2.2圆的对称性暑假预习练（含解析） 苏科版数学九年级上册

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2.2圆的对称性
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，已知半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若AB=8cm，CD=3cm，则圆O的半径为（ ）
A．cm B．5cm C．4cm D．cm
2．如图，点A、B、C、D在⊙O上，BC＝DC，若∠BOD＝124°，则∠A的大小为（　　）
A．27° B．31° C．56° D．63°
3．如图所示，在⊙O中，=，∠A=30°，则∠B=（ ）
A．150° B．75° C．60° D．15°
4．如图，⊙O的直径，是⊙O的弦，，垂足为，，则的长为（ ）
A． B． C．16 D．8
5．如图，在⊙O中，直径AB与弦MN相交于点P，∠NPB＝45°，若AP＝2，BP＝6，则MN的长为（ ）
A． B．2 C．2 D．8
6．如图，将半径为的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（ ）
A．4cm B．2cm C．cm D．cm
7．如图，点D是直径为10的中一点，若长为3，则过点D的所有弦中，最长弦与最短弦的长度差为（　　）
A．2 B．6 C．14 D．18
8．如图，在半径为5的⊙O中，如果弦AB的长为8，那么它的弦心距OC等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
9．⊙O的直径是10，两平行弦的长度分别是6和8，那么这两弦的距离是（ ）
A．1 B．7 C．8 D．1或7
10．如图所示，在同心圆中，大圆的弦交小圆于C，D，已知，的弦心距等于长的一半，那么大圆与小圆的半径之比是 ( )
A． B．
C． D．
11．如图，的半径，弦于点，若，则的长为（　　）
A．7.5 B．9 C．10 D．12
12．如图，中，弦于点C，交于点D，，则的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
二、填空题
13．如图，已知点C是⊙O的直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD=CO．若的度数为35°，则的度数是 ．
14．如图，是的直径，弦，垂足为E，连接，若，则弦的长为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，1）、B（0，﹣1），以点A为圆心，AB为半径作圆，交x轴于点C、D，则CD的长是 ．
16．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若AP：PB＝1：4．CD＝8，则AB＝ .
17．如图，弦垂直于的直径，垂足为，且，，则的长为 ．

三、解答题
18．如图，已知⊙O的直径d=10，弦AB与弦CD平行，它们之间的距离为7，且AB=6，求弦CD的长．
19．如图所示,AB是☉O的弦,C,D为弦AB上两点,且OC=OD,延长OC,OD,分别交☉O于点E,F.
试证:=.
20．如图，在中，，以为直径的半圆分别交，于点，，连结，．
（1）求证：．
（2）当，的度数之比为时，求四边形四个内角的度数．
21．某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为，隧道的水平宽为，离地面的高度，拱顶最高处离地面的高度为，在拱顶的，处安装照明灯，且，离地面的高度相等都等于，求的长．

22．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠ACD=30°，AE=2cm．求DB长．
23．如图，点C是上的点，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，若CD=CE.
求证：点C是的中点.
24．如图，在⊙O中，CD为直径，AB为弦，且CD平分AB于E，OE=3cm，AB=8cm，求⊙O的半径．
《2.2圆的对称性》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B B A C A A B D C
题号 11 12
答案 D B
1．A
【分析】连接AO，根据垂径定理可知AC=AB=4cm，设半径为x，则OC=x-3，根据勾股定理即可求得x的值．
【详解】解：如图，连接AO，
∵半径OD与弦AB互相垂直，AB=8cm，
∴AC=AB=4cm．
设半径为x，则OC=x﹣3，
在Rt△ACO中，AO2=AC2+OC2，
即x2=42+（x﹣3）2，
解得：x=．
∴半径为cm．
故选A．
【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握垂径定理、勾股定理的内容．
2．B
【分析】根据圆心角、弧、弦之间的关系得出∠DOC＝∠BOC，求出∠BOC的度数，根据圆周角定理得出∠A＝∠BOC，再求出答案即可．
【详解】解：连接OC，
∵BC＝DC，
∴∠DOC＝∠BOC，
∵∠BOD＝124°，
∴∠BOC＝∠BOD＝62°，
∴∠A＝∠BOC＝31°（圆周角定理），
故选：B．
【点睛】本考查了圆周角定理和圆心角、弧、弦之间的关系，能熟记知识点是解此题的关键，注意：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
3．B
【详解】∵在⊙O中，=，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴∠B=∠C；又∠A=30°，
∴∠B==75°（三角形内角和定理）．
故选B．
考点：圆心角、弧、弦的关系．
4．A
【分析】连接OA，先根据⊙O的直径CD＝12，CP：PO＝1：2求出CO及OP的长，再根据勾股定理可求出AP的长，进而得出结论．
【详解】连接OA，
∵⊙O的直径CD＝12，CP：PO＝1：2，
∴CO＝6，PO=4，
∵AB⊥CD，
∴AP= == ，
∴AB＝2AP＝．
故选：A．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．
5．C
【分析】过点O作OD⊥MN于点D，连接ON，先根据AB是直径，AP=2，BP=6求出⊙O的半径，故可得出OP的长，因为∠NPB=45°，所以△OPD是等腰直角三角形，再根据勾股定理求出OD的长，故可得出DN的长，由此即可得出结论．
【详解】解：过点O作OD⊥MN于点D，连接ON，则MN＝2DN，
∵AB是⊙O的直径，AP＝2，BP＝6，
∴⊙O的半径＝×（2+6）＝4，
∴OP＝4﹣AP＝4﹣2＝2，
∵∠NPB＝45°，
∴△OPD是等腰直角三角形，
∴OD＝，
在Rt△ODN中，
DN＝，
∴MN＝2DN＝2．
故答案为：C．
【点睛】本题考查的是垂径定理，勾股定理以及等腰三角形的判定与性质等知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
6．A
【分析】连接AO，过O作OD⊥AB，交于点D，交弦AB与点E，根据折叠的性质及垂径定理得到AE=BE，再根据勾股定理即可求解.
【详解】如图所示，连接AO，过O作OD⊥AB，交于点D，交弦AB与点E，
∵折叠后恰好经过圆心，
∴OE=DE,
∵半径为4，
∴OE=2，
∵OD⊥AB，
∴AE=AB，
在Rt△AOE中，AE==2
∴AB=2AE=4
故选A.
【点睛】此题主要考查垂径定理，解题的关键是熟知垂径定理的应用.
7．A
【分析】要满足最短弦，只需满足垂直于该弦，再用垂径定理和勾股定理求得最短弦，由过点D的所有弦中，最长弦是直径，即可得到答案．
【详解】解：根据题意可知，要满足最短弦，只需满足垂直于该弦，设该最短弦是，如图，于点D，
∴，，
∴，
∴，
∵过点D的所有弦中，最长弦是直径，
∴最长弦与最短弦的长度差为，
故选：A
【点睛】此题考查了垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握过圆内一点的最长弦和最短弦是解题的关键．
8．B
【详解】解：如图，连接OA，在Rt△OAC中，OA=5，AC=4，
在Rt△OAC中，OA=5，AC=4，则，
故选：B
9．D
【分析】此题要分情况讨论：①两条线段在圆心的同侧，②两条线段在圆心的异侧，然后结合图分别求出两条线段之间的距离即可．
【详解】解：①两条线段在圆心的同侧，如图，AB＝8，CD＝6，且ABCD，
先过O作OF⊥CD，垂足是F，交AB于E，连接OA，OC，
∵ABCD，OF⊥CD，
∴OF⊥AB，
∴∠OEA＝90°，AE＝AB＝4，
在Rt△AOE中，AE＝4，OA＝=5，
∴OE＝＝3，
同理可求OF＝4，
∴EF＝OF OE＝1；
②两条线段在圆心的异侧，如图，AB＝8，CD＝6，且ABCD，
先过O作OF⊥CD，垂足是F，反向延长交AB于E，连接OA，OC，
∵ABCD，OF⊥CD，
∴OF⊥AB，
∴∠OEA＝90°，AE＝AB＝4，
在Rt△AOE中，AE＝4，OA＝5，
∴OE＝＝3，
同理可求OF＝4，
∴EF＝OE＋OF＝7．
故选D．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形，注意分情况讨论．
10．C
【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，过O作于E，连接，，设，
由垂径定理求出，，在根据已知条件得出，在利用勾股定理求出和，然后相比即可得出答案．
【详解】解：过O作于E，连接，，
设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵等于的一半，
∴，
在中，，
在中，，
∴．
故选∶C．
11．D
【分析】连接OD，由题意得OD＝OB＝OA＝7.5，OC=3/5OB＝4.5，再由垂径定理得CD＝CE=1/2DE，然后由勾股定理求出CD＝6，即可得出答案．
【详解】解：连接OD，如图所示：
∵⊙O的半径OA＝7.5，OC：BC＝3：2，
∴OD＝OB＝OA＝7.5，OCOB＝4.5，
∵DE⊥AB，
∴CD＝CEDE，
∴CD6，
∴DE＝2CD＝12，
故选：D．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
12．B
【分析】根据垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长即可．
【详解】解：∵，，
∴，
在中，．
故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
13．105°．
【分析】连接OD、OE，根据圆心角、弧、弦的关系定理求出∠AOD=35°，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算即可．
【详解】解：连接OD、OE，
∵的度数为35°，
∴∠AOD=35°，
∵CD=CO，
∴∠ODC=∠AOD=35°，
∵OD=OE，
∴∠ODC=∠E=35°，
∴∠DOE=180°-∠ODC-∠E=180°-35°-35°=110°，
∴∠AOE=∠DOE-∠AOD=110°-35°=75°，
∴∠BOE=180°-∠AOE=180°-75°=105°，
∴的度数是105°．
故答案为105°．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
14．
【分析】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．由题意易得，根据勾股定理可求的长，然后问题可求解．
【详解】解：连接，
∵是的直径，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15．
【分析】根据题意在中求出，利用垂径定理得出结果．
【详解】由题意，在中，，，
由垂径定理知，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理及垂径定理，熟练掌握垂径定理是解决本题的关键．
16．10
【分析】AB是直径，AB⊥CD所以利用垂径定理得到CP=PD，再利用相交弦定理就可以得到CP2=AP BP，然后求出直径的长．
【详解】∵AB为直径，CD⊥AB，
∵CD=8，
∴PC=PD=4m设AP=x，则PB=4x
由相交弦定理，得x×4x=4×4，
∴x=2，
∴AB的长为10．
故答案为10
【点睛】此题比较简单，主要考查垂径定理和相交弦定理的应用．
17．
【分析】根据垂径定理和相交弦定理求解．
【详解】连接OD，如图所示：

由垂径定理得HD=，由勾股定理得HB=1，
设圆O的半径为R，在Rt△ODH中，OH=R-1，DH=
则R2=（）2+（R-1）2，由此得2R=3，
或由相交弦定理得（）2=1×（ 2R-1），由此得2R=3，所以AB=3.
故答案是：3.
【点睛】考查了垂径定理、勾股定理或相交弦定理．
18．8
【分析】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OA、OC，根据垂径定理得到
根据AB∥CD，得到点M、O、N在同一条直线上，在Rt△AOM中，根据勾股定理求出
进而求出ON，在Rt△CON中，根据勾股定理求出根据垂径定理即可求出弦CD的长．
【详解】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OA、OC，
则
∵AB∥CD，
∴点M、O、N在同一条直线上，
在Rt△AOM中，
∴ON=MN﹣OM=3，
在Rt△CON中，
∵ON⊥CD，
∴CD=2CN=8．
【点睛】考查勾股定理以及垂径定理，作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键.
19．证明见解析
【详解】试题分析:根据等腰三角形的性质由OC=OD得∠OCD=∠ODC，由OA=OB得∠A=∠B，再根据三角形外角性质得∠OCD=∠A+∠AOC，∠ODC=∠B+∠BOD，利用等量代换得到∠AOC=∠BOD，然后根据在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等即可得到结论．
证明:∵OC=OD,∴∠OCD=∠ODC.
∵AO=OB,∴∠A=∠B.
∴∠OCD-∠A=∠ODC-∠B,
即∠AOC=∠BOD,
即∠AOE=∠BOF.∴=.
点睛:本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
20．（1）证明见解析；（2），，，．
【分析】（1）连接AD后，证明这两条弧所对的圆周角相等，即，该题得证；
（2）由这两条弧度数之比为4:5，分别求出它们的度数，再根据 ，求出和的度数，即可求出 和，利用圆的内接四边形对角互补可以得到另外两个内角的度数．
【详解】解：（1）如图，连结，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）∵，与的度数之比为，
∴，，
∵，∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，，．
【点睛】本题考查了圆中的弧和圆周角之间的关系，学生应在理解圆周角定理以及其推论的同时，能熟练应用它们，解决本题的关键是通过连线，构造两弧所对的圆周角，通过角的关系来证明弧的关系，同时应明白圆周角等于其所对弧的度数的二分之一，能由弧度求出角度，只有牢牢记住它们的关系，才能灵活地在角与弧之间进行转化，求出答案．
21．
【分析】根据题意和垂径定理得到，根据勾股定理求得半径，进而利用勾股定理求得，即可求得．
【详解】设于交于G，与交于H，
∵，
∴，
设圆拱的半径为r，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴．

【点睛】本题考查了垂径定理的应用，作出辅助线构建直角三角形，利用勾股定理求解是解题的关键．
22．DB=cm
【分析】由AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，根据垂径定理，可得CE=DE，∠AEC=∠DEB=90°，然后由含30°角的直角三角形的性质，即可求得EC与DE的长，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠B=30°，继而求得DB的长．
【详解】∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE=DE，∠AEC=∠DEB=90°，
∵∠B=∠ACD=30°，
在Rt△ACE中，AC=2AE=4cm，
∴CE==2（cm），
∴DE=2cm，
在Rt△BDE中，∠B=30°，
∴BD=2DE=4cm．
∴DB的长为4cm．
【点睛】本题考查了垂径定理，在同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角相等，含30°角直角三角形的性质及勾股定理，其中含30°角直角三角形的性质是解题的关键．
23．见解析
【分析】连接OC，利用HL可证明△ODB≌△EDC，可得∠DOC=∠EOC，根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等即可证明，可得点C是的中点.
【详解】连接OC，
∵CD=CE，OC=OC，CD⊥OA，CE⊥OB，
∴△ODB≌△EDC（HL），
∴∠DOC=∠EOC，
∵∠DOC与∠EOC分别是和所对的圆心角，
∴，
∴点C是的中点.
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质及圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
24．5cm
【分析】首先连接OA，根据垂径定理可得CD⊥AB，AE=4，根据勾股定理求出OA的长度.
【详解】连接OA，CD为直径，且CD平分AB于E，
∴CD⊥AB，AE=AB=4cm，
在Rt△OAE中,
∴⊙O的半径为5cm．
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