圆周运动
1．匀速圆周运动
(1)定义：做圆周运动的物体，线速度的大小处处相等，这种运动就是匀速圆周运动。
(2)特点：加速度大小不变，方向始终指向________，是变加速运动。
(3)条件：合外力大小不变、方向始终与______方向垂直且指向圆心。
2．描述圆周运动的物理量
(1)线速度
①方向：沿圆周的切线方向。
②公式：v＝＝________。
(2)角速度
①物理意义：描述物体绕圆心转动的快慢。
②公式：ω＝＝________。
(3)周期
①定义：物体做匀速圆周运动一周所用的时间。
②公式：T＝＝________。
(4)转速
①定义：单位时间内物体转动的圈数。
②公式：n＝。
(5)向心加速度
①方向：始终指向圆心。
②公式：an＝＝________＝________＝ωv。
3．向心力
(1)作用效果：向心力产生向心加速度，只改变速度的________，不改变速度的________。
(2)大小：Fn＝________＝mω2r＝________＝mωv＝4π2mf2r。
(3)方向：始终沿半径方向指向________，时刻在改变，即向心力是一个变力。
(4)来源：向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的________提供，还可以由一个力的________提供。
4．离心运动
(1)离心运动：做圆周运动的物体，在所受合力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做____________圆心的运动。
(2)受力特点
①当F＝0时，物体沿________方向飞出。
②当0③当F>mω2r时，物体逐渐向圆心靠近，做________运动。
(3)本质：离心运动的本质并不是受到离心力的作用，而是合力不足以提供所需要的向心力。
1．易错易混辨析
(1)匀速圆周运动是匀变速曲线运动。 ( )
(2)物体做匀速圆周运动时，其角速度大小是不变的。 ( )
(3)物体做匀速圆周运动时，其合外力是不变的。 ( )
(4)匀速圆周运动的向心加速度与半径成反比。 ( )
(5)向心力可以是物体受到的某一个力，也可以是物体受到的合力。 ( )
(6)变速圆周运动的向心力不指向圆心。 ( )
(7)做匀速圆周运动的物体，当所受合外力突然减小时，物体将沿切线方向飞出。 ( )
2．人教版必修第二册第37页：“思考与讨论”想一想：
如果把地球看成一个巨大的拱形桥，行驶的汽车对地面的压力还等于汽车的重力吗？
3．(人教版必修第二册改编)如图所示，小物体A与水平圆盘保持相对静止，跟着圆盘一起做匀速圆周运动，则A受力情况是( )
A．重力、支持力
B．重力、向心力
C．重力、支持力、指向圆心的摩擦力
D．重力、支持力、向心力、摩擦力
4．(人教版必修第二册改编)(多选)如图所示，长为L的细绳一端连接一质量为m小球，另一端固定在O点，绳的最大承受能力为11mg，在O点正下方O′点有一小钉，先把绳拉至水平再释放小球，为使绳不被拉断且小球能以O′为轴在竖直面内完成完整的圆周运动，则钉的位置到O点的距离为( )
A．最小为L B．最小为L
C．最大为L D．最大为L
描述圆周运动的物理量
1．圆周运动各物理量间的关系
2．常见的三种传动方式及特点
类型 模型 模型解读
皮带传动 皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB
摩擦(或齿轮)传动 两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB
同轴传动 绕同一转轴转动的物体，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr知v与r成正比
圆周运动的描述
[典例1] (2024·广东湛江一模)在我国汉代，劳动人民就已经发明了辘轳，如图所示，可转动的把手边缘上a点到转轴的距离为4R，辘轳边缘上b点到转轴的距离为R，忽略空气阻力。在水桶离开水面后加速上升的过程中，下列说法正确的是( )
A．a点与b点的角速度之比为4∶1
B．a点的线速度大小与水桶上升的速度大小之比为1∶4
C．a点与b点的向心加速度大小之比为4∶1
D．绳的拉力对水桶(含桶内的水)的冲量大小等于重力对水桶(含桶内的水)的冲量大小
[听课记录]
水平面内的圆周运动
1．向心力的确定
(1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置。
(2)分析物体的受力情况，沿半径方向指向圆心的合力就是向心力。
2．常见模型
运动模型 ①飞机水平转弯 ②火车转弯 ③圆锥摆
向心力的来源图示
运动模型 ④飞车走壁 ⑤汽车在水平路面转弯 ⑥光滑水平转台
向心力的来源图示
[典例2] (一题多变)(多选)如图所示，长为L的细绳一端固定，另一端系一质量为m的小球。给小球一个合适的初速度，小球便可在水平面内做匀速圆周运动，这样就构成了一个圆锥摆，设细绳与竖直方向的夹角为θ。下列说法中正确的是( )
A．小球受重力、绳的拉力和向心力作用
B．小球只受重力和绳的拉力作用
C．θ越大，小球运动的速率越大
D．θ越大，小球运动的周期越大
[听课记录]
[变式1] 将典例2中悬点换成光滑小圆环(多选)天花板下悬挂的轻质光滑小圆环P可绕过悬挂点的竖直轴无摩擦地旋转。一根轻绳穿过P，两端分别连接质量为m1和m2的小球A、B(m1≠m2)。设两球同时做如图所示的圆锥摆运动，且在任意时刻两球均在同一水平面内，则( )
A．两球运动的周期相等
B．两球的向心加速度大小相等
C．球A、B到P的距离之比等于m2∶m1
D．球A、B到P的距离之比等于m1∶m2
[变式2] 将典例2中模型换成绳长不同的两个小球
如图所示，A、B两个小球转动的角速度、线速度、向心加速度及运动周期之比是多少？
求解水平面内圆周运动的思路
竖直面内的圆周运动
1．竖直面内圆周运动的两类模型
一是无支撑(如球与绳连接、沿内轨道运动的过山车等)，称为“绳(环)约束模型”，二是有支撑(如球与杆连接、在弯管内的运动等)，称为“杆(管)约束模型”。
2．竖直面内圆周运动的两种模型特点及求解方法
模型 “轻绳”模型 “轻杆”模型
图示
弹力特征 物体受到的弹力方向为向下或等于零 物体受到的弹力方向为向下、等于零或向上
受力示意图
力学方程 mg＋FN＝m mg±FN＝m
临界特征 FN＝0即mg＝得＝ v＝0即F向＝0此时FN＝mg
过最高点的条件 在最高点的速度v≥ 在最高点的速度v≥0
“轻绳”模型
[典例3] 如图所示，长均为L的两根轻绳，一端共同系住质量为m的小球，另一端分别固定在等高的A、B两点，A、B两点间的距离也为L。重力加速度大小为g。现使小球在竖直平面内以AB为轴做圆周运动，当小球在最高点速率为v时，两根轻绳的拉力恰好均为零，则小球在最高点速率为2v时，每根轻绳的拉力大小为( )
A．mg B．mg
C．3mg D．2mg
[听课记录]
“ 轻杆” 模型
[典例4] (多选)(2025·广东惠州高三月考)如图所示，长为 0.3 m 的轻杆一端固定质量为m的小球(可视为质点)，另一端与水平转轴O连接。现使小球在竖直面内绕O点做匀速圆周运动，轻杆对小球的最大作用力为mg，已知转动过程中轻杆不变形，重力加速度g取10 m/s2。下列说法正确的是( )
A．小球转动的角速度为5 rad/s
B．小球通过最高点时对杆的作用力为零
C．小球通过与圆心等高的点时对杆的作用力大小为mg
D．小球在运动的过程中，杆对球的作用力不一定总是沿杆方向
[听课记录]
1．(2024·广东广州二模)如图所示为风杯式风速传感器，其感应部分由三个相同的半球形空杯组成，称为风杯。三个风杯对称地位于水平面内互成120°的三叉型支架末端，与中间竖直轴的距离相等。开始刮风时，空气流动产生的风力推动静止的风杯开始绕竖直轴在水平面内转动，风速越大，风杯转动越快。若风速保持不变，三个风杯最终会匀速转动，根据风杯的转速，就可以确定风速，则( )
A．若风速不变，三个风杯最终加速度为零
B．任意时刻，三个风杯转动的速度都相同
C．开始刮风时，风杯加速转动，其所受合力不指向旋转轴
D．风杯匀速转动时，其转动周期越大，测得的风速越大
2．(2021·广东卷)由于高度限制，车库出入口采用如图所示的曲杆道闸，道闸由转动杆OP与横杆PQ链接而成，P、Q为横杆的两个端点。在道闸抬起过程中，杆PQ始终保持水平。杆OP绕O点从与水平方向成30°匀速转动到60°的过程中，下列说法正确的是( )
A．P点的线速度大小不变
B．P点的加速度方向不变
C．Q点在竖直方向做匀速运动
D．Q点在水平方向做匀速运动
3．(2024·广东广州二模)如图所示，一辆汽车以恒定速率通过圆弧拱桥，N为桥面最高处，则汽车( )
A．在N处所受支持力大小大于其重力
B．在N处所受支持力大小等于其重力
C．从M到N过程所受支持力逐渐增大
D．从M到N过程所受支持力逐渐减小
4．(多选)如图所示，水平转盘可绕竖直中心轴转动，盘上叠放着质量均为1 kg的A、B两个物块，B物块用长为0.25 m的细线与固定在转盘中心处的力传感器相连，两个物块和力传感器的大小均可不计。细线能承受的最大拉力为8 N，A、B间的动摩擦因数为0.4，B与转盘间的动摩擦因数为0.1，且可认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力。转盘静止时，细线刚好伸直，传感器的读数为零。当转盘以不同的角速度匀速转动时，传感器上就会显示相应的读数F。g取10 m/s2。以下说法中正确的是( )
A．当转盘的角速度ω＝2 rad/s时，A、B间的静摩擦力达到最大值
B．当转盘的角速度在0<ω<2 rad/s范围内时，细线中的拉力随ω的增大而增大
C．当细线中的拉力F＝6 N时，A与B即将相对滑动
D．当转盘的角速度ω＝6 rad/s时，细线中的拉力达到最大值
5．(2024·广东深圳月考)如图所示是马戏团中上演的飞车节目，在竖直平面内有半径为R的圆轨道。表演者骑着摩托车在圆轨道内做圆周运动。已知人和摩托车的总质量为m，重力加速度为g，人以v1＝的速度通过轨道最高点B，并以v2＝v1的速度通过最低点A。则在A、B两点轨道对摩托车的压力大小相差( )
A．3mg B．4mg
C．5mg D．6mg
6．一种离心测速器的简化工作原理如图所示。细杆的一端固定在竖直转轴OO′上的O点，并可随轴一起转动。杆上套有一轻质弹簧，弹簧一端固定于O点，另一端与套在杆上的圆环相连。当测速器稳定工作时，圆环将相对细杆静止，通过圆环的位置可以确定细杆匀速转动的角速度。已知细杆长度L＝0.2 m，杆与竖直转轴的夹角α始终为60°，弹簧原长x0＝0.1 m，弹簧劲度系数k＝100 N/m，圆环质量m＝1 kg；弹簧始终在弹性限度内，重力加速度大小取10 m/s2，摩擦力可忽略不计。
(1)若细杆和圆环处于静止状态，求圆环到O点的距离；
(2)求弹簧处于原长时，细杆匀速转动的角速度大小；
(3)求圆环处于细杆末端P时，细杆匀速转动的角速度大小。
1 / 12 圆周运动
1．匀速圆周运动
(1)定义：做圆周运动的物体，线速度的大小处处相等，这种运动就是匀速圆周运动。
(2)特点：加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变加速运动。
(3)条件：合外力大小不变、方向始终与速度方向垂直且指向圆心。
2．描述圆周运动的物理量
(1)线速度
①方向：沿圆周的切线方向。
②公式：v＝＝。
(2)角速度
①物理意义：描述物体绕圆心转动的快慢。
②公式：ω＝＝。
(3)周期
①定义：物体做匀速圆周运动一周所用的时间。
②公式：T＝＝。
(4)转速
①定义：单位时间内物体转动的圈数。
②公式：n＝。
(5)向心加速度
①方向：始终指向圆心。
②公式：an＝＝ω2r＝r＝ωv。
3．向心力
(1)作用效果：向心力产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小。
(2)大小：Fn＝m＝mω2r＝mr＝mωv＝4π2mf2r。
(3)方向：始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力。
(4)来源：向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供，还可以由一个力的分力提供。
4．离心运动
(1)离心运动：做圆周运动的物体，在所受合力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动。
(2)受力特点
①当F＝0时，物体沿切线方向飞出。
②当0③当F>mω2r时，物体逐渐向圆心靠近，做近心运动。
(3)本质：离心运动的本质并不是受到离心力的作用，而是合力不足以提供所需要的向心力。
1．易错易混辨析
(1)匀速圆周运动是匀变速曲线运动。 (×)
(2)物体做匀速圆周运动时，其角速度大小是不变的。 (√)
(3)物体做匀速圆周运动时，其合外力是不变的。 (×)
(4)匀速圆周运动的向心加速度与半径成反比。 (×)
(5)向心力可以是物体受到的某一个力，也可以是物体受到的合力。 (√)
(6)变速圆周运动的向心力不指向圆心。 (×)
(7)做匀速圆周运动的物体，当所受合外力突然减小时，物体将沿切线方向飞出。 (×)
2．人教版教材必修第二册第37页：“思考与讨论”想
一想：如果把地球看成一个巨大的拱形桥，行驶的汽车对地面的压力还等于汽车的重力吗？
提示：行驶的汽车对地面的压力小于汽车的重力，且汽车速度越大对地面的压力越小。
3．(人教版必修第二册改编)如图所示，小物体A与水平圆盘保持相对静止，跟着圆盘一起做匀速圆周运动，则A受力情况是( )
A．重力、支持力
B．重力、向心力
C．重力、支持力、指向圆心的摩擦力
D．重力、支持力、向心力、摩擦力
C [物体在水平圆盘上，一定受到重力和支持力作用，物体在转动过程中，有背离圆心的运动趋势，因此受到指向圆心的摩擦力，且摩擦力提供向心力，故C正确。]
4．(人教版必修第二册改编)(多选)如图所示，长为L的细绳一端连接一质量为m小球，另一端固定在O点，绳的最大承受能力为11mg，在O点正下方O′点有一小钉，先把绳拉至水平再释放小球，为使绳不被拉断且小球能以O′为轴在竖直面内完成完整的圆周运动，则钉的位置到O点的距离为( )
A．最小为L B．最小为L
C．最大为L D．最大为L
BC [当小球恰好到达圆周运动的最高点时小球的转动半径为r，重力提供向心力，则有mg＝m，根据机械能守恒定律可知，mg(L－2r)＝mv2，联立解得r＝L，故钉的位置到O点的距离为L－L＝L；当小球转动时，恰好达到绳子的最大拉力时，即F＝11mg，此时一定处在最低点，设半径为R，则有11mg－mg＝，根据机械能守恒定律可知，mgL＝，联立解得R＝L，故此时钉的位置到O点的距离为L，则可知距离最小为L，距离最大为L，故B、C正确，A、D错误。]
描述圆周运动的物理量
1．圆周运动各物理量间的关系
2．常见的三种传动方式及特点
类型 模型 模型解读
皮带传动 皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB
摩擦(或齿轮)传动 两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB
同轴传动 绕同一转轴转动的物体，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr知v与r成正比
圆周运动的描述
[典例1] (2024·广东湛江一模)在我国汉代，劳动人民就已经发明了辘轳，如图所示，可转动的把手边缘上a点到转轴的距离为4R，辘轳边缘上b点到转轴的距离为R，忽略空气阻力。在水桶离开水面后加速上升的过程中，下列说法正确的是( )
A．a点与b点的角速度之比为4∶1
B．a点的线速度大小与水桶上升的速度大小之比为1∶4
C．a点与b点的向心加速度大小之比为4∶1
D．绳的拉力对水桶(含桶内的水)的冲量大小等于重力对水桶(含桶内的水)的冲量大小
C [把手边缘上a点与辘轳边缘上b点属于共轴转动，所以角速度相同，故A错误；根据角速度与线速度的关系，可得水桶上升的速度大小为v＝ωR，把手边缘上a点的线速度大小为v1＝4ωR，所以把手边缘上a点的线速度大小与水桶上升的速度大小之比为4∶1，故B错误；由公式a＝ω2r可知，把手边缘上a点与辘轳边缘上b点的向心加速度大小之比为4∶1，故C正确；对水桶分析，根据动量定理有I拉－I重＝Δp，可知拉力对水桶(含桶内的水)的冲量大小等于重力对水桶(含桶内的水)的冲量大小与水桶(含桶内的水)动量的变化量大小之和，故D错误。故选C。]
【典例1 教用·备选题】(2025·广东潮州测试)如图所示为一种修正带，其核心结构包括大小两个齿轮、压嘴座等部件，大小两个齿轮分别嵌合于大小轴孔中，并且齿轮相互吻合良好。a、b点分别位于大、小齿轮的边缘且Ra∶Rb＝3∶2，c点位于大齿轮的半径中点。当纸带以速度v匀速走动时，b、c点的向心加速度之比是( )
A．1∶3 B．2∶3 C．3∶1 D．3∶2
C [a、b属于齿轮传动，线速度相等，即va＝vb，因为Ra∶Rb＝3∶2，由v＝ωR可知＝＝，又因为a、c属于同轴传动，它们具有共同的角速度，故ωa＝ωc，当纸带以速度v匀速走动时，b、c点的向心加速度之比＝＝2×＝3∶1。故选C。]
水平面内的圆周运动
1．向心力的确定
(1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置。
(2)分析物体的受力情况，沿半径方向指向圆心的合力就是向心力。
2．常见模型
运动模型 ①飞机水平转弯 ②火车转弯 ③圆锥摆
向心力的来源图示
运动模型 ④飞车走壁 ⑤汽车在水平路面转弯 ⑥光滑水平转台
向心力的来源图示
[典例2] (一题多变)(多选)如图所示，长为L的细绳一端固定，另一端系一质量为m的小球。给小球一个合适的初速度，小球便可在水平面内做匀速圆周运动，这样就构成了一个圆锥摆，设细绳与竖直方向的夹角为θ。下列说法中正确的是( )
A．小球受重力、绳的拉力和向心力作用
B．小球只受重力和绳的拉力作用
C．θ越大，小球运动的速率越大
D．θ越大，小球运动的周期越大
BC [小球受重力、绳的拉力作用，二者的合力提供向心力，由牛顿第二定律可得F cos θ＝mg，F sin θ＝m，T＝，可求得v＝，T＝2π ，可见θ越大，v越大，T越小，综上所述，可知选项B、C正确，A、D错误。]
[变式1] 将典例2中悬点换成光滑小圆环(多选)天花板下悬挂的轻质光滑小圆环P可绕过悬挂点的竖直轴无摩擦地旋转。一根轻绳穿过P，两端分别连接质量为m1和m2的小球A、B(m1≠m2)。设两球同时做如图所示的圆锥摆运动，且在任意时刻两球均在同一水平面内，则( )
A．两球运动的周期相等
B．两球的向心加速度大小相等
C．球A、B到P的距离之比等于m2∶m1
D．球A、B到P的距离之比等于m1∶m2
AC [对其中一个小球受力分析，其受到重力和绳的拉力FT，绳的拉力在竖直方向的分力与重力平衡，设轻绳与竖直方向的夹角为θ，则有FTcos θ＝mg，拉力在水平方向上的分力提供向心力，设该小球到P的距离为l，则有FTsin θ＝mg tan θ＝m·l sin θ，解得周期为T＝2π ＝2π ，因为任意时刻两球均在同一水平面内，故两球运动的周期相等，选项A正确；连接两球的绳的张力FT相等，由于向心力为Fn＝FTsin θ＝mω2l sin θ，故m与l成反比，由m1≠m2，可得，又小球的向心加速度an＝ω2l sin θ＝·l sin θ，故向心加速度大小不相等，选项C正确，B、D错误。]
[变式2] 将典例2中模型换成绳长不同的两个小球如图所示，A、B两个小球转动的角速度、线速度、向心加速度及运动周期之比是多少？
[解析] 对小球受力分析如图所示
由几何关系知rA∶rB＝1∶2
由mg tan θ＝man
可得an＝g tan θ
则anA∶anB＝1∶1
由mg tan θ＝m可得
v＝
则vA∶vB＝∶＝1∶
由mg tan θ＝mω2r得
ω＝
则ωA∶ωB＝∶＝∶1
由mg tan θ＝mr可得
T＝
则TA∶TB＝∶＝1∶。
[答案] ∶1 1∶ 1∶1 1∶
求解水平面内圆周运动的思路
竖直面内的圆周运动
1．竖直面内圆周运动的两类模型
一是无支撑(如球与绳连接、沿内轨道运动的过山车等)，称为“绳(环)约束模型”，二是有支撑(如球与杆连接、在弯管内的运动等)，称为“杆(管)约束模型”。
2．竖直面内圆周运动的两种模型特点及求解方法
模型 “轻绳”模型 “轻杆”模型
图示
弹力特征 物体受到的弹力方向为向下或等于零 物体受到的弹力方向为向下、等于零或向上
受力示意图
力学方程 mg＋FN＝m mg±FN＝m
临界特征 FN＝0即mg＝得＝ v＝0即F向＝0此时FN＝mg
过最高点的条件 在最高点的速度v≥ 在最高点的速度v≥0
“轻绳”模型
[典例3] 如图所示，长均为L的两根轻绳，一端共同系住质量为m的小球，另一端分别固定在等高的A、B两点，A、B两点间的距离也为L。重力加速度大小为g。现使小球在竖直平面内以AB为轴做圆周运动，当小球在最高点速率为v时，两根轻绳的拉力恰好均为零，则小球在最高点速率为2v时，每根轻绳的拉力大小为( )
A．mg B．mg
C．3mg D．2mg
A [小球在运动过程中，A、B两点与小球所在位置构成等边三角形，由此可知，小球圆周运动的半径R＝L sin 60°＝L，两绳与小球运动半径方向间的夹角为30°，由题意，小球在最高点的速率为v时，mg＝m，当小球在最高点的速率为2v时，应有F＋mg＝m，可解得F＝3mg，由2FTcos 30°＝F，可得两绳的拉力大小均为FT＝mg，A正确。]
【典例3 教用·备选题】(多选)(2024·广东湛江二模)某马戏团上演的飞车节目如图所示，在竖直平面内有半径为R的固定圆轨道。表演者骑着摩托车在圆轨道内做圆周运动。已知人和摩托车的总质量为m，重力加速度大小为g，摩托车以的速度通过圆轨道的最高点B。关闭摩托车的动力，不计摩擦，忽略空气阻力，人和摩托车整体可视为质点，下列说法正确的是( )
A．摩托车经过B点时对轨道的压力大小为2mg
B．摩托车经过A点时的速度大小为
C．摩托车从B点到A点的过程中，重力的功率先增大后减小
D．摩托车从B点到A点的过程中，先超重后失重
BC [由题意可知，摩托车在B点时，有FB＋mg＝，解得FB＝mg，由牛顿第三定律可知，摩托车经过B点时对轨道的压力大小为mg，选项A错误；摩托车从B点到A点的过程中，由机械能守恒定律有＝，其中vB＝，解得vA＝，选项B正确；摩托车从B点到A点的过程中，竖直速度vy先增大后减小，故重力的功率P＝mgvy先增大后减小，选项C正确；摩托车从B点到A点的过程中，加速度沿竖直方向的分量先向下后向上，即先失重后超重，选项D错误。故选BC。]
“ 轻杆” 模型
[典例4] (多选)(2025·广东惠州高三月考)如图所示，长为 0.3 m 的轻杆一端固定质量为m的小球(可视为质点)，另一端与水平转轴O连接。现使小球在竖直面内绕O点做匀速圆周运动，轻杆对小球的最大作用力为mg，已知转动过程中轻杆不变形，重力加速度g取10 m/s2。下列说法正确的是( )
A．小球转动的角速度为5 rad/s
B．小球通过最高点时对杆的作用力为零
C．小球通过与圆心等高的点时对杆的作用力大小为mg
D．小球在运动的过程中，杆对球的作用力不一定总是沿杆方向
AD [小球运动到最低点时杆对小球的作用力最大，有T－mg＝mω2r，解得ω＝5 rad/s，选项A正确；小球通过最高点时有T′＋mg＝mω2r，解得T′＝－mg，可知杆对球有向上的支持力，球对杆有向下的压力，大小为mg，选项B错误； 小球通过与圆心等高点时对杆的作用力为T″＝＝mg，此时杆对球的作用力方向不是沿着杆的方向，选项C错误，D正确。]
【典例4 教用·备选题】(多选)(2024·广东阳江高三联考)如图甲所示，小球穿在竖直平面内光滑的固定圆环上，绕圆心O点做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，圆环与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F-v2图像如图乙所示，g取10 m/s2，则( )
A．小球的质量为4 kg
B．固定圆环的半径R为0.8 m
C．小球在最高点的速度为4 m/s时，小球受圆环的弹力大小为20 N，方向向上
D．若小球恰好做圆周运动，则其承受的最大弹力为100 N
BD [对小球在最高点进行受力分析，速度为0时，F－mg＝0，结合题图可知20 N－m·10 m/s2＝0，解得小球质量m＝2 kg，选项A错误；当F＝0时，由重力提供向心力可得mg＝，结合题图可知mg＝，解得固定圆环半径R为0.8 m，选项B正确；小球在最高点的速度为4 m/s时，设小球受圆环的弹力方向向下，由牛顿第二定律得F＋mg＝m，代入数据解得F＝20 N，方向竖直向下，所以选项C错误；小球经过最低点时，其受弹力最大，由牛顿第二定律得F－mg＝m，若小球恰好做圆周运动，由机械能守恒得mg·2R＝，由以上两式得F＝5mg，代入数据得F＝100 N，选项D正确。]
1．(2024·广东广州二模)如图所示为风杯式风速传感器，其感应部分由三个相同的半球形空杯组成，称为风杯。三个风杯对称地位于水平面内互成120°的三叉型支架末端，与中间竖直轴的距离相等。开始刮风时，空气流动产生的风力推动静止的风杯开始绕竖直轴在水平面内转动，风速越大，风杯转动越快。若风速保持不变，三个风杯最终会匀速转动，根据风杯的转速，就可以确定风速，则( )
A．若风速不变，三个风杯最终加速度为零
B．任意时刻，三个风杯转动的速度都相同
C．开始刮风时，风杯加速转动，其所受合力不指向旋转轴
D．风杯匀速转动时，其转动周期越大，测得的风速越大
C [若风速不变，三个风杯最终做匀速圆周运动，其所受合力不为零，根据牛顿第二定律可知，其加速度不为零，故A错误；三个风杯属于同轴转动，角速度相同，又三个风杯做圆周运动的半径相同，由v＝rω可知，任意时刻三个风杯的线速度大小相等，方向不同，即速度不同，故B错误；开始刮风时，风杯切向方向合力不为零，因此风杯所受合外力不指向旋转轴，故C正确；当风杯匀速转动时，根据v＝可知，其转动周期越大，测得的风速越小，故D错误。故选C。]
2．(2021·广东卷)由于高度限制，车库出入口采用如图所示的曲杆道闸，道闸由转动杆OP与横杆PQ链接而成，P、Q为横杆的两个端点。在道闸抬起过程中，杆PQ始终保持水平。杆OP绕O点从与水平方向成30°匀速转动到60°的过程中，下列说法正确的是( )
A．P点的线速度大小不变
B．P点的加速度方向不变
C．Q点在竖直方向做匀速运动
D．Q点在水平方向做匀速运动
A [由题知杆OP绕O点从与水平方向成30°匀速转动到60°，则P点绕O点做匀速圆周运动，则P点的线速度大小不变，A正确；杆OP转动过程中，P点的加速度方向时刻指向O点，B错误；Q点在竖直方向的运动与P点相同，位移y关于时间t的关系为y＝lOP·sin ，则可看出Q点在竖直方向不是匀速运动，C错误；Q点在水平方向的位移x关于时间t的关系为x ＝ lOP·cos ＋ lPQ，则可看出Q点在水平方向也不是匀速运动，D错误。故选A。]
3．(2024·广东广州二模)如图所示，一辆汽车以恒定速率通过圆弧拱桥，N为桥面最高处，则汽车( )
A．在N处所受支持力大小大于其重力
B．在N处所受支持力大小等于其重力
C．从M到N过程所受支持力逐渐增大
D．从M到N过程所受支持力逐渐减小
C [在N点，根据牛顿第二定律可得mg－N＝m，所以N＝mg－m＜mg，故A、B错误；设汽车与圆心的连线与竖直方向的夹角为θ，则mg cos θ－N＝m，从M到N的过程，速率v不变，θ减小，所以N增大，故C正确，D错误。故选C。]
4．(多选)如图所示，水平转盘可绕竖直中心轴转动，盘上叠放着质量均为1 kg的A、B两个物块，B物块用长为0.25 m的细线与固定在转盘中心处的力传感器相连，两个物块和力传感器的大小均可不计。细线能承受的最大拉力为8 N，A、B间的动摩擦因数为0.4，B与转盘间的动摩擦因数为0.1，且可认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力。转盘静止时，细线刚好伸直，传感器的读数为零。当转盘以不同的角速度匀速转动时，传感器上就会显示相应的读数F。g取10 m/s2。以下说法中正确的是( )
A．当转盘的角速度ω＝2 rad/s时，A、B间的静摩擦力达到最大值
B．当转盘的角速度在0<ω<2 rad/s范围内时，细线中的拉力随ω的增大而增大
C．当细线中的拉力F＝6 N时，A与B即将相对滑动
D．当转盘的角速度ω＝6 rad/s时，细线中的拉力达到最大值
CD [对AB整体分析，当细线刚有拉力时，根据牛顿第二定律，静摩擦力提供向心力，当B物块与转盘将发生滑动时，摩擦力达到最大，μ1·2mg＝r，角速度为ω1＝＝ rad/s＝2 rad/s，当A物块所受的摩擦力大于最大静摩擦力时，A将要脱离B物块，此时的角速度由μ2mg＝r得ω3＝＝ rad/s＝4 rad/s，即转盘的角速度为4 rad/s时，A、B间的静摩擦力达最大值，当转盘的角速度在0<ω<2 rad/s范围内时，细线中的拉力为0，故A、B错误；当2 rad/s≤ω≤4 rad/s时，对AB整体根据牛顿第二定律有T＋μ1·2mg＝2mω2r，则T＝2mω2r－μ1·2mg＝(0.5ω2－2) N，当ω＝4 rad/s时，此时细线的张力为T＝2mω2r－μ1·2mg＝2×16×0.25 N－2 N＝6 N<8 N，故细线未断，接下来随角速度的增大，A脱离B物块，只有B物块做匀速圆周运动，设拉力最大时的角速度为ω2，根据牛顿第二定律得Tmax＋μ1mg＝r，则ω2＝ rad/s＝6 rad/s，所以当细线中的拉力F＝6 N时，A与B即将相对滑动，当转盘的角速度为6 rad/s时，细线拉力达到最大，故C、D正确。故选CD。]
5．(2024·广东深圳月考)如图所示是马戏团中上演的飞车节目，在竖直平面内有半径为R的圆轨道。表演者骑着摩托车在圆轨道内做圆周运动。已知人和摩托车的总质量为m，重力加速度为g，人以v1＝的速度通过轨道最高点B，并以v2＝v1的速度通过最低点A。则在A、B两点轨道对摩托车的压力大小相差( )
A．3mg B．4mg
C．5mg D．6mg
D [由题意可知，在B点有FB＋mg＝，解得FB＝mg，在A点有FA－mg＝，解得FA＝7mg，所以A、B两点轨道对车的压力大小相差6mg，故选项D正确。]
6．一种离心测速器的简化工作原理如图所示。细杆的一端固定在竖直转轴OO′上的O点，并可随轴一起转动。杆上套有一轻质弹簧，弹簧一端固定于O点，另一端与套在杆上的圆环相连。当测速器稳定工作时，圆环将相对细杆静止，通过圆环的位置可以确定细杆匀速转动的角速度。已知细杆长度L＝0.2 m，杆与竖直转轴的夹角α始终为60°，弹簧原长x0＝0.1 m，弹簧劲度系数k＝100 N/m，圆环质量m＝1 kg；弹簧始终在弹性限度内，重力加速度大小取10 m/s2，摩擦力可忽略不计。
(1)若细杆和圆环处于静止状态，求圆环到O点的距离；
(2)求弹簧处于原长时，细杆匀速转动的角速度大小；
(3)求圆环处于细杆末端P时，细杆匀速转动的角速度大小。
[解析] (1)对圆环受力分析如图所示，当细杆和圆环处于平衡状态时，有
T0＝mg cos α＝5 N
根据胡克定律有F＝kΔx
解得Δx0＝＝0.05 m
弹簧弹力沿杆向上，故弹簧处于压缩状态，弹簧此时的长度即为圆环到O点的距离
x1＝x0－Δx0＝0.05 m。
(2)若弹簧处于原长，则圆环仅受重力和支持力，其合力使得圆环沿水平方向做匀速圆周运动。根据牛顿第二定律得＝r
由几何关系得圆环此时转动的半径为
r＝x0sin α
联立解得ω0＝ rad/s。
(3)圆环处于细杆末端P时，圆环受重力、支持力及弹簧弹力，弹簧伸长，弹力沿杆向下。
根据胡克定律得T＝k(L－x0)＝10 N
对圆环受力分析并正交分解，竖直方向受力平衡，水平方向合力提供向心力，则有
mg＋T cos α＝FNsin α，T sin α＋FNcos α＝mω2r′
由几何关系得r′＝L sin α
联立解得ω＝10 rad/s。
[答案] (1)0.05 m (2) rad/s (3)10 rad/s
课时分层作业(十) 圆周运动
1．关于圆周运动，下列说法正确的是( )
A．匀速圆周运动是匀速运动
B．匀速圆周运动是一种匀变速运动
C．圆周运动的向心加速度改变线速度的大小
D．匀速圆周运动是一种变加速运动
D [匀速圆周运动的速度大小不变，方向变化，速度是变化的，是变速运动，故A错误；匀速圆周运动的加速度始终指向圆心，方向时刻在变化，加速度是变化的，是变加速运动，故B错误，D正确；由于圆周运动的向心加速度始终垂直于速度方向，圆周运动的向心加速度改变线速度的方向，不改变线速度大小，故C错误。]
2．(2024·江苏卷)如图所示是生产陶瓷的工作台，台面上掉有陶屑，与工作台一起绕轴OO′匀速转动，陶屑与桌面间的动摩擦因数处处相同(台面够大)。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则( )
A．越靠近台面边缘的陶屑质量越大
B．越靠近台面边缘的陶屑质量越小
C．陶屑只能分布在工作台边缘
D．陶屑只能分布在某一半径的圆内
D [与台面相对静止的陶屑做匀速圆周运动，静摩擦力提供向心力，当静摩擦力为最大静摩擦力时，根据牛顿第二定律可得μmg＝mω2r，解得r＝，因与台面相对静止的这些陶屑的角速度相同，由此可知能与台面相对静止的陶屑离轴OO′的距离与陶屑的质量无关，只要在台面上不发生相对滑动的位置都有陶屑，故A、B、C错误；离轴最远的陶屑其受到的静摩擦力为最大静摩擦力，由前述分析可知最大的运动半径为R＝，μ与ω均一定，故R为定值，即离轴最远的陶屑距离不超过某一定值R，即陶屑只能分布在半径为R的圆内，故D正确。故选D。]
3．(2024·广东卷)如图所示，在细绳的拉动下，半径为r的卷轴可绕其固定的中心点O在水平面内转动。卷轴上沿半径方向固定着长度为l的细管，管底在O点。细管内有一根原长为、劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧底端固定在管底，顶端连接质量为m、可视为质点的插销。当以速度v匀速拉动细绳时，插销做匀速圆周运动。若v过大，插销会卡进固定的端盖，使卷轴转动停止。忽略摩擦力，弹簧在弹性限度内。要使卷轴转动不停止，v的最大值为( )
A．r B．l
C．r D．l
A [由题意可知，当插销刚好位于细管外端时，插销刚好不会卡进端盖，此时v取到最大值，弹簧的伸长量为Δx＝，根据胡克定律有F＝kΔx＝，插销与卷轴同轴转动，角速度相同，对插销，由弹力提供向心力有F＝mlω2，对卷轴有v＝rω，联立解得v＝r，故选A。]
4．(多选)(2024·广东广州二模)如图所示为某种秋千椅的示意图，“”形轻质钢制支架O1A1A2O2固定在竖直面内，A1A2沿水平方向，四根等长轻质硬杆通过光滑铰链O1、O2悬挂长方形匀质椅板B1C1C2B2，竖直面内的O1B1C1、O2C2B2为等边三角形，并可绕O1、O2沿图中虚线来回摆动。已知重力加速度为g，椅板的质量为m，则椅板摆动到最低点时( )
A．B1、C1两点角速度相等
B．B2、C2两点线速度相同
C．O1A1受到的拉力等于mg
D．O2A2受到的拉力大于mg
AD [B1、C1为同轴传动，则角速度相等，故A正确；B2、C2两点的线速度大小一样，方向不同，故B错误；椅板B1C1C2B2在运动到最低点时处于超重状态，合力向上，所以O1A1、O2A2受到的拉力大于mg，故C错误，D正确。故选AD。]
5．(2024·广东深圳二模)某摩天轮的直径达120 m，转一圈用时1 600 s。某同学乘坐摩天轮，随座舱在竖直平面内做匀速圆周运动，依次从A点经B点运动到C的过程中( )
A．角速度为 rad/s
B．座舱对该同学的作用力一直指向圆心
C．重力对该同学做功的功率先增大后减小
D．如果仅增大摩天轮的转速，该同学在B点受座舱的作用力将不变
C [根据角速度的计算公式有ω＝＝ rad/s，故A错误；某同学乘坐摩天轮，随座舱在竖直平面内做匀速圆周运动，则座舱对该同学的作用力和重力的合力提供向心力，指向圆心，所以座舱对该同学的作用力不一定指向圆心，故B错误；根据重力功率的计算公式P＝mgvy，可知重力对该同学做功的功率先增大后减小，故C正确；在B点有＝mRω2，可知如果仅增大摩天轮的转速，该同学在B点受座舱的作用力将增大，故D错误。故选C。]
6．(多选)(2025·广东湛江市一诊)如图甲所示，小球用不可伸长的轻绳连接后绕固定点O在竖直面内做圆周运动，小球经过最高点时的速度大小为v，此时绳子的拉力大小为FT，拉力FT与速度的平方v2的关系图像如图乙所示，图像中的数据a和b及重力加速度g都为已知量，则以下说法正确的是( )
A．数据a与小球的质量无关
B．数据b与小球的质量无关
C．比值只与小球的质量有关，与圆周轨迹半径无关
D．利用数据a、b和g能够求出小球的质量和圆周轨迹半径
AD [由题图乙可知，当v2＝a时，绳子的拉力为零，小球的重力提供其做圆周运动的向心力，则由牛顿第二定律得mg＝，解得v2＝gr，故a＝gr，与小球的质量无关，故A正确；当v2＝2a时，对小球受力分析，由牛顿第二定律得mg＋b＝，解得b＝mg，与小球的质量有关，故B错误；根据上述分析可知＝，与小球的质量有关，与圆周轨迹半径也有关，故C错误；由上述可知r＝，m＝，故D正确。]
7．(多选)如图所示，在水平固定的光滑平板上，有一光滑小球(可看作质点)与穿过中央小孔O的轻绳一端相连，平板与小孔是光滑的，用手拉着绳子下端，使小球做半径为a、角速度为ω的匀速圆周运动，当小球运动到P点时，绳子迅速放松至长度b后拉紧，沿半径方向的分速度突变为零，垂直半径方向分速度不变，小球就能在以b为半径的圆周上做匀速圆周运动，则( )
A．小球由半径a到半径b所需时间t＝
B．小球在半径为b的圆周上运动的线速度为ωa
C．小球在半径为b的圆周上运动的角速度为ω
D．小球两次做圆周运动时，绳对小球的拉力大小不变
AC [绳子放开后，球沿切线方向飞出，做匀速直线运动，由几何关系得位移为x＝，球的线速度v＝ωa，小球由半径a到半径b所需时间t＝＝，故A正确；小球沿圆弧切线方向飞出后，到达b轨道时，绳子突然拉紧，将速度沿切线方向和半径方向正交分解，沿半径方向的分速度突然减为零，以切线方向的分速度绕b轨道做匀速圆周运动，设此时速度与半径夹角为θ，由几何关系得vb＝v sin θ＝v＝，故B错误；小球在半径为b的圆周上运动的角速度ωb＝＝ω，故C正确； 当半径为a时，根据牛顿第二定律有F1＝mω2a，当半径为b时，根据牛顿第二定律有F2＝b＝mω2，联立可得＝>1，故F1>F2，故D错误。]
8．(多选)游乐场中的“空中飞椅”项目的结构示意图如图所示，转动轴带动顶部圆盘转动，悬绳一端系在圆盘边缘，另一端系着椅子。若所有椅子质量相等，悬绳长短不一定相等，忽略悬绳质量与空气阻力，则坐在椅子上的游客与椅子整体随圆盘匀速转动的过程中( )
A．任一时刻，所有游客的线速度都相同
B．所有游客做圆周运动的周期都相同
C．悬绳越长，悬绳与竖直方向的夹角就越大
D．悬绳与竖直方向的夹角与游客质量无关
BCD [根据题意可知，所有游客为同轴转动，则所有游客做圆周运动的角速度相同，由v＝ωr可知，游客做圆周运动的半径不同，线速度大小不同，游客的线速度方向也不同，由T＝可知，所有游客做圆周运动的周期都相同，故A错误，B正确；根据题意，设绳长为L，悬绳与竖直方向的夹角为θ，则有mg tan θ＝mω2(L sin θ＋r)，解得＝L，可知悬绳与竖直方向的夹角与游客质量无关，悬绳越长，θ越大，即悬绳越长，悬绳与竖直方向的夹角就越大，故C、D正确。故选BCD。]
9．(多选)如图所示，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l。木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是( )
A．b一定比a先开始滑动
B．a、b所受的摩擦力始终相等
C．ω＝是b开始滑动的临界角速度
D．当ω＝时，a所受摩擦力的大小为kmg
AC [小木块都随水平转盘做匀速圆周运动时，在发生相对滑动之前，角速度相等，静摩擦力提供向心力即f静＝mω2R，由于木块b的半径大，所以发生相对滑动前木块b受到的静摩擦力大，选项B错误；随着角速度的增大，当静摩擦力达到最大静摩擦力时木块开始滑动，则有f静＝mω2R＝kmg，代入两个木块的半径，小木块a开始滑动时的角速度ωa＝，木块b开始滑动时的角速度ωb＝，选项C正确；根据ωa>ωb，所以木块b先开始滑动，选项A正确；当角速度ω＝时，木块b开始滑动，但是ω＝<ωa，所以木块a未达到临界状态，摩擦力还没有达到最大静摩擦力，选项D错误。]
10．(2024·广东惠州三模)在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨，如图所示，内外铁轨平面与水平面倾角为θ，当火车以规定的行驶速度v转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的侧向挤压，火车转弯半径为r，重力加速度为g，下列说法正确的是( )
A．火车以速度v转弯时，铁轨对火车的支持力大于其重力
B．火车转弯时，实际转弯速度越小越好
C．当火车上乘客增多时，火车转弯时的速度必须降低
D．火车转弯速度大于时，外轨对车轮轮缘的压力沿水平方向
A [火车以速度v转弯时，对火车受力分析，如图所示，可得mg tan θ＝m，解得v＝，根据矢量三角形的边角关系可知铁轨对火车的支持力大于其重力，故A正确；当火车以规定的行驶速度v转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的侧向挤压，效果最好，所以实际转弯速度不是越小越好，故B错误；由v＝可知规定行驶的速度与质量无关，当火车质量改变时，规定的行驶速度不变，故C错误；火车转弯速度大于时，外轨对车轮轮缘的压力沿接触面指向轮缘，故D错误。故选A。]
11．如图所示，装置BO′O可绕竖直轴O′O转动，可视为质点的小球A与两细线连接后分别系于B、C两点，装置静止时细线AB水平，细线AC与竖直方向的夹角 θ＝37°。已知小球的质量m＝1 kg，细线AC长L＝1 m，B点到C点的水平和竖直距离相等。(重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
(1)若装置匀速转动的角速度为ω1，细线AB上的张力为零而细线AC与竖直方向夹角仍为37°，求角速度ω1的大小；
(2)若装置匀速转动的角速度为ω2时，细线AB刚好竖直，且张力为零，求此时角速度ω2的大小。
[解析] (1)细线AB上的张力恰为零时有
mg tan 37°＝L sin 37°
解得ω1＝ ＝ rad/s＝ rad/s。
(2)细线AB恰好竖直，但张力为零时，由几何关系得cos θ′＝，则有θ′＝53°
又mg tan θ′＝L sin θ′
解得ω2＝ rad/s。
[答案] (1) rad/s (2) rad/s
12．(2024·江西卷)雪地转椅是一种游乐项目，其中心传动装置带动转椅在雪地上滑动。如图(a)、(b)所示，传动装置有一高度可调的水平圆盘，可绕通过中心O点的竖直轴匀速转动。圆盘边缘A处固定连接一轻绳，轻绳另一端B连接转椅(视为质点)。转椅运动稳定后，其角速度与圆盘角速度相等。转椅与雪地之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，不计空气阻力。
(1)在图(a)中，若圆盘在水平雪地上以角速度ω1匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O点做半径为r1的匀速圆周运动。求AB与OB之间夹角α的正切值；
(2)将圆盘升高，如图(b)所示。圆盘匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O1点做半径为r2的匀速圆周运动，绳子与竖直方向的夹角为θ，绳子在水平雪地上的投影A1B与O1B的夹角为β。求此时圆盘的角速度ω2。
[解析] (1)转椅做匀速圆周运动，设此时轻绳拉力为T，转椅质量为m，受力分析可知轻绳拉力沿切线方向的分量与转椅受到地面的滑动摩擦力平衡，沿径向方向的分量提供圆周运动的向心力，故可得T cos α＝r1
μmg＝T sin α
联立解得tan α＝。
(2)设此时轻绳拉力为T′，沿A1B和垂直A1B竖直向上的分力分别为
T1＝T′sin θ，T2＝T′cos θ，
对转椅根据牛顿第二定律得
T1cos β＝r2
沿切线方向T1sin β＝f＝μFN
竖直方向FN＋T2＝mg
联立解得ω2＝。
[答案] (2)
19 / 25课时分层作业(十) 圆周运动
说明：单选题每小题4分，多选题每小题6分；本试卷共76分)
1．关于圆周运动，下列说法正确的是( )
A．匀速圆周运动是匀速运动
B．匀速圆周运动是一种匀变速运动
C．圆周运动的向心加速度改变线速度的大小
D．匀速圆周运动是一种变加速运动
2．(2024·江苏卷)如图所示是生产陶瓷的工作台，台面上掉有陶屑，与工作台一起绕轴OO′匀速转动，陶屑与桌面间的动摩擦因数处处相同(台面够大)。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则( )
A．越靠近台面边缘的陶屑质量越大
B．越靠近台面边缘的陶屑质量越小
C．陶屑只能分布在工作台边缘
D．陶屑只能分布在某一半径的圆内
3．(2024·广东卷)如图所示，在细绳的拉动下，半径为r的卷轴可绕其固定的中心点O在水平面内转动。卷轴上沿半径方向固定着长度为l的细管，管底在O点。细管内有一根原长为、劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧底端固定在管底，顶端连接质量为m、可视为质点的插销。当以速度v匀速拉动细绳时，插销做匀速圆周运动。若v过大，插销会卡进固定的端盖，使卷轴转动停止。忽略摩擦力，弹簧在弹性限度内。要使卷轴转动不停止，v的最大值为( )
A．r B．l
C．r D．l
4．(多选)(2024·广东广州二模)如图所示为某种秋千椅的示意图，“”形轻质钢制支架O1A1A2O2固定在竖直面内，A1A2沿水平方向，四根等长轻质硬杆通过光滑铰链O1、O2悬挂长方形匀质椅板B1C1C2B2，竖直面内的O1B1C1、O2C2B2为等边三角形，并可绕O1、O2沿图中虚线来回摆动。已知重力加速度为g，椅板的质量为m，则椅板摆动到最低点时( )
A．B1、C1两点角速度相等
B．B2、C2两点线速度相同
C．O1A1受到的拉力等于mg
D．O2A2受到的拉力大于mg
5．(2024·广东深圳二模)某摩天轮的直径达120 m，转一圈用时1 600 s。某同学乘坐摩天轮，随座舱在竖直平面内做匀速圆周运动，依次从A点经B点运动到C的过程中( )
A．角速度为 rad/s
B．座舱对该同学的作用力一直指向圆心
C．重力对该同学做功的功率先增大后减小
D．如果仅增大摩天轮的转速，该同学在B点受座舱的作用力将不变
6．(多选)(2025·广东湛江市一诊)如图甲所示，小球用不可伸长的轻绳连接后绕固定点O在竖直面内做圆周运动，小球经过最高点时的速度大小为v，此时绳子的拉力大小为FT，拉力FT与速度的平方v2的关系图像如图乙所示，图像中的数据a和b及重力加速度g都为已知量，则以下说法正确的是( )
A．数据a与小球的质量无关
B．数据b与小球的质量无关
C．比值只与小球的质量有关，与圆周轨迹半径无关
D．利用数据a、b和g能够求出小球的质量和圆周轨迹半径
7．(多选)如图所示，在水平固定的光滑平板上，有一光滑小球(可看作质点)与穿过中央小孔O的轻绳一端相连，平板与小孔是光滑的，用手拉着绳子下端，使小球做半径为a、角速度为ω的匀速圆周运动，当小球运动到P点时，绳子迅速放松至长度b后拉紧，沿半径方向的分速度突变为零，垂直半径方向分速度不变，小球就能在以b为半径的圆周上做匀速圆周运动，则( )
A．小球由半径a到半径b所需时间t＝
B．小球在半径为b的圆周上运动的线速度为ωa
C．小球在半径为b的圆周上运动的角速度为ω
D．小球两次做圆周运动时，绳对小球的拉力大小不变
8．(多选)游乐场中的“空中飞椅”项目的结构示意图如图所示，转动轴带动顶部圆盘转动，悬绳一端系在圆盘边缘，另一端系着椅子。若所有椅子质量相等，悬绳长短不一定相等，忽略悬绳质量与空气阻力，则坐在椅子上的游客与椅子整体随圆盘匀速转动的过程中( )
A．任一时刻，所有游客的线速度都相同
B．所有游客做圆周运动的周期都相同
C．悬绳越长，悬绳与竖直方向的夹角就越大
D．悬绳与竖直方向的夹角与游客质量无关
9．(多选)如图所示，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l。木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是( )
A．b一定比a先开始滑动
B．a、b所受的摩擦力始终相等
C．ω＝是b开始滑动的临界角速度
D．当ω＝时，a所受摩擦力的大小为kmg
10．(2024·广东惠州三模)在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨，如图所示，内外铁轨平面与水平面倾角为θ，当火车以规定的行驶速度v转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的侧向挤压，火车转弯半径为r，重力加速度为g，下列说法正确的是( )
A．火车以速度v转弯时，铁轨对火车的支持力大于其重力
B．火车转弯时，实际转弯速度越小越好
C．当火车上乘客增多时，火车转弯时的速度必须降低
D．火车转弯速度大于时，外轨对车轮轮缘的压力沿水平方向
1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 ＋0.5
11．如图所示，装置BO′O可绕竖直轴O′O转动，可视为质点的小球A与两细线连接后分别系于B、C两点，装置静止时细线AB水平，细线AC与竖直方向的夹角 θ＝37°。已知小球的质量m＝1 kg，细线AC长L＝1 m，B点到C点的水平和竖直距离相等。(重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
(1)若装置匀速转动的角速度为ω1，细线AB上的张力为零而细线AC与竖直方向夹角仍为37°，求角速度ω1的大小；
(2)若装置匀速转动的角速度为ω2时，细线AB刚好竖直，且张力为零，求此时角速度ω2的大小。
1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 ＋0.5
12．(2024·江西卷)雪地转椅是一种游乐项目，其中心传动装置带动转椅在雪地上滑动。如图(a)、(b)所示，传动装置有一高度可调的水平圆盘，可绕通过中心O点的竖直轴匀速转动。圆盘边缘A处固定连接一轻绳，轻绳另一端B连接转椅(视为质点)。转椅运动稳定后，其角速度与圆盘角速度相等。转椅与雪地之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，不计空气阻力。
(1)在图(a)中，若圆盘在水平雪地上以角速度ω1匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O点做半径为r1的匀速圆周运动。求AB与OB之间夹角α的正切值；
(2)将圆盘升高，如图(b)所示。圆盘匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O1点做半径为r2的匀速圆周运动，绳子与竖直方向的夹角为θ，绳子在水平雪地上的投影A1B与O1B的夹角为β。求此时圆盘的角速度ω2。
1 / 7
