2.7弧长及扇形的面积暑假预习练（含解析） 苏科版数学九年级上册

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2.7弧长及扇形的面积
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，连接，，，，，则阴影部分的面积为（ ）

A． B． C． D．
2．如图1，水平地面上有一面积为30π平方厘米的灰色扇形OAB，其中OA的长度为6厘米，且与地面垂直．若在没有滑动的情况下，将图1的扇形向右滚动至OB垂直地面为止，如图2所示，则O点移动（　　）厘米．
A．20 B．24 C．10π D．30π
3．如图，在△ABC中，AB=AC=10，CB=16，分别以AB、AC为直径作半圆，则图中阴影部分面积是（　　）
A．50π﹣48 B．25π﹣48 C．50π﹣24 D．
4．已知正内接于，的半径为2，则的弧长为（ ）
A． B． C． D．
5．半径为1的圆中，扇形的圆心角为，则扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，中，，，BO＝2cm，将绕点O逆时针旋转至，点在BO的延长线上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．一个扇形的弧长是，其圆心角是150°，此扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，圆上有、、、四点，其中，若弧、弧的长度分别为、，则弧的长度为（ ）
A． B． C． D．
9．德国数学家高斯在大学二年级时得出了正十七边形是尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件.下面是高斯正十七边形作法的一部分： “如图， 已知 AB 是圆 O 的直径，分别以 A，B 为圆心、AB 长为半径作弧，两弧交于点 C，D 两点…”.若 AB 长为 2，则图中弧CAD 的长为（ ）
A． B． C． D．
10．不倒翁是一种受人喜爱的儿童玩具，小华在手工课上用一球形物体做了一个戴帽子的不倒翁（如图1），图2是从正面看到的该不倒翁的形状示意图（设圆心为O）．已知帽子的边缘，分别与相切于点，，若该圆半径是，，则 的长是（　　）
A． B． C． D．
11．如图，在中，，，，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，则的长为　　
A． B． C． D．
12．在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 2，BC = 1，以AC为轴旋转一周得一个圆锥，则这个圆锥的全面积等于（ ）；
A．6π B．5π C．4π D．3π
二、填空题
13．已知扇形的半径为6，圆心角为150°，则这个扇形的面积为 ．
14．75°的圆心角所对的弧长是2.5cm，则此弧所在圆的半径是 cm．
15．如图，六边形是正六边形，曲线…叫做“正六边形的渐开线”，，，，,,，…的圆心依次按，，，，，循环，且每段弧所对的圆心角均为正六边形的一个外角．当时，曲线的长度是 ．

16．已知扇形的半径是2，圆心角是120°，则这个扇形的弧长是 .
17．如图所示，该圆锥的左视图是边长为的等边三角形，则此圆锥的侧面积为
三、解答题
18．如图，AB是以BC为直径的半圆O的切线，D为半圆上一点，AD=AB，AD，BC的延长线相交于点E．
(1)求证：AD是半圆O的切线；
(2)连接CD，求证：∠A=2∠CDE；
(3)若∠CDE=27°，OB=2，求的长．
19．直径为9㎝的圆，圆心角40°的弧长是多少？
20．如图，是内接正多边形的一条边，且．

(1)求该正多边形的边数；
(2)若的半径为2，求阴影部分的面积．
21．如图，为的直径，，交于点D，交于点E，．
(1)求的大小；
(2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积．
22．如图，正方形的边长为4，以为直径在正方形内部作半圆O，点E在边上，，连接，和．
(1)求证：是半圆O的切线；
(2)请直接写出图中阴影部分的面积（用含π的代数式表示）．
23．半径为15cm，圆心角为72°的扇形面积是多少？
24．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，O为直角边BC上一点，以O为圆心，OC为半径的圆恰好与斜边AB相切于点D，与BC交于另一点E．
(1)求证：△AOC≌△AOD；
(2)若BE＝1，BD＝3，求⊙O的半径及图中阴影部分的面积S．
《2.7弧长及扇形的面积》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C B C B A B C C B
题号 11 12
答案 C A
1．C
【分析】本题考查了勾股定理、三角形内切圆、面积法求内切圆半径、扇形面积等知识点，求出内切圆半径是解题的关键．
连结、、，，设半径为，利用面积公式求出内切圆半径，，再说明四边形是正方形，再根据求解即可．
【详解】解：如图：连接、、，，设半径为，
，，，
，
的内切圆与，，分别相切于点，，，
，，，且，
，
四边形是正方形，
，
，
，．
故选：C．
2．C
【详解】点O移动的距离为扇形的弧长，根据面积公式求出弧长，即30π=×l×6，解得l=10π．故选C．
3．B
【分析】设以AB、AC为直径作半圆交BC于D点，连AD，根据直径所对的圆周角为直角得到AD⊥BC，再根据勾股定理计算出AD，然后利用阴影部分面积＝半圆AC的面积＋半圆AB的面积 △ABC的面积计算即可．
【详解】设以AB、AC为直径作半圆交BC于D点，连AD，如图，
∴AD⊥BC，
∴BD=DC=BC=8，
而AB=AC=10，CB=16，
∴AD===6，
∴阴影部分面积=半圆AC的面积+半圆AB的面积﹣△ABC的面积，
=π52﹣×16×6，
=25π﹣48．
故选B．
【点睛】本题考查了不规则图形面积的计算方法：把不规则的图形面积的计算转化为规则图形的面积和差来计算．也考查了圆周角定理的推论以及勾股定理．
4．C
【分析】本题考查了等边三角形的性质、弧长公式、圆周角定理，由等边三角形的性质结合圆周角定理得出，再由弧长公式计算即可得出答案．
【详解】解：如图，连接、，
，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∵的半径为2，
∴，
故选：C．
5．B
【分析】本题主要考查了扇形的面积，根据扇形的面积公式计算即可，熟练掌握扇形的面积公式是解决此题的关键．
【详解】解：扇形的面积，
故选：B．
6．A
【分析】先在Rt△OCB中利用特殊角求出OC、BC、∠COB，进而可求出，接着可以求出，则可以表示出、、，则阴影部分的面积可求．
【详解】在Rt△OCB中，∠CBO=30°，BO=1，
∴∠COB=60°，2OC=BO=BC，
∴，BC=，OC=1，
∴，
∴，
根据旋转的性质可知，，，，
∴，，，
∴，
∴（cm2），
故选：A．
【点睛】本题主要是考查了旋转的性质、扇形面积的求解以及解含特殊角的直角三角形等知识，求出、、是解答本题的关键．
7．B
【分析】先求出该扇形的半径，再求其面积即可；
【详解】解：该扇形的半径为：，
∴扇形的面积为：，
故选：B．
【点睛】本题主要考查扇形面积的求解，掌握扇形面积的求解公式是解题的关键．
8．C
【分析】先求出圆的周长，再根据圆内接四边形的性质可得，然后根据圆周角定理可得弧所对圆心角的度数，最后根据弧长的定义即可得．
【详解】弧、弧的长度分别为、
圆的周长为
（圆内接四边形的对角互补）
弧所对圆心角的度数为
则弧的长度为
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理、弧长的定义、圆内接四边形的性质，熟记圆的相关定理与性质是解题关键．
9．C
【分析】利用作法得到BC=BA=AC=BD=AD，则△ACB和△ADB都是等边三角形，所以∠ABC=∠ABD=60°，然后根据弧长公式计算图中弧CAD的长．
【详解】解：连接AC、BC、DA、DB，如图，
由作法得BC=BA=AC=BD=AD，
∴△ACB和△ADB都是等边三角形，
∴∠ABC=∠ABD=60°，
∴图中弧CAD的长==
故选C．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了弧长公式．
10．B
【分析】本题考查切线的性质，弧长的计算，熟练掌握切线的性质，以及弧长公式是解题的关键．
先利用切线的性质可得，再根据特殊角的三角函数值可得，从而利用四边形内角和是可得，然后利用周角定义可得所对的圆心角度数，从而利用弧长公式进行计算即可解答．
【详解】解：帽子的边缘，分别与相切于点，，
，
，
，
，
所对的圆心角度数，
的长，
故选：B．
11．C
【详解】【分析】先根据，，，得圆心角和半径的长，再根据弧长公式可得到弧CD的长．
【详解】，，，
，，
的长为，
故选C．
【点睛】本题考查了弧长公式的运用和含30度角的直角三角形性质，熟练掌握弧长公式是解题的关键.弧长公式：弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为．
12．A
【分析】利用勾股定理易得圆锥母线长，那么圆锥的全面积=底面积+侧面积=π×底面半径2+底面周长×母线长÷2．
【详解】由勾股定理易求得
∵旋转后的圆锥母线为AB，长度为5，底面半径为BC，长度为1，
则底面圆的周长，即侧面展开图的弧长是2π.
∴圆锥的侧面积是：
圆锥的底面积是
∴圆锥的全面积是5π+π=6π.
故选A.
【点睛】考查圆锥的全面积的计算，掌握圆锥全面积的计算方法是解题的关键.
13．
【分析】根据扇形的面积，进行计算．
【详解】解：根据扇形的面积公式，得
．
故答案为：15π．
【点睛】主要考查了扇形的面积公式，熟练运用扇形的面积公式进行计算．
14．6
【分析】由弧长公式：计算．
【详解】解：由题意得：圆的半径．
故本题答案为：6．
【点睛】本题考查了弧长公式．
15．
【分析】利用弧长公式，分别计算出，，，,,的长，然后将所有弧长相加即可.
【详解】解：根据题意，得=；
=；
=；
=；
=；
=.
曲线的长度是=.
故答案是：.
【点睛】本题考查的是弧长的计算，熟练运用弧长公式进行计算是解题得关键.
16．
【分析】将数值代入弧长公式即可计算得到答案.
【详解】∵R=2，n=120，
∴=.
故答案为：.
【点睛】此题考查弧长公式，熟记公式并掌握字母的含义即可正确解题.
17．
【分析】圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形所在圆的半径是2cm，弧长是2π（cm）．
【详解】根据题意，圆锥的侧面积=×2×2π=2π（cm2）．
故答案为
【点睛】本题主要考查圆锥的侧面展开图面积的计算．
18．(1)见解析
(2)见解析
(3)的长为π．
【分析】（1）连接OD，BD，根据圆周角定理得到∠ABO=90°，根据等腰三角形的性质得到∠ABD=∠ADB，∠DBO=∠BDO，根据等式的性质得到∠ADO=∠ABO=90°，根据切线的判定定理即可得到即可；
（2）由AD是半圆O的切线得到∠ODE=90°，于是得到∠ODC+∠CDE=90°，根据圆周角定理得到∠ODC+∠BDO=90°，等量代换得到∠DOC=2∠BDO，∠DOC=2∠CDE即可得到结论；
（3）根据已知条件得到∠DOC=2∠CDE=54°，根据平角的定义得到∠BOD=180°-54°=126°，然后由弧长的公式即可计算出结果．
【详解】（1）证明：连接OD，BD，
∵AB是以BC为直径的半圆O的切线，
∴AB⊥BC，即∠ABO=90°，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵OB=OD，
∴∠DBO=∠BDO，
∴∠ABD+∠DBO=∠ADB+∠BDO，
∴∠ADO=∠ABO=90°，
∴AD是半圆O的切线；
（2）证明：由（1）知，∠ADO=∠ABO=90°，
∴∠A=360°-∠ADO-∠ABO-∠BOD=180°-∠BOD=∠DOC，
∵AD是半圆O的切线，
∴∠ODE=90°，
∴∠ODC+∠CDE=90°，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠ODC+∠BDO=90°，
∴∠BDO=∠CDE，
∵∠BDO=∠OBD，
∴∠DOC=2∠BDO，
∴∠DOC=2∠CDE，
∴∠A=2∠CDE；
（3）解：∵∠CDE=27°，
∴∠DOC=2∠CDE=54°，
∴∠BOD=180°-54°=126°，
∵OB=2，
∴的长=．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，弧长的计算，圆周角定理，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
19．πcm．
【分析】根据弧长公式计算即可．
【详解】解：，
所以直径为9㎝的圆，圆心角40°的弧长是πcm．
【点睛】本题考查了弧长的计算，如果弧长所对的圆心角为n°，则弧长计算公式为．
20．(1)4
(2)
【分析】本题考查了正多边形与圆及求不规则图形的面积，解决本题的关键是熟练掌握正多边形与圆的性质，
（1）先证明是直角三角形，得出此正多边形中心角为90度，再求解即可；
（2）根据进行计算即可；
【详解】（1）解：连接，
，
，
，
此正多边形中心角为，
该正多边形的边数为；
（2）
21．(1)
(2)
【分析】此题考查了圆周角定理，等边对等角，求不规则图形的面积，扇形面积计算公式，熟练掌握圆周角定理及扇形面积公式是解题的关键：
（1）利用圆周角定理得到，从而求出，根据等边对等角求出，即可求出；
（2）连接，根据求出阴影部分的面积．
【详解】（1）解：∵为的直径，
∴．
又∵，
∴．
又∵，
∴，
∴．
（2）连接．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
22．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）过点O作OF⊥DE于F，利用勾股定理分别求出DE、OE、OD，利用勾股定理逆定理判断是直角三角形，利用等面积法求出OF的长即可求证结论．
（2）利用即可求解．
【详解】（1）解：过点O作OF⊥DE于F，如图所示：
在中，，，CE=BC-BE=4-1=3，
，
在中，，，
，
在中，，，
，
，
三角形是直角三角形，且，
，
，
，
是圆的半径，且，
是半圆O的切线．
（2）．
【点睛】本题考查了切线的判定、正方形的性质、勾股定理及逆定理的应用、等面积法求高和求不规则图形的面积，熟练掌握正方形的性质及勾股定理及其逆定理是解题的关键．
23．141.3平方厘米
【分析】根据扇形的面积公式，在公式中代入圆心角和半径，计算即得结果．
【详解】解：由题意知扇形的圆心角是72°，半径为15cm，
∴扇形的面积是：（cm2）；
∴半径为15㎝，圆心角为72°的扇形面积是141.3平方厘米．
【点睛】本题考查了扇形的面积公式的应用．解题的关键是熟练掌握扇形的面积公式进行解题．
24．【小题1】切⊙O于，在和中，
（4分）
【小题2】设半径为，在中，，
解得由（1）有，，
解得．（10分）
【分析】（1）要求证△AOC≌△AOD，已经满足的条件是OC=OD，AO=AO，根据HL定理就可以证出结论．
（2）求中阴影部分的面积，可以转化为△ABC的面积减去半圆的面积．
【详解】(1)证明：∵D是切点
∴OD⊥AB
∴△OAD是Rt△
∴在Rt△OAD和Rt△OAC中
OD=OC，AO=AO
∴△AOD≌△AOC
(2) ∵在Rt△OBD中，OD=
设半径为r，则有：
∴
∵AD、AC是⊙O的切线
∴AD=AC
令AD=AC=x 则有：
∴S△ABC=
S半圆=
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定方法；注意：不规则图形的面积可以转化为规则图形的面积的差的问题来解决．
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