抛体运动
1．平抛运动
(1)定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在________作用下的运动。
(2)性质：平抛运动是加速度为g的________曲线运动，运动轨迹是抛物线。
(3)研究方法
运动的合成与分解
①水平方向：________直线运动。
②竖直方向：____________运动。
(4)基本规律
2．一般的抛体运动
(1)定义：将物体以初速度v0____________或斜向下方抛出，物体只在________作用下的运动。
(2)性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是________。
(3)基本规律
以斜上抛运动为例，如图所示。
①水平方向为匀速直线运动：v0x＝________，x＝(v0cos θ)t。
②竖直方向为匀变速直线运动：v0y＝____________，y＝v0t sin θ－gt2。
1．易错易混辨析
(1)以一定的初速度水平抛出的物体的运动是平抛运动。 ( )
(2)平抛运动的轨迹是抛物线，速度方向时刻变化，加速度方向也可能时刻变化。 ( )
(3)做平抛运动的物体在任意相等的时间内速度的变化量是相同的。 ( )
(4)平抛运动中速度和加速度方向之间的夹角一直减小。 ( )
(5)两个做平抛运动的物体，初速度大的落地时速度大。 ( )
(6)做平抛运动的物体初速度越大，在空中运动的时间越短。 ( )
(7)无论初速度是斜向上方还是斜向下方的斜抛运动都是匀变速曲线运动。 ( )
2．人教版必修第二册第17页插图：如图所示的斜抛运动的轨迹和分析方法，试分析和计算当θ为何值时射程最大？
3．(人教版必修第二册改编)(多选)为了验证做平抛运动的小球在竖直方向上做自由落体运动，用如图所示的装置进行实验。小锤打击弹性金属片后，A球水平抛出，同时B球被松开自由下落。关于该实验，下列说法中正确的是( )
A．两球的质量应相等
B．两球应同时落地
C．应改变装置的高度，多次实验
D．实验也能说明A球在水平方向上做匀速直线运动
4．(粤教版必修第二册改编)(多选)套圈是大人、小孩都喜欢的娱乐活动，一个大人和一个小孩分别在如图所示的位置水平抛出一个圈，结果套中同一个物体，若两个圈相同，圈的运动视为平抛运动，则大人抛出的圈( )
A．初速度大
B．平抛运动的时间长
C．落地时的速度大
D．落地时的重力瞬时功率大
平抛运动的规律及应用
1．平抛运动时间和水平位移
(1)运动时间：由t＝ 知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关。
(2)水平位移：x＝v0t＝v0，即水平位移由初速度v0和下落高度h共同决定。
2．速度和位移的变化规律
(1)速度的变化规律
①任一时刻的速度水平分量均等于初速度v0。
②任一相等时间间隔Δt内的速度变化量方向竖直向下，大小Δv＝Δvy＝gΔt(如图所示)。
(2)位移变化规律
①任一相等时间间隔内，水平位移相同，即Δx＝v0Δt。
②连续相等的时间间隔Δt内，竖直方向上的位移差不变，即Δy＝g(Δt)2。
3．两个重要推论
(1)做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图甲所示，B是OC的中点，即xB＝。
推导： →xB＝
(2)如图乙所示，做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻(任一位置处)，设其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tan θ＝2tan α。
推导： →tan θ＝2tan α
平抛运动的规律
[典例1] 如图所示，将a、b两小球以不同的初速度同时水平抛出，它们均落在水平地面上的P点，a球抛出时的高度比b球的高。P点到两球起抛点的水平距离相等，不计空气阻力，与b球相比，a球( )
A．初速度较大
B．速度变化率较大
C．落地时速度方向与其初速度方向的夹角较小
D．落地时速度方向与其初速度方向的夹角较大
[听课记录]
分解思想在平抛运动中的应用
(1)解答平抛运动问题时，一般的方法是将平抛运动的位移沿水平和竖直两个方向分解，这样分解的优点是不用分解初速度也不用分解加速度。
(2)画出速度(或位移)分解图，通过几何知识建立合速度(合位移)、分速度(分位移)及其方向间的关系，通过速度(位移)的矢量三角形求解未知量。
平抛运动的推论
[典例2] 如图所示，从倾角为θ且足够长的斜面的顶点A，先后将同一小球以不同的初速度水平向右抛出，第一次初速度为v1，小球落到斜面上一瞬间的速度方向与斜面的夹角为φ1，第二次初速度为v2，小球落在斜面上一瞬间的速度方向与斜面间的夹角为φ2，若v2>v1，则φ1和φ2的大小关系是( )
A．φ1＞φ2 B．φ1＜φ2
C．φ1＝φ2 D．无法确定
[听课记录]
有约束条件的平抛运动
1．对平抛运动的约束条件常见的有“斜面”约束和“曲面”约束，解此类问题的关键：
(1)灵活运用平抛运动的位移和速度分解方法。
(2)充分运用斜面倾角，找出斜面倾角与位移偏向角、速度偏向角的关系。
(3)“曲面”约束类要灵活应用平抛运动的推论。
2．常见类型示例
运动情境 物理量分析
vy＝gt，tan θ＝＝→t＝
x＝v0t，y＝gt2→tan θ＝→t＝
tan θ＝＝→t＝
落到斜面上时合速度与水平方向的夹角为φ，tan φ＝＝＝＝2tan θ ，α＝φ－θ
tan θ＝＝→t＝
在半圆内的平抛运动，h＝gt2，R＋＝v0t
斜面约束的平抛运动
[典例3] (2024·广东揭阳高三月考)如图所示，倾角为θ的斜面体固定在水平面上，两个可视为质点的小球甲和乙分别沿水平方向抛出，两球的初速度大小相等，已知甲的抛出点为斜面体的顶点，经过一段时间两球落在斜面上的A、B两点后不再反弹，落在斜面上的瞬间，小球乙的速度与斜面垂直。忽略空气的阻力，重力加速度为g。则下列选项正确的是( )
A．甲、乙两球在空中运动的时间之比为tan2θ∶1
B．甲、乙两球下落的高度之比为2tan4θ∶1
C．甲、乙两球的水平位移之比为tan θ∶1
D．甲、乙两球落在斜面上瞬间的速度与水平面夹角的正切值之比为2tan2θ∶1
思路点拨：解此题的关键是对两小球在斜面上的落点进行分析，找出斜面倾角与位移偏向角、速度偏向角的关系，获取两小球运动时间的关系。
[听课记录]
曲面约束的平抛运动
[典例4] (2025·广东韶关诊断)如图所示，一竖直圆弧形槽固定于水平地面上，O为圆心，AB为沿水平方向的直径。若在A点以初速度v1沿AB方向平抛一小球，小球将击中槽壁上的最低点D点；若A点小球抛出的同时，在C点以初速度v2沿BA方向平抛另一相同质量的小球并也能击中D点，已知∠COD＝60°，且不计阻力，则( )
A．两小球同时落到D点
B．两小球初速度大小之比为 ∶3
C．两小球落到D点时的速度方向与OD线夹角相等
D．两小球落到D点时的瞬时速率之比为 ∶1
[听课记录]
平抛运动中的临界、极值问题
1．临界点的确定
(1)若题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点。
(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着起止点，而这些起止点往往就是临界点。
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值点，这些极值点也往往是临界点。
2．求解平抛运动临界问题的一般思路
(1)找出临界状态对应的临界条件。
(2)分解速度或位移。
(3)若有必要，画出临界轨迹。
[典例5] 一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h。发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h。不计空气的作用，重力加速度大小为g。若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的取值范围是( )
A．＜v＜L1
思路点拨：(1)发射机安装于台面左侧边缘的中点。
(2)乒乓球落在右侧台面的台角处时，速度取最大值。
(3)乒乓球沿正前方且恰好擦网而过时，速度取最小值。
[听课记录]
斜抛运动及类平抛运动
1．类平抛运动
(1)类平抛运动的受力特点
物体所受的合力为恒力，且与初速度的方向垂直。
(2)类平抛运动的运动特点
在初速度v0方向上做匀速直线运动，在合力方向上做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a＝。
(3)类平抛运动的求解方法
①常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合力的方向)的匀加速直线运动。两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性。
②特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直线坐标系，将加速度a分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向列方程求解。
2．斜抛运动
(1)斜上抛运动一般分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的竖直上抛运动。
(2)斜面上的斜抛运动可以沿垂直斜面方向和沿斜面方向分解，然后研究各方向的运动规律，再进行合成。
类平抛运动
[典例6] 如图所示，有一倾角为30°且足够宽的光滑斜面，斜面长l为10 m，一小球从斜面顶端以10 m/s 的速度沿水平方向抛出(g取10 m/s2)，求：
(1)小球沿斜面滑到底端的时间t和沿v0方向的水平位移x的大小；
(2)小球到达斜面底端时的速度v的大小。
审题指导：
关键语句 获取信息
倾角为30°且足够宽的光滑斜面 ①小球不受摩擦力；②小球受沿斜面的合力；③小球一直在斜面上运动
斜面长l为10 m，……以10 m/s的速度沿水平方向抛出 ①小球在斜面内做类平抛运动；②小球沿合力方向的位移大小为10 m
[听课记录]
斜抛运动
[典例7] (多选)(2024·山东卷)如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度v0大小为20 m/s，与水平方向的夹角为30°，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°，重力加速度大小取10 m/s2，忽略空气阻力。重物在此运动过程中，下列说法正确的是( )
A．运动时间为2 s
B．落地速度与水平方向夹角为60°
C．重物离PQ连线的最远距离为10 m
D．轨迹最高点与落点的高度差为45 m
[听课记录]
1．(2022·广东卷)如图所示，在竖直平面内，截面为三角形的小积木悬挂在离地足够高处，一玩具枪的枪口与小积木上P点等高且相距为L。当玩具子弹以水平速度v从枪口向P点射出时，小积木恰好由静止释放，子弹从射出至击中积木所用时间为t。不计空气阻力。下列关于子弹的说法正确的是( )
A．将击中P点，t大于
B．将击中P点，t等于
C．将击中P点上方，t大于
D．将击中P点下方，t等于
2．(2024·浙江1月选考)如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍，在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h，直径为D，重力加速度大小为g，则水离开出水口的速度大小为( )
A． B．
C． D．(＋1)D
3．(多选)如图所示，两个足够大的倾角分别为30°、45°的光滑斜面放在同一水平面上，两斜面间距大于小球直径，斜面高度相等，有三个完全相同的小球a、b、c，开始均静止于斜面同一高度处，其中b小球在两斜面之间。若同时释放，a、b、c小球到达该水平面的时间分别为t1、t2、t3。若同时沿水平方向抛出，初速度方向如图所示，到达水平面的时间分别为t′1、t′2、t′3。下列关于时间的关系正确的是( )
A．t1>t3>t2 B．t1＝t′1、t2＝t′2、t3＝t′3
C．t′1>t′3>t′2 D．t14．(多选)(2025·广东江门质量检测)如图所示为一半球形的坑，其中坑边缘两点M、N与圆心等高且在同一竖直平面内。现甲、乙两位同学分别站在M、N两点，同时将两个小球以v1、v2的速度沿图示方向水平抛出，发现两球刚好落在坑中同一点Q，已知∠MOQ＝60°，忽略空气阻力。则下列说法中正确的是( )
A．两球抛出的速率之比为1∶3
B．若仅增大v1，则两球将在落入坑中之前相撞
C．两球的初速度无论怎样变化，只要落在坑中的同一点，两球抛出的速率之和就不变
D．若仅从M点水平抛出小球，改变小球抛出的速度，小球可能垂直坑壁落入坑中
5．(2024·江苏卷)喷泉a、b出射点高度相同，形成如图所示的形状，不计空气阻力，则喷泉a、b的( )
A．加速度相同 B．初速度相同
C．最高点的速度相同 D．在空中的时间相同
6．将一小球水平抛出，使用频闪仪和照相机对运动的小球进行拍摄，频闪仪每隔0.05 s发出一次闪光。某次拍摄时，小球在抛出瞬间频闪仪恰好闪光，拍摄的照片编辑后如图所示。图中的第一个小球为抛出瞬间的影像，每相邻两个球之间被删去了3个影像，所标出的两个线段的长度s1和s2之比为3∶7。重力加速度大小取g＝10 m/s2，忽略空气阻力。求在抛出瞬间小球速度的大小。
1 / 13 抛体运动
1．平抛运动
(1)定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下的运动。
(2)性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。
(3)研究方法
运动的合成与分解
①水平方向：匀速直线运动。
②竖直方向：自由落体运动。
(4)基本规律
2．一般的抛体运动
(1)定义：将物体以初速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动。
(2)性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。
(3)基本规律
以斜上抛运动为例，如图所示。
①水平方向为匀速直线运动：v0x＝v0cos_θ，x＝(v0cos θ)t。
②竖直方向为匀变速直线运动：v0y＝v0sin_θ－gt，y＝v0t sin θ－gt2。
1．易错易混辨析
(1)以一定的初速度水平抛出的物体的运动是平抛运动。 (×)
(2)平抛运动的轨迹是抛物线，速度方向时刻变化，加速度方向也可能时刻变化。 (×)
(3)做平抛运动的物体在任意相等的时间内速度的变化量是相同的。 (√)
(4)平抛运动中速度和加速度方向之间的夹角一直减小。 (√)
(5)两个做平抛运动的物体，初速度大的落地时速度大。 (×)
(6)做平抛运动的物体初速度越大，在空中运动的时间越短。 (×)
(7)无论初速度是斜向上方还是斜向下方的斜抛运动都是匀变速曲线运动。 (√)
2．人教版必修第二册第17页插图：如图所示的斜抛运动的轨迹和分析方法，试分析和计算当θ为何值时射程最大？
提示：初速度可以分解为v0x＝v0cos θ，v0y＝v0sin θ。在水平方向，物体的位移为x＝v0xt＝(v0cos θ)t ①，在竖直方向，物体的位移为y＝v0yt－gt2＝(v0sin θ)t－gt2 ②，物体落回与抛出点同一高度时，有y＝0，由②式得总时间t总＝，由①式得物体的射程x总＝，当θ＝45°时，sin 2θ最大，射程最大。所以对于给定大小的初速度v0，沿θ＝45°方向斜向上抛出时，射程最大。
3．(人教版必修第二册改编)(多选)为了验证做平抛运动的小球在竖直方向上做自由落体运动，用如图所示的装置进行实验。小锤打击弹性金属片后，A球水平抛出，同时B球被松开自由下落。关于该实验，下列说法中正确的是( )
A．两球的质量应相等
B．两球应同时落地
C．应改变装置的高度，多次实验
D．实验也能说明A球在水平方向上做匀速直线运动
BC [两球从同一高度同时开始运动，竖直方向均做自由落体运动，落地时间一定相等，不需要两球质量相等，为了验证平抛运动在竖直方向的分运动为自由落体运动，应改变高度多次实验才能验证猜想，故A错误，B、C正确；本实验无法说明平抛运动在水平方向的运动是匀速直线运动，故D错误。]
4．(粤教版必修第二册改编)(多选)套圈是大人、小孩都喜欢的娱乐活动，一个大人和一个小孩分别在如图所示的位置水平抛出一个圈，结果套中同一个物体，若两个圈相同，圈的运动视为平抛运动，则大人抛出的圈( )
A．初速度大
B．平抛运动的时间长
C．落地时的速度大
D．落地时的重力瞬时功率大
BD [根据题意，竖直方向上有h＝gt2，可得t＝，由题图可知，大人的抛出点比小孩的抛出点高，则大人抛出的圈平抛运动的时间长，故B正确；水平方向上有x＝v0t，可得v0＝，由题图可知，大人抛出的圈的水平位移小于小孩抛出的圈的水平位移，时间大于小孩抛出的圈运动的时间，则大人抛出的圈的初速度小，故A错误；根据题意可知，落地时的速度为v＝，由于小孩抛出的圈的水平分速度大于大人抛出的圈的水平分速度，小孩抛出的圈的竖直分速度小于大人抛出的圈的竖直分速度，则无法判断落地速度的大小关系，故C错误；竖直方向上有vy＝gt，可知落地时大人抛出的圈的竖直分速度大，由P＝mgvy可知，大人抛出的圈落地时的重力瞬时功率大，故D正确。故选BD。]
平抛运动的规律及应用
1．平抛运动时间和水平位移
(1)运动时间：由t＝ 知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关。
(2)水平位移：x＝v0t＝v0，即水平位移由初速度v0和下落高度h共同决定。
2．速度和位移的变化规律
(1)速度的变化规律
①任一时刻的速度水平分量均等于初速度v0。
②任一相等时间间隔Δt内的速度变化量方向竖直向下，大小Δv＝Δvy＝gΔt(如图所示)。
(2)位移变化规律
①任一相等时间间隔内，水平位移相同，即Δx＝v0Δt。
②连续相等的时间间隔Δt内，竖直方向上的位移差不变，即Δy＝g(Δt)2。
3．两个重要推论
(1)做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图甲所示，B是OC的中点，即xB＝。
推导：→xB＝
(2)如图乙所示，做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻(任一位置处)，设其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tan θ＝2tan α。
推导：→tan θ＝2tan α
平抛运动的规律
[典例1] 如图所示，将a、b两小球以不同的初速度同时水平抛出，它们均落在水平地面上的P点，a球抛出时的高度比b球的高。P点到两球起抛点的水平距离相等，不计空气阻力，与b球相比，a球( )
A．初速度较大
B．速度变化率较大
C．落地时速度方向与其初速度方向的夹角较小
D．落地时速度方向与其初速度方向的夹角较大
D [两个小球都做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，由h＝gt2，得t＝，则ta＞tb，小球水平方向都做匀速直线运动，有x＝v0t，由题意知x相等，又ta＞tb，则知va＜vb，故A错误；根据＝a＝g知速度变化率相同，故B错误；落地时速度v＝＝，落地时速度方向与其初速度方向的夹角的正切值tan α＝＝，又a球的h大，v0小，tan α大，故其落地时速度方向与其初速度方向的夹角大，故C错误，D正确。故选D。]
分解思想在平抛运动中的应用
(1)解答平抛运动问题时，一般的方法是将平抛运动的位移沿水平和竖直两个方向分解，这样分解的优点是不用分解初速度也不用分解加速度。
(2)画出速度(或位移)分解图，通过几何知识建立合速度(合位移)、分速度(分位移)及其方向间的关系，通过速度(位移)的矢量三角形求解未知量。
【典例1 教用·备选题】在地面上方某点将一小球以一定的初速度沿水平方向抛出，不计空气阻力，则小球在随后的运动中( )
A．速度和加速度的方向都在不断改变
B．速度与加速度方向之间的夹角一直减小
C．在相等的时间间隔内，速率的改变量相等
D．在相等的时间间隔内，动能的改变量相等
B [由于不计空气阻力，小球只受重力作用，故加速度为g，方向不变；小球做平抛运动，速度的方向不断变化，在任意一段时间内速度的变化量Δv＝gΔt，如图所示，选项A错误；设某时刻速度与竖直方向的夹角为θ，则tan θ＝＝，随着时间t的变大，θ变小，选项B正确；由图可以看出，在相等的时间间隔内，速度的改变量Δv相等，但速率的改变量v3－v2≠v2－v1≠v1－v0，选项C错误；在竖直方向上位移h＝gt2，可知小球在相同的时间间隔内下落的高度不同，根据动能定理，动能的改变量等于重力做的功，知选项D错误。]
平抛运动的推论
[典例2] 如图所示，从倾角为θ且足够长的斜面的顶点A，先后将同一小球以不同的初速度水平向右抛出，第一次初速度为v1，小球落到斜面上一瞬间的速度方向与斜面的夹角为φ1，第二次初速度为v2，小球落在斜面上一瞬间的速度方向与斜面间的夹角为φ2，若v2>v1，则φ1和φ2的大小关系是( )
A．φ1＞φ2 B．φ1＜φ2
C．φ1＝φ2 D．无法确定
C [根据平抛运动的推论，做平抛或类平抛运动的物体在任一时刻或任一位置，设其速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为β，则tan α＝2tan β。由上述关系式结合题图中的几何关系可得tan (φ＋θ)＝2tan θ，此式表明小球的速度方向与斜面间的夹角φ仅与θ有关，而与初速度无关，因此φ1＝φ2，即以不同初速度平抛的物体，落在斜面上各点的速度方向是互相平行的，故C正确。]
有约束条件的平抛运动
1．对平抛运动的约束条件常见的有“斜面”约束和“曲面”约束，解此类问题的关键：
(1)灵活运用平抛运动的位移和速度分解方法。
(2)充分运用斜面倾角，找出斜面倾角与位移偏向角、速度偏向角的关系。
(3)“曲面”约束类要灵活应用平抛运动的推论。
2．常见类型示例
运动情境 物理量分析
vy＝gt，tan θ＝＝→t＝
x＝v0t，y＝gt2→tan θ＝→t＝
tan θ＝＝→t＝
落到斜面上时合速度与水平方向的夹角为φ，tan φ＝＝＝＝2tan θ ，α＝φ－θ
tan θ＝＝→t＝
在半圆内的平抛运动，h＝gt2，R＋＝v0t
斜面约束的平抛运动
[典例3] (2024·广东揭阳高三月考)如图所示，倾角为θ的斜面体固定在水平面上，两个可视为质点的小球甲和乙分别沿水平方向抛出，两球的初速度大小相等，已知甲的抛出点为斜面体的顶点，经过一段时间两球落在斜面上的A、B两点后不再反弹，落在斜面上的瞬间，小球乙的速度与斜面垂直。忽略空气的阻力，重力加速度为g。则下列选项正确的是( )
A．甲、乙两球在空中运动的时间之比为tan2θ∶1
B．甲、乙两球下落的高度之比为2tan4θ∶1
C．甲、乙两球的水平位移之比为tan θ∶1
D．甲、乙两球落在斜面上瞬间的速度与水平面夹角的正切值之比为2tan2θ∶1
思路点拨：解此题的关键是对两小球在斜面上的落点进行分析，找出斜面倾角与位移偏向角、速度偏向角的关系，获取两小球运动时间的关系。
D [由小球甲的运动可知tan θ＝＝＝，解得t＝，小球乙落到斜面上的速度与竖直方向夹角的正切值为tan θ＝，解得t′＝，则甲、乙两球在空中运动的时间之比为＝2tan2θ∶1，故A错误；由h＝可知甲、乙两球下落的高度之比为＝＝4tan4θ∶1，故B错误；由x＝v0t可知甲、乙两球水平位移之比为＝＝2tan2θ∶1，故C错误；甲球落在斜面上瞬间的速度与水平面夹角的正切值为tan α＝＝＝2tan θ，乙球落到斜面上的速度与水平方向夹角的正切值为tan β＝＝，甲、乙两球落在斜面上瞬间的速度与水平面夹角的正切值之比为＝2tan2θ∶1，故D正确。]
曲面约束的平抛运动
[典例4] (2025·广东韶关诊断)如图所示，一竖直圆弧形槽固定于水平地面上，O为圆心，AB为沿水平方向的直径。若在A点以初速度v1沿AB方向平抛一小球，小球将击中槽壁上的最低点D点；若A点小球抛出的同时，在C点以初速度v2沿BA方向平抛另一相同质量的小球并也能击中D点，已知∠COD＝60°，且不计阻力，则( )
A．两小球同时落到D点
B．两小球初速度大小之比为∶3
C．两小球落到D点时的速度方向与OD线夹角相等
D．两小球落到D点时的瞬时速率之比为 ∶1
B [由于A、C两点到D点的竖直高度不同，故两球在空中运动时间不同，选项A错误；设圆弧形槽半径为R，对从A点抛出的小球有R＝v1tA，又tA＝，则v1＝R＝，对从C点抛出的小球有R sin 60 °＝v2tC，tC＝＝，则v2＝＝，v1∶v2＝∶3，选项B正确；设小球在D点速度方向与OD线夹角为θ，竖直分速度为vy，水平分速度为v0，则tan θ＝，由v1∶v2＝∶3和vy1∶vy2＝tA∶tC＝∶1知，选项C错误；设A、C两点抛出的小球落到D点时的瞬时速率分别为vA、vC，则vA＝＝，vC＝＝，则vA∶vC＝∶，选项D错误。]
平抛运动中的临界、极值问题
1．临界点的确定
(1)若题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点。
(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着起止点，而这些起止点往往就是临界点。
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值点，这些极值点也往往是临界点。
2．求解平抛运动临界问题的一般思路
(1)找出临界状态对应的临界条件。
(2)分解速度或位移。
(3)若有必要，画出临界轨迹。
[典例5] 一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h。发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h。不计空气的作用，重力加速度大小为g。若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的取值范围是( )
A．＜v＜L1
B．
C．
D．
思路点拨：(1)发射机安装于台面左侧边缘的中点。
(2)乒乓球落在右侧台面的台角处时，速度取最大值。
(3)乒乓球沿正前方且恰好擦网而过时，速度取最小值。
D [乒乓球做平抛运动，落到右侧台面上时经历的时间t1满足3h＝，当v取最大值时其水平位移最大，落点应在右侧台面的台角处，有vmaxt1＝，解得vmax＝；当v取最小值时其水平位移最小，发射方向沿正前方且恰好擦网而过，此时有3h－h＝＝vmint2，解得vmin＝，故D正确。]
【典例5 教用·备选题】如图所示，窗子上、下沿间的高度H＝1.6 m，竖直墙的厚度d＝0.4 m，某人在距离墙壁L＝1.4 m、距窗子上沿h＝0.2 m 处的P点，将可视为质点的小物件以垂直于墙壁的速度v水平抛出，要求小物件能直接穿过窗口并落在水平地面上，不计空气阻力，g取10 m/s2。则可以实现上述要求的速度大小是( )
A．2 m/s B．4 m/s C．8 m/s D．10 m/s
B [小物件做平抛运动，恰好擦着窗子上沿右侧墙边缘穿过时速度v最大，此时有L＝vmaxt1，h＝，代入数据解得vmax＝7 m/s；小物件恰好擦着窗口下沿左侧墙边缘穿过时速度v最小，则有L＋d＝vmint2，H＋h＝，代入数据解得vmin＝3 m/s，故v的取值范围是3 m/s≤v≤7 m/s，故B正确，A、C、D错误。]
斜抛运动及类平抛运动
1．类平抛运动
(1)类平抛运动的受力特点
物体所受的合力为恒力，且与初速度的方向垂直。
(2)类平抛运动的运动特点
在初速度v0方向上做匀速直线运动，在合力方向上做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a＝。
(3)类平抛运动的求解方法
①常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合力的方向)的匀加速直线运动。两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性。
②特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直线坐标系，将加速度a分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向列方程求解。
2．斜抛运动
(1)斜上抛运动一般分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的竖直上抛运动。
(2)斜面上的斜抛运动可以沿垂直斜面方向和沿斜面方向分解，然后研究各方向的运动规律，再进行合成。
类平抛运动
[典例6] 如图所示，有一倾角为30°且足够宽的光滑斜面，斜面长l为10 m，一小球从斜面顶端以10 m/s 的速度沿水平方向抛出(g取10 m/s2)，求：
(1)小球沿斜面滑到底端的时间t和沿v0方向的水平位移x的大小；
(2)小球到达斜面底端时的速度v的大小。
审题指导：
关键语句 获取信息
倾角为30°且足够宽的光滑斜面 ①小球不受摩擦力；②小球受沿斜面的合力；③小球一直在斜面上运动
斜面长l为10 m，……以10 m/s的速度沿水平方向抛出 ①小球在斜面内做类平抛运动；②小球沿合力方向的位移大小为10 m
[解析] (1)小球在斜面上沿v0方向做匀速直线运动，在沿斜面向下方向做初速度为零，加速度为a的匀加速直线运动，由牛顿第二定律得mg sin 30°＝ma，小球的加速度a＝g sin 30°，沿v0方向水平位移x＝v0t，沿斜面向下方向有l＝at2，解得运动时间t＝＝ s＝2 s，所以沿v0方向的水平位移x＝v0t＝20 m。
(2)小球到达斜面底端时，速度v＝＝ m/s＝10 m/s。
[答案] (1)2 s 20 m (2)10 m/s
斜抛运动
[典例7] (多选)(2024·山东卷)如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度v0大小为20 m/s，与水平方向的夹角为30°，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°，重力加速度大小取10 m/s2，忽略空气阻力。重物在此运动过程中，下列说法正确的是( )
A．运动时间为2 s
B．落地速度与水平方向夹角为60°
C．重物离PQ连线的最远距离为10 m
D．轨迹最高点与落点的高度差为45 m
BD [将初速度分解为沿PQ方向的分速度v1和垂直于PQ方向的分速度v2，则有v1＝v0cos 60°＝10 m/s，v2＝v0sin 60°＝10 m/s，将重力加速度分解为沿PQ方向的分加速度a1和垂直于PQ方向的分加速度a2，则有a1＝g sin 30°＝5 m/s2，a2＝g cos 30°＝5 m/s2，对垂直于PQ方向的运动根据对称性可得重物运动时间为t＝2×＝4 s，重物离PQ连线的最远距离为dmax＝＝10 m，故A、C错误；重物落地时竖直分速度大小为vy＝－v0sin 30°＋gt＝30 m/s，则落地速度与水平方向夹角的正切值为tan θ＝＝＝，可得θ＝60°，故B正确；从抛出重物到重物运动至最高点所用时间为t1＝＝1 s，则重物从最高点到落地所用时间为t2＝t－t1＝3 s，轨迹最高点与落点的高度差为h＝＝45 m，故D正确。故选BD。]
【典例7 教用·备选题】(2024·广东深圳市二模)如图，射击训练场内，飞靶从水平地面A点以仰角θ斜向上飞出，落在相距100 m的B点，最高点距地面20 m。忽略空气阻力，重力加速度取10 m/s2。则( )
A．飞靶从A到B的飞行时间为2 s
B．飞靶在最高点的速度为20 m/s
C．抬高仰角θ，飞靶飞行距离增大
D．抬高仰角θ，飞靶的飞行时间增大
D [飞靶在竖直方向做竖直上抛运动，根据对称性可得，飞靶从A到B的飞行时间为t＝2t1＝2＝4 s，故A错误；飞靶在水平方向的速度vx＝＝25 m/s，在最高点竖直方向速度为零，则飞靶在最高点的速度为 25 m/s，故B错误；根据运动的分解可得vx＝v cos θ，vy＝v sin θ，飞靶飞行的时间t＝＝，则飞行距离x＝vxt＝＝，可知θ＝45°时，飞行距离有最大值，故C错误；根据t＝可知抬高仰角θ，飞靶的飞行时间增大，故D正确。故选D。]
1．(2022·广东卷)如图所示，在竖直平面内，截面为三角形的小积木悬挂在离地足够高处，一玩具枪的枪口与小积木上P点等高且相距为L。当玩具子弹以水平速度v从枪口向P点射出时，小积木恰好由静止释放，子弹从射出至击中积木所用时间为t。不计空气阻力。下列关于子弹的说法正确的是( )
A．将击中P点，t大于
B．将击中P点，t等于
C．将击中P点上方，t大于
D．将击中P点下方，t等于
B [由题意知枪口与P点等高，子弹和小积木在竖直方向上做自由落体运动，当子弹击中积木时子弹和积木运动时间相同，根据h＝gt2，可知下落高度相同，所以子弹将击中P点；又由于初始状态子弹到P点的水平距离为L，子弹在水平方向上做匀速直线运动，故有t＝，故选B。]
2．(2024·浙江1月选考)如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍，在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h，直径为D，重力加速度大小为g，则水离开出水口的速度大小为( )
A． B．
C． D．(＋1)D
C [设出水口到水桶中心的水平距离为x，则x＝v0，落到桶底A点时有x＋＝v0，解得v0＝，故选C。]
3．(多选)如图所示，两个足够大的倾角分别为30°、45°的光滑斜面放在同一水平面上，两斜面间距大于小球直径，斜面高度相等，有三个完全相同的小球a、b、c，开始均静止于斜面同一高度处，其中b小球在两斜面之间。若同时释放，a、b、c小球到达该水平面的时间分别为t1、t2、t3。若同时沿水平方向抛出，初速度方向如图所示，到达水平面的时间分别为t′1、t′2、t′3。下列关于时间的关系正确的是( )
A．t1>t3>t2 B．t1＝t′1、t2＝t′2、t3＝t′3
C．t′1>t′3>t′2 D．t1ABC [第一种情况：b球做自由落体运动，a、c做匀加速运动。设斜面的高度为h，则对a球有＝，对b球有h＝，对c球有＝，由数学知识得t1>t3>t2；第二种情况：a、c两个球都做类平抛运动，沿斜面向下方向均做初速度为零的匀加速直线运动，a的加速度为g sin 30°，c的加速度为g sin 45°，b球做平抛运动，则对a球有＝，对b球有h＝，对c球有＝，比较可知，t1＝t′1、t2＝t′2、t3＝t′3，t′1>t′3>t′2，故A、B、C正确，D错误。]
4．(多选)(2025·广东江门质量检测)如图所示为一半球形的坑，其中坑边缘两点M、N与圆心等高且在同一竖直平面内。现甲、乙两位同学分别站在M、N两点，同时将两个小球以v1、v2的速度沿图示方向水平抛出，发现两球刚好落在坑中同一点Q，已知∠MOQ＝60°，忽略空气阻力。则下列说法中正确的是( )
A．两球抛出的速率之比为1∶3
B．若仅增大v1，则两球将在落入坑中之前相撞
C．两球的初速度无论怎样变化，只要落在坑中的同一点，两球抛出的速率之和就不变
D．若仅从M点水平抛出小球，改变小球抛出的速度，小球可能垂直坑壁落入坑中
AB [由于两球抛出的高度相等，则运动时间相等，x1＝v1t，x2＝v2t，由几何关系可知x2＝3x1，所以两球抛出的速率之比为1∶3，故A正确；由2R＝(v1＋v2)t可知，若仅增大v1，则时间减小，两球将在落入坑中之前相撞，故B正确；要使两小球落在坑中的同一点，必须满足v1与v2之和与时间的乘积等于半球形坑的直径，即(v1＋v2)t＝2R，落点不同，竖直方向位移就不同，t也不同，所以两球抛出的速度之和不是定值，故C错误；由平抛运动速度的反向延长线过水平位移的中点可知，若仅从M点水平抛出小球，改变小球抛出的速度，小球不可能垂直坑壁落入坑中，故D错误。]
5．(2024·江苏卷)喷泉a、b出射点高度相同，形成如图所示的形状，不计空气阻力，则喷泉a、b的( )
A．加速度相同
B．初速度相同
C．最高点的速度相同
D．在空中的时间相同
A [不计空气阻力，则喷泉喷出的水在空中只受重力，加速度均为重力加速度，故A正确；设喷泉喷出的水竖直方向的分速度为vy，水平方向的分速度为vx，在竖直方向，根据对称性可知喷泉在空中运动的时间t＝2，可知tb＞ta，D错误；最高点的速度等于水平方向的分速度vx＝，由于水平方向的位移大小关系未知，故无法判断最高点的速度大小关系，根据速度的合成可知无法判断初速度的大小，B、C错误。故选A。]
6．将一小球水平抛出，使用频闪仪和照相机对运动的小球进行拍摄，频闪仪每隔0.05 s发出一次闪光。某次拍摄时，小球在抛出瞬间频闪仪恰好闪光，拍摄的照片编辑后如图所示。图中的第一个小球为抛出瞬间的影像，每相邻两个球之间被删去了3个影像，所标出的两个线段的长度s1和s2之比为3∶7。重力加速度大小取g＝10 m/s2，忽略空气阻力。求在抛出瞬间小球速度的大小。
[解析] 设s1对应的水平位移为x，对应的竖直位移为y，则根据平抛运动的特点可知，s2对应的水平位移也为x，对应的竖直位移为3y
有y＝g(4T)2＝0.2 m
s1＝，s2＝＝，解得x＝ m
抛出瞬间小球的速度大小为v0＝
解得v0＝ m/s。
[答案] m/s
课时分层作业(九) 抛体运动
1．(2024·湖北卷)如图所示，有五片荷叶伸出荷塘水面，一只青蛙要从高处荷叶跳到低处荷叶上。设低处荷叶a、b、c、d和青蛙在同一竖直平面内，a、b高度相同，c、d高度相同，a、b分别在c、d正上方。将青蛙的跳跃视为平抛运动，若以最小的初速度完成跳跃，则它应跳到( )
A．荷叶a B．荷叶b
C．荷叶c D．荷叶d
C [青蛙做平抛运动，水平方向为匀速直线运动，竖直方向为自由落体运动，则有x＝vt，h＝gt2，可得v＝x，因此水平位移越小、竖直高度越大，因此应跳到荷叶c上面。故选C。]
2．一同学将铅球水平推出，不计空气阻力和转动的影响，铅球在平抛运动过程中( )
A．机械能一直增加
B．加速度保持不变
C．速度大小保持不变
D．被推出后瞬间动能最大
B [把铅球水平推出，不计空气阻力和转动的影响，运动过程中只有重力做功，故机械能守恒，A错误；平抛运动水平方向为匀速直线运动，竖直方向为自由落体运动，加速度为重力加速度g，保持不变，B正确；竖直方向速度随时间增加而增大，有vy＝gt，v合＝，所以速度一直增大，C错误；由上述分析可知，速度增大，动能也一直增加，所以推出瞬间动能最小，D错误。]
3．如图(a)，我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图(b)所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O，且轨迹交于P点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为v1和v2，其中v1方向水平，v2方向斜向上。忽略空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列说法正确的是( )
A．谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度
B．谷粒2在最高点的速度小于v1
C．两谷粒从点O到点P的运动时间相等
D．两谷粒从点O到点P的平均速度相等
B [忽略空气阻力，抛出后的谷粒1和谷粒2都只受重力作用，所以两谷粒的加速度相同，都是重力加速度g，A错误；从O到P的过程中，两谷粒水平位移相同，根据竖直方向的分运动可知，谷粒2从O到P运动的时间长，故t1v2x，故谷粒2在最高点的速度(水平分速度v2x)小于v1，B正确；两谷粒从O到P位移相同，时间不同，平均速度不同，D错误。]
4．如图所示，一小球从O点水平抛出后的轨迹途经A、B两点，已知小球经过A点时的速度大小为13 m/s，从O到A的时间和从A到B的时间都等于0.5 s，取重力加速度大小g＝10 m/s2，不计空气阻力，下列说法正确的是( )
A．小球做平抛运动的初速度大小为10 m/s
B．O、A两点间的距离为5 m
C．A、B两点间的距离为10 m
D．O、B两点间的距离为13 m
D [由题意知下落到A点竖直方向的速度为vyA＝gt＝5 m/s，所以小球做平抛运动的初速度大小为v0＝＝12 m/s，故A错误；O、A两点间的竖直高度为yA＝gt2＝1.25 m，水平位移为xA＝v0t＝6 m，所以O、A两点间的距离为sA＝ m≈6.13 m，故B错误；O、B两点间的竖直高度为yB＝g×22t2＝5 m，水平位移为xB＝v0×2t＝12 m，所以O、B两点间的距离为sB＝ m＝13 m，故D正确；由以上分析知A、B两点间的竖直高度为h1＝yB－yA＝3.75 m，A、B两点间的水平位移为x1＝6 m，A、B两点间的距离为s1＝ m≈7.08 m，故C错误。故选D。]
5．(2025·广东揭阳测试)如图所示，在P点正对竖直墙面抛出一个板球，要使板球垂直打在竖直墙面上，不计空气阻力，球抛出的初速度大小v、初速度与水平方向的夹角θ的关系正确的是( )
A．v与sin θ成反比 B．v与tan θ成正比
C．v2与sin 2θ成反比 D．v2与cos 2θ成正比
C [设P点到墙壁的距离为d，将运动分解为水平方向和竖直方向，板球在水平方向做匀速直线运动，有d＝vt cos θ，板球在竖直方向上做竖直上抛运动，有v sin θ＝gt，两式联立消去时间得d＝＝，因此v2与sin 2θ成反比，C正确。]
6．一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示，发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射相同的乒乓球。乒乓球1落到球网右侧台面边缘上的中点，乒乓球2落到球网右侧台面边缘上靠近中点的某点。不计空气阻力。则( )
A．自发射到落台，乒乓球1的飞行时间大于乒乓球2的飞行时间
B．乒乓球1的发射速度大于乒乓球2的发射速度
C．落台时，乒乓球1的速度大于乒乓球2的速度
D．落台时，乒乓球1与乒乓球2重力做功的功率相等
D [根据t＝，两球自发射到落台的竖直高度相同，可知乒乓球1的飞行时间等于乒乓球2的飞行时间，选项A错误；根据v0＝，乒乓球1的水平位移较小，则乒乓球1的发射速度小于乒乓球2的发射速度，选项B错误；落台时，球的速度v＝，可知乒乓球1的速度小于乒乓球2的速度，选项C错误；根据PG＝mgvy＝mg2t，可知落台时乒乓球1与乒乓球2重力做功的功率相等，选项D正确。故选D。]
7．(2025·广东云浮检测)如图所示为四分之一圆柱体OAB的竖直截面，半径为R，在B点上方的C点水平抛出一个小球，小球轨迹恰好在D点与圆柱体相切，OD与OB的夹角为60°，则C点到B点的距离为( )
A．R B．
C． D．
D [设小球平抛运动的初速度为v0，由题意知小球通过D点时的速度与圆柱体相切，则有＝tan 60°，即＝；小球平抛运动的水平位移x＝R sin 60°＝v0t，联立解得＝＝，设平抛运动的竖直位移为y，则＝2gy，解得y＝，则CB＝y－R(1－cos 60°)＝，故D正确，A、B、C错误。]
8．如图所示，斜面的高与底边长之比为1∶2，一小球从斜面顶端平抛，改变小球的初速度，小球落在斜面的位置不同，关于小球落到斜面上时的末速度，下列说法正确的是( )
A．与水平方向夹角的正切值为0.5
B．方向各不相同
C．大小与初速度成正比
D．大小与初速度的平方成正比
C [由几何关系可知，斜面的倾角的正切tan θ＝，小球做平抛运动，水平方向有x＝v0t，竖直方向有y＝gt2，小球落在斜面上，可知tan θ＝＝，解得运动时间t＝＝，末速度与水平方向夹角的正切值tan α＝＝＝1，可知末速度方向与初速度无关，末速度方向始终相同，故A、B错误；末速度的大小v＝＝v0，可见末速度的大小与初速度成正比，故C正确，D错误。]
9．(多选)如图所示，某同学将离地1.25 m的网球以13 m/s的速度斜向上击出，击球点到竖直墙壁的距离4.8 m。当网球竖直分速度为0时，击中墙壁上离地高度为8.45 m的P点。网球与墙壁碰撞后，垂直墙面速度分量大小变为碰前的0.75倍。平行墙面的速度分量不变。重力加速度g取10 m/s2，网球碰墙后的速度大小v和着地点到墙壁的距离d分别为( )
A．v＝5 m/s B．v＝3 m/s
C．d＝3.6 m D．d＝3.9 m
BD [建立如图所示的三维坐标系，网球在竖直方向做竖直上抛运动，上升的最大高度h1＝(8.45－1.25)m＝7.20 m，所以在击球点竖直方向的分速度v0z＝＝12 m/s，上升时间t1＝＝1.2 s，则v0y＝ m/s＝4 m/s，故沿x方向的分速度v0x＝＝3 m/s，到达最高点P与墙壁碰撞后，沿x方向的分速度v0x＝3 m/s，沿y方向的分速度大小变为v′0y＝4×0.75 m/s＝3 m/s，所以网球碰墙后的速度大小为v＝＝3 m/s, 所以B项正确，A项错误；下落的时间t2＝ s＝1.3 s，网球着地点到墙壁的距离d＝v′0yt2＝3.9 m，所以D项正确，C项错误。
]
10．如图所示，可视为质点的小球从倾角为α＝30°的斜面顶端O点以速度v0飞出，已知v0＝20 m/s，且与斜面夹角为θ＝60°。图中虚线为小球在空中的运动轨迹，且A为轨迹上离斜面最远的点，B为小球在斜面上的落点，C是过A点作出的竖直线与斜面的交点，不计空气阻力，重力加速度取g＝10 m/s2。求：
(1)小球从O点运动到A点所用的时间t；
(2)小球离斜面最远的距离L；
(3)O、C两点间的距离x。
[解析] (1)将速度进行分解，如图所示。
垂直斜面方向有v1＝v0sin θ，a1＝g cos α，t＝
得t＝2 s。
(2)垂直斜面方向v1匀减速至0时有L＝
代入数据得L＝10 m。
(3)解法一：由垂直斜面方向运动的对称性可得小球从O到A与A到B所用时间相等
平行斜面方向有v2＝v0cos θ，a2＝g sin α，xOB＝v2·2t＋a2(2t)2
小球在水平方向做匀速直线运动，C为OB的中点，则x＝xOB
代入数据解得x＝40 m。
解法二：小球在水平方向做匀速直线运动，设O到AC的水平距离为x′，则x′＝v0cos (θ－α)t
由几何关系可得x＝
解得x＝40 m。
[答案] (1)2 s (2)10 m (3)40 m
11．抛体运动在各类体育运动项目中很常见，如乒乓球运动。现讨论乒乓球发球问题，设球台长2L、网高h，乒乓球反弹前后的水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反，且不考虑乒乓球的旋转和空气阻力。(设重力加速度为g)
(1)若球在球台边缘O点正上方高度h1处以速度v1水平发出，落在球台上的P1点(如图中实线所示)，求P1点距O点的距离x1；
(2)若球从O点正上方某高度处以速度v2水平发出，恰好在最高点时越过球网落在球台上的P2点(轨迹如图中虚线所示)，求v2的大小；
(3)若球从O点正上方水平发出后，球经反弹恰好越过球网且刚好落在对方球台边缘P3点，求发球点距O点的高度h3。
[解析] (1)根据平抛运动规律得
h1＝，x1＝v1t1
联立解得x1＝v1。
(2)根据平抛运动规律得h2＝，x2＝v2t2
且h2＝h，2x2＝L
联立解得v2＝。
(3)球的运动轨迹如图所示，得
h3＝
x3＝v3t3
且3x3＝2L
设球从恰好越过球网到达到最高点所用的时间为t，水平距离为s，则有h3－h＝gt2
s＝v3t
由几何关系得x3＋s＝L
解得h3＝h。
[答案] (1)v1 (2) (3)h
12．(2025·广东广州二模)如图所示，运动员起跳补篮，篮球恰好垂直击中篮板“打板区”方框的上沿线中点，反弹落入篮圈，球心下降到篮圈所在平面时，球未与篮圈接触。已知篮球出手时球心离地的高度h1＝2.25 m、与篮板的水平距离L1＝1.17 m，篮圈离地的高度h2＝3.05 m，“打板区”方框的上沿线中点离篮圈的高度h3＝0.45 m，篮圈的直径d1＝0.45 m，篮板与篮圈的最小距离L2＝0.15 m；若篮球的直径d2＝0.24 m、质量m＝0.5 kg，不考虑空气作用力和篮球的转动。重力加速度g取10 m/s2，求：
(1)篮球击中篮板时的速度大小；
(2)篮球打板损失机械能的最小值。
[解析] (1)起跳补篮，篮球恰好垂直击中篮板“打板区”方框的上沿线中点，其逆过程可以看作是平抛运动，则有h3＋h2－h1＝，L1－＝v0t1，代入数据得v0＝2.1 m/s。
(2)反弹后做平抛运动，则反弹速度最大时机械能损失最少，则有h3＝，L2＋d1－d2＝vmt2，解得vm＝1.2 m/s，篮球打板损失的机械能ΔE＝＝0.742 5 J。
[答案] (1)2.1 m/s (2)0.742 5 J
26 / 26课时分层作业(九) 抛体运动
说明：单选题每小题4分，多选题每小题6分；本试卷共81分)
1．(2024·湖北卷)如图所示，有五片荷叶伸出荷塘水面，一只青蛙要从高处荷叶跳到低处荷叶上。设低处荷叶a、b、c、d和青蛙在同一竖直平面内，a、b高度相同，c、d高度相同，a、b分别在c、d正上方。将青蛙的跳跃视为平抛运动，若以最小的初速度完成跳跃，则它应跳到( )
A．荷叶a B．荷叶b
C．荷叶c D．荷叶d
2．一同学将铅球水平推出，不计空气阻力和转动的影响，铅球在平抛运动过程中( )
A．机械能一直增加
B．加速度保持不变
C．速度大小保持不变
D．被推出后瞬间动能最大
3．如图(a)，我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图(b)所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O，且轨迹交于P点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为v1和v2，其中v1方向水平，v2方向斜向上。忽略空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列说法正确的是( )
A．谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度
B．谷粒2在最高点的速度小于v1
C．两谷粒从点O到点P的运动时间相等
D．两谷粒从点O到点P的平均速度相等
4．如图所示，一小球从O点水平抛出后的轨迹途经A、B两点，已知小球经过A点时的速度大小为13 m/s，从O到A的时间和从A到B的时间都等于0.5 s，取重力加速度大小g＝10 m/s2，不计空气阻力，下列说法正确的是( )
A．小球做平抛运动的初速度大小为10 m/s
B．O、A两点间的距离为5 m
C．A、B两点间的距离为10 m
D．O、B两点间的距离为13 m
5．(2025·广东揭阳测试)如图所示，在P点正对竖直墙面抛出一个板球，要使板球垂直打在竖直墙面上，不计空气阻力，球抛出的初速度大小v、初速度与水平方向的夹角θ的关系正确的是( )
A．v与sin θ成反比 B．v与tan θ成正比
C．v2与sin 2θ成反比 D．v2与cos 2θ成正比
6．一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示，发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射相同的乒乓球。乒乓球1落到球网右侧台面边缘上的中点，乒乓球2落到球网右侧台面边缘上靠近中点的某点。不计空气阻力。则( )
A．自发射到落台，乒乓球1的飞行时间大于乒乓球2的飞行时间
B．乒乓球1的发射速度大于乒乓球2的发射速度
C．落台时，乒乓球1的速度大于乒乓球2的速度
D．落台时，乒乓球1与乒乓球2重力做功的功率相等
7．(2025·广东云浮检测)如图所示为四分之一圆柱体OAB的竖直截面，半径为R，在B点上方的C点水平抛出一个小球，小球轨迹恰好在D点与圆柱体相切，OD与OB的夹角为60°，则C点到B点的距离为( )
A．R B．
C． D．
8．如图所示，斜面的高与底边长之比为1∶2，一小球从斜面顶端平抛，改变小球的初速度，小球落在斜面的位置不同，关于小球落到斜面上时的末速度，下列说法正确的是( )
A．与水平方向夹角的正切值为0.5
B．方向各不相同
C．大小与初速度成正比
D．大小与初速度的平方成正比
9．(多选)如图所示，某同学将离地1.25 m的网球以13 m/s的速度斜向上击出，击球点到竖直墙壁的距离4.8 m。当网球竖直分速度为0时，击中墙壁上离地高度为8.45 m的P点。网球与墙壁碰撞后，垂直墙面速度分量大小变为碰前的0.75倍。平行墙面的速度分量不变。重力加速度g取10 m/s2，网球碰墙后的速度大小v和着地点到墙壁的距离d分别为( )
A．v＝5 m/s B．v＝3 m/s
C．d＝3.6 m D．d＝3.9 m
10．如图所示，可视为质点的小球从倾角为α＝30°的斜面顶端O点以速度v0飞出，已知v0＝20 m/s，且与斜面夹角为θ＝60°。图中虚线为小球在空中的运动轨迹，且A为轨迹上离斜面最远的点，B为小球在斜面上的落点，C是过A点作出的竖直线与斜面的交点，不计空气阻力，重力加速度取g＝10 m/s2。求：
(1)小球从O点运动到A点所用的时间t；
(2)小球离斜面最远的距离L；
(3)O、C两点间的距离x。
11．抛体运动在各类体育运动项目中很常见，如乒乓球运动。现讨论乒乓球发球问题，设球台长2L、网高h，乒乓球反弹前后的水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反，且不考虑乒乓球的旋转和空气阻力。(设重力加速度为g)
(1)若球在球台边缘O点正上方高度h1处以速度v1水平发出，落在球台上的P1点(如图中实线所示)，求P1点距O点的距离x1；
(2)若球从O点正上方某高度处以速度v2水平发出，恰好在最高点时越过球网落在球台上的P2点(轨迹如图中虚线所示)，求v2的大小；
(3)若球从O点正上方水平发出后，球经反弹恰好越过球网且刚好落在对方球台边缘P3点，求发球点距O点的高度h3。
1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 ＋0.5
12．(2025·广东广州二模)如图所示，运动员起跳补篮，篮球恰好垂直击中篮板“打板区”方框的上沿线中点，反弹落入篮圈，球心下降到篮圈所在平面时，球未与篮圈接触。已知篮球出手时球心离地的高度h1＝2.25 m、与篮板的水平距离L1＝1.17 m，篮圈离地的高度h2＝3.05 m，“打板区”方框的上沿线中点离篮圈的高度h3＝0.45 m，篮圈的直径d1＝0.45 m，篮板与篮圈的最小距离L2＝0.15 m；若篮球的直径d2＝0.24 m、质量m＝0.5 kg，不考虑空气作用力和篮球的转动。重力加速度g取10 m/s2，求：
(1)篮球击中篮板时的速度大小；
(2)篮球打板损失机械能的最小值。
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