∴△ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10；
（3）∵，，
∴，
∴，
∴ ，，
∴a=4，c=8，
即，
∴ ，
即的值是8．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用以及平方数的非负性等知识，灵活运用完全平方公式是解答本题的关键．
19．见解析
【分析】先用配方法把代数式化成（x+）2-的形式，然后即可证明．
【详解】证明：∵=（x+）2-≥-，
∴无论x取何实数，代数式的值都不小于-．
【点睛】本题主要考查了配方法的应用，关键是掌握用配方法求二次函数的最值，难度适中．
20．（1），．（2），．
【分析】（1）先把左边写成完全平方的形式，再开平方即可；
（2）先把左边写成完全平方的形式，再开平方即可；
【详解】（1）原方程可化为，
两边开平方，得，
所以或，
所以，．
（2）原方程可化为，
两边开平方，得，
所以或，
所以或，
所以，．
【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，把左边改写成完全平方的形式是解答本题的关键.
21．(1)见解析; (2)见解析;
【详解】试题分析：（1）根据正方体的表面积公式即可得；
（2）互送贺卡属于双循环，根据双循环总场次的计算方法：队伍数×（队伍数-1）=总场次，即可列出方程，然后进行整理即可.
试题解析：（1）6x2＝36，一般形式为6x2－36＝0；
（2）x(x－1)＝1 980，一般形式为x2－x－1 980＝0.
22．x1=3，x2=1.
【分析】①此方程利用公式法解比较方便；
②此方程利用因式分解法解比较方便；
③此方程利用公式法解比较方便；
④此方程利用因式分解法解比较方便．
【详解】我选第①个方程，解法如下：
x2-4x-1=0，
这里a=1，b=-4，c=-1，
∵△=16+4=20，
∴x= =2±，
则x1=2+，x2=2-；
我选第②个方程，解法如下：
x（2x+1）=8x-3，
整理得：2x2-7x+3=0，
分解因式得：（2x-1）（x-3）=0，
可得2x-1=0或x-3=0，
解得：x1= ，x2=3；
我选第③个方程，解法如下：
x2+3x+1=0，
这里a=1，b=3，c=1，
∵△=9-4=5，
∴x= ，
则x1=，x2=；
我选第④个方程，解法如下：
x2-9=4（x-3），
变形得，（x+3）（x-3）-4（x-3）=0，
因式分解得，（x-3）（x+3-4）=0，
∴x-3=0或x+3-4=0，
∴x1=3，x2=1
【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，公式法，及直接开平方法，利用因式分解法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
23．(1)，
(2)
【分析】（1）按配方法解一元二次方程即可；
（2）按照去分母，去括号，移项、合并同类项并系数化为1的步骤解分式方程，并对结果进行检验．
【详解】（1）解：，
，
，
，
∴，；
（2）解：，
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项、合并同类项并系数化为1，得 ，
经检验，是该方程的解．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程及分式方程的解法，熟练掌握一元二次方程与分式方程的解题方法和步骤是解题关键．
24．的长为20米
【分析】设米，则米，根据题意找出等量关系，列出方程求解即可．
【详解】解：设米，则米，
∵墙长35米，
∴，解得：，
，
解得：（舍），，
答：的长为20米．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程求解．
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