第一章一元二次方程暑假预习练(含解析) 苏科版数学九年级上册

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名称 第一章一元二次方程暑假预习练(含解析) 苏科版数学九年级上册
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资源类型 试卷
版本资源 苏科版
科目 数学
更新时间 2025-07-09 11:22:24

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第一章一元二次方程
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题
1.下列方程中,是一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
2.已知3是关于x的方程的一个实数根,并且这个方程的两个实数根恰好是等腰的两条边的边长,则的周长为( )
A.7 B.10 C.11 D.10或11
3.若函数的图象与一次函数y=kx+2的图象有公共点,则k的取值范围是( )
A.k≥ B.k≥,且k≠0
C.k≤,且k≠0 D.k≤
4.“五一”期间,市工会组织篮球比赛,赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场),共进行了 45 场比赛,则这次参加比赛的队伍有( )
A.12 支 B.11 支 C.9 支 D.10 支
5.关于的方程是一元二次方程,则( )
A. B. C. D.
6.某市决定改善城市容貌,绿化环境,计划经过两年时间,绿地面积增加,这两年平均每年绿地面积的增长率是( )
A. B. C. D.
7.某地区2017年投入教育经费2500万元,预计到2019年共投入8000万元.设这两年投入教育经费的年平均增长率为x,则下列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
8.方程x2-3x=4根的判别式的值是( ).
A.-7 B.25 C.±5 D.5
9.如果2是方程的一个根,则常数k的值为( )
A.2 B.1 C. D.
10.一元二次方程的根的情况是( )
A.有一个实数根 B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根
11.小明在解方程时出现了错误,解答过程如下:
∵,,(第一步),
∴(第二步),
∴(第三步),
∴,(第四步).
小明解答过程开始出错的步骤是(  )
A.第一步 B.第二步 C.第三步 D.第四步
12.方程-x2+3x=1用公式法求解,先确定a,b,c的值,正确的是( )
A.a=-1,b=3,c=-1 B.a=-1,b=3,c=1
C.a=-1,b=-3,c=-1 D.a=1,b=-3,c=-1
二、填空题
13.若方程的一个根是m,则代数式 .
14.若方程有实数根,则a的取值范围是 .
15.已知实数满足,试求的值.
解:设.
原方程可化为,即,解得.
∵.
上面的这种方法称为“换元法”,换元法是数学学习中最常用的一种思想方法,在结构较复杂的数和式的运算中,若把其中某些部分看成一个整体,并用新字母代替(即换元),则能使复杂问题简单化.请根据以上阅读材料,解决问题.
已知实数满足,则的值为 .
16.已知,.则的值为 .
17.若代数式与代数式的值相等,则 .
三、解答题
18.根据你的观察,探究下面的问题:
(1)已知x2﹣2xy+2y2+6y+9=0,求xy的值;
(2)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数,且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61=0,求△ABC的最大边c的值;
(3)已知a﹣b=8,ab+c2﹣16c+80=0,求a+b+c的值.
19.试用配方法证明:无论x取何值,代数式的值都不小于-.
20.用直接开平方法解下列方程:
(1);
(2).
21.根据下列问题,列出关于x的方程,并将其化为一般形式.
(1)正方体的表面积为36,求正方体的边长x;
(2)在新春佳节到来之际,九(6)班所有的同学准备送贺卡相互祝贺,所有同学送完后共送了1 980张,求九(6)班的同学人数x.
22.解方程:
我们已经学习了一元二次方程的多种解法:如因式分解法,开平方法,配方法和公式法,还可以运用十字相乘法,请从以下一元二次方程中任选两个,并选择你认为适当的方法解这个方程.
①x2-4x-1=0 ,②x(2x+1)=8x-3,③x2+3x+1=0 ,④x2-9=4(x-3)
我选择第几个方程.
23.解方程:
(1);
(2).
24.某学校生物兴趣小组在该校空地上围了一块面积为200平方米的矩形试验田,用来种植蔬菜,如图,试验田一面靠墙,墙长35米,另外三面用49米的长篱笆围成,其中一边开有一扇1米宽的门(不包括篱笆),求试验田垂直于墙的一边的长为多少米?
《第一章一元二次方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D B D B A A B A D
题号 11 12
答案 C A
1.B
【分析】本题主要考查一元二次方程的定义,根据一元二次方程的定义(只含有一个未知数,且未知数的最高次数为2的整式方程)逐一判断各选项即可.
【详解】解:A. :是一元一次方程,不符合条件;
B. :只含有一个未知数,且的最高次数为2,是一元二次方程;
C. :含有两个未知数和,是二元一次方程,不符合条件;
D. :含有两个未知数和,且乘积项的次数为2,是二元二次方程,不符合条件;
故选:B.
2.D
【分析】本题主要考查了解一元二次方程,一元二次方程解的定义,构成三角形的条件,等腰三角形的定义,先把代入原方程求出m的值,进而解方程求出或,再分当腰长为3时,则底边长为4,当腰长为4时,则底边长为3,两种情况利用构成三角形的条件进行求解即可.
【详解】解:∵3是关于x的方程的一个实数根,
∴,
解得,
∴原方程为,
解方程得或,
当腰长为3时,则底边长为4,
∵,
∴此时能构成三角形,
∴此时的周长为;
当腰长为4时,则底边长为3,
∵,
∴此时能构成三角形,
∴此时的周长为,
综上所述,的周长为10或11,
故选D.
3.B
【分析】联立两个函数的解析式可得kx2+2x﹣4=0,再根据根的判别式求出k的取值范围即可.
【详解】解:由得kx+2=,
整理得kx2+2x﹣4=0,
∵图象有公共点,
∴Δ=22+4 k×4≥0,
∴k≥﹣.
∴k的取值范围是k≥﹣且k≠0,
故选:B.
【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数的问题,解题的关键是掌握反比例函数和一次函数的解析式、根据根的判别式求出k的取值范围.
4.D
【详解】解:设这次有x个队参加比赛,由题意得:
x(x-1)=45,解得x=10或﹣9(舍去);
∴这次有10个队参加比赛.故选D.
5.B
【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义,要判断一个方程是否为一元二次方程,先看它是否为整式方程,若是,再对它进行整理.如果能整理为的形式,则这个方程就为一元二次方程.
【详解】解:若关于x的方程是一元二次方程,则.
故选:B.
6.A
【分析】可设这两年平均每年的增长率为x,因为经过两年时间,让市区绿地面积增加44%,则有(1+x)2=1+44%,解这个方程即可求出答案.
【详解】设这两年平均每年的绿地增长率为x,根据题意得,
(1+x)2=1+44%,
解得x1=-2.2(舍去),x2=0.2.
答:这两年平均每年绿地面积的增长率为20%.
故选A.
【点睛】本题考查了增长率的问题,一般公式为:原来的量×(1±x)2=现在的量,增长用+,减少用-.但要注意解的取舍,及每一次增长的基础.
7.A
【分析】本题考查的是一元二次方程的实际应用,增长率问题,一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率),如果教育经费的年平均增长率为x,根据2017年投入2500万元,则2018的教育经费为:万元,2019的教育经费为:万元,再利用总量为8000万元可得方程.
【详解】解:设教育经费的年平均增长率为x,则2018的教育经费为:万元,2019的教育经费为:万元,
那么可得方程:,
故选A.
8.B
【详解】解:方程化为:
,a=1,b=-3,c=-4
∴9+16=25
故选B
9.A
【分析】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义,把代入已知方程,从而列出关于的新方程,通过解方程来求的值.
【详解】解:是方程的一个根,


解得 ;
故选:A.
10.D
【详解】试题分析:△=22-4×4=-12<0,故没有实数根;
故选D.
考点:根的判别式.
11.C
【分析】根据公式法,可得第三步为,即可解答.
【详解】解:根据公式法可得,
故第三步为,
所以第三步开始出错,
故选:C.
【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程,熟知一元二次方程的解的公式是解题的关键.
12.A
【详解】解:-x2+3x=1,-x2+3x-1=0,∴a=-1,b=3,c=-1.故选A.
13.6
【分析】由方程的一个根是m可得,进而可求出的值.
【详解】解:把代入,得

∴,
∴代数式.
故答案为:6.
【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义,能使一元二次方程成立的未知数的值叫作一元二次方程的解,熟练掌握一元二次方程解得定义是解答本题的关键.
14.
【分析】根据直接开平方法的条件求解即可.
【详解】解:∵方程有实数根,,
∴,则,
故答案为:.
【点睛】本题考查直接开平方法解一元二次方程,熟知直接开平方法解一元二次方程时,必须满足这一条件是解答的关键.
15.
【分析】本题考查了解一元二次方程,根据换元法解一元二次方程是解题的关键.令,则原方程为,结合可得答案.
【详解】解:令;
则原方程为;
解得:或;
∵;
∴;
∴;
故答案为:.
16.5
【分析】由于x+y=,xy=1方便运算,故可考虑将代数式化为含(x+y)和xy的项,再整体代入(x+y)和xy的值,进行代数式的求值运算.
【详解】解: ∵,.
∴x+y=,xy=1,
∵=,
∴原式==5,
故答案为5.
【点睛】本题考查了代数式求值和二次根式的运算.由于直接代入计算复杂容易出错,因此可考虑整体代入,
17.或
【分析】利用两代数式的值相等列方程(x-4)2=9(4-x),再移项得到(x-4)2+9(x-4)=0,然后利用因式分解法解方程.
【详解】解:根据题意得(x-4)2=9(4-x),
(x-4)2+9(x-4)=0,
(x-4)(x-4+9)=0,
x-4=0或x-4+9=0,
所以x1=4,x2=-5.
故答案为4或-5.
【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法:先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式,那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解,这样也就把原方程进行了降次,把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想).
18.(1)9
(2)6、7、8、9、10
(3)8
【分析】(1)将已知的等式化为,再根据平方式的非负性即可求解;
(2)将已知的等式化为,再根据平方式的非负性即可求出a、b,再根据三角形三边的关系即可就出c的取值范围,即可求解;
(3)将已知的等式化为,再根据平方式的非负性即可求解;
【详解】(1)∵ ,
∴,
∴,
∴ ,,
∴ ,,
∴ ,
即xy的值是9;
(2)∵,
∴,
∴,
∴,,
∴a=5,b=6,
∵,,
∴,
∴△ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10;
(3)∵,,
∴,
∴,
∴ ,,
∴a=4,c=8,
即,
∴ ,
即的值是8.
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用以及平方数的非负性等知识,灵活运用完全平方公式是解答本题的关键.
19.见解析
【分析】先用配方法把代数式化成(x+)2-的形式,然后即可证明.
【详解】证明:∵=(x+)2-≥-,
∴无论x取何实数,代数式的值都不小于-.
【点睛】本题主要考查了配方法的应用,关键是掌握用配方法求二次函数的最值,难度适中.
20.(1),.(2),.
【分析】(1)先把左边写成完全平方的形式,再开平方即可;
(2)先把左边写成完全平方的形式,再开平方即可;
【详解】(1)原方程可化为,
两边开平方,得,
所以或,
所以,.
(2)原方程可化为,
两边开平方,得,
所以或,
所以或,
所以,.
【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程,把左边改写成完全平方的形式是解答本题的关键.
21.(1)见解析; (2)见解析;
【详解】试题分析:(1)根据正方体的表面积公式即可得;
(2)互送贺卡属于双循环,根据双循环总场次的计算方法:队伍数×(队伍数-1)=总场次,即可列出方程,然后进行整理即可.
试题解析:(1)6x2=36,一般形式为6x2-36=0;
(2)x(x-1)=1 980,一般形式为x2-x-1 980=0.
22.x1=3,x2=1.
【分析】①此方程利用公式法解比较方便;
②此方程利用因式分解法解比较方便;
③此方程利用公式法解比较方便;
④此方程利用因式分解法解比较方便.
【详解】我选第①个方程,解法如下:
x2-4x-1=0,
这里a=1,b=-4,c=-1,
∵△=16+4=20,
∴x= =2±,
则x1=2+,x2=2-;
我选第②个方程,解法如下:
x(2x+1)=8x-3,
整理得:2x2-7x+3=0,
分解因式得:(2x-1)(x-3)=0,
可得2x-1=0或x-3=0,
解得:x1= ,x2=3;
我选第③个方程,解法如下:
x2+3x+1=0,
这里a=1,b=3,c=1,
∵△=9-4=5,
∴x= ,
则x1=,x2=;
我选第④个方程,解法如下:
x2-9=4(x-3),
变形得,(x+3)(x-3)-4(x-3)=0,
因式分解得,(x-3)(x+3-4)=0,
∴x-3=0或x+3-4=0,
∴x1=3,x2=1
【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法,公式法,及直接开平方法,利用因式分解法解方程时,首先将方程右边化为0,左边化为积的形式,然后利用两数相乘积为0,两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解.
23.(1),
(2)
【分析】(1)按配方法解一元二次方程即可;
(2)按照去分母,去括号,移项、合并同类项并系数化为1的步骤解分式方程,并对结果进行检验.
【详解】(1)解:,



∴,;
(2)解:,
去分母,得 ,
去括号,得 ,
移项、合并同类项并系数化为1,得 ,
经检验,是该方程的解.
【点睛】本题主要考查了一元二次方程及分式方程的解法,熟练掌握一元二次方程与分式方程的解题方法和步骤是解题关键.
24.的长为20米
【分析】设米,则米,根据题意找出等量关系,列出方程求解即可.
【详解】解:设米,则米,
∵墙长35米,
∴,解得:,

解得:(舍),,
答:的长为20米.
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用,解题的关键是正确理解题意,根据题意找出等量关系,列出方程求解.
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