2.4圆周角暑假预习练（含解析） 苏科版数学九年级上册

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2.4圆周角
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，已知点O是的外心，，连结，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．在同圆中，同弦所对的两个圆周角（ ）
A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．互余
3．下列命题中，正确的是（ ）
①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③的圆周角所对的弦是直径；④不在同一条直线上的三个点确定一个圆；⑤同弧所对的圆周角相等
A．①②③ B．③④⑤ C．①②⑤ D．②④⑤
4．如图，线段是的直径，如果，那么的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，直线AE与四边形ABCD的外接圆相切于A点．若∠DAE＝12°， ，则∠ABC的度数是（ ）
A．64° B．65° C．67° D．68°
6．△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（ ）
A．80° B．160° C．100° D．80°或100°
7．如图，是的外接圆，直径，弦，则弦等于（ ）
A．6 B．5 C．4 D．8
8．如图，内接于，于，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠DCF=20°，则∠EOD等于（　　）
A．10° B．20° C．40° D．80°
10．中，，若C是上一点，则等于（ ）
A． B． C． D．
11．如图，四边形ABCD内接于，如果它的一个外角∠DCE=64°，那么∠BOD=（ ）
A．128° B．100° C．64° D．32°
12．如图，内接于⊙，连接，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，是的直径，，则 ．

14．如图，已知O为三边垂直平分线交点，∠BAC=60°，则∠BOC= ．
15．一副学生三角板放在一个圈里恰好如图所示，顶点在圆圈外，其他几个顶点都在圆圈上，圆圈和交于点，已知cm，则这个圆圈上的弦长是
16．如图，已知点A，B，C在上，，，则 ．

17．的弦的长等于半径，那么弦所对的圆周角等于 度．
三、解答题
18．如图 (1)，已知△ABC是等边三角形，以BC为直径的⊙O交AB、AC于D、E.求证：
(1)△DOE是等边三角形.
(2)如图(2)，若∠A=60°，AB≠AC， 则(1)中结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.
19．如图，是上的两点，是的中点，求证；四边形是菱形．
20．如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，连接AC、OC、BC
（1）求证：∠ACO＝∠BCD；
（2）若EB＝8cm，CD＝24cm，求⊙O的面积．（结果保留π）
21．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径，求证：．
22．如图，AB是⊙O的直径，CE是⊙O上的两点，CD⊥AB于D，交BE于F，，求证：BF=CF．
23．如图，在边长为的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，点，，的坐标分别是，，．

(1)将绕点逆时针旋转至，画出旋转后的；
(2)请直接写出点与过，，三点的圆的位置关系：__________（填“在圆外、在圆上或在圆内”）．
24．如图,A、B、C、D四点都在⊙O上,AD是⊙O的直径,且AD=6cm,若∠ABC=∠CAD,求弦AC的长.
《2.4圆周角》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C B D D D A A C D
题号 11 12
答案 A A
1．B
【分析】根据点O是的外心，可得，再由等腰三角形的性质，即可求解．
【详解】解：如图，
∵点O是的外心，，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆的知识；解题的关键是熟练掌握三角形外接圆的性质、圆周角定理．
2．C
【分析】根据圆周角定理及圆的基本性质即可判断．
【详解】解：在同圆中，同弦所对的两个圆周角相等或互补，
故选C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆的基本性质，圆周角定理是圆中极为重要的知识点，在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需熟练掌握．
3．B
【详解】解：根据圆周角定理可知：①顶点在圆周上且角的两边与圆相交的角是圆周角，故此选项错误；
②同弧或等弧所对圆周角等于圆心角的一半，故此选项错误；
③90°的圆周角所对的弦是直径；根据圆周角定理推论可知，此选项正确；
④不在同一条直线上的三个点确定一个圆；根据不在一条直线上的三点可确定一个圆，故此选项正确；
⑤同弧所对的圆周角相等，∵在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，故此选项正确；
故答案为③④⑤．
故选B．
4．D
【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，从而求出的度数，最后利用同弧所对的圆周角相等即可解答．
【详解】解：如图：连接，
是的直径，
，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键．
5．D
【分析】如图：作直径AF、连接DF，根据切线的性质求出∠F的度数，求出弧AD、弧DC的度数，进而弧ADC的度数即可.
【详解】解：如图：作直径AF，连接DF，
∵AE是圆O的切线，
∴∠EAF=90°，
∵∠ADF=90°，
∴∠EAD+∠DAF=90°，∠F+∠DAF=90°，
∴∠F=∠DAE
∵∠DAE=12°（已知），
∴∠F=12°，
∴的度数是2×12°=24°，
∵，
∴弧的度数是×（360°-24°）=112°，
∴的度数是24°+112°=136°，
∴∠ABC=×136°=68°．
故答案为D.
【点睛】本题主要考查了切线的性质的应用、圆周角定理、弦切角等于该弦与切线所夹弧所对的圆周角等知识点，正确作出辅助线、求出的度数是解答本题的关键．
6．D
【详解】解：根据题意得：∠AOC=2∠ABC，
当三角形为锐角三角形时，∠ABC=80°，
当三角形为钝角三角形时，∠ABC=100°．
故选：D
7．A
【分析】根据直径所对的圆周角是直角得到∠ACB＝90°，继而根据勾股定理即可求解．
【详解】∵为直径，
∴，
在中，，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查圆周角定理和勾股定理，解题的关键是熟练掌握直径所对的圆周角是直角．
8．A
【分析】首先连接OB，由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠BOC的度数，又由OB=OC，根据等边对等角的性质，即可求得∠OCD的度数．
【详解】连接OB，
∵∠A=50°，
∴∠BOC=2∠A=100°，
∵OB=OC，
∴∠OCD=∠OBC==40°．
故选A．
【点睛】此题考查了圆周角定理与等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
9．C
【详解】∵⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠DCF=20°，
∴，且弧的度数是40°．
∴∠DOE=40°．
故选C．
10．D
【分析】根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，先求得优弧所对的圆心角，进而即可求得圆周角．
【详解】如图，优弧所对的圆心角为，
根据圆周角定理可得，
故选D．
【点睛】本题考查了圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
11．A
【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A=∠DCE=64°，
∴∠BOD=2∠A=128°.
故选A.
12．A
【分析】连接OB，由2∠C=∠AOB，求出∠AOB，再根据OA=OB即可求出∠OAB．
【详解】连接OB，如图，
∵∠C=46°，
∴∠AOB=2∠C=92°，
∴∠OAB+∠OBA=180°-92°=88°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∴∠OAB=∠OBA=×88°=44°，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，根据圆周角定理的出∠AOB=2∠C=92°是解答本题的关键．
13．/108度
【分析】根据圆周角定理即可推出，通过计算即可推出结果．
【详解】解：∵，
∴，
∵是的直径，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查圆周角定理，关键在于根据圆周角定理推出，然后认真的进行计算．
14．120°
【分析】由点O为三边垂直平分线交点，得到点O为△ABC的外心，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得到结果．
【详解】解：∵已知点O为三边垂直平分线交点，
∴点O为△ABC的外心，
∴∠BOC=2∠BAC，
∵∠BAC=60°，
∴∠BOC=120°，
故答案为120°．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的外心的性质，解答本题关键熟练掌握圆周中同一弧线所对应的圆周角是圆心角的一半．
15．
【分析】作于点E，连接BE，在中求出EF的长，在中求出CF的长，即可求出CE的长．
【详解】解：如图，作于点E，连接BE，
∵是等腰直角三角形，，
∴，，，
∴，AB是直径，
∴，
∵是含30°的三角板，
∴，
∴，，，
∴
在中，，，
∴，
在中，，，
∴CF=4，
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了圆周角定理及勾股定理，能够把求CE长度问题转化直角三角形中的计算问题是解题的关键．
16．/20度
【分析】先根据圆周角定理求出，再根据平行线的性质可证．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，平行线的性质，熟记圆周角定理的含义是解本题的关键．
17．或
【分析】一条弦所对的圆周角有两种情况：当圆周角的顶点在优弧上，圆周角应是一个锐角；当圆周角的顶点在劣弧上，圆周角是一个钝角．
【详解】解：∵弦的长等于半径，
∴当把圆心分别与点A，B连接，可得等边三角形，等边三角形的内角是，
∴弦所对的圆心角是，
∴弦把圆分成和的两段弧，
根据弧的度数等于它所对的圆心角的度数，而一条弧所对的圆周角的度数等于所对圆心角度数的一半，
∴弦所对的圆周角等于或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
18．（1）证明见解析（2）当∠A=60°，AB≠AC时，（1）中的结论仍然成立
【分析】(1)、根据等边三角形的性质以及圆的半径可以得出：△OBD和△OEC都为等边三角形，结合∠BOD=∠EOC=60°得出∠DOE=60°，从而得出等边三角形；(2)、连接CD，根据BC为直径得出∠BDC=∠ADC=90°，根据∠A的度数得出∠ACD=30°，然后根据圆周角的性质可得：∠DOE=60°，结合OD=OE得出等边三角形．
【详解】(1)证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵OB=OC=OE=OD ，
∴△OBD和△OEC都为等边三角形，
∴∠BOD=∠EOC=60°，
∴∠DOE=60°，
∴△DOE为等边三角形.
(2)
解：当∠A=60°，AB≠AC时，（1）中的结论仍然成立.
证明：连结CD，∵BC为⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，
∴∠ADC=90°，
∵∠A=60°，
∴∠ACD=30°，
∴∠DOE=2∠ACD=60°，
∵OD=OE ，
∴△DOE为等边三角形.
19．见解析
【分析】连接OC，证明 再证明为等边三角形，结合菱形的判定，从而可得结论.
【详解】证明：连接OC，∵C是的中点，
∴＝，又∵∠AOB＝120°，
∴∠AOC＝∠BOC＝×120°＝60°，
又∵OA＝OC＝OB，
∴△AOC与△BOC均是等边三角形，
∴OA＝AC＝OC，BO＝OC＝BC，
∴OA＝AC＝BC＝OB，
∴四边形OACB是菱形．
【点睛】本题考查的是圆的基本性质，圆周角定理的应用，等边三角形的判定与性质，菱形的判定，熟练运用等边三角形与菱形的判定是解题的关键.
20．（1）见解析；（2）169π（cm2）．
【分析】（1）根据垂径定理，即可得＝，根据同弧所对的圆周角相等，证出∠BAC＝∠BCD，再根据等边对等角，即可得到∠BAC＝∠ACO，从而证出∠ACO＝∠BCD；
（2）根据垂径定理和勾股定理列出方程，求出圆的半径，即可求出圆的面积.
【详解】解：（1）∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴＝．
∴∠BAC＝∠BCD．
∵OA＝OC，
∴∠BAC＝∠ACO．
∴∠ACO＝∠BCD；
（2）∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴CE＝CD＝×24＝12（cm）．
在Rt△COE中，设CO为r，则OE＝r﹣8，
根据勾股定理得：122+（r﹣8）2＝r2
解得r＝13．
∴S⊙O ＝π×132＝169π（cm2）．
【点睛】此题考查的是垂径定理、等腰三角形的性质、圆周角定理推论和求圆的面积，掌握垂径定理和勾股定理的结合是解决此题的关键.
21．见解析.
【分析】连接BE，由直径所对的圆周角是直角以及直角三角形的性质可得∠BAE+∠E=90°，，由圆周角定理可得∠E=∠ACB，继而可得∠BAE=∠CAD．
【详解】连接BE，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°，
∴，
∵是边上的高，
∴，
∴，
∵∠E＝∠ACB，
∴∠BAE＝∠CAD．
【点睛】本题考查的是圆周角定理及直角三角形的性质，熟知“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”是解答此题的关键．
22．证明见解析．
【分析】延长CD交⊙O于点G，连接BC，先由垂径定理可得，再由等弧所对的圆周角可得∠BCF＝∠CBF，所以证得BF＝CF.
【详解】
证明：延长CD交⊙O于点G，连接BC，
∵AB是⊙O的直径， CD⊥AB于D，
∴，
∵，
∴，
∴∠BCF＝∠CBF，
∴BF＝CF.
【点睛】本题考查了垂径定理，即垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，还考查了等腰三角形的判定，等弧所对的圆周角相等，根据题意构造辅助线是问题的关键.
23．(1)作图见解析
(2)在圆上
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点、的对应点、，从而得到；
（2）先利用圆周角定理的推论确定的外接圆的圆心为的中点，再利用勾股定理计算出，，然后根据点与圆的位置关系判断点与过，，三点的圆的位置关系．
【详解】（1）解：如图，为所作；

（2）由（1）可知：，，
∴为等腰直角三角形，
∴的外接圆的圆心为的中点，
又∵网格中的小正方形的边长为，
∴，
，，
∴，，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点在过，，三点的圆上，
故答案为：在圆上．

【点睛】本题考查作图—旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．圆周角定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，点和圆的位置关系．掌握点和圆的位置关系是解题的关键．
24．3cm
【详解】试题分析：连接DC，根据圆周角定理可得∠ADC=∠ABC=∠CAD，即可得到AC=CD，由AD是直径可得∠ACD=90°，再根据勾股定理即可求得结果.
连接DC,
则∠ADC=∠ABC=∠CAD,
故AC=CD.
∵AD是直径,
∴∠ACD=90°,
∴AC2+CD2=AD2,
即2AC2=36,AC2=18,AC=3.
考点：圆周角定理，勾股定理
点评：辅助线问题是初中数学学习中的难点，能否根据具体情况正确作出恰当的辅助线往往能够体现一个学生对图形的理解能力，因而这类问题在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，一般难度较大，需多加关注.
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