第四章数列检测卷（含答案）-高二数学下学期人教A版（2019）选择性必修第二册
文档属性
| 名称 | 第四章数列检测卷（含答案）-高二数学下学期人教A版（2019）选择性必修第二册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 55.1KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-07-08 13:25:18 | ||
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文档简介
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第四章数列检测卷-高二数学下学期人教A版（2019）选择性必修第二册
一、选择题
1．已知， 则前12项和为（ ）
A．112 B．48 C．80 D．64
2．已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．已知为等差数列，为等比数列，其中，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知数列的通项公式为，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{an}的公差为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
6．数列中，，对任意，若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A．－1 B． C．0 D．
8．已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．记Sn为等比数列{an}的前n项和，q为{an}的公比，q＞0，若则 （ ）
A． B． C． D．
10．设等差数列，的前项和分别为，，若，则满足的的值可能为（ ）
A．2 B．4 C．12 D．14
11．下列说法正确的有（ ）
A．若、、成等差数列，则、、成等差数列
B．若、、成等差数列，则、、成等比数列
C．若、、成等比数列，则、、成等差数列
D．若、、成等比数列，则、、成等比数列
三、填空题
12． 已知等差数列的首项，公差，则该数列的前6项和为 ．
13．若一个等比数列的各项均为正数，且前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为 .
14．设，则称为这个数的几何平均数.若从等比数列中删除一个数，剩下的个数的几何平均值为，则等比数列的各项之和为 .
四、解答题
15．已知是各项均为正数的等比数列，.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
16．已知等比数列 中， ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）令 ，求数列 的前 项和 ．
17．已知等差数列满足，前4项和．
（1）求的通项公式；
（2）设等比数列满足，，数列的通项公式．
18．设，，…，是1，2，…，（且）的一个排列.数列满足为，，（）的中位数，规定，.将中的所有取值构成的集合记为.
（1）当时，求和；
（2）求中所有元素之和的最大值；
（3）求中元素个数的最小值.
19．某人今年月初向银行申请贷款12万元用于消费，按复利计算，并从贷款后的次月初开始还贷，分12个月还清.银行给他提供了两种还贷方式：①等额本金：在还款期内把本金总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余本金在该月所产生的利息；②等额本息：在还款期内，每月偿还同等数额的贷款（包括本金和利息），贷款月利率都为0.3%.
（1）若采取等额本金的还贷方式，求他第一个月还贷需支付多少利息；还清贷款共支付多少利息.
（2）若采取等额本息的还贷方式，设他每月还贷m元（包括本金和利息），
①求第一个月还贷后所欠银行贷款为多少元（用含m的式子表达）；
②求出m的值；
③判断等额本息与等额本金的还贷方式哪种支付利息总额多，多多少元？
（参考数据，，）
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】D
3．【答案】C
4．【答案】A
5．【答案】C
6．【答案】C
7．【答案】B
8．【答案】D
9．【答案】A,D
10．【答案】A,B,D
11．【答案】A,B,D
12．【答案】12
13．【答案】2
14．【答案】
15．【答案】解：(1)因为数列是各项均为正数的等比数列，，，
所以，令数列的公比为，，，
所以，解得(舍去)或，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
则．
(2)因为，
所以，，，
所以数列是首项为、公差为的等差数列，
则．
16．【答案】（1）解：设等比数列 的首项为 ，公比为 ，由题意得：
解得
所以
（2）解：
所以数列 为等差数列，
所以 ．
17．【答案】（1）解：设等差数列首项为，公差为d．
∵
∴
解得：
∴等差数列通项公式
（2）解：设等比数列首项为，公比为q
∵
∴
解得：
即或
∴等比数列通项公式或
18．【答案】（1）解：当时，1，2，3无论按何种顺序排列，中位数只能是2，则；
当时，在1，2，3，4中任取3个数：1，2，3；1，2，4；1，3，4和2，3，4，
中位数只能为2或3，则；
（2）解：显然，不存在使得或，
故中所有元素的和，
且当时，有，
此时成立；
（3）解：注意到对于任意，，
记中元素个数的最小值为，由（1）可知，，，
考虑的情形：
对于1，2，3，4，5的排列，1和5不可能作为中位数；
不妨，考虑三元素组，，，至少产生2个不同的中位数，
①若此时中位数为，，不妨，则，，
所以三元组将产生新的中位数，所以；
②若此时的中位数为，，则，，，
若，则三元组产生新的中位数；
若，则三元组产生新的中位数.所以，
③同理可知，若此时中位数为，；，也有；
所以，，，
下面证明：，
比较下面两个数列：
（ⅰ），，…，，，，
（ⅱ），，…，，，，，，，
其中，，…，和，，…，具有相同的大小顺序，
因此，这两个数列的前个三元数组所对应的中位数个数相同，
因此，只需要比较数列（ⅰ）中三元组，和数列（ⅱ）中三元组
，，，，，
因为，数列（ⅱ）中至少增加1个新的中位数，故结论成立，
因为若，的中位数在前面未出现，
则，的中位数在前面也不会出现，
对于新增的中位数，若，的2个中位数在前面出现过，
则，的中位数在前面也出现过，至少新增的中位数，
综上：（），
下面给出一种构造：
①当时，构造：，
此时，满足，
②当时，构造：，
此时，满足，
③当时，构造：
，
此时，满足.
19．【答案】（1）解：第一次还贷支付的利息：元；
因为每月支付本金为10000元，
所以第二次还贷支付的利息：元；
所以第三次还贷支付的利息：元；
……，
则每月支付的利息构成等差数列，
所以利息总额为元.
（2）解：①第一个月还贷后所欠银行贷款为
.
②第二个月还贷后所欠银行贷款为，
设第n个月还贷后所欠银行贷款为，
则，，，
所以，
所以是以为首项，1.003为公比的等比数列，
所以，
所以元.
③按照等额本息，计算出12个月产生的总利息为
由元，可知等额本息比等额本金的还贷方式多支付1980元.
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第四章数列检测卷-高二数学下学期人教A版（2019）选择性必修第二册
一、选择题
1．已知， 则前12项和为（ ）
A．112 B．48 C．80 D．64
2．已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．已知为等差数列，为等比数列，其中，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知数列的通项公式为，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{an}的公差为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
6．数列中，，对任意，若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A．－1 B． C．0 D．
8．已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．记Sn为等比数列{an}的前n项和，q为{an}的公比，q＞0，若则 （ ）
A． B． C． D．
10．设等差数列，的前项和分别为，，若，则满足的的值可能为（ ）
A．2 B．4 C．12 D．14
11．下列说法正确的有（ ）
A．若、、成等差数列，则、、成等差数列
B．若、、成等差数列，则、、成等比数列
C．若、、成等比数列，则、、成等差数列
D．若、、成等比数列，则、、成等比数列
三、填空题
12． 已知等差数列的首项，公差，则该数列的前6项和为 ．
13．若一个等比数列的各项均为正数，且前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为 .
14．设，则称为这个数的几何平均数.若从等比数列中删除一个数，剩下的个数的几何平均值为，则等比数列的各项之和为 .
四、解答题
15．已知是各项均为正数的等比数列，.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
16．已知等比数列 中， ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）令 ，求数列 的前 项和 ．
17．已知等差数列满足，前4项和．
（1）求的通项公式；
（2）设等比数列满足，，数列的通项公式．
18．设，，…，是1，2，…，（且）的一个排列.数列满足为，，（）的中位数，规定，.将中的所有取值构成的集合记为.
（1）当时，求和；
（2）求中所有元素之和的最大值；
（3）求中元素个数的最小值.
19．某人今年月初向银行申请贷款12万元用于消费，按复利计算，并从贷款后的次月初开始还贷，分12个月还清.银行给他提供了两种还贷方式：①等额本金：在还款期内把本金总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余本金在该月所产生的利息；②等额本息：在还款期内，每月偿还同等数额的贷款（包括本金和利息），贷款月利率都为0.3%.
（1）若采取等额本金的还贷方式，求他第一个月还贷需支付多少利息；还清贷款共支付多少利息.
（2）若采取等额本息的还贷方式，设他每月还贷m元（包括本金和利息），
①求第一个月还贷后所欠银行贷款为多少元（用含m的式子表达）；
②求出m的值；
③判断等额本息与等额本金的还贷方式哪种支付利息总额多，多多少元？
（参考数据，，）
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】D
3．【答案】C
4．【答案】A
5．【答案】C
6．【答案】C
7．【答案】B
8．【答案】D
9．【答案】A,D
10．【答案】A,B,D
11．【答案】A,B,D
12．【答案】12
13．【答案】2
14．【答案】
15．【答案】解：(1)因为数列是各项均为正数的等比数列，，，
所以，令数列的公比为，，，
所以，解得(舍去)或，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
则．
(2)因为，
所以，，，
所以数列是首项为、公差为的等差数列，
则．
16．【答案】（1）解：设等比数列 的首项为 ，公比为 ，由题意得：
解得
所以
（2）解：
所以数列 为等差数列，
所以 ．
17．【答案】（1）解：设等差数列首项为，公差为d．
∵
∴
解得：
∴等差数列通项公式
（2）解：设等比数列首项为，公比为q
∵
∴
解得：
即或
∴等比数列通项公式或
18．【答案】（1）解：当时，1，2，3无论按何种顺序排列，中位数只能是2，则；
当时，在1，2，3，4中任取3个数：1，2，3；1，2，4；1，3，4和2，3，4，
中位数只能为2或3，则；
（2）解：显然，不存在使得或，
故中所有元素的和，
且当时，有，
此时成立；
（3）解：注意到对于任意，，
记中元素个数的最小值为，由（1）可知，，，
考虑的情形：
对于1，2，3，4，5的排列，1和5不可能作为中位数；
不妨，考虑三元素组，，，至少产生2个不同的中位数，
①若此时中位数为，，不妨，则，，
所以三元组将产生新的中位数，所以；
②若此时的中位数为，，则，，，
若，则三元组产生新的中位数；
若，则三元组产生新的中位数.所以，
③同理可知，若此时中位数为，；，也有；
所以，，，
下面证明：，
比较下面两个数列：
（ⅰ），，…，，，，
（ⅱ），，…，，，，，，，
其中，，…，和，，…，具有相同的大小顺序，
因此，这两个数列的前个三元数组所对应的中位数个数相同，
因此，只需要比较数列（ⅰ）中三元组，和数列（ⅱ）中三元组
，，，，，
因为，数列（ⅱ）中至少增加1个新的中位数，故结论成立，
因为若，的中位数在前面未出现，
则，的中位数在前面也不会出现，
对于新增的中位数，若，的2个中位数在前面出现过，
则，的中位数在前面也出现过，至少新增的中位数，
综上：（），
下面给出一种构造：
①当时，构造：，
此时，满足，
②当时，构造：，
此时，满足，
③当时，构造：
，
此时，满足.
19．【答案】（1）解：第一次还贷支付的利息：元；
因为每月支付本金为10000元，
所以第二次还贷支付的利息：元；
所以第三次还贷支付的利息：元；
……，
则每月支付的利息构成等差数列，
所以利息总额为元.
（2）解：①第一个月还贷后所欠银行贷款为
.
②第二个月还贷后所欠银行贷款为，
设第n个月还贷后所欠银行贷款为，
则，，，
所以，
所以是以为首项，1.003为公比的等比数列，
所以，
所以元.
③按照等额本息，计算出12个月产生的总利息为
由元，可知等额本息比等额本金的还贷方式多支付1980元.
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