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第四章数列检测卷-高二数学下学期人教A版(2019)选择性必修第二册
一、选择题
1.已知, 则前12项和为( )
A.112 B.48 C.80 D.64
2.已知数列的前项和为,则下列说法正确的是( )
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
3.已知为等差数列,为等比数列,其中,则( )
A. B. C. D.
4.已知数列的通项公式为,记数列的前项和为,若对任意的恒成立,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{an}的公差为( )
A.1 B.2 C.4 D.8
6.数列中,,对任意,若,则( )
A.2 B.3 C.4 D.5
7.已知等差数列的公差为,集合,若,则( )
A.-1 B. C.0 D.
8.已知等差数列,的前n项和分别为,,若,则( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9.记Sn为等比数列{an}的前n项和,q为{an}的公比,q>0,若则 ( )
A. B. C. D.
10.设等差数列,的前项和分别为,,若,则满足的的值可能为( )
A.2 B.4 C.12 D.14
11.下列说法正确的有( )
A.若、、成等差数列,则、、成等差数列
B.若、、成等差数列,则、、成等比数列
C.若、、成等比数列,则、、成等差数列
D.若、、成等比数列,则、、成等比数列
三、填空题
12. 已知等差数列的首项,公差,则该数列的前6项和为 .
13.若一个等比数列的各项均为正数,且前4项和为4,前8项和为68,则该等比数列的公比为 .
14.设,则称为这个数的几何平均数.若从等比数列中删除一个数,剩下的个数的几何平均值为,则等比数列的各项之和为 .
四、解答题
15.已知是各项均为正数的等比数列,.
(1)求的通项公式;
(2)设,求数列的前n项和.
16.已知等比数列 中, , .
(1)求数列 的通项公式;
(2)令 ,求数列 的前 项和 .
17.已知等差数列满足,前4项和.
(1)求的通项公式;
(2)设等比数列满足,,数列的通项公式.
18.设,,…,是1,2,…,(且)的一个排列.数列满足为,,()的中位数,规定,.将中的所有取值构成的集合记为.
(1)当时,求和;
(2)求中所有元素之和的最大值;
(3)求中元素个数的最小值.
19.某人今年月初向银行申请贷款12万元用于消费,按复利计算,并从贷款后的次月初开始还贷,分12个月还清.银行给他提供了两种还贷方式:①等额本金:在还款期内把本金总额等分,每月偿还同等数额的本金和剩余本金在该月所产生的利息;②等额本息:在还款期内,每月偿还同等数额的贷款(包括本金和利息),贷款月利率都为0.3%.
(1)若采取等额本金的还贷方式,求他第一个月还贷需支付多少利息;还清贷款共支付多少利息.
(2)若采取等额本息的还贷方式,设他每月还贷m元(包括本金和利息),
①求第一个月还贷后所欠银行贷款为多少元(用含m的式子表达);
②求出m的值;
③判断等额本息与等额本金的还贷方式哪种支付利息总额多,多多少元?
(参考数据,,)
答案解析部分
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】A,D
10.【答案】A,B,D
11.【答案】A,B,D
12.【答案】12
13.【答案】2
14.【答案】
15.【答案】解:(1)因为数列是各项均为正数的等比数列,,,
所以,令数列的公比为,,,
所以,解得(舍去)或,
所以数列是首项为,公比为的等比数列,
则.
(2)因为,
所以,,,
所以数列是首项为、公差为的等差数列,
则.
16.【答案】(1)解:设等比数列 的首项为 ,公比为 ,由题意得:
解得
所以
(2)解:
所以数列 为等差数列,
所以 .
17.【答案】(1)解:设等差数列首项为,公差为d.
∵
∴
解得:
∴等差数列通项公式
(2)解:设等比数列首项为,公比为q
∵
∴
解得:
即或
∴等比数列通项公式或
18.【答案】(1)解:当时,1,2,3无论按何种顺序排列,中位数只能是2,则;
当时,在1,2,3,4中任取3个数:1,2,3;1,2,4;1,3,4和2,3,4,
中位数只能为2或3,则;
(2)解:显然,不存在使得或,
故中所有元素的和,
且当时,有,
此时成立;
(3)解:注意到对于任意,,
记中元素个数的最小值为,由(1)可知,,,
考虑的情形:
对于1,2,3,4,5的排列,1和5不可能作为中位数;
不妨,考虑三元素组,,,至少产生2个不同的中位数,
①若此时中位数为,,不妨,则,,
所以三元组将产生新的中位数,所以;
②若此时的中位数为,,则,,,
若,则三元组产生新的中位数;
若,则三元组产生新的中位数.所以,
③同理可知,若此时中位数为,;,也有;
所以,,,
下面证明:,
比较下面两个数列:
(ⅰ),,…,,,,
(ⅱ),,…,,,,,,,
其中,,…,和,,…,具有相同的大小顺序,
因此,这两个数列的前个三元数组所对应的中位数个数相同,
因此,只需要比较数列(ⅰ)中三元组,和数列(ⅱ)中三元组
,,,,,
因为,数列(ⅱ)中至少增加1个新的中位数,故结论成立,
因为若,的中位数在前面未出现,
则,的中位数在前面也不会出现,
对于新增的中位数,若,的2个中位数在前面出现过,
则,的中位数在前面也出现过,至少新增的中位数,
综上:(),
下面给出一种构造:
①当时,构造:,
此时,满足,
②当时,构造:,
此时,满足,
③当时,构造:
,
此时,满足.
19.【答案】(1)解:第一次还贷支付的利息:元;
因为每月支付本金为10000元,
所以第二次还贷支付的利息:元;
所以第三次还贷支付的利息:元;
……,
则每月支付的利息构成等差数列,
所以利息总额为元.
(2)解:①第一个月还贷后所欠银行贷款为
.
②第二个月还贷后所欠银行贷款为,
设第n个月还贷后所欠银行贷款为,
则,,,
所以,
所以是以为首项,1.003为公比的等比数列,
所以,
所以元.
③按照等额本息,计算出12个月产生的总利息为
由元,可知等额本息比等额本金的还贷方式多支付1980元.
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