2.1圆暑假预习练（含解析） 苏科版数学九年级上册

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2.1圆
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，直线AB、CD相交于点O，在这两条直线上，与点O的距离为3cm的点有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝6，以点B为圆心，3为半径作⊙B，则点C与⊙B的位置关系是（　　）
A．点C在⊙B内 B．点C在⊙B上 C．点C在⊙B外 D．无法确定
3．下列说法错误的是（ ）
A．直径是圆中最长的弦 B．长度相等的两条弧是等弧
C．面积相等的两个圆是等圆 D．能完全重合的两条弧是等弧
4．某公园中央地上有一个大理石球，小明想测量球的半径，于是找了两块厚的砖塞在球的两侧（如图所示），并量得两砖之间的距离刚好是，则大理石球的半径是（ ）
A． B． C． D．
5．为内与不重合的一点，则下列说法正确的是（ ）
A．点到上任意一点的距离都小于的半径
B．上有两点到点的距离最小
C．上有两点到点的距离等于的半径
D．上有两点到点的距离最大
6．下列命题中正确的有( )
①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．下列命题是假命题的是（　　）
A．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等
B．将一次函数y＝3x﹣1的图象向上平移2个单位，所得直线不经过第四象限
C．若某等腰三角形的两边长为2和5，那么这个等腰三角形的周长为9或12
D．若关于x的一元一次不等式组无解，则m的范围是m≤1
8．如图，圆中互相垂直的弦，与圆心的距离分别为，，这时圆内被分为①②③④四个部分．如果用，，，分别表示这四个部分的面积，则可表示（ ）
A． B． C． D．0
9．已知⊙O的直径为10，点P到点O的距离大于8，那么点P的位置（ ）
A．一定在⊙O的内部
B．一定在⊙O的外部
C．一定在⊙O的上
D．不能确定
10．已知⊙O的半径长7cm，P为线段O A的中点，若点P在⊙O上，则OA的长是（ ）
A．等于7cm B．等于14cm C．小于7cm D．大于14cm
11．车轮转动一周所行的路程是车轮的（ ）．
A．半径 B．直径 C．周长 D．面积
12．如图，在平面直角坐标系中，点和点分别为轴和轴上的动点，且，点为线段的中点，已知点，则的最大值为（ ）
A．7 B．9 C．10 D．11
二、填空题
13．小于半圆的弧（如图中的 ）叫做 ；大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中的 ）叫做 ．
14．判断：
（1）直径是弦，弦是直径( )
（2）半圆是圆弧( )
（3）长度相等的弧是等弧( )
（4）能够重合的弧是等弧( )
（5）圆弧分为优弧和劣弧( )
（6）优弧一定大于劣弧 ( )
（7）半径相等的圆是等圆 ( )
15．的圆心是原点，半径为，点在上，如果点在第一象限内，那么 ．
16．如图，AB是⊙O的直径，AB=10cm，M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB的一个六等分点，P是直径AB上一动点，连接MP、NP，则MP+NP的最小值是 cm．
17．在中，，，，以C为圆心，为半径作，则点A与的位置关系是 ．
三、解答题
18．如图，⊙O的半径OC⊥AB，D为上一点，DE⊥OC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，EF=3，求直径AB的长．
19．问题背景：在学习平行四边形和轴对称图形时，我们曾总结出以下结论结论1：如图1所示，过平行四边形对角线交点的任意一条直线平分平行四边形的周长和面积．菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形．
结论2：圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线（过圆心的直线）都是圆的对称轴，都平分圆的面积和周长．
问题探究：
（1）在图2中作一条直线，使它同时将正方形和圆都分成面积相等的两部分；
（2）如图3，点是矩形内一点，，，点与坐标原点重合，、分别位于、轴正半轴，，直线经过点将矩形分成面积相等的两部分，请直接写出直线的解析式；
（3）如图4，在平面直角坐标系中，四边形是某医院筹建的新冠肺炎患者隔离区用地示意图，，，，，．医院将隔离区护士站（其占地面积不计）设在点处，为了方便急救，准备过点修一条笔直的道路（路宽不计），并且使这条路所在的直线将四边形分成面积相等的两部分，你认为直线是否存在？若存在，求出直线的表达式；若不存在，请说明理由．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BD⊥AC于D，且BD＝8cm．点M从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为2cm/s；同时直线PQ由点B出发沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s，运动过程中始终保持PQ∥AC，直线PQ交AB于P，交BC于Q，连接PM，设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．
（1）当四边形PQCM是平行四边形时，求t的值；
（2）当t为何值时，△PQM是等腰三角形？
（3）以PM为直径作⊙E，在点P、Q整个运动过程中，是否存在这样的时刻t，使得⊙E与BC相切？若存在，请求出运动时间t的值；若不存在，请说明理由．
21．如图，小虎牵着小狗上街，小虎的手臂与绳长共为2.5 m(手臂与拉直的绳子在一条直线上)手臂肩部距地面1.5 m.当小虎站立不动时，小狗在平整的地面上活动的最大区域是多少？并画出平面图.
22．如图，在中，，点为的中点．

（1）以点为圆心，4为半径作，则点分别与有怎样的位置关系？
（2）若以点为圆心作，使三点中至少有一点在内，且至少有一点在外，求的半径的取值范围．
23．车轮为什么都做成圆形的？
24．【错在哪？】作业错例 课堂实拍
若☉O的半径为4,点P到☉O上一点的最短距离为2,求点P到☉O上一点的最长距离.
(1)错因: .
(2)纠错: .
《2.1圆》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C B D C A C A B B
题号 11 12
答案 C B
1．C
【分析】以点O为圆心，以3cm为半径作圆，该圆与两直线的交点即为所求的点．
【详解】如图，以点O为圆心，以3cm为半径作圆，该圆与两直线有4个交点，则满足条件的点有4个，
故选C．
【点睛】本题考查了相交线．要掌握此题寻找符合条件的点的方法．
2．C
【分析】欲求点C与⊙B的位置关系，关键是求出BC，再与半径3进行比较．若d＜r，则点在圆内；若d＝r，则点在圆上；若d＞r，则点在圆外．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，
∴ ，
有勾股定理得：
，即 ，
解得： ，
∵以点B为圆心，3为半径作⊙B，
∴r＜d，
∴点C在⊙B外．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，含 角的直角三角形，勾股定理，熟练掌握直角三角形中， 角所对的直角边等于斜边的一半，点与圆的位置关系的判定是解题的关键．
3．B
【分析】根据圆的对称性及性质即可判断.
【详解】A. 直径是圆中最长的弦，正确；
B. 在同圆或等圆中，长度相等的两条弧才是等弧，故错误；
C. 面积相等的两个圆，半径相等，是等圆， 正确；
D. 能完全重合的两条弧是等弧，正确，
故选B.
【点睛】此题主要考查圆的性质，解题的关键是熟知圆的定义与性质.
4．D
【分析】该题主要考查了垂径定理、勾股定理及其应用问题；解题的方法是作辅助线，构造直角三角形；解题的关键是灵活运用垂径定理、勾股定理来分析、判断、解答．
如图，作辅助线；首先根据题意求出线段的长度；设圆的半径为r，运用勾股定理列出关于r的方程，求出r，即可解决问题．
【详解】解：如图，连接交于点D；
则，
设的半径为r，则，
在直角中，，
由勾股定理得
解得：．
故选：D．
5．C
【分析】结合题意，画出图形，根据图形解答即可.
【详解】圆内的点到圆上的点的距离一定大于0，且小于直径（如图，PG＞半径），选项A错误；
过点O、P作⊙O的直径，交⊙O于点Q、G，则点Q到点P的距离最小，点G到点P的距离最大时，选项B、D错误；
以P为圆心，以⊙O的半径为半径画弧交⊙O于两点M、N，则M、N到P的距离等于⊙O的半径，选项C正确.
故选C．
【点睛】本题主要考查了圆内的点与圆上的点之间的距离的大小，可以结合图形进行理解．
6．A
【详解】①弦是圆上任意两点之间的连线段，所以①错误；
②半径不是弦，所以②错误；
③直径是最长的弦，正确；
④弧是半圆，只有180°的弧才是半圆，所以④错误，
故选A．
7．C
【分析】根据三角形外心定义，一次函数平移的性质，等腰三角形的定义及三边关系，不等式组的解依次判断，
【详解】A、三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，则三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，本选项说法是真命题；
B、将一次函数y＝3x﹣1的图象向上平移2个单位，得到y＝3x+1，图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，本选项说法是真命题；
C、若某等腰三角形的两边长为2和5，那么这个等腰三角形的周长为12，本选项说法是假命题；
D、关于x的一元一次不等式组的解集是1＜x≤m，当m≤1时，不等式组无解，本选项说法是真命题；
故选：C．
【点睛】此题考查真假命题的判断，掌握三角形外心定义，一次函数平移的性质，等腰三角形的定义及三边关系，不等式组的解是正确判断命题的关键，
8．A
【分析】本题考查了圆的性质，矩形的性质；将，平移至，设交点分别为，则四边形是矩形，依题意，，根据中心对称的性质得出，即可求解．
【详解】解：如图所示，将，平移至，设交点分别为，则四边形是矩形，依题意，，
根据中心对称的性质可得，如图所示，
∴
故选：A．
9．B
【详解】试题分析：的直径为10，半径为5，点到点的距离大于8，点一定在的外部，故选B．
考点：点与圆的位置关系．
10．B
【详解】分析：先根据题意作出图形，再根据中点的性质即可求得结果.
解析：
如图，OP=7cm，P为线段O A的中点，所以OA=14cm．
故选：B．
点睛：本题是圆的基本性质的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，难度一般．
11．C
【分析】根据车轮的形状是圆可直接得出结果．
【详解】车轮转动一周所行路程是求车轮的周长．
故选：C．
【点睛】本题考查圆的认识，能够知道车轮的形状是圆是解决本题的关键．
12．B
【分析】点C的运动轨迹是半径为2的圆O，连接PO并延长，交圆O于点，则的值最大，求出PO的值即可得解．
【详解】解：∵
∴是直角三角形，
∵C为AB的中点，
∴
∴OC的长度始终为2
∵点A和点分别为轴和轴上的动点，
∴C点的轨迹是以O为圆心，OC为半径的圆
连接PO并延长，交圆O于点，如图，
此时，的值最大，即的值最大
∵
∴
∴
∴的最大值为9
故选：B
【点睛】此题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，动点的轨迹以及线段和的极值等问题，明确C点的轨迹是以O为圆心，OC为半径的圆是解答此题的关键．
13． （或） 劣弧 （或） 优弧
【分析】根据劣弧和优弧的定义即可直接填空．
【详解】小于半圆的弧（如图中的（或））叫做劣弧；大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中的（或））叫做优弧．
故答案为：（或），劣弧；（或），优弧．
【点睛】本题考查找出圆中的优弧和劣弧及优弧和劣弧的定义．掌握优弧和劣弧的定义是解答本题的关键．
14． × √ × × × × √
【分析】根据直径，弧，等弧，优弧，劣弧等圆等概念进行分析.
【详解】（1）直径是弦，弦不一定是是直径，故错误；
（2）半圆是圆弧，正确；
（3）能完全重合的弧是等弧，故错误；
（4）能够完全重合的弧是等弧，故错误；
（5）圆弧分为优弧和劣弧和半圆，故错误；
（6）同圆或等圆中，优弧一定大于劣弧，故错误；
（7）半径相等的圆是等圆，正确.
故答案为(1). × (2). √ (3). × (4). × (5). × (6). × (7). √
【点睛】本题考核知识点：直径，弧，等弧，优弧，劣弧等圆等概念. 解题关键点：理解直径，弧，等弧，优弧，劣弧等圆等概念.
15．
【分析】如图，可得，，运用勾股定理可以求得的长，即为的值．
【详解】解：如图
由题意得：，
由勾股定理可得：,
即．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆的性质和勾股定理，其中根据题意画出图形确定相应线段的长是解答本题的关键．
16．5
【详解】试题分析：作N关于AB的对称点N′，连接MN′交AB于点P，则点P即为所求的点，再根据M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB的一个六等分点可求出∠MON′的值，再由勾股定理即可求出MN′的长．
解：作N关于AB的对称点N′，连接MN′交AB于点P，则点P即为所求的点，
∵M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB的一个六等分点，
∴∠MOB==60°，∠BON′==30°，
∴∠MON′=90°，
∵AB=10cm，
∴OM=ON′=5cm，
∴MN′==5 cm，即MP+NP的最小值是cm．
故答案为5．
点评：本题考查的是最短路线问题及圆心角、弧、弦的关系，根据M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB的一个六等分点，求出∠MON′=90°是解答此题的关键．
17．点在内
【分析】本题考查点与圆的位置关系．熟记相关结论即可．若⊙O的半径为，一点P和圆心O的距离为，当时，点P在⊙O上；当时，点P在⊙O内；当时，点P在⊙O外．求出半径，与进行比较即可判断．
【详解】解：∵，，，
∴
∵
∴点在内
故答案为：点在内
18．6
【分析】判断出四边形OFDE是矩形，然后根据矩形的对角线相等求出圆的半径，再解答即可．
【详解】解：∵OC⊥AB，DE⊥OC，DF⊥AB，
∴四边形OFDE是矩形，
∴OD=EF=3，
∴AB=6
【点睛】考查矩形的判定与性质以及圆的性质，掌握矩形的判定与性质是解题的关键.
19．（1）见解析；（2）；（3）存在，
【分析】（1）过正方形ABCD对角线的交点E和圆心O作直线OE即可．
（2）连接AC、BD交于点N，过M、N作直线l，则直线l即为所求，由待定系数法求出直线l的解析式即可；
（3）过点B作BD⊥OA于点D，则点P（1，2）为矩形ODBC的对称中心，过点P的直线只要平分△ABD的面积即可，设直线PH的表达式为y＝kx＋b，则y＝kx＋2 k，由待定系数法求出直线AB的解析式为y＝ x＋6，求出点H的坐标为（），求出k和b的值即可．
【详解】解：（1）过正方形对角线的交点和圆心作直线，如图2所示：
则将正方形和圆都分成面积相等的两部分，直线即为所求；
（2）连接、交于点，如图3所示：
∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴，
过、作直线，则直线即为所求，
设直线的解析式为，
由题意得：，
解得：，
∴直线的解析式为；
（3）直线存在，理由如下：
过点作于点，如图4所示：
则点为矩形的对称中心，
∴过点的直线只要平分的面积即可，
∵在边上必存在点使得将面积平分．
∴直线平分梯形的面积，
即直线为所求直线；
设直线的表达式为且点，
∴即，
∴，
∵，，，，
∴，，
∴直线的表达式为，则，
解得：，
∴直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴点的坐标为，
把代入直线的解析式，得，
∴与线段的交点，
∴，
∴．
∴，
解得：，或（不合题意舍去），
∴，
∴直线的表达式为．
【定睛】本题是圆的综合题目，考查了圆的性质、正方形的性质、矩形的性质、坐标与他图形性质、待定系数法求直线的解析式、三角形面积等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握圆的性质、矩形的性质以及待定系数法是解题的关键．
20．（1） t＝ （2）t＝（3）存在．当t＝或时，⊙E与BC相切
【详解】试题分析：（1）如图，t＝10―2t
解得 t＝
（2）①若PQ=PM，则
化简得，
此方程无解，舍去；
②若PQ=QM，则
，
解得t＝10（舍去），t＝
③若PM=QM，则
，解得t＝
∴当t＝或时，△PQM是等腰三角形．
（3）假设存在．当⊙E与BC相切时，
解得t＝，t＝．
∴当t＝或时，⊙E与BC相切．
考点：几何图形的性质
点评：该题较为复杂，是常考题，主要考查学生对平行四边形、等腰三角形、圆与直线关系的性质以及各种数量关系的分析掌握情况．
21．小狗活动的区域是以为半径的圆，图形见解析.
【分析】由题意可知小虎的手臂与绳长，身高、地面正好构成直角三角形，可用勾股定理解答；因为小虎站立不动，则小狗活动的区域为以为圆心，以（如图）为半径的圆．
【详解】解：由题意可知，，
小狗在地平面上环绕跑圆的半径为，
小狗活动的区域是以为半径的圆，如图．
【点睛】本题考查的是勾股定理的运用及圆的定义，熟练掌握勾股定理及圆的定义是解题的关键．
22．（1）在圆上，点在圆外，点在圆内 （2）
【分析】（1）根据点与圆的位置关系判定方法，比较AC，CM，BC与AC的大小关系即可得出答案；
（2）利用分界点当A、B、M三点中至少有一点在⊙C内时，以及当至少有一点在⊙C外时，分别求出即可．
【详解】（1）∵在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=5，AB的中点为点M，
，
，
∵以点C为圆心，4为半径作⊙C，
∴AC=4，则A在圆上，
∵，
则M在圆内，
BC=5＞4，则B在圆外；
（2）以点为圆心作，使三点中至少有一点在内时，；
当至少有一点在外时，，
故的半径的取值范围为：．
【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，正确根据点到圆心距离d与半径r的关系，d＞r，在圆外，d=r，在圆上，d＜r，在圆内判断是解题关键．
23．圆形车轮上的各点到车轮中心的距离相等（都等于半径），所以在行走时车轮中心与平面的距离保持不变，人感觉到平稳.
【详解】试题分析：此题考查圆的相关知识.
试题解析：
圆形车轮上的各点到车轮中心的距离相等（都等于半径），所以在行走时车轮中心与平面的距离保持不变，人感觉到平稳.
24．(1)漏掉了点在圆外的情况;(2)当点在☉O的外部时,点P到圆上一点的最长距离为4×2+2=10
【分析】（1）本题是有关点与圆的位置关系的问题，牢记点与圆的位置关系是解题关
（2）根据点P在圆内，和圆外，分两种情况画出图形，进行计算即可.
【详解】（1）漏掉了点在圆外的情况；
（2）①点P在圆内；如图1，
∵AP=2，
∴AB=4×2=8，
∴BP=6.
②点P在圆外；如图2，
∵AP=2，
∴AB=4×2=8，
∴BP=10.
∴点P到⊙O的最长距离是6或10.
【点睛】本题主要是考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有：①点P在圆内；②点P在圆外；③点P在圆上.掌握点与圆的位置关系是解题关键.此题也体现了分类讨论的数学思想.
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