2.3确定圆的条件暑假预习练（含解析） 苏科版数学九年级上册

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2.3确定圆的条件
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图①，若BC是Rt△ABC和Rt△DBC的公共斜边，则A、B、C、D在以BC为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
2．下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程：
已知：如图1，在中，． 求作：的外接圆． 作法：如图2． （1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点； （2）作直线，交于点O； （3）以O为圆心，为半径作，即为所求作的圆．
下列不属于该尺规作图依据的是（ ）
A．两点确定一条直线
B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
3．有下列说法：（1）三个点确定一个圆；（2）相等的圆心角所对的弦相等；（3）等弧所对的圆心角相等；（4）三角形的外心到三角形三条边的距离相等；（5）外心在三角形的一边上的三角形是直角三角形；其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，将放在每个小正方形边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面半径是　　

A． B． C．2 D．
5．一个三角形的外心在它的内部,则这个三角形一定是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形
6．用尺规作图作三角形的外接圆时，用到了哪些基本作图（ ）
A．作一条线段等于已知线段 B．作一个角等于已知角
C．作一个角的平分线 D．作一条线段的垂直平分线
7．如图，在等腰中，，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点都在同一个圆上．记该圆面积为，面积为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
8．已知直角三角形的两条直角边的长是方程x2﹣7x+12＝0的两根，则这个直角三角形外接圆的半径（　　）
A．7 B．2.5 C． D．5
9．若一个三角形的外心在它的一条边上，那么这个三角形一定是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形
10．的外心在三角形的一边上，则是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断
11．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，则它的外心与顶点C的距离为（　　）
A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm
12．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点都叫作格点，两点皆在格点上，在此方格纸上另找两格点，使得的外心为，则的长为（ ）
A．4 B．5 C． D．
二、填空题
13．有一种化学实验中用的圆形过滤纸片，如果需要找它的圆心，请你简要说明你找圆心的方法是
14．在中，，，，则的外心在的 （填“内部”、“外部”或“边上”）；其外接圆的半径为 ．
15．根据“不在同一直线上的三点确定一个圆”，可以判断平面直角坐标系内的三个点A（3，0）、B（0，－4）、C（2，－3） 确定一个圆（填“能”或“不能”）．
16．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交它的外接圆于D、E两点．若∠B=24°，∠C=106°，则 的度数为
17．联想三角形外心的概念，我们可定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．例：如图，若PA=PB，则点P为△ABC的准外心．已知△ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心P在AC边上，则PA= ．
三、解答题
18．如图，已知在中，．
(1)请用圆规和直尺作出，使圆心P在边上，且与，两边都相切(保留作图痕迹，不写作法和证明)；
(2)若，，求的面积．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，AE⊥AB交BC于点D，交⊙O于点E，F在DA的延长线上，且AF＝AD，若AF＝3，tan∠ABD＝，求⊙O的直径．
20．如图，在中，，，．
的外接圆半径为______；
用直尺和圆规作出的内切圆保留作图痕迹，不写作法，并求出的内切圆半径．
21．如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A（0，2），B（4，2），C（6，0），解答下列问题：
（1）请在图中确定该圆弧所在圆心D点的位置，并写出D点坐标为 ；
（2）连接AD，CD，求⊙D的半径（结果保留根号）；
22．如图所示，在△ABC中，CE，BD分别是AB，AC边上的高，求证：B，C，D，E四点在同一个圆上．

23．已知三角形的三边长分别为2cm，2cm，2cm，求它的外接圆半径.
24．如图，在平面直角坐标系中，A、B、C是上的三个点，．
(1)圆心的坐标为______；请在图中标出圆心的位置．
(2)判断点与的位置关系，并写出过程．
《2.3确定圆的条件》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D B A C D C B B B
题号 11 12
答案 A D
1．D
【分析】根据两个直角三角形公共斜边时，四个顶点共圆，结合图形求解可得．
【详解】解：如图，
以AH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、H、E），
以BH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、H、D），
以CH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（C、D、H、E），
以AB为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、E、D、B），
以BC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、E、C），
以AC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、D、C），
共6组．
故选D．
【点睛】本题考查四点共圆的判断方法．解题的关键是明确有公共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆．
2．D
【分析】利用直角三角形斜边中线的性质证明：即可．
【详解】解：作直线（两点确定一条直线），
连接，

∵由作图，，
∴且（与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）．
∵，
∴（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
∴，
∴A，B，C三点在以O为圆心，为直径的圆上．
∴为的外接圆．
故选：D．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的定义，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
3．B
【分析】此题考查了确定圆的条件，三角形外心的性质等知识，
根据确定圆的条件对①进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对②进行判断；根据圆周角定理对③进行判断；根据三角形外心的性质对④⑤进行判断．
【详解】解：（1）不共线的三个点确定一个圆，故错误；
（2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故错误；
（3）同弧或等弧所对的圆周角相等，故正确；
（4）三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故错误；
（5）外心在三角形的一边上的三角形是直角三角形，故正确；
故选：B．
4．A
【分析】根据题意得出的外接圆的圆心位置，进而利用勾股定理得出能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径．
【详解】解：如图所示：

点O为外接圆圆心，则AO为外接圆半径，
故能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是：．
故选A．
【点睛】此题主要考查了三角形的外接圆与外心，得出外接圆圆心位置是解题关键．
5．C
【详解】试题分析：根据三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点即可判断.
一个三角形的外心在它的内部,则这个三角形一定是锐角三角形,故选C.
考点：三角形的外心
点评：本题是三角形的外心的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，属于基础题，难度不大.
6．D
【分析】根据三角形的外心的定义可知，三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，即作三边的垂直平分线性即可，据此即可求解．
【详解】解：∵由三角形的外心的定义可知，三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，
∴三角形的外心在三边的垂直平分线上，
所以用到了基本作图：作一条线段的垂直平分线．
故选D．
【点睛】本题考查了三角形外心的定义，理解三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等是解题的关键．
7．C
【分析】先确定圆的圆心在直角三角形斜边的中点，然后利用全等三角形的判定和性质确定△ABC是等腰直角三角形，再根据直角三角形斜边中线的性质得到，再由勾股定理解得，解得，据此解题即可．
【详解】解：如图所示，正方形的顶点都在同一个圆上，
圆心在线段的中垂线的交点上，即在斜边的中点，且AC=MC，BC=CG，
∴AG=AC+CG=AC+BC，BM=BC+CM=BC+AC，
∴AG=BM，
又∵OG=OM，OA=OB，
∴△AOG≌△BOM，
∴∠CAB=∠CBA，
∵∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理、直角三角形斜边的中线的性质、圆的面积、三角形的面积等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
8．B
【分析】直角三角形的外接圆半径等于斜边的一半，因此求出直角三角形的斜边长是解题的关键，通过解方程可求得直角三角形的两条直角边，进而由勾股定理求得斜边的长，由此得解．
【详解】解：x2﹣7x+12＝0，
（x﹣3）（x﹣4）＝0，
解得x＝3，x＝4；
所以直角三角形的两条直角边为：3、4，
由勾股定理得：斜边长＝＝5；
所以直角三角形的外接圆半径长为2.5，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了直角三角形外切圆半径的求法，涉及到一元二次方程的解法以及勾股定理的综合应用，难度不大．
9．B
【详解】锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心是其斜边的中点，钝角三角形的外心在其三角形的外部；
由此可知若三角形的外心在它的一条边上，那么这个三角形是直角三角形．
故选B．
10．B
【分析】根据三角形外心与三角形的位置关系可判断三角形的形状，因此可得到答案．
【详解】解：当的外心在的内部时，则是锐角三角形；
当的外心在的外部时，则是钝角三角形；
当的外心在的一边时，则是直角三角形，且这边是斜边．
故选B．
【点睛】本题考查了三角形的外心，解决本题的关键是经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
11．A
【详解】试题解析：
的外心为斜边AB的中点，
的外接圆半径为
∴它的外心与顶点C的距离为
故选A.
12．D
【分析】此题考查了三角形外心的性质，勾股定理，解题的关键是正确画出图形．
首先根据题意画出图形，连接，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：的位置如解图所示，连接，
的外心为，
，由图可知，
．
故选：D．
13．在圆形纸片的边缘上任取三点则线段的垂直平分线的交点是圆形纸片的圆心.
【分析】如图，在圆形纸片的边缘上任取三点 连接 再作的垂直平分线得到两条垂直平分线的交点即可.
【详解】解：如图，在圆形纸片的边缘上任取三点
连接 则的垂直平分线的交点是圆形纸片的圆心.
故答案为：在圆形纸片的边缘上任取三点则线段的垂直平分线的交点是圆形纸片的圆心.
【点睛】本题考查的是确定圆的圆心，掌握“作三角形的外接圆的圆心”是解本题的关键.
14． 边上
【分析】根据直角三角形的外心在斜边上，即可判断外心的未知，根据勾股定理求出的长度，即可求出半径．
【详解】解：如图：的外心在的斜边上，
∵，
∴为直径，
∵，，
∴，
∴半径为：．
故答案为：边上，．
【点睛】本题主要考查了三角形的外心，直径所对的圆周角为直角，勾股定理，解题的关键是熟练掌握各个相关内容并灵活运用．
15．能
【分析】先设出过A，B两点函数的解析式，把A（3，0）、B（0，-4）代入即可求出其解析式，再把C（2，-3）代入解析式看是否与A，B两点在同一条直线上即可．
【详解】设经过A，B两点的直线解析式为y=kx+b，
由A（3，0）、B（0，-4），得
，
解得，
所以直线AB的解析式为，
当x=-2时，，
所以A、B、C三点不共线，
所以经过A、B、C三点可以确定一个圆，
故答案为：能
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，判断过三点能否确定一个圆，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键
16．82°
【分析】根据垂径定理的推理可判断DE为直径，根据垂径定理得到，设△ABC的外接圆的圆心为O，连结OC、OA，如图，再利用三角形内角和计算出∠BAC=50°，利用圆周角定理得到∠EOC=∠BAC=50°，∠AOC=2∠B=48°，然后计算出∠AOD的度数，再根据的度数等于它所对的圆心角的度数求解即可．
【详解】解：∵DE垂直平分BC，
∴DE为直径，，
设△ABC的外接圆的圆心为O，连结OC、OA，如图，
∵∠B=24°，∠C=106°，
∴∠BAC=180°-24°-106°=50°，
∴∠EOC=∠BAC=50°，
∵∠AOC=2∠B=48°，
∴∠AOD=180°-∠COE-∠AOC=180°-50°-48°=82°，
∴的度数为82°．
故答案为82°.
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．解决本题的关键是把求弧的度数转化为求弧所对的圆心角的度数．
17．或2
【分析】运用勾股定理求出AC的长度，且根据准外心的定义，一共有两种情况：①PA=PC，②PB=PC，设PA=x，解一元一次方程，即可求得答案．
【详解】解：在直角三角形ABC中，斜边BC=5，AB=3，根据勾股定理，可得：，
且准外心P在AC上，即PA=PC或PB=PC，
①当PA=PC时，设PA=x，则PC=AC-PA=4-x，即x=4-x，解得：x=2；
②当PB=PC，设PA=x，则PC=AC-PA=4-x，且ABP也是直角三角形，故，即，解得：；
故答案为：或2．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、解一元一次方程，解题的关键在于考虑到两种情况的可能，且需要理解准外心的定义．
18．（1）见解析；（2）
【分析】（1）作∠ABC的平分线交AC于P，再以P为圆心PA为半径即可作出⊙P；
（2）首先求得∠ABP=∠PBC=30°，根据三角函数可得BC=2，再根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：(1)如图所示，则为所求作的图．
(2)设与相切于点，连接，则．
【点睛】本题主要考查了作图-复杂作图，角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等．同时考查了三角形的面积．
19．
【详解】试题分析：如图，连接BE．利用等腰三角形“三线合一”的性质得到BF=BD；然后根据圆周角定理推知∠FBA=∠ABC=∠C=∠E，BE是⊙O的直径．利用锐角三角函数的定义可以来求BE的长度．
试题解析：
如图，连接BE．
∵AF=AD，AB⊥EF，
∴BF=BD．是直径
∵AB=AC，
∴∠FBA=∠ABC=∠C=∠E．
∵tan∠ABD=，
∴tanE=tan∠FBA=．
在Rt△ABF中，∠BAF=90°．
∵tan∠FBA== ，AF=3，
∴AB=4．
∵∠BAE=90°，
∴BE是⊙O的直径．
∵tanE=tan∠FBA= ，AB=4，
∴设AB=3x，AE=4x，
∴BE=5x，
∵3x=4，
∴BE=5x=，
即⊙O的直径是．
20．（1）2.5；（2）该三角形内切圆的半径长是1．
【分析】（1）根据勾股定理求出AB，根据直角三角形的外心是斜边的中点，即可求出答案．
（2）作两角的平分线，交点为圆心，以交点到边的距离为半径作出圆即可．根据三角形面积公式求出内切圆半径即可．
【详解】解：在中，，，，由勾股定理得：，
即三角形的外接圆的半径长是，
故答案为．
如图所示：即为所求
连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，
设内切圆的半径长为r，则，
由
得：
解得：，
即该三角形内切圆的半径长是1．
【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的内切圆和三角形的外接圆的应用，主要考查学生运用定理进行计算的能力
21．(1)、图形见解析；D(2，－2)；(2)、2
【分析】(1)、分别作AB和BC的中垂线，从而得出点D的坐标；(2)、过点D作DE⊥y轴，交y轴于点E，根据Rt△ADE的勾股定理求出半径的长度.
【详解】(1)如图所示，D（2，-2）
(2)、如图2，过点D作DE⊥y轴，交y轴于点E，
在Rt△ADE中，AE=4，DE=2，
则r= ，
所以⊙D的半径为2.
22．证明见解析
【分析】求证E，B，C，D四点在同一个圆上，△BCD是直角三角形，则三个顶点在斜边中点为圆心的圆上，因而只要再证明E到BC得中点的距离等于BC的一半就可以．
【详解】证明:如图所示，取BC的中点F，连接DF，EF．
∵BD，CE是△ABC的高，
∴△BCD和△BCE都是直角三角形．
∴DF，EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线，
∴DF=EF=BF=CF．
∴E，B，C，D四点在以F点为圆心， BC为半径的圆上．

【点睛】此题考查确定圆的条件，求证几个点在同一个圆上就是证明这几个点到一个点的距离相等．
23．cm.
【分析】根据勾股定理先求出斜边长，再除以2就是外接圆的半径.
【详解】（2）2+（2）2=20=（2）2
根据勾股定理可知，这个三角形为直角三角形,
又∵直角三角形外接圆直径为斜边边长,
∴ 直径为2cm
它的外接圆半径是:2÷2=cm.
答: 它的外接圆的半径是cm.
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形外接圆与圆心，解题的关键是掌握勾股定理和三角形外接圆的概念.
24．(1)，图见解析
(2)点D在内，证明见解析
【分析】本题主要考查确定圆的条件和坐标与图形性质的知识点，点与圆的位置关系等知识，能够根据垂径定理的推论得到圆心的位置是解决问题的关键．
（1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心．
（2）求出的半径，的长即可判断．
【详解】（1）解：画图如下：
由图可知：圆心是，
故答案为：；
（2）解：圆的半径，
线段，
点D在内．
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