2024-2025 学年度下学期高一期末考试
高一数学试卷
全卷满分 150分。考试用时 120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项:
1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并认
真核准准考证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的
非答题区域均无效。
3. 选择题用 2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题
卡上作答；字体工整，笔迹清楚。
4. 考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1. 1 5i的共轭复数的虚部为 ( )
i
A．1 B． 1 C． i D． i
2. sin80 cos( 20 ) cos70 cos100 ( )
A 1 B 3 C 1 D 3． ． ． ．
2 2 2 2
3. 已知 a (1, 3)， b (2,0)，则 a b在b上的投影向量为 ( )
A． (1,0) B． (1 , 3 ) C 3 3． ( 1,0) D． ( , )
2 2 2 2
4. 1 tan 1已知 ，则 sin 2 的值为 ( )
1 tan 3
A 3 B 4 4 3． ． C． D．
5 5 5 5
5. 为了得到函数 y cos(x )的图像，只要把正弦函数上所有点 ( )
8
A 5 ．向右平移 个单位长度 B 3 ．向右平移 个单位长度
8 8
C 3 ．向左平移 个单位长度 D．向左平移 个单位长度
8 8
高一数学试卷（共 4 页）第 1 页
{#{QQABCQAkxgqQkAbACI6qBUU4CwqQkJEjLQoExUCcqAYqSBNABCA=}#}
6. 下列命题正确的个数是( )
①空间中三条不同的直线 a，b，c满足a c，b c，a //b，则a，b，c共面
②已知直线 a，b和平面 ，且a b，a ，则b //
③如果平面 平面 ，平面 平面 ，那么平面 平面
④已知平面 ， ， ，且 ， ， ，则
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7. 海上某货轮在 A处看灯塔 B，在货轮的南偏东 75°，距离为 60 6 海里处；在 A处看灯塔 C，
在货轮的南偏西 30°，距离为 40 3海里处，货轮由 A处向正南航行到 D处时看灯塔 B在北
偏东 60°，则灯塔 C与 D处之间的距离为( )
A． 40 6 海里 B．40 海里 C． 40 3海里 D． 60 3海里
8. 在三棱锥 D-ABC中， AB 2 3，AD BD，AC BC， ADB 60 ，E为 AB的中点，三棱
锥 D-ABC的外接球的表面积为36 ，则直线DE与平面 ABC所成角的正弦值为( )
A 6 6 3 30． B． C． D．
3 6 3 6
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9. 在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中， E，F 分别是 BC，A1D1的中点，则( )
A． BD CD1 B． AE 平面C1DF C．DF EB1 D． BD1 平面C1DF
10. 某新能源汽车公司对 600辆量产车进行电池续航测试，其中 360辆为 SUV车型，240辆为轿
车车型．质检部门采用分层抽样（按车型分层）抽取 60辆车，实测满电续航里程．经计算：
SUV车型样本均值为 475公里，方差为 20；轿车车型样本均值为 465公里；所有 60辆样本
车的总方差为 48．下列说法正确的是( )
A SUV 2． 车型的样本容量为 36 B．每辆轿车被抽入到样本的概率为
5
C．所有样本车的平均续航里程为 471公里 D．轿车续航里程的样本方差为 30
11. 通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量．类似的，我们可以把有序复数对 (z1，
z2 )(z z
1， 2 C)
看作一个向量，记 a (z1， z2 )，则称 a为复向量．类比平面向量的相关运算
法则，对于 a (z1， z2 )， b (z3， z4 )， z1 、 z2 、 z3、 z4 、 C，我们有如下运算法则：
① a b (z1 z3， z2 z4 )；② a
( z1， z )
2 ；③ a b z1z3 z2 z4 ；④ | a | a a．
则下列结论正确的是( )
A a
．若 (1,2 i)， b (1 i,2i) a ，则 b 1 5i
B．若 a (1,2 i)， b (1 i,2i)，则 | a b | 10
C ( a
． ) b a ( b)
D a
． (b c) a b a c
高一数学试卷（共 4 页）第 2 页
{#{QQABCQAkxgqQkAbACI6qBUU4CwqQkJEjLQoExUCcqAYqSBNABCA=}#}
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
12. 已知圆台的上底面直径为 1，下底面直径为 2，母线长为 1，则该圆台的体积为 ．
13. 若点 (a， 0)是函数 y 2cos(x )图像的一个对称中心，则 a 的最小值为 ．
3
14. ABC 12中，点 D在边 BC上， AD 2 ， tan CAB , DAB 45 ，则 ABC 面积的最小
5
值是 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （13分）
设 a ,b是不共线的两个向量．
9 1
（1）若 ( a mb ) ( ma b )，求实数m的值；
2 2
（2）已知向量 a,b满足 | a | 2,| b | 1,(a 2b) a ，求 | 2a b |．
16. （15分）
在 ABC中，角 A， B，C 的对边分别为 a， b， c．
已知 a sin A a sinC cosB bsinC cos A bsin B csin A．
（1）求角 B的大小；
（2）BC=4，延长 CA至 D，使 A点是线段 CD的中点，BD= 2 6 ，求 AB边的长度．
17. （15分）
某科技公司在招聘人工智能工程师的选拔过程中，对 200名应聘者进行专业技能测试．应聘
者的测试分数 xi (i 1，2， ，200)全部介于 30分到 80分之间，公司将所有分数分成 5组：[30，
40)， [40， 50)， ， [70，80]，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数据
的中间值作为代表）．
（1）估计此次测试分数的平均值 x；
（2）公司计划按照分数从高到低选拔前 50名的应聘者进入面试环节，试估计这 50 名应聘
者的最低分数；
高一数学试卷（共 4 页）第 3 页
{#{QQABCQAkxgqQkAbACI6qBUU4CwqQkJEjLQoExUCcqAYqSBNABCA=}#}
（3）试估计这 200名应聘者的分数 xi (i 1，2， ， 200)的方差 s
2 ，并判断此次得分为 63
分和 72分的两名应聘者的成绩是否进入到了 [x s, x s]范围内？
1 n
（参考公式： s2 fi (x x )2i ，其中 fi 为各组频数，参考数据： 10 3.2)．n i 1
18. （17分）
如图，在四棱锥 P ABCD中， PA 底面 ABCD，
PA AC 2，BC 1， BAC 30 ．
（1）若 AD∥平面 PBC．证明： AD PB；
（2）若平面 PAD 平面 PCD，CD=1，
（ⅰ）证明： AD CD；
（ⅱ）求二面角 A-PC-D的正弦值．
19. （17分）
如图，正方形 ABCD中，边长为 a，E为 AB中点，F是边 BC上的动点，将 AED， BEF
分别沿着 DE，EF折起，使 A，B两点重合于点 S．
（1）求证： SE DF；
（2）当 F是边 BC的中点时，将 AED， BEF， DCF分别沿着DE，EF，DF 折起，使 A，B，
C三点重合于点 S，求三棱锥 SDEF的外接球的表面积；
（3）a 4，若 BF＞1，设直线 SE与平面 DEF所成角为θ，
求 sinθ的最大值．
高一数学试卷（共 4 页）第 4 页
{#{QQABCQAkxgqQkAbACI6qBUU4CwqQkJEjLQoExUCcqAYqSBNABCA=}#}2024-2 025学年度下学期高一期末考试 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
高一数学 答 题卡
解答题 16.（本小题满分15分）
15．（本小题满分13分）
姓 名
准考证号
填涂样例
贴缺考标识
正确填涂 考生禁填！由监考老师填写。
注 １．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定的位置贴好条形码。
意 ２．选择题必须使用 Ｂ铅笔填涂；非选择题必须使用签字笔或钢笔答题；字体工整、笔迹清楚。!
事 ３．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在试题卷、草稿纸上答题无效。
项 ４．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。考试结束后，请将答题卡，试题卷一并上交。
选择题
$ 犃 犅 犆 犇 % 犃 犅 犆 犇 & 犃 犅 犆 犇
! 犃 犅 犆 犇 ' 犃 犅 犆 犇 $" 犃 犅 犆 犇
# 犃 犅 犆 犇 ( 犃 犅 犆 犇 $$ 犃 犅 犆 犇
) 犃 犅 犆 犇 * 犃 犅 犆 犇
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
填空题
12.
13.
14.
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
高一数学答题卡（共2页）第1页
{#{QQABCQAkxgqQkAbACI6qBUU4CwqQkJEjLQoExUCcqAYqSBNABCA=}#}
书
姓 名 座位号
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
17.（本小题满分15分） 18.（本小题满分17分） 19.（本小题满分17分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
高一数学答题卡（共2页）第2页
{#{QQABCQAkxgqQkAbACI6qBUU4CwqQkJEjLQoExUCcqAYqSBNABCA=}#}2024-2025学年度下学期高一期末考试
高一数学答案
1．【答案】A
1 5i 1 5i
【解答】 5 i，∴ 的共轭复数 5 i，∴虚部为1．
i i
2．【答案】D
【解答】：原式=
sin80 cos( 20 ) cos70 cos100 sin80 cos20 sin 20 co s80 sin(80 3 20 ) sin 60 ．
2
3．【答案】C
【解答】根据题意，可得 | b | 2， a b ( 1, 3)， (a b) b 1 2 3 0 2，所以 a b在 b 上的投
(a b) b b 1
影向量为 b ．
| b | | b | 2
4．【答案】B
tan 2 tan 4【解答】根据题意，可得 2, sin 2 2 1 tan 5
5．【答案】C．
【解答】解：由于 y sin x cos(x ) cos[(x 3 ) ] 3 ，所以将函数 y sin x的图像向左平移 个单
2 8 8 8
位长度得 y cos(x )．
8
6.【答案】B
【解答】①是错的，因为 a,b,c可以不共面 .②是错的，因为直线 b可以在平面内.
③是错的，因为平面 ，平面 可以平行.
7．【答案】C
【解答】解：在△ABD中， DAB 75 ， ADB 60 ， AB 60 6 ，则 ABD 45 ，
AD AB
由正弦定理得 sin ABD sin ADB，解得 AD=120.
在 ACD中, CAD 30 ，AD=120,AC= 40 3
2 2 2
则由余弦定理得CD AC AD 2AC AD cos∠CAD
所以 CD= 40 3
8.【答案】B
数学答案（共 6 页）第 1页
{#{QQABCQAkxgqQkAbACI6qBUU4CwqQkJEjLQoExUCcqAYqSBNABCA=}#}
【解答】解：如图，设球心为O，△ABD的外接圆圆心为 F ，连接OE,OA,EF ,OF ,FA ， FB,FD，
因为 ACB 90 ,E为 AB的中点，，所以 E为VABC的外心，
由 AD BD,F为△ABD的外心，得D,F ,E三点共线，且 EF AB .
由题意得OE 平面 ABC， AB 面 ABC，则OE AB，
故直线DE与平面 ABC所成角为 OEF的余角，
在△ABD中，由题设可得，
由正弦定理得 FA=FB=FD=2，所以 EF=1,又球的半径为 3，所以 OE= 6
而COS OEF EF 1 6 ,所以直线 DE 6与平面 ABC所成角的正弦值是
EO 6 6 6
9．【答案】BC
【解答】对于 A：CD1在底面 ABCD的射影为CD，显然 BD不垂直CD，所以 BD不垂直CD1，错误；
对于 B：取 AD中点M ，易知 AE CM C1F ，所以 AE 平面C1DF ，正确；
对于C：取 B1C1 中点 N，易知 DF CN EB1，所以 DF EB1，正确；
对于 D：BD1在侧面CD1的射影为CD1，在侧面 AD1的射影为 AD1，CD1垂直DC1与 AD1垂直 DF不能同时
成立，则 BD1不垂直平面C1DF ，错误．
10．【答案】ACD
360
【解答】对于 A：由 60 36辆，正确；
600
对于 B：由 60 240 24 1 24辆，每辆轿车被抽入到样本的概率为 ，错误；
600 240 10
C 36 475 224 465对于 ：所有样本车的平均续航里程为 471公里，正确；
60
D 2
3
对于 ：设轿车车型样本方差为 s ，由题意可得： [20 (475 471)2 ] 2 [s2 (465 471)2 ] 48，
5 5
2
所以 s 30， D正确．
11．【答案】BD
【解答】由 a (1,2 i)， b (1 i,2i)， a b (2 i,2 i)， a b 1 (1 i) 2i(2 i) 1 5i，
| a b | (2 i)(2 i) (2 i)(2 i) 10，所以 A错误、B正确；
对于 C： a ( z1, z2 ), b ( z3 , z4 )， ( a
) b z z 1 3 z2 z4 ， a ( b) z1 z3 z2 z4 ，
设 a bi ， z3 c di ， a ， b ， c ， d R ， 则 z3 (a bi)(c di) (ac bd ) (ad bc)i ，
z3 (ac bd ) (ad bc)i ， z3 (a bi)(c di) (ac bd ) (ad bc)i ，所以 z3 z3 ，
故 ( a ) b a ( b)，即 C错误；
对于 D：设 a (z1, z2 )，b (z3 , z4 )，c (z5 , z6 )， z1 ， z2 ， z3， z4 ， z5， z6 C，b c (z3 z5 , z4 z6 )，
a b z1z3 z2 z4 ， a
c z z z 1 5 2 z6 ， a (b c) z1z3 z5 z 2z 4 z 6 ，
因为 z3 z5 z3 z5 ， z4 z6 z4 z6 ，所以 a (b c) z1(z3 z5) z2(z4 z6) z1z3 z2 z4 z1z5 z2 z6 ，
故 D正确．
数学答案（共 6 页）第 2页
{#{QQABCQAkxgqQkAbACI6qBUU4CwqQkJEjLQoExUCcqAYqSBNABCA=}#}
7 3
12．【答案】
24
V 1 3 7 3【解答】解：由台体的体积公式可得 （ ） =
3 4 2 2 24
13 ．【答案】
6
1 5
【解答】解：由已知， a k ， k Z ，所以 a k ， k Z ，
3 2 6
所以取 k 1时，得 a 的最小值为 ．
6
7
14.【答案】
6
【解答】解：
tan CAB 12 , DAB 450
5
sin CAB 12 , tan CAD tan( CAB DAB) 7 ，sin CAD 7
13 17 13 2
S ABC S ACD S ABD ,设 AB x, AC y
1 1 1
xy sin CAB 2x sin DAB 2y sin DAC，化简可得13x 7y 12xy
2 2 2
91 7 13
又12xy 13x 7y 2 91xy , xy （当且仅当 x , y 时等号成立）
36 6 6
S 6 ABC xy
7
13 6
15.（13分）
【解答】解：（1）由 (9 a mb ) (1 ma b ) 9 ，则存在实数 ，使得 a mb (1 ma b )，.......2分
2 2 2 2
(9 1
m)a (m )b 0 a
整理得： ，又 ,b是不共线的两个向量，..............................3分
2 2
9 1
m 0
所以 2 2 ，解得 m 3，即实数m的值是 3；....................................6分
m 0
2 | a | 2,| b | 1,(a
（ ）因为 2b) a ，
所以 (a 1 2b) a a2 2a b 0,a b a2 2，.............................................9分
2
所以 | 2a b |2 4a2 4a b b 2 4 4 4 ( 2) 1 25，......................................12分
可得 | 2a b | 5．........................................................................13分
数学答案（共 6 页）第 3页
{#{QQABCQAkxgqQkAbACI6qBUU4CwqQkJEjLQoExUCcqAYqSBNABCA=}#}
16.（15分）
【解答】（1） a sin A a sinC cosB bsinC cos A bsin B csin A，
根据正弦定理，得 a2 ac cosB bc cos A b2 ac ，..........................2分
2
a2 ac a c
2 b2 2 2bc b c a
2
根据余弦定理，得 b2 ac，即 a2 c2 b2 ac ，4分
2ac 2bc
a2 c2 b2 ac 1
得 cosB ．
2ac 2ac 2
B (0, ) ， B ．................................................6分
3
（2）过点 A作 BD的平行线交 BC于点 E,则点 E是 BC的中点
0
在三角形 ABE中，BE=2,AE= 6 , ABC 60 ,................................9分
2
根据余弦定理， AE AB2 BE 2 2AB BE cos ABE ,设 AB x，
x2得， 2x 2 0 ........................13分
解得，x 1 3，又x 0,所以x 1 3
即 AB边的长度是1 3 .................15分
17.（15分）
【解答】解：（1）根据题意可得，所以估计此次校内测试分数的平均值为：
x 35 0.15 45 0.2 55 0.3 65 0.2 75 0.15 55 ........................................4分
2 200 50（ ）因为 75%，所以这 50名应聘者的最低分数就是该次测试分数的 75%分位数．......6分
200
又 0.15 0.2 0.3 0.65 0.75 0.85，.......................................................7分
0.75 0.65
设该次考试测试分数的 75%分位数为 a，所以 a (60,70)，所以 a 60 65分．........9分
0.02
n
（3）因为 s2 1 f (x x )2
n i ii 1
0.15 (35 55)2 0.2 (45 55)2 0.3 (55 55)2 0.2 (65 55)2 0.15 (75 55)2 160，........12分
所以 s 160 12.8，所以 x s 42.2, x s 67.8，
故得分为 72分的应聘者的成绩没有进入到[42.2， 67.8]内，
得分为 63分的应聘者的成绩进入到了 [42.2， 67.8]内．......................................14分
即：得分为 72 分的应聘者的成绩没有进入到 [x s, x s]范围，得分为 63 分的应聘者的成绩进入到
[x s, x s]范围了．....................................................................15分
数学答案（共 6 页）第 4页
{#{QQABCQAkxgqQkAbACI6qBUU4CwqQkJEjLQoExUCcqAYqSBNABCA=}#}
18．（17分）
【解答】解：（1）(1)因为 AD / /平面 PBC，平面ABCD 平面PBC BC
所以 AD // BC ...............................2分
又 AC=2,BC=1, BAC 300 ,所以 AB 3 ,所以 AB BC ①
又 PA 底面 ABCD，得 PA BC , ②
由①②可得， BC 平面PAB，所以BC PB ,又 AD // BC，所以 AD PB ... 5分
(2) （ⅰ）过 A点作 AE PD ,交 PD于点 E,...........................7分
又平面 PAD 平面 PCD所以 AE 平面 PCD,所以 AE CD，又 PA CD,
所以 CD 平面 PAD,即得 AD CD ......................................10分
（ⅱ）在平面 PCD内，过点 E作 PC的垂线交 PC于点 F,连结 AF
因为 PC AE,PC EF,所以 PC 平面 AEF,所以 PC AF,所以 AFE
即为二面角 A-PC-D的平面角............................12分
在直角三角形 ACD中，AC=2,CD=1,可得 AD 3
2 21
在直角三角形 PAD中，PA=2, AD 3 ,可得 AE= ,
7
同理可得 AF= 2 ...............................15分
所以 sin AE 42 AFE ................................17分
AF 7
19.（17分）
【解答】解：（1）因为四边形 ABCD是正方形， E为 AB的中点，
所以 SE SD， SE SF，又 SD SF S， SD，SF 平面 SFD，
所以 SE 平面 SFD，又 SE 平面 SEF，所以 SE DF ................4分
(2)因为四边形 ABCD是正方形，F为 AB的中点，所以 SD SF,所以 SD,SE,SF两两互相垂直，
构造如图所示的长方体.
设三棱锥 SDEF的外接球的半径为 r ,则 SP=2 r
又 SP2 SD2 SE 2 SF 2 ,SD a,SE SF a ,
2
2 2
所以 4r 2 3a 3 a ，即该三棱锥外接球的表面积是 ....9分
2 2
（3）设S在平面 AEF上的射影为O，连接 EO，则 SEO为直线 SE与平面DEF 所成角 ，
数学答案（共 6 页）第 5页
{#{QQABCQAkxgqQkAbACI6qBUU4CwqQkJEjLQoExUCcqAYqSBNABCA=}#}
1 1 1
设 BF x（1 x 4），则CF 4 x， S DEF 4 4 4 2 2x 4 4 x 4 x，2 2 2
在 DSF 中，DS 4， SF x，DF x2 8x 32，
DS 2 SF 2 DF 2
可得 cos DSF 2 1 ，
2DS SF x
S 1 DSF DS SF sin DSF 4 x 1，.................................11分2
其中 SE 平面 SFD， SE
1 8
2，故VE DSF S SE x 1，3 DSF 3
V 1 1S DEF S3 DEF
SO 4 x SO，
3
V 1因为 S DEF VE DSF ，即 4 x SO 8 x 1 SO 8 x 1 ，
3 3 x 4
SO 4 x 1
又 SE 2，所以 sin ，......................................14分
SE x 4
sin 4t 4
令 x 1 t， t 0, 3 ， 5 t 2 t 5 ，
t
令 g t 5 t ， t 0, 3 ，显然 g t 在 0, 3 上单调递减，t
当 t 3，即 x 4 3时， sin 最大为 ....................................17分
2
数学答案（共 6 页）第 6页
{#{QQABCQAkxgqQkAbACI6qBUU4CwqQkJEjLQoExUCcqAYqSBNABCA=}#}
