第八章立体几何初步检测卷（含答案）-高一数学下学期人教A版（2019）必修第二册

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第八章立体几何初步检测卷-高一数学下学期人教A版（2019）必修第二册
一、选择题
1．如图，斜二测画法的直观图是，的面积为，那么的面积为（　　）
A． B． C． D．
2．若为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（　　）
A．若， 则 B．若， 则
C．若， 则 D．若，则
3．已知等边的直观图的面积为，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
4．在平面四边形中，是边长为的等边三角形，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，将该四边形沿对角线折成四面体，在折起的过程中，四面体的外接球体积最小值为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在三棱台中，底面，，与底面所成的角为，，，则三棱锥的体积为（　　）
A． B． C． D．
6．已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，，，该棱锥的高为（　　）.
A．1 B．2 C． D．
8．已知正三棱柱的所有棱长相等，且六个顶点都在球的球面上，记正三棱柱的体积为，球的体积为，则（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．已知正方体的棱长为2，点为线段上的动点，则（　　）
A．的最小值为
B．与始终保持垂直
C．以为球心，为半径的球面与平面的交线长为
D．经过的平面截正方体所得截面面积的最小值为
10．已知正四棱台的上、下底面的边长分别为2、4，侧棱长为2，则关于此正四棱台的结论正确的有（　　）
A．侧面积为 B．体积为
C．侧面与底面所成角的正切值为 D．外接球的表面积为
11．三棱锥中，平面平面ABC，，，则（　　）
A．
B．三棱锥的外接球的表面积为
C．点A到平面SBC的距离为
D．二面角的正切值为
三、填空题
12．已知直三棱柱中，，且.若三棱柱的外接球的表面积是，则此三棱柱的体积的最大值是　 　.
13．三棱锥中，平面ABC，，，一球球心在平面ABC内，并且与三个侧面都相切，则球的半径为　 　.
14．在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑是指四个面都是直角三角形的四面体.如图，在直角中，AD为斜边BC上的高，，，现将沿AD翻折成，使得四面体AB＇CD为一个鳖臑，则该鳖臑外接球的表面积为　 　.
四、解答题
15．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，F为CD的中点，点E在AB上，EF∥AD，AB=3AD，CD=2AD，将四边形EFDA沿EF翻折至四边形.使得面EFD'A'与面EFCB所成的二面角为60°。
（1）证明：A'B∥平面CD'F；
（2）求面BCD'与面EFD'A'所成的二面角的正弦值。
16．如图，这是某建筑大楼的直观图，它是由一个半球和一个圆柱组合而成的.已知该几何体的下半部分圆柱的轴截面（过圆柱上 下底面圆的圆心连线的平面）是边长为6的正方形.
（1）求该几何体的表面积；
（2）求该几何体的体积.
17．如图，在四棱锥中，，，，底面，是上一点．
（1）求证：平面平面；
（2）若是的中点，求平面与平面的夹角的正弦值．
18．如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形.已知，，，，.
（1）证明平面；
（2）求异面直线与所成的角的正切值；
（3）求二面角的正切值.
19．如图，在长方体中，，点F是的中点，点P在上，若过FP的平面交于E，交于Q．
（1）求证：平面PBQ；
（2）若点Q是的中点，且，求异面直线EP与BQ所成角的余弦值；
（3）在（2）的条件下，若平面ABCD上有一点H满足平面，求点H的坐标．
答案解析部分
1．【答案】A
2．【答案】C
3．【答案】D
4．【答案】C
5．【答案】D
6．【答案】B
7．【答案】D
8．【答案】A
9．【答案】B,C
10．【答案】B,C,D
11．【答案】A,D
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】（1）证明：因为， ，平面，所以平面， 平面，
又因为 ，所以平面 平面，
又因为 平面，所以平面；
（2）解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
因为，，所以为平面与平面所成的二面角，即 ，
设 ，
则，
设平面的法向量为，则，即，取，即，
同理求得平面的法向量为，
则，即，
故平面与平面所成的二面角的正弦值为 .
16．【答案】（1）
（2）
17．【答案】（1）证明：在四棱锥中，，，则，，
在中，，
则，
所以，则，
由平面，平面，得，
因为平面，
则平面，
又因为平面，
所以平面平面.
（2）解：由（1）知，平面，
因为平面，所以，
又因为，
所以是二面角的平面角，
在中，，则，
由点是的中点，得，
所以，
所以，平面与平面的夹角的正弦值为.
18．【答案】（1）证明：在中，由题设，可得.
于是.
在矩形中，.
又，平面，
所以平面.
（2）解：由题设，，所以（或其补角）是异面直线与所成的角.
在中，由余弦定理得
由（1）知平面，平面，
所以，因而，于是是直角三角形，
故.
所以异面直线与所成的角的正切值为.
（3）解：过点M做于E，连接如图所示：

因为平面，平面，所以.
又，因而平面，
又平面，所以
从而是二面角的平面角.
由题设可得，
，，
，，
，
于是在中，.
所以二面角的正切值为.
19．【答案】（1）证明：因为平面平面，
且平面，平面，
∴，
又∵平面PBQ，平面PBQ，
∴平面PBQ.
（2）解：如图，以D为原点，DA，DC，为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
设，
由（1）知四边形EFPQ为平行四边形，
∴，
则，
解得，，，
∴，，，
∴
设异面直线与所成角为，
则，
所以，异面直线与所成角的余弦值为.
（3）解：设平面ABCD上一点，
因为，
所以，，，
由平面，可取平面的法向量为，
则，
解得，，
∴.
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