课时分层作业(十一) 万有引力与宇宙航行
说明：单选题每小题4分，多选题每小题6分；本试卷共54分)
1．(2024·贵州卷)土星的部分卫星绕土星的运动可视为匀速圆周运动，其中的两颗卫星轨道半径分别为r1、r2，且r1≠r2，向心加速度大小分别为a1、a2，则( )
A．＝ ＝
C．a1r1＝ ＝
2．设想将来发射一颗人造卫星，能在月球绕地球运动的轨道上稳定运行，该轨道可视为圆轨道。该卫星与月球相比，一定相等的是( )
A．质量
B．向心力大小
C．向心加速度大小
D．受到地球的万有引力大小
3．(2025·广东韶关高三第一次调研)我国北斗系统主要由同步轨道卫星和中圆轨道卫星组成。已知两种卫星的轨道为圆轨道，中圆轨道卫星的周期为12小时，则( )
A．中圆轨道卫星的线速度大于7.9 km/s
B．中圆轨道卫星的角速度大于地球同步卫星的角速度
C．中圆轨道卫星的轨道半径大于地球同步卫星的轨道半径
D．中圆轨道卫星做圆周运动所需的向心力一定大于地球同步卫星所需的向心力
4．牛顿认为物体落地是由于地球对物体的吸引，这种吸引力可能与天体间(如地球与月球)的引力具有相同的性质，且都满足F∝。已知地月之间的距离r大约是地球半径的60倍，地球表面的重力加速度为g，根据牛顿的猜想，月球绕地球公转的周期为( )
A．30π B．30π
C．120π D．120π
5．2023年5月，世界现役运输能力最大的货运飞船“天舟六号”，携带约5 800 kg的物资进入距离地面约400 km(小于地球同步卫星与地面的距离)的轨道，顺利对接中国空间站后近似做匀速圆周运动。对接后，这批物资( )
A．质量比静止在地面上时小
B．所受合力比静止在地面上时小
C．所受地球引力比静止在地面上时大
D．做圆周运动的角速度大小比地球自转角速度大
6．(2024·山东卷)“鹊桥二号”中继星环绕月球运行，其24小时椭圆轨道的半长轴为a。已知地球同步卫星的轨道半径为r，则月球与地球质量之比可表示为( )
A． B．
C． D．
7．(2024·浙江1月选考)如图所示，2023年12月9日“朱雀二号”运载火箭顺利将“鸿鹄卫星”等三颗卫星送入距离地面约500 km的轨道。取地球质量 6.0×1024 kg，地球半径6.4×103 km，引力常量6.67×10-11 N·m2/kg2。下列说法正确的是( )
A．火箭的推力是空气施加的
B．卫星的向心加速度大小约8.4 m/s2
C．卫星运行的周期约12 h
D．发射升空初始阶段，装在火箭上部的卫星处于失重状态
8．(2024·1月九省联考安徽卷)如图所示，有两颗卫星绕某星球做椭圆轨道运动，两颗卫星的近地点均与星球表面很近(可视为相切)，卫星1和卫星2的轨道的远地点到星球表面的最近距离分别为h1、h2，卫星1和卫星2的环绕周期之比为k。忽略星球自转的影响，已知引力常量为G，星球表面的重力加速度为gc。则星球的平均密度为( )
A． B．
C． D．
9．(2024·辽宁卷)如图(a)，将一弹簧振子竖直悬挂，以小球的平衡位置为坐标原点O，竖直向上为正方向建立x轴。若将小球从弹簧原长处由静止释放，其在地球与某球状天体表面做简谐运动的图像如图(b)所示(不考虑自转影响)，设地球、该天体的平均密度分别为ρ1和ρ2，地球半径是该天体半径的n倍。则的值为( )
A．2n B． C． D．
10．(多选)(2024·广东卷)如图所示，探测器及其保护背罩通过弹性轻绳连接降落伞。在接近某行星表面时以60 m/s的速度竖直匀速下落。此时启动“背罩分离”，探测器与背罩断开连接，背罩与降落伞保持连接。已知探测器质量为 1 000 kg，背罩质量为50 kg，该行星的质量和半径分别为地球的和，地球表面重力加速度大小取g＝10 m/s2。忽略大气对探测器和背罩的阻力。下列说法正确的有( )
A．该行星表面的重力加速度大小为4 m/s2
B．该行星的第一宇宙速度为7.9 m/s2
C．“背罩分离”后瞬间，背罩的加速度大小为80 m/s2
D．“背罩分离”后瞬间，探测器所受重力对其做功的功率为30 kW
11．中国航天员在离地球表面约400 km的空间站上通过天地连线，为同学们上了一堂精彩的科学课。通过直播画面可以看到，在近地圆轨道上飞行的空间站中，航天员可以自由地漂浮，这表明他们( )
A．所受地球引力的大小近似为零
B．所受地球引力与飞船对其作用力两者的合力近似为零
C．所受地球引力的大小与其随飞船运动所需向心力的大小近似相等
D．在地球表面上所受引力的大小小于其随飞船运动所需向心力的大小
12．(2025·广东珠海高三模拟)有a、b、c、d四颗卫星，a还未发射，在地球赤道上随地球一起转动，b在地面附近近地轨道上正常运行，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，设地球自转周期为24 h，所有卫星的运动均视为匀速圆周运动，各卫星排列位置如图所示，则下列关于卫星的说法中正确的是( )
A．a的向心加速度等于重力加速度g
B．c在4 h内转过的圆心角为
C．b在相同的时间内转过的弧长最长
D．d的运动周期可能是23 h
13．(2023·广东卷)如图(a)所示，太阳系外的一颗行星P绕恒星Q做匀速圆周运动。由于P的遮挡，探测器探测到Q的亮度随时间做如图(b)所示的周期性变化，该周期与P的公转周期相同。已知Q的质量为M，引力常量为G。关于P的公转，下列说法正确的是( )
A． 周期为2t1－t0
B． 半径为
C． 角速度的大小为
D． 加速度的大小为
1 / 5 万有引力与宇宙航行
1．开普勒三定律
(1)轨道定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。
(2)面积定律：某个行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。
(3)周期定律：所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的二次方的比值都相等。
2．万有引力定律
(1)内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比。
(2)表达式：F＝G，G是比例系数，叫作引力常量，G＝6.67×10-11 N·m2/kg2。
(3)适用条件：①公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。
②质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。
3．宇宙速度
(1)第一宇宙速度(环绕速度)：v1＝7.9 km/s，是物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的最大环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度。
(2)第二宇宙速度(逃逸速度)：v2＝11.2 km/s，是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度。
(3)第三宇宙速度：v3＝16.7 km/s，是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。
1．易错易混辨析
(1)围绕同一天体运动的不同行星椭圆轨道不一样，但都有一个共同的焦点。 (√)
(2)只要知道两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由F＝G计算物体间的万有引力。 (×)
(3)两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大。 (×)
(4)不同的同步卫星的质量不一定相同，但离地面的高度是相同的。 (√)
(5)同步卫星的运行速度一定小于地球第一宇宙速度。 (√)
2．(粤教版必修第二册改编)两个质量均匀的球形物体，两球心相距r时它们之间的万有引力为F，若将两球的半径都加倍，两球心的距离也加倍，它们之间的作用力为( )
A．2F B．4F C．8F D．16F
D [由M＝πR3ρ可知，两球半径加倍后，其质量M′＝8M，又r′＝2r，由万有引力定律F＝，F′＝，可得F′＝16F，选项D正确。]
3．(人教版必修第二册改编)若取地球的第一宇宙速度为8 km/s，某行星的质量是地球质量的6倍，半径是地球半径的1.5倍，这颗行星的“第一宇宙速度”约为( )
A．2 km/s B．4 km/s
C．16 km/s D．32 km/s
C [设地球质量为M，某行星质量为6M，地球半径为R，某行星半径为1.5R，由万有引力提供向心力做匀速圆周运动得 G＝，解得v＝，分别代入地球和某行星的各物理量得v地球＝，v行星＝＝2＝2v地球＝16 km/s，故C正确。]
开普勒行星运动定律
1．行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。
2．由开普勒第二定律可得v1·Δt·r1＝v2·Δt·r2，解得＝，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小。
3．开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同。该定律只能用在同一中心天体的两星体之间。
[典例1] (2024·浙江6月选考)与地球公转轨道“外切”的小行星甲和“内切”的小行星乙的公转轨道如图所示，假设这些小行星与地球的公转轨道都在同一平面内，地球的公转半径为R，小行星甲的远日点到太阳的距离为R1，小行星乙的近日点到太阳的距离为R2，则( )
A．小行星甲在远日点的速度大于近日点的速度
B．小行星乙在远日点的加速度小于地球公转加速度
C．小行星甲与乙的运行周期之比＝
D．甲乙两星从远日点到近日点的时间之比＝
D [根据开普勒第二定律知，小行星甲在远日点的速度小于近日点的速度，故A错误；根据＝ma知，小行星乙在远日点的加速度等于地球公转加速度，故B错误；根据开普勒第三定律，小行星甲与乙的运行周期之比≈＝，故C错误；甲、乙两星从远日点到近日点的时间之比即为周期之比，故＝，故D正确。故选D。]
【典例1 教用·备选题】火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知( )
A．太阳位于木星运行轨道的中心
B．火星和木星绕太阳的运行速度大小始终相等
C．火星与木星公转周期之比的二次方等于它们轨道半长轴之比的三次方
D．相同时间内，火星与太阳的连线扫过的面积等于木星与太阳的连线扫过的面积
C [太阳位于木星运行轨道的一个焦点上，A错误；不同的行星对应不同的运行轨道，运行速度大小也不相同，B错误；由开普勒第三定律知＝，故＝，C正确；只有同一行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积才相同，D错误。]
万有引力定律的理解及应用
1．万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。
(1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R。
(2)在两极上：G＝mg2。
2．地球表面上的重力加速度
(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：G＝mg，得g＝。
(2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，＝mg′，得g′＝。
3．估算天体质量和密度的两种方法
(1)“g、R”法(“自力更生”法)：已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。
①由G＝mg，得天体质量M＝。
②天体密度ρ＝＝＝。
(2)“T、r”法(“引入外援”法)：测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。
①由G＝mr，得M＝。
②若已知天体的半径R，则天体的密度
ρ＝＝＝。
4．估算天体质量和密度的“三点”注意
(1)利用万有引力提供天体圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，而非环绕天体的质量。
(2)区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星，才有r≈R；计算天体密度时，V＝πR3中的“R”只能是中心天体的半径。
(3)天体质量估算中常有隐含条件，如地球的自转周期为24 h，公转周期为365天等。
[典例2] (2024·广东深圳一模)2024年10月30日，我国六名航天员在空间站顺利完成“太空会师”，向世界展示了中国航天工程的卓越能力。载人空间站绕地运动可视为匀速圆周运动，已知空间站距地面高度为h，运行周期为T，地球半径为R。忽略地球自转，则( )
A．空间站的线速度大小为
B．地球的质量可表示为
C．地球表面重力加速度为
D．空间站的向心加速度大小为
C [由题意可知，空间站绕地球做匀速圆周运动的轨道半径为r＝R＋h，周期为T，因此空间站的线速度大小为v＝＝，A错误；由地球对空间站的万有引力提供向心力可得G＝m(R＋h)，解得M＝，B错误；对于地球表面的物体，由地球对物体的万有引力提供地球表面物体的重力可得G＝mg，解得g＝G＝，C正确；由向心加速度公式可得空间站的向心加速度大小为a＝ω2r＝(R＋h)＝，D错误。故选C。]
【典例2 教用·备选题】在地球上观察，月球和太阳的角直径(直径对应的张角)近似相等，如图所示。若月球绕地球运动的周期为T1，地球绕太阳运动的周期为T2，地球半径是月球半径的k倍，则地球与太阳的平均密度之比约为( )
A．k3 B．k3
C． D．
D [设太阳、地球、月球的半径分别为R太、R地、R月，月球绕地球转动的半径为r月，地球绕太阳转动的半径为r地，根据题意，由几何关系，有＝，根据万有引力提供向心力，有＝，＝，星球的密度ρ地＝，ρ太＝，可得＝＝，故D正确，A、B、C错误。]
宇宙速度及卫星运行参数的分析与计算
1．宇宙速度与运动轨迹的关系
(1)v发＝7.9 km/s时，卫星在地球附近绕地球做匀速圆周运动。
(2)7.9 km/s(3)11.2 km/s≤v发<16.7 km/s，卫星绕太阳做椭圆运动。
(4)v发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。
2．物理量随轨道半径变化的规律
3．静止卫星的六个“一定”
[典例3] 如图所示，a为放在赤道上相对地球静止的物体，随地球自转做匀速圆周运动，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星(轨道半径约等于地球半径)，c为地球的静止卫星。下列关于a、b、c的说法中正确的是( )
A．b卫星做匀速圆周运动的线速度大于7.9 km/s
B．a、b、c做匀速圆周运动的向心加速度大小关系为aa>ab>ac
C．a、b、c做匀速圆周运动的周期关系为Tc>Tb>Ta
D．在b、c中，b的速度大
思路点拨：解此题抓住以下两个环节：
(1)赤道上的物体与静止卫星具有相同的角速度(周期)。
(2)赤道上物体与卫星比较物理量时，要借助静止卫星过渡。
D [b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，根据万有引力提供向心力有G＝m，解得v＝，代入数据得v＝7.9 km/s，故A错误；地球赤道上的物体与静止卫星具有相同的角速度，所以ωa＝ωc，根据a＝ω2r知，c的向心加速度大于a的向心加速度，根据a＝得b的向心加速度大于c的向心加速度，即ab>ac>aa，故B错误；卫星c为静止卫星，所以Ta＝Tc，根据T＝2π得c的周期大于b的周期，即Ta＝Tc>Tb，故C错误；在b、c中，根据v＝，可知b的速度比c的速度大，故D正确。]
研究卫星运行熟悉“三星一物”
(1)静止卫星的周期、轨道平面、高度、线速度的大小、角速度、绕行方向均是固定不变的，常用于无线电通信，故又称通信卫星。
(2)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。
(3)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s。
(4)赤道上的物体随地球自转而做匀速圆周运动，由万有引力和地面支持力的合力充当向心力(或者说由万有引力的分力充当向心力)，它的运动规律不同于卫星，但它的周期、角速度与同步卫星相等。
1．(2024·甘肃卷)小杰想在离地表一定高度的天宫实验室内，通过测量以下物理量得到天宫实验室轨道处的重力加速度，可行的是( )
A．用弹簧测力计测出已知质量的砝码所受的重力
B．测量单摆摆线长度、摆球半径以及摆动周期
C．从高处释放一个重物，测量其下落高度和时间
D．测量天宫实验室绕地球做匀速圆周运动的周期和轨道半径
D [在天宫实验室内，物体处于完全失重状态，重力提供了物体绕地球匀速圆周运动的向心力，故A、B、C项中的实验均无法得到天宫实验室轨道处的重力加速度。由重力提供绕地球做匀速圆周运动的向心力得mg＝G＝mr，整理得轨道重力加速度为g＝r，故通过测量天宫实验室绕地球做匀速圆周运动的周期和轨道半径可行，D正确。故选D。]
2．木卫一和木卫二都绕木星做匀速圆周运动。它们的周期分别为42 h 46 min和85 h 22 min，它们的轨道半径分别为R1和R2，线速度分别为v1和v2，则( )
A．R1＜R2，v1＜v2 B．R1＞R2，v1＜v2
C．R1＞R2，v1＞v2 D．R1＜R2，v1＞v2
D [根据万有引力提供向心力可得＝mR＝，解得T＝，v＝，根据题目可知，木卫一的周期小于木卫二的周期，则R1＜R2；根据线速度的表达式可知，v1＞v2，故D正确，A、B、C错误。故选D。]
3．(2021·广东卷)2021年4月，我国自主研发的空间站“天和”核心舱成功发射并入轨运行，若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是( )
A．核心舱的质量和绕地半径
B．核心舱的质量和绕地周期
C．核心舱的绕地角速度和绕地周期
D．核心舱的绕地线速度和绕地半径
D [根据核心舱做圆周运动的向心力由地球的万有引力提供，可得G＝m＝mω2r＝mr，可得M＝＝＝，可知已知核心舱的质量和绕地半径、已知核心舱的质量和绕地周期以及已知核心舱的角速度和绕地周期，都不能求解地球的质量，若已知核心舱的绕地线速度和绕地半径，则可求解地球的质量。故选D。]
4．(2022·广东卷)“祝融号”火星车需要“休眠”以度过火星寒冷的冬季。假设火星和地球的冬季是各自公转周期的四分之一，且火星的冬季时长约为地球的1.88倍。火星和地球绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动。下列关于火星、地球公转的说法正确的是( )
A．火星公转的线速度比地球的大
B．火星公转的角速度比地球的大
C．火星公转的半径比地球的小
D．火星公转的加速度比地球的小
D [由题意可知，火星的公转周期大于地球的公转周期，根据G＝mr，可得T＝2π，可知火星的公转半径大于地球的公转半径，故C错误；根据G＝m，可得v＝，可知火星的公转线速度小于地球的公转线速度，故A错误；根据ω＝可知火星公转的角速度小于地球公转的角速度，故B错误；根据G＝ma，可得a＝，可知火星公转的加速度小于地球公转的加速度，故D正确。故选D。]
5．(2024·海南卷)嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为( )
A． B．
C． D．(1＋k)3
D [设月球半径为R，质量为M，对嫦娥六号，根据万有引力提供向心力有G＝m·(k＋1)R，月球的体积V＝πR3，月球的平均密度ρ＝，联立可得ρ＝(1＋k)3，故选D。]
课时分层作业(十一) 万有引力与宇宙航行
1．(2024·贵州卷)土星的部分卫星绕土星的运动可视为匀速圆周运动，其中的两颗卫星轨道半径分别为r1、r2，且r1≠r2，向心加速度大小分别为a1、a2，则( )
A．＝ ＝
C．a1r1＝ ＝
D [设土星的质量为M，两颗卫星的质量分别为m1、m2，对两颗卫星，根据牛顿第二定律得＝＝m2a2，整理可得＝，故选D。]
2．设想将来发射一颗人造卫星，能在月球绕地球运动的轨道上稳定运行，该轨道可视为圆轨道。该卫星与月球相比，一定相等的是( )
A．质量
B．向心力大小
C．向心加速度大小
D．受到地球的万有引力大小
C [该人造卫星的质量不能确定，A错误；该卫星和月球环绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，由F＝G可知，该卫星、月球受到地球的万有引力大小不能确定，所以二者的向心力大小也不能确定，B、D错误；由牛顿第二定律得G＝ma，解得a＝G，因为该卫星与月球的轨道半径相等，所以二者的向心加速度大小相等，C正确。]
3．(2025·广东韶关高三第一次调研)我国北斗系统主要由同步轨道卫星和中圆轨道卫星组成。已知两种卫星的轨道为圆轨道，中圆轨道卫星的周期为12小时，则( )
A．中圆轨道卫星的线速度大于7.9 km/s
B．中圆轨道卫星的角速度大于地球同步卫星的角速度
C．中圆轨道卫星的轨道半径大于地球同步卫星的轨道半径
D．中圆轨道卫星做圆周运动所需的向心力一定大于地球同步卫星所需的向心力
B [第一宇宙速度7.9 km/s是地球卫星在轨道上运行的最大速度，所以中圆轨道卫星的线速度小于7.9 km/s，故A错误；由G＝mr，得T＝，故中圆轨道卫星的轨道半径小于地球同步卫星，又由G＝mω2r，得ω＝，故中圆轨道卫星的角速度大于地球同步卫星的角速度，故B正确，C错误；因不知道卫星的质量大小，故无法比较两卫星所受向心力的大小，故D错误。]
4．牛顿认为物体落地是由于地球对物体的吸引，这种吸引力可能与天体间(如地球与月球)的引力具有相同的性质，且都满足F∝。已知地月之间的距离r大约是地球半径的60倍，地球表面的重力加速度为g，根据牛顿的猜想，月球绕地球公转的周期为( )
A．30π B．30π
C．120π D．120π
C [设比例系数为k，根据牛顿的猜想，地球表面物体的重力可表示为mg＝k，地球对月球的吸引力可表示为F月＝k，月球绕地球做匀速圆周运动，地球对月球的吸引力提供向心力，则有F月＝m月r，又r＝60R，联立解得T＝120π，C正确。]
5．2023年5月，世界现役运输能力最大的货运飞船“天舟六号”，携带约5 800 kg的物资进入距离地面约400 km(小于地球同步卫星与地面的距离)的轨道，顺利对接中国空间站后近似做匀速圆周运动。对接后，这批物资( )
A．质量比静止在地面上时小
B．所受合力比静止在地面上时小
C．所受地球引力比静止在地面上时大
D．做圆周运动的角速度大小比地球自转角速度大
D [物体的质量不随位置的变化而变化，A错误；对接后，物资环绕地球做匀速圆周运动时，所受的万有引力提供向心力，即合力F合＝G，物资在地面上静止时，所受合力为零，B错误；空间站所处轨道半径比地球半径大，由万有引力定律F＝G可知，对接后物资所受的地球引力比静止在地面上时小，C错误；地球自转的角速度等于地球同步卫星的角速度，由G＝mω2r得ω＝，由于空间站的轨道半径小于同步卫星的轨道半径，所以空间站的角速度大于同步卫星的角速度，即对接后物资的角速度比地球自转的角速度大，D正确。]
6．(2024·山东卷)“鹊桥二号”中继星环绕月球运行，其24小时椭圆轨道的半长轴为a。已知地球同步卫星的轨道半径为r，则月球与地球质量之比可表示为( )
A． B．
C． D．
D [“鹊桥二号”中继星在24小时椭圆轨道上运行时，根据开普勒第三定律有＝k，同理，对地球的同步卫星根据开普勒第三定律有＝k′，又开普勒常量与中心天体的质量成正比，所以＝，联立可得＝，故选D。]
7．(2024·浙江1月选考)如图所示，2023年12月9日“朱雀二号”运载火箭顺利将“鸿鹄卫星”等三颗卫星送入距离地面约500 km的轨道。取地球质量 6.0×1024 kg，地球半径6.4×103 km，引力常量6.67×10-11 N·m2/kg2。下列说法正确的是( )
A．火箭的推力是空气施加的
B．卫星的向心加速度大小约8.4 m/s2
C．卫星运行的周期约12 h
D．发射升空初始阶段，装在火箭上部的卫星处于失重状态
B [根据反冲现象的原理可知，火箭向后喷射燃气的同时，燃气会给火箭施加反作用力，即推力，故A错误；根据万有引力定律及牛顿第二定律可知卫星的向心加速度大小为a＝＝≈8.4 m/s2，故B正确；卫星运行的周期为T＝2π≈1.6 h，故C错误；发射升空初始阶段，火箭加速度方向向上，装在火箭上部的卫星处于超重状态，故D错误。故选B。]
8．(2024·1月九省联考安徽卷)如图所示，有两颗卫星绕某星球做椭圆轨道运动，两颗卫星的近地点均与星球表面很近(可视为相切)，卫星1和卫星2的轨道的远地点到星球表面的最近距离分别为h1、h2，卫星1和卫星2的环绕周期之比为k。忽略星球自转的影响，已知引力常量为G，星球表面的重力加速度为gc。则星球的平均密度为( )
A． B．
C． D．
A [卫星1、卫星2轨道的半长轴分别为a1＝，a2＝，由开普勒第三定律得＝＝k，整理得R＝。星球表面的重力加速度为gc，根据万有引力提供重力得G＝mgc，星球质量的表达式为M＝ρR3，联立得ρ＝＝，故选A。]
9．(2024·辽宁卷)如图(a)，将一弹簧振子竖直悬挂，以小球的平衡位置为坐标原点O，竖直向上为正方向建立x轴。若将小球从弹簧原长处由静止释放，其在地球与某球状天体表面做简谐运动的图像如图(b)所示(不考虑自转影响)，设地球、该天体的平均密度分别为ρ1和ρ2，地球半径是该天体半径的n倍。则的值为( )
A．2n B． C． D．
C [设小球的质量为m，地球表面的重力加速度为g，某球状天体表面的重力加速度为g′，弹簧的劲度系数为k，根据简谐运动的对称性有k·4A－mg＝mg，k·2A－mg′＝mg′，可得g＝，g′＝，可得＝2，设某球状天体的半径为R，在星球表面，有 G＝mg，G＝mg′，联立可得＝，故选C。]
10．(多选)(2024·广东卷)如图所示，探测器及其保护背罩通过弹性轻绳连接降落伞。在接近某行星表面时以60 m/s的速度竖直匀速下落。此时启动“背罩分离”，探测器与背罩断开连接，背罩与降落伞保持连接。已知探测器质量为 1 000 kg，背罩质量为50 kg，该行星的质量和半径分别为地球的和，地球表面重力加速度大小取g＝10 m/s2。忽略大气对探测器和背罩的阻力。下列说法正确的有( )
A．该行星表面的重力加速度大小为4 m/s2
B．该行星的第一宇宙速度为7.9 m/s2
C．“背罩分离”后瞬间，背罩的加速度大小为80 m/s2
D．“背罩分离”后瞬间，探测器所受重力对其做功的功率为30 kW
AC [在星球表面，根据G＝mg，可得g＝，行星的质量和半径分别为地球的和，地球表面重力加速度大小取g＝10 m/s2，可得该行星表面的重力加速度大小g′＝4 m/s2，故A正确；在星球表面上空，根据万有引力提供向心力有G＝m，可得星球的第一宇宙速度v＝，行星的质量和半径分别为地球的和，可得该行星的第一宇宙速度v行＝v地，地球的第一宇宙速度为7.9 m/s，所以该行星的第一宇宙速度v行＝×7.9 km/s，故B错误；“背罩分离”前，探测器及其保护背罩和降落伞整体做匀速直线运动，对探测器受力分析，可知探测器与保护背罩之间的作用力F＝mg′＝4 000 N，“背罩分离”后瞬间，背罩所受的合力大小为4 000 N，对背罩，根据牛顿第二定律有F＝m′a，解得a＝80 m/s2，故C正确；“背罩分离”后瞬间探测器所受重力对其做功的功率P＝mg′v＝1 000×4×60 W＝240 kW，故D错误。故选AC。]
11．中国航天员在离地球表面约400 km的空间站上通过天地连线，为同学们上了一堂精彩的科学课。通过直播画面可以看到，在近地圆轨道上飞行的空间站中，航天员可以自由地漂浮，这表明他们( )
A．所受地球引力的大小近似为零
B．所受地球引力与飞船对其作用力两者的合力近似为零
C．所受地球引力的大小与其随飞船运动所需向心力的大小近似相等
D．在地球表面上所受引力的大小小于其随飞船运动所需向心力的大小
C [航天员在空间站中可以自由漂浮，是由于航天员在空间站中处于完全失重状态，飞船对航天员的作用力近似为零，所受地球引力大小不为零，选项A、B错误；航天员所受地球引力提供航天员随空间站运动的向心力，即航天员所受地球引力的大小与航天员随空间站运动所需向心力的大小近似相等，选项C正确；由万有引力定律可知，航天员在地球表面所受地球引力的大小大于航天员在空间站中所受地球引力的大小，所以在地球表面上所受引力的大小大于航天员随空间站运动所需向心力的大小，选项D错误。故选C。]
12．(2025·广东珠海高三模拟)有a、b、c、d四颗卫星，a还未发射，在地球赤道上随地球一起转动，b在地面附近近地轨道上正常运行，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，设地球自转周期为24 h，所有卫星的运动均视为匀速圆周运动，各卫星排列位置如图所示，则下列关于卫星的说法中正确的是( )
A．a的向心加速度等于重力加速度g
B．c在4 h内转过的圆心角为
C．b在相同的时间内转过的弧长最长
D．d的运动周期可能是23 h
C [同步卫星的运行周期与地球自转周期相同，角速度相同，则a和c的角速度相同，根据a＝ω2r知，c的向心加速度大，由＝ma知，c的向心加速度小于b的向心加速度，而b的向心加速度约为g，故a的向心加速度小于重力加速度g，选项A错误；由于c为同步卫星，所以c的周期为24 h，因此4 h内转过的圆心角为θ＝，选项B错误；由四颗卫星的运行情况可知，b运行的线速度是最大的，所以其在相同的时间内转过的弧长最长，选项C正确；d的运行周期比c要长，所以其周期应大于24 h，选项D错误。]
13．(2023·广东卷)如图(a)所示，太阳系外的一颗行星P绕恒星Q做匀速圆周运动。由于P的遮挡，探测器探测到Q的亮度随时间做如图(b)所示的周期性变化，该周期与P的公转周期相同。已知Q的质量为M，引力常量为G。关于P的公转，下列说法正确的是( )
A． 周期为2t1－t0
B． 半径为
C． 角速度的大小为
D． 加速度的大小为
B [由题图(b)可知探测器探测到Q的亮度随时间变化的周期为T＝t1－t0，则P的公转周期为t1－t0，故A错误；P绕恒星Q做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力可得＝mr，解得半径为r＝
，故D错误。故选B。]
5 / 17 万有引力与宇宙航行
1．开普勒三定律
(1)轨道定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是________，太阳处在椭圆的一个________上。
(2)面积定律：某个行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的________相等。
(3)周期定律：所有行星轨道的________的三次方与它的____________的二次方的比值都相等。
2．万有引力定律
(1)内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成________，与它们之间距离r的二次方成________。
(2)表达式：F＝________，G是比例系数，叫作引力常量，G＝6.67×10-11 N·m2/kg2。
(3)适用条件：①公式适用于________间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。
②质量分布均匀的球体可视为质点，r是________间的距离。
3．宇宙速度
(1)第一宇宙速度(环绕速度)：v1＝______ km/s，是物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的________环绕速度，也是人造地球卫星的________发射速度。
(2)第二宇宙速度(逃逸速度)：v2＝11.2 km/s，是物体挣脱________引力束缚的最小发射速度。
(3)第三宇宙速度：v3＝16.7 km/s，是物体挣脱________引力束缚的最小发射速度。
1．易错易混辨析
(1)围绕同一天体运动的不同行星椭圆轨道不一样，但都有一个共同的焦点。 ( )
(2)只要知道两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由F＝G计算物体间的万有引力。 ( )
(3)两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大。 ( )
(4)不同的同步卫星的质量不一定相同，但离地面的高度是相同的。 ( )
(5)同步卫星的运行速度一定小于地球第一宇宙速度。 ( )
2．(粤教版必修第二册改编)两个质量均匀的球形物体，两球心相距r时它们之间的万有引力为F，若将两球的半径都加倍，两球心的距离也加倍，它们之间的作用力为( )
A．2F B．4F C．8F D．16F
3．(人教版必修第二册改编)若取地球的第一宇宙速度为8 km/s，某行星的质量是地球质量的6倍，半径是地球半径的1.5倍，这颗行星的“第一宇宙速度”约为( )
A．2 km/s B．4 km/s
C．16 km/s D．32 km/s
开普勒行星运动定律
1．行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。
2．由开普勒第二定律可得v1·Δt·r1＝v2·Δt·r2，解得＝，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小。
3．开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同。该定律只能用在同一中心天体的两星体之间。
[典例1] (2024·浙江6月选考)与地球公转轨道“外切”的小行星甲和“内切”的小行星乙的公转轨道如图所示，假设这些小行星与地球的公转轨道都在同一平面内，地球的公转半径为R，小行星甲的远日点到太阳的距离为R1，小行星乙的近日点到太阳的距离为R2，则( )
A．小行星甲在远日点的速度大于近日点的速度
B．小行星乙在远日点的加速度小于地球公转加速度
C．小行星甲与乙的运行周期之比＝
D．甲乙两星从远日点到近日点的时间之比＝
[听课记录]
万有引力定律的理解及应用
1．万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。
(1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R。
(2)在两极上：G＝mg2。
2．地球表面上的重力加速度
(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：G＝mg，得g＝。
(2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，＝mg′，得g′＝。
3．估算天体质量和密度的两种方法
(1)“g、R”法(“自力更生”法)：已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。
①由G＝mg，得天体质量M＝。
②天体密度ρ＝＝＝。
(2)“T、r”法(“引入外援”法)：测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。
①由G＝mr，得M＝。
②若已知天体的半径R，则天体的密度
ρ＝＝＝。
4．估算天体质量和密度的“三点”注意
(1)利用万有引力提供天体圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，而非环绕天体的质量。
(2)区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星，才有r≈R；计算天体密度时，V＝πR3中的“R”只能是中心天体的半径。
(3)天体质量估算中常有隐含条件，如地球的自转周期为24 h，公转周期为365天等。
[典例2] (2024·广东深圳一模)2024年10月30日，我国六名航天员在空间站顺利完成“太空会师”，向世界展示了中国航天工程的卓越能力。载人空间站绕地运动可视为匀速圆周运动，已知空间站距地面高度为h，运行周期为T，地球半径为R。忽略地球自转，则( )
A．空间站的线速度大小为
B．地球的质量可表示为
C．地球表面重力加速度为
D．空间站的向心加速度大小为
[听课记录]
宇宙速度及卫星运行参数的分析与计算
1．宇宙速度与运动轨迹的关系
(1)v发＝7.9 km/s时，卫星在地球附近绕地球做匀速圆周运动。
(2)7.9 km/s(3)11.2 km/s≤v发<16.7 km/s，卫星绕太阳做椭圆运动。
(4)v发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。
2．物理量随轨道半径变化的规律
3．静止卫星的六个“一定”
[典例3] 如图所示，a为放在赤道上相对地球静止的物体，随地球自转做匀速圆周运动，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星(轨道半径约等于地球半径)，c为地球的静止卫星。下列关于a、b、c的说法中正确的是( )
A．b卫星做匀速圆周运动的线速度大于7.9 km/s
B．a、b、c做匀速圆周运动的向心加速度大小关系为aa>ab>ac
C．a、b、c做匀速圆周运动的周期关系为Tc>Tb>Ta
D．在b、c中，b的速度大
思路点拨：解此题抓住以下两个环节：
(1)赤道上的物体与静止卫星具有相同的角速度(周期)。
(2)赤道上物体与卫星比较物理量时，要借助静止卫星过渡。
[听课记录]
研究卫星运行熟悉“三星一物”
(1)静止卫星的周期、轨道平面、高度、线速度的大小、角速度、绕行方向均是固定不变的，常用于无线电通信，故又称通信卫星。
(2)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。
(3)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s。
(4)赤道上的物体随地球自转而做匀速圆周运动，由万有引力和地面支持力的合力充当向心力(或者说由万有引力的分力充当向心力)，它的运动规律不同于卫星，但它的周期、角速度与同步卫星相等。
1．(2024·甘肃卷)小杰想在离地表一定高度的天宫实验室内，通过测量以下物理量得到天宫实验室轨道处的重力加速度，可行的是( )
A．用弹簧测力计测出已知质量的砝码所受的重力
B．测量单摆摆线长度、摆球半径以及摆动周期
C．从高处释放一个重物，测量其下落高度和时间
D．测量天宫实验室绕地球做匀速圆周运动的周期和轨道半径
2．木卫一和木卫二都绕木星做匀速圆周运动。它们的周期分别为42 h 46 min和 85 h 22 min，它们的轨道半径分别为R1和R2，线速度分别为v1和v2，则( )
A．R1＜R2，v1＜v2 B．R1＞R2，v1＜v2
C．R1＞R2，v1＞v2 D．R1＜R2，v1＞v2
3．(2021·广东卷)2021年4月，我国自主研发的空间站“天和”核心舱成功发射并入轨运行，若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是( )
A．核心舱的质量和绕地半径
B．核心舱的质量和绕地周期
C．核心舱的绕地角速度和绕地周期
D．核心舱的绕地线速度和绕地半径
4．(2022·广东卷)“祝融号”火星车需要“休眠”以度过火星寒冷的冬季。假设火星和地球的冬季是各自公转周期的四分之一，且火星的冬季时长约为地球的1.88倍。火星和地球绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动。下列关于火星、地球公转的说法正确的是( )
A．火星公转的线速度比地球的大
B．火星公转的角速度比地球的大
C．火星公转的半径比地球的小
D．火星公转的加速度比地球的小
5．(2024·海南卷)嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为( )
A． B．
C． D．(1＋k)3
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