2.5直线与圆的位置关系暑假预习练（含解析） 苏科版数学九年级上册

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2.5直线与圆的位置关系
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点O在AC上，以O为圆心，OC为半径作⊙O，过点A作AD⊥BO交BO的延长线于点D．则下列结论中：①点A、B、C、D在同一个圆上；②∠ABC＝2∠CAD；③若∠BOC＝∠BAD，则AB与⊙O相切，正确的结论是（　　）
A．①②③ B．①② C．②③ D．①③
2．如图，、分别与相切于A、B两点，点C为上一点，连接、，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，已知圆O是的内切圆，且，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
4．如图所示，是的外接圆，为的直径，过点作的切线，交的延长线于点D．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．若⊙O的半径为R，直线l与⊙O有公共点，若圆心到直线l的距离为d，则d与R的大小关系是（ ）．
A．d＞R B．d＜R C．d≥R D．d≤R
6．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，则以A为圆心6cm为半径的圆与直线BC的位置关系是（　　）
A．相离 B．相切 C．相交 D．外离
7．已知直线与⊙O相离，如果⊙O的半径为R，点O到直线的距离为d，那么( )
A．d>R B．d8．如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，其中，．与轴正半轴相切的与直线相交于、两点，若，则的值为（ ）

A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
9．在平面直角坐标系xOy中，以点(－3，4)为圆心，4为半径的圆( )
A．与x轴相交，与y轴相切 B．与x轴相离，与y轴相交
C．与x轴相切，与y轴相交 D．与x轴相切，与y轴相离
10．若⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为d，且d与R是方程x -4x+m=0的两根，且直线l与⊙O 相切，则m的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．如图，AB是的直径，PA与相切于点A，交于点C．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若OD=2，tan∠OAB=，则AB的长是（ ）
A．4 B．2 C．8 D．4
二、填空题
13．为了测量一个圆形铁环的半径（如图），某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若测得，则铁环的半径是 ．
14．如图所示，在矩形中，，是以为直径的圆，则直线和的位置关系是 ．

15．在平面直角坐标系中，以点为圆心，5为半径的圆与y轴所在直线的位置关系是 .
16．如图，点为的内心，，则的度数为 ．
17．如图，△ABC为等边三角形，AB＝2，若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则点P运动的路径长为 ．
三、解答题
18．如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，且AB ∥ CD，BO=6cm，CO=8cm．求BC的长
19．如图，中，，，与的三边分别相切于点D，E，F，若的半径为2，求的周长．
20．在△ABC中，，以边AB上一点O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点D，分别交AB，AC于点E，F
（I）如图①，连接AD，若，求∠B的大小；
（Ⅱ）如图②，若点F为的中点，的半径为2，求AB的长．

21．如图所示，AB是⊙O的直径，AD是弦，∠DAB＝22.5°，延长AB到点C，使得∠ACD＝45°．

(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若AB＝2，求BC的长．
22．如图，内接于，是的直径，点D是上一点，连接、，过点B作，交的延长线于点E，平分．
(1)求证：是的切线；
(2)若，的半径为6，求的长．
23．如图，在平面直角坐标系xOy中，点P（a，b）在第一象限．以P为圆心的圆经过原点，与y轴的另一个交点为A．点Q是线段OA上的点（不与O，A重合），过点Q作PQ的垂线交⊙P于点B（m，n），其中m≥0．
（1）若b=5，则点A坐标是 ；
（2）在（1）的条件下，若OQ=8，求线段BQ的长；
（3）若点P在函数y=x2（x＞0）的图象上，△BQP是等腰三角形且PQ=，求出点B的坐标．
24．如图，已知是锐角三角形．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图；作直线，使上的各点到、两点的距离相等；设直线与、分别交于点、，作一个圆，使得圆心在线段上，且与边、相切；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若，，则的半径为________．
《2.5直线与圆的位置关系》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C C C D B A C C D
题号 11 12
答案 B C
1．D
【分析】由∠D＝90°＝∠ACB，得出点A、B、C、D在同一个圆上，①正确；证出∠OBC＝∠CAD，当BD是∠ABC平分线时，∠ABC＝2∠CAD，②错误；若∠BOC＝∠BAD，则∠OBC＝∠ABD，作OE⊥AB于E，由角平分线性质得出OE＝OC，得出AB与⊙O相切，③正确；即可得出结论．
【详解】解：∵AD⊥BO，
∴∠D＝90°＝∠ACB，
∴点A、B、C、D在同一个圆上，①正确；
∵∠ACB＝∠D＝90°，∠BOC＝∠AOD，
∴∠OBC＝∠CAD，
当BD是∠ABC平分线时，∠ABC＝2∠CAD，②错误；
若∠BOC＝∠BAD，
∵∠ACB＝∠D＝90°，
∴∠OBC＝∠ABD，
作OE⊥AB于E，如图所示：
则OE＝OC，
∴AB与⊙O相切，③正确；
故选D．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质、点与圆的位置关系、切线的判定、角平分线的性质等知识；掌握直角三角形的性质和切线的判定是解题的关键．
2．C
【分析】先利用切线的性质得，再利用四边形的内角和计算出的度数，然后根据圆周角定理计算的度数．
【详解】解：如图，连接，
∵、分别与相切于A，B两点，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故选C
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理，掌握以上知识是解本题的关键．
3．C
【分析】由三角形内切定义可知是的角平分线，所以可得到关系式，把对应数值代入即可求得的值．
【详解】解：∵O是的内切圆，
∴是的角平分线，
∴
，
∴．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了三角形的内切圆，以及三角形的角平分线．关键是要知道内切圆的圆心是三个角平分线的交点．
4．C
【分析】连接，根据切线的性质得到，根据圆周角定理求出，根据直角三角形的性质计算得到答案．
【详解】解：连接，
为的切线，
.
，
，
.
故选：C．
【点睛】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理、直角三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
5．D
【分析】直线l与⊙O有公共点，则可得圆与直线相交或相切，根据圆和直线的位置关系，可以得出d与R的大小关系.
【详解】∵直线l与⊙O有公共点，
∴直线l与⊙O相交或相切.
∵圆心到直线l的距离是d，
∴可得d≤R.
故选D.
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系的知识，解决本题的关键是熟记位置关系及名称. 在判断直线与圆的位置关系时，通常要得到圆心到直线的距离d和圆的半径r，然后再利用d与r的大小关系进行判断.直线与圆的位置关系：①当d＞r时，直线与圆相离；②当d=r时，直线与圆相切；③当d＜r时，直线与圆相交.
6．B
【详解】根据题意得：点A到直线BC的距离=AC，
∵AC=6cm，圆的半径=6cm，
∴以A为圆心6cm为半径的圆与直线BC相切．
故选B．
7．A
【分析】直线与圆的位置关系:①当d＞r时，直线与圆相离；②当d=r时，直线与圆相切；③当d＜r时，直线与圆相交；
【详解】由于直线与☉O相离，
∴d＞r.
故选A.
【点睛】本题涉及的知识点是直线与圆的位置关系的判定；
在判断直线与圆的位置关系时，通常要得到圆心到直线的距离，然后再利用d与r的大小关系进行判断．
直线与圆的位置关系：
①当d＞r时，直线与圆相离；
②当d=r时，直线与圆相切；
③当d＜r时，直线与圆相交．
8．C
【分析】如图，设与y轴切于点C，连接MC，则MC⊥y轴，于是半径MC可求，即为点M的横坐标m，进一步即得结果．
【详解】解：如图，设与y轴切于点C，连接MC，则MC⊥y轴，，
当m=1时，．
故选：C．

【点睛】本题考查了圆的切线的性质和一次函数图象上点的坐标特征，属于常考题型，熟练掌握直线和圆相切的性质是解题关键．
9．C
【详解】分析：首先画出图形，根据点的坐标得到圆心到X轴的距离是4，到Y轴的距离是3，根据直线与圆的位置关系即可求出答案．
解答：解：圆心到X轴的距离是4，到y轴的距离是3，
4=4，3＜4，
∴圆与x轴相切，与y轴相交，
故选C．
10．D
【分析】先根据直线与圆的位置关系得出方程有两个相等的根，再根据△=0即可求出m的值．
【详解】∵d、R是方程x2-4x+m=0的两个根，且直线L与⊙O相切，
∴d=R，
∴方程有两个相等的实根，
∴△=16-4m=0，
解得，m=4，
故选D．
【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系及一元二次方程根的判别式，熟知以上知识是解答此题的关键．
11．B
【分析】连接OC，证明△PAO≌△PCO（SAS），得到∠OCP=90°，进而求得．
【详解】
如图，连接OC，
因为OB=OC，
所以∠OCB=∠OBC=70°，
所以∠BOC=180°-70°-70°=40°，
又因为，
所以∠AOP=∠B=70°，
∴∠POC=180°-∠AOP-∠BOC=70°，
所以在△PAO和△PCO中，
，
所以△PAO≌△PCO（SAS），
所以∠OCP=∠OAP
因为PA与相切于点A，
所以∠OCP=∠OAP=90°，
所以∠OPC=180°-∠POC-∠OCP=20°，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆的切线、证明全等三角形和平行线等知识内容，灵活运用条件，学会选择辅助线是解题的关键．
12．C
【详解】试题解析：连接OC，
∵大圆的弦AB切小圆于点 C，
∴OC⊥AB，
∴AB=2AC，
∵OD=2，
∴OC=2，
∵tan∠OAB=，
∴AC=4，
∴AB=8，
故选C．
考点：切线的性质．
13．
【分析】取圆的圆心为O，三角板与圆相切的切点为Q，连OA，OP，OQ，由切线性质知△OPA为直角三角形，从而在Rt△OPA中由勾股定理易求得半径．
【详解】解：设铁环的圆心为O，三角板与圆相切的切点为Q，连接OP、OA，
∵AP为⊙O的切线，AQ也为⊙O的切线，
∴AO为∠PAQ的平分线，即∠PAO＝∠QAO，
又∠BAC＝60°，∠PAO+∠QAO+∠BAC＝180°，
∴∠PAO＝∠QAO＝60°，
在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°，
∴OA＝10，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，构造直角三角形解决有关问题．
14．相离
【分析】首先要明确圆心到直线的距离和圆的半径；再根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系进行分析即可．
【详解】根据题意，得圆心到直线的距离等于，圆的半径是，
∴圆心到直线的距离大于半径，得直线和圆相离．
故答案为：相离．
【点睛】此题主要考查了直线与圆的位置关系，能够熟练根据数量关系判断直线和圆的位置关系是解题关键．
15．相交
【分析】本题可先求出圆心到y轴的距离，再根据半径比较.
【详解】圆心到y轴的距离是3<5，
则圆的y轴所在直线的位置关系是相交．
故答案是：相交．
【点睛】此题考查的是圆与直线的关系，即圆心到直线的距离大于圆心距，直线与圆相离；小于圆心距，直线与圆相交；等于圆心距，则直线与圆相切．
16．/125度
【分析】利用内心的性质得出，，进而利用三角形内角和定理得出，进而求出答案．
【详解】解：∵O是的内心，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为．
【点睛】此题主要考查了三角形内心的性质以及三角形内角和定理，正确得出是解题关键．
17．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝2，
∵∠PAB＝∠ACP，
∴∠PAC+∠ACP＝60°，
∴∠APC＝120°，
∴点P的运动轨迹是，如图所示：
连接OA、OC，作OD⊥AC于D，
则AD＝CDAC＝1，
∵所对的圆心角＝2∠APC＝240°，
∴劣弧AC所对的圆心角∠AOC＝360°﹣240°＝120°，
∵OA＝OC，
∴∠OAD＝30°，
∵OD⊥AC，
∴ODAD，OA＝2OD，
∴的长为π；
故答案为：π．
18．10cm.
【详解】试题分析：根据切线长定理和平行线的性质定理得到△BOC是直角三角形．再根据勾股定理求出BC的长．
试题解析：∵AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G；
∴∠CBO=∠ABC，∠BCO=∠DCB，
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB=180°，
∴∠CBO+∠BCO=∠ABC+∠DCB=（∠ABC+∠DCB）=90°．
∴BC＝cm．
考点: 切割线定理.
19．30
【分析】本题考查的是三角形的内切圆与内心，根据题意作出辅助线，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
设，由切线长定理得，根据题意可得四边形为正方形，则，，在直角三角形中，利用勾股定理求出x，然后求其周长．
【详解】解：连接，，设．
由切线长定理，得．
与的三边分别切于点D，E，F，
，，
∵
∴四边形为正方形．
的半径为2，，
，．
在中，，
即，
解得，
，，
的周长为．
20．(1)∠B=40°；(2)AB= 6.
【分析】（1）连接OD，由在△ABC中, ∠C=90°，BC是切线,易得AC∥OD ,即可求得∠CAD=∠ADO ,继而求得答案;
（2）首先连接OF,OD,由AC∥OD得∠OFA=∠FOD ,由点F为弧AD的中点,易得△AOF是等边三角形,继而求得答案.
【详解】解:(1)如解图①,连接OD,

∵BC切⊙O于点D,
∴∠ODB=90°,
∵∠C=90°,
∴AC∥OD,
∴∠CAD=∠ADO,
∵OA=OD,
∴∠DAO=∠ADO=∠CAD=25°,
∴∠DOB=∠CAO=∠CAD＋∠DAO=50°,
∵∠ODB=90°,
∴∠B=90°－∠DOB=90°－50°=40°;
(2)如解图②,连接OF,OD,

∵AC∥OD,
∴∠OFA=∠FOD,
∵点F为弧AD的中点,
∴∠AOF=∠FOD,
∴∠OFA=∠AOF,
∴AF=OA,
∵OA=OF,
∴△AOF为等边三角形,
∴∠FAO=60°,则∠DOB=60°,
∴∠B=30°,
∵在Rt△ODB中,OD=2,
∴OB=4,
∴AB=AO＋OB=2＋4=6.
【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，弧弦圆心角的关系，等边三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质.熟练掌握切线的性质是解（1）的关键，证明△AOF为等边三角形是解（2）的关键.
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接DO，由三角形的外角性质易得∠DOC=∠C=45°，故有∠ODC=90°，即CD是圆的切线．
（2）利用等腰直角三角形的性质求解即可．
【详解】（1）证明：连接DO，

∵AO=DO，
∴∠DAO=∠ADO=22.5°．
∴∠DOC=45°．
又∵∠ACD=∠DOC=45°．
∴∠ODC=90°．
又∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：连接DB，
∵直径，△OCD为等腰直角三角形，
∴，，
∴．
【点睛】本题利用了等边对等角，三角形的外角与内角的关系，切线的概念，勾股定理，熟记各知识点并熟练应用是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查切线的判定定理，等边三角形的判定及性质，所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
（1）连接，求出即可；
（2）证明是等边三角形，利用所对的直角边等于斜边的一半得到，再由勾股定理，进行求解即可．
【详解】（1）证明：连接．
∵，
∴．
∵平分，
∴，
∴．
∴，
∴，即，
又∵是的半径，
∴是的切线．
（2）解：，
∴．
又∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴．
由勾股定理，得．
23．（1）（0，10）；（2）4；（3）B点坐标为（，6+）或（，2﹣）．
【分析】（1）过点P作PH⊥OA于点H，由垂径定理可求出OA的长，进而可求出A的坐标；
（2）连接BP、OP，由已知条件易求QH，在Rt△QHP中，由勾股定理可得：PQ2=QH2+PH2=9+PH2，在Rt△PHO中，由勾股定理可得：PO2=OH2+PH2=25+PH2=BP2，进而在Rt△BQP中，BQ2=BP2-PQ2=（25+PH2）-（9+PH2）=16．所以BQ=4；
（3）已知线段PQ的长度可以为，作BM⊥y轴于点M，首先求出a=2，再求出MQ=PH=2，利用勾股定理可求出MB=QH=．所以可得：B1（，6+），若点Q在OH上，再由抛物线对称性可得B2（，2-）综上，综上，当PQ=时，B点坐标为（，6+）或（，2﹣）．
【详解】（1）过点P作PH⊥OA于点H，
∴OA=2OH，
∵b=5，
∴OH=5，
∴OA=10，
∴点A坐标是（0，10）．
故答案为（0，10）．
（2）连接BP、OP．
∵b=5，PH⊥OA，
∴OH=AH=5．
∵OQ=8，
∴QH=OQ﹣OH=3．
在Rt△QHP中，PQ2=QH2+PH2=9+PH2，
在RtPHO中，PO2=OH2+PH2=25+PH2=BP2，
在RtBQP中，BQ2=BP2﹣PQ2=（25+PH2）﹣（9+PH2）=16．
∴BQ=4．
（3）∵△BQP是等腰直角三角形，PQ=，
∴半径BP=2．
又∵P（a，a2），
∴OP2=a2+a4=（2）2．
即a4+a2﹣20=0．
解得a=±2．
∵a＞0
∴a=2．
∴P（2，4）．
如图，作BM⊥y轴于点M，则△QBM≌△PQH．
∴MQ=PH=2，
∴MB=QH=．
∴B1（，6+）．
若点Q在OH上，由对称性可得B2（，2﹣）
综上，当PQ=时，B点坐标为（，6+）或（，2﹣）．
24．（1）见解析；（2）
【分析】（1）由题意知直线为线段BC的垂直平分线，若圆心在线段上，且与边、相切，则再作出的角平分线，与MN的交点即为圆心O；
（2）过点作，垂足为，根据即可求解．
【详解】解：（1）①先作的垂直平分线：分别以B，C为圆心，大于的长为半径画弧，连接两个交点即为直线l，分别交、于、；
②再作的角平分线：以点B为圆心，任意长为半径作圆弧，与的两条边分别有一个交点，再以这两个交点为圆心，相同长度为半径作弧，连接这两条弧的交点与点B，即为的角平分线，这条角平分线与线段MN的交点即为；
③以为圆心，为半径画圆，圆即为所求；
（2）过点作，垂足为，设
∵，，∴，∴
根据面积法，∴
∴，解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了尺规作图，切线的性质等内容，解题的关键是掌握线段垂直平分线、角平分线的尺规作图．
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