课时分层作业(十四) 机械能守恒定律及其应用
说明：单选题每小题4分，多选题每小题6分；本试卷共79分
1．(多选)如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是( )
A．甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，物体A的机械能守恒
B．乙图中，物体A固定，物体B沿斜面匀速下滑，物体B的机械能守恒
C．丙图中，不计任何阻力和定滑轮质量时，A加速下落，B加速上升过程中，A、B组成的系统机械能守恒
D．丁图中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒
2．(多选)(2025·广东东莞模拟)“蹦极”被称为“勇敢者的游戏”。如图甲所示将一根自然长度为OA的弹性轻绳一端系在人身上，另一端固定在跳台边缘。人从跳台由静止下落开始计时，下落过程中速度随时间的变化如图乙所示，图乙中 tA、tB、tC 三个时刻分别对应图甲中A、B、C 三个点，tB时刻对应图像最高点，不计空气阻力。下列说法正确的是( )
A．重力加速度大小为
B．人从A点运动到B点这一过程中，人的重力势能转化为动能
C．人在下落过程中，弹性绳对人先做正功再做负功
D．人从A点运动到C点这一过程中，人的机械能一直减少
3．(2025·广东清远高三检测)如图所示，光滑圆轨道固定在竖直面内，一质量为m的小球沿轨道做完整的圆周运动。已知小球在最低点时对轨道的压力大小为FN1，在最高点时对轨道的压力大小为FN2。重力加速度大小为g，则FN1－FN2的值为( )
A．3mg B．4mg C．5mg D．6mg
4．如图所示，长为L的均匀链条放在光滑水平桌面上，且使其长度的垂在桌边，松手后链条从静止开始沿桌边下滑，则链条滑至刚离开桌边时的速度大小为(假设离开瞬间的速度方向向下，重力加速度为g)( )
A． B．
C． D．4
5．铅球被水平推出后的运动过程中，不计空气阻力，下列关于铅球在空中运动时的加速度大小a、速度大小v、动能Ek和机械能E随运动时间t的变化关系中，正确的是( )
A B C D
6．(2024·广东韶关高三期末)如图所示，有一光滑轨道ABC，AB部分为半径为R的圆弧，BC部分水平，质量均为m的小球a、b固定在竖直轻杆的两端，轻杆长为R，小球可视为质点，开始时a球处于圆弧上端A点，由静止开始释放小球和轻杆，使其沿光滑弧面下滑，重力加速度为g，下列说法正确的是( )
A．a球下滑过程中机械能保持不变
B．b球下滑过程中机械能保持不变
C．a、b球都滑到水平轨道上时速度大小均为
D．从释放a、b球到a、b球都滑到水平轨道上，整个过程中轻杆对a球做的功为mgR
1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 ＋0.5
7．(13分) 如图所示，竖直平面内有一半径R＝0.5 m的光滑圆弧槽BCD，B点与圆心O等高，一水平面与圆弧槽相接于D点，质量m＝0.5 kg的小球从B点正上方H高处的A点自由下落，由B点进入圆弧轨道，从D点飞出后落在水平面上的Q点，D、Q间的距离x＝2.4 m，球从D点飞出后的运动过程中相对于水平面上升的最大高度h＝0.8 m，g取10 m/s2，不计空气阻力，求：
(1)小球释放点到B点的高度H；
(2)经过圆弧槽最低点C时轨道对小球的支持力大小FN。
8．(2024·广东湛江高三期末)如图所示，滑块a、b的质量均为m，a套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上。a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动。不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g，则( )
A．a落地前，轻杆对b一直做正功
B．a落地时速度大小为
C．a下落过程中，其加速度大小始终不大于g
D．a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mg
9．(2024·广东揭阳第二次模拟)如图所示，一光滑细杆固定在水平面上的C点，细杆与水平面的夹角为30°，一原长为L的轻质弹性绳，下端固定在水平面上的B点，上端与质量为m的小环相连，当把小环拉到A点时，AB与地面垂直，弹性绳长为2L，将小环从A点由静止释放，当小环运动到AC的中点D时，速度达到最大。重力加速度为g，下列说法正确的是( )
A．在下滑过程中小环的机械能先减小后增大
B．小环刚释放时的加速度大小为g
C．小环到达AD的中点时，弹性绳的弹性势能为零
D．小环的最大速度为
1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 ＋0.5
10．(15分) (2024·广东二模)如图所示，某升降电梯的轿厢A、配重B和电动机由轻质缆绳连接，电动机拉动B，使A运动。某次运行时，A(含载重)的质量M＝1 000 kg，t＝0时，A从1楼由静止开始以0.5 m/s2的加速度加速运动，然后以v＝1 m/s 的速度匀速运动，最后以大小为0.5 m/s2的加速度减速上升至3楼停止，A上升的高度h＝7 m。已知B的质量m＝800 kg，不计空气阻力和摩擦阻力，g取10 m/s2。求：
(1)此次电梯匀速运行的时间；
(2)t＝1 s时，B下端缆绳的拉力大小；
(3)A(含载重)从静止开始上升到5 m的过程，A(含载重)的机械能增量。
1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 ＋0.5
11．(15分) (2025·广东汕尾高三调研)如图所示，竖直光滑的固定杆上套有一滑块A，滑块通过细绳绕过光滑定滑轮连接物块B，B又通过一轻质弹簧连接物块C，C静止在地面上。开始用手托住A，使绳子刚好伸直处于水平位置但无张力，现将A由静止释放，当A、B速度达到最大时，C也刚好同时离开地面(此时B还没有到达定滑轮位置)。已知mA＝1.2 kg，mB＝mC＝1.0 kg，定滑轮与杆的水平距离L＝0.8 m，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6。求：
(1)A下降多大距离时速度最大；
(2)弹簧的劲度系数k；
(3)A的最大速度是多少？
1 / 7 机械能守恒定律及其应用
1．重力做功的特点
(1)重力做功只跟它的起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关。
(2)重力做功不引起物体机械能的变化。
2．重力势能
(1)表达式Ep＝mgh。
(2)重力势能的特点
①系统性：重力势能是物体和地球所共有的。
②相对性：重力势能的大小与参考平面的选取有关，但重力势能的变化量与参考平面的选取无关。
(3)ΔEp与WG的关系
①定性关系：重力对物体做正功，重力势能减小；重力对物体做负功，重力势能增大。
②定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减小量，即WG＝－(Ep2－Ep1)＝－ΔEp。
3．弹性势能
(1)定义：发生弹性形变的物体的各部分之间由于有弹力的相互作用而具有的势能。
(2)ΔEp与W弹的关系：弹力做正功，弹性势能减少；弹力做负功，弹性势能增加。定量表达式为W弹＝－ΔEp。
4．机械能守恒定律
(1)内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，总的机械能保持不变。
(2)表达式：＝。
(3)守恒条件
①系统只受重力或弹簧弹力的作用，不受其他外力。
②系统除受重力或弹簧弹力作用外，还受其他内力和外力，但这些力对系统不做功。
③系统内除重力或弹簧弹力做功外，还有其他内力和外力做功，但这些力做功的代数和为零。
1．易错易混辨析
粤教版必修第二册第104页“资料活页”：地铁线路节能设计——优化线路节能坡。据此情境进行判断(分析问题时，忽略摩擦和空气阻力)：
(1)列车关闭发动机上坡进站的过程中，动能转化为重力势能。 (√)
(2)列车关闭发动机，从开始上坡到完全进站过程中，机械能增加mgh。 (×)
(3)若列车刚要上坡时的初速度为v0，列车质量为m，则列车的机械能一定为。 (×)
(4)列车的机械能大小与零势能参考平面的选取有关。 (√)
2．(人教版必修第二册改编)(多选)如图所示，在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上。若以地面为零势能面，而且不计空气阻力，则下列说法正确的是( )
A．重力对物体做的功为mgh
B．物体在海平面上的重力势能为mgh
C．物体在海平面上的动能为－mgh
D．物体在海平面上的机械能为
AD [从地面到海平面，重力对物体做的功为mgh，故A正确；以地面为零势能面，所以物体在海平面的重力势能为－mgh，故B错误；物体在地面上的机械能为，由机械能守恒定律得，物体在海平面上的机械能也为，故D正确；物体在海平面上的动能为－(－mgh)＝＋mgh，故C错误。]
机械能守恒的判断
1．对机械能守恒条件的理解
(1)只受重力作用，物体的机械能守恒(例如平抛运动)。
(2)除重力外，物体还受其他力，但其他力不做功或做功代数和为零。
(3)对物体和弹簧组成的系统，只有重力和弹力做功，系统的机械能守恒。注意：并非物体的机械能守恒。
2．机械能是否守恒的三种判断方法
(1)利用机械能的定义判断：若物体动能、势能之和不变，机械能守恒。
(2)用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，或有其他力做功，但其他力做功的代数和为零，则机械能守恒。
(3)利用能量转化判断：若物体系统与外界没有能量交换，只存在系统内动能和势能的相互转化，则物体系统机械能守恒。
[典例1] 如图所示，斜面体置于光滑水平地面上，其光滑斜面上有一物体由静止沿斜面下滑，在物体下滑过程中，下列说法正确的是( )
A．物体的重力势能减少，动能不变
B．斜面体的机械能不变
C．斜面对物体的作用力垂直于接触面，不对物体做功
D．物体和斜面体组成的系统机械能守恒
D [物体由静止开始下滑的过程中其重力势能减少，动能增加，A错误；物体在下滑过程中，斜面体做加速运动，其机械能增加，B错误；物体沿斜面下滑时，既沿斜面向下运动，又随斜面体向右运动，其合速度方向与弹力方向不垂直，弹力方向垂直于接触面，但与速度方向之间的夹角大于90°，所以斜面对物体的作用力对物体做负功，C错误；对物体与斜面体组成的系统，只有物体的重力做功，机械能守恒，D正确。]
[典例2] (多选)如图所示，质量分别为m和2m的两个小球a和b，中间用轻质杆相连，在杆的中点O处有一固定转动轴，把杆置于水平位置后释放，在b球顺时针摆动到最低位置的过程中( )
A．b球的重力势能减少，动能增加，b球机械能守恒
B．a球的重力势能增加，动能也增加，a球机械能不守恒
C．a球、b球组成的系统机械能守恒
D．a球、b球组成的系统机械能不守恒
BC [b球从水平位置下摆到最低点的过程中，a球升至最高点，重力势能增加，动能也增加，机械能增加。由于a、b系统只有重力做功，则系统机械能守恒，既然a球机械能增加，b球机械能一定减小。故选BC。]
关于机械能守恒条件的三点提醒
(1)分析机械能是否守恒时，必须明确要研究的系统(如第2题中，守恒的是小球的机械能还是系统的机械能)。
(2)系统机械能守恒时，机械能一般在系统内物体间转移，其中的单个物体机械能通常不守恒。
(3)对于一些绳子突然绷紧、物体间碰撞等情况，除非题目特别说明，否则机械能必定不守恒。
单物体机械能守恒问题
1．表达式
2．求解单个物体机械能守恒问题的基本思路
(1)选对象：选取研究对象——物体。
(2)析受力、判守恒：根据研究对象所经历的物理过程，进行受力、做功分析，判断机械能是否守恒。
(3)析运动、明状态：在当地选取参考平面，确定研究对象在初、末状态时的机械能。
(4)列方程、解方程：选取方便的机械能守恒定律的方程形式(Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2，ΔEk＝－ΔEp)进行求解。
3．选用技巧
在处理单个物体机械能守恒问题时，通常应用守恒观点和转化观点，转化观点不用选取零势能面。
[典例3] 如图所示，在竖直平面内有由圆弧AB和圆弧BC组成的光滑固定轨道，两者在最低点B平滑连接。AB弧的半径为R，BC弧的半径为。一小球在A点正上方与A相距处由静止开始自由下落，经A点沿圆弧轨道运动。
(1)求小球在B、A两点的动能之比；
(2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点。
审题指导：
关键语句 获取信息
光滑固定圆弧轨道 小球在轨道内运动过程中不受摩擦力，弹力与速度方向垂直
小球能否运动到C点 由小球经C点的最小速度确定
[解析] (1)设小球的质量为m，小球在A点的动能为EkA，由机械能守恒定律得EkA＝mg
设小球在B点的动能为EkB，
同理有EkB＝mg
解得＝。
(2)若小球能沿轨道运动到C点，小球在C点所受轨道的弹力N应满足N≥0
设小球在C点的速度大小为vC，由牛顿运动定律和向心力公式有N＋mg＝
vC应满足，当且仅当小球恰好到达C点时取等号
由机械能守恒定律有mg＝
得出小球恰好可以沿轨道运动到C点。
[答案] (1)5∶1 (2)见解析
多物体机械能守恒问题
1．常见多物体机械能守恒的情境分析
(1)速率相等情境
用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。
(2)角速度相等情境
杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。
(3)关联速度情境
两物体速度的关联实质：沿绳(或沿杆)方向的分速度大小相等。
(4)“轻弹簧”连接的情境
由轻弹簧连接的物体系统，一般既有重力做功又有弹簧弹力做功，这时系统内物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化，而总的机械能守恒。
2．解决多物体系统机械能守恒的三点注意
(1)对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒。
(2)明确物体间的连接情况。
(3)列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式。
轻杆连接系统的机械能守恒
[典例4] (多选)(2024·广东惠州高三检测)将质量分别为m和2m的两个小球A和B，用长为2L的轻杆相连，如图所示，在杆的中点O处有一固定水平转动轴，把杆置于水平位置后由静止自由释放，已知重力加速度为g，在B球顺时针转动到最低位置的过程中(不计一切摩擦)( )
A．A、B两球的线速度大小始终不相等
B．重力对B球做功的瞬时功率先增大后减小
C．B球转动到最低位置时的速度大小为
D．杆对B球做正功，B球机械能不守恒
BC [A、B两球用轻杆相连共轴转动，角速度大小始终相等，转动半径相等，所以两球的线速度大小也相等，A错误；杆在水平位置时，重力对B球做功的瞬时功率为零，杆在竖直位置时，B球的重力方向和速度方向垂直，重力对B球做功的瞬时功率也为零，但在其他位置重力对B球做功的瞬时功率不为零，因此，重力对B球做功的瞬时功率先增大后减小，B正确；设B球转动到最低位置时速度为v，两球线速度大小相等，对A、B两球和杆组成的系统，由机械能守恒定律得2mgL－mgL＝，解得v＝ ，C正确；B球的重力势能减少了2mgL，动能增加了mgL，机械能减少了，所以杆对B球做负功，D错误。]
轻绳连接系统的机械能守恒
[典例5] (多选)如图所示，将一根光滑的硬质金属导线制成四分之一圆弧轨道AB后固定在竖直平面内，O1为轨道的圆心，O1B水平。质量为m的细圆环P套在轨道上，足够长的轻质细绳绕过光滑的细小定滑轮O2、O3分别连接圆环P与另一质量也为m的小球Q，AO1BO2为一边长为R的正方形。若将细圆环P从圆弧轨道的最高点A由静止释放，圆环P在细绳拉动下将沿轨道运动。已知重力加速度为g，空气阻力忽略不计，则细圆环P下滑至B点的过程中，下列说法正确的是( )
A．小球Q的机械能先增加后减少
B．细圆环P的机械能先减少后增加
C．小球Q的速度为零时，细圆环P的速度大小为
D．细圆环P运动到B点时，圆弧轨道对细圆环P的弹力大小为mg
CD [在细圆环P下滑至B点的过程中，小球Q先向下运动，后向上运动，细绳拉力对Q先做负功后做正功，因此小球Q的机械能先减少后增加，A错误；细绳拉力对细圆环P先做正功后做负功，因此细圆环P的机械能先增加后减少，B错误；根据速度的合成与分解可知，细圆环P的速度沿细绳方向的分量大小等于Q的速度大小，当小球Q的速度为零时，细圆环P的速度方向与细绳垂直，根据几何关系可知，此时细绳与水平方向的夹角为45°，根据机械能守恒定律有mg[R－(R－R)]＋mg(R－R cos 45°)＝，解得vP＝，C正确；细圆环P运动到B点时，P、Q的速度大小相等，设为v，根据机械能守恒定律可得mgR＝·2mv2，在B点，对细圆环P有N＝，解得圆弧轨道对细圆环P的弹力大小N＝mg，D正确。]
【典例5 教用·备选题】如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍。当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高。将A由静止释放，B上升的最大高度是( )
A．2R B． C． D．
C [如图所示，以A、B整体为系统，以地面为零势能面，设A的质量为2m，B的质量为m，根据机械能守恒定律有2mgR＝mgR＋×3mv2，A落地后B将以速度v做竖直上抛运动，即有mv2＝mgh，解得h＝R，则B上升的高度为R＋R＝R，故选项C正确。]
轻弹簧连接系统的机械能守恒
[典例6] 如图所示，A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固定的光滑斜面上，B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C球放在水平地面上。现用手控制住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行。已知A的质量为4m，B、C的质量均为m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计。开始时整个系统处于静止状态；释放A后，A沿斜面下滑至速度最大时，C恰好离开地面。求：
(1)斜面的倾角α；
(2)A球获得的最大速度vm。
审题指导：
关键语句 获取信息
固定的光滑斜面上 系统机械能守恒
使细线刚刚拉直但无拉力作用 弹簧处于压缩状态，且弹力等于B的重力
A沿斜面下滑至速度最大时，C恰好离开地面 弹簧处于伸长状态，且弹力等于C的重力
B、C的质量均为m 弹簧压缩量与伸长量相等，弹性势能相同
A球获得的最大速度vm A的加速度此时为零
[解析] (1)由题意可知，当A沿斜面下滑至速度最大时，C恰好离开地面，A的加速度此时为零。
由牛顿第二定律得4mg sin α－2mg＝0，则
sin α＝，α＝30°。
(2)由题意可知，mg＝kΔx，B球上升的高度x＝2Δx＝。A、B两小球及轻质弹簧组成的系统在初始时和A沿斜面下滑至速度最大时弹簧的弹性势能相等，对A、B、C三小球和弹簧组成的系统，由机械能守恒定律得4mgx sin α－mgx＝
联立解得vm＝2g。
[答案] (1)30° (2)2g
多个物体机械能守恒问题的分析方法
(1)正确选取研究对象，合理选取物理过程。
(2)对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒。
(3)注意寻找用轻绳、轻杆或轻弹簧相连接的物体间的速度关系和位移关系。
(4)列机械能守恒方程时，从三种表达式中选取方便求解问题的形式。
用机械能守恒定律解决非质点问题
1．特点：在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中重心位置相对物体会发生变化，因此这类物体不能再视为质点来处理，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒。
2．处理方法：一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置，根据初、末状态物体重力势能的变化列式求解。
[典例7] (多选)内径面积为S的U形圆筒竖直放在水平面上，筒内装水，底部阀门K关闭时两侧水面高度分别为h1和h2，如图所示。已知水的密度为ρ，重力加速度为g，不计水与筒壁的摩擦阻力。现把连接两筒的阀门K打开，当两筒水面高度相等时，则该过程中( )
A．水柱的重力做正功
B．大气压力对水柱做负功
C．水柱的机械能守恒
D．当两筒水面高度相等时，水柱的动能是ρgS(h1－h2)2
ACD [把连接两筒的阀门打开到两筒水面高度相等的过程中大气压力对左筒水面做正功，对右筒水面做负功，抵消为零。水柱的机械能守恒，重力做功等于重力势能的减少量，等于水柱增加的动能，等效于把左管高 的水柱移至右管，如图中的阴影部分所示，重心下降 ，重力所做正功WG＝ρgS·＝ρgS·(h1－h2)2，故A、C、D正确。]
[典例8] 如图所示，一长为L的均匀铁链对称挂在一轻质小滑轮上，由于某一微小的扰动使得链条向一侧滑动，滑轮离地面足够高，则铁链完全离开滑轮时的速度大小为(假设离开瞬间的速度方向向下，重力加速度为g)( )
A． B．
C． D．
C [铁链向一侧滑动的过程受重力和滑轮弹力的作用，弹力始终与对应各节链条的运动方向垂直，故弹力不做功，只有重力做功。设铁链刚好完全离开滑轮时的速度为v，由机械能守恒定律有mv2＋ΔEp＝0，其中铁链重力势能的变化量相当于滑离时下半部分的重力势能减去滑动前左半部分的重力势能，如图所示，即ΔEp＝－mg·，解得v＝，故C正确。]
1．如图所示，小球从高处下落到竖直放置的轻弹簧上，弹簧一直保持竖直，空气阻力不计，那么小球从接触弹簧开始到将弹簧压缩到最短的过程中，下列说法正确的是( )
A．小球的动能一直减小
B．小球的机械能守恒
C．克服弹力做功大于重力做功
D．最大弹性势能等于小球减少的动能
C [小球开始下落时，只受重力作用做加速运动，当与弹簧接触时，受到弹簧弹力作用，开始时弹簧压缩量小，因此重力大于弹力，速度增大，随着弹簧压缩量的增加，弹力增大，当重力等于弹力时，速度最大，然后弹簧继续被压缩，弹力大于重力，小球开始减速运动，所以整个过程中小球先加速后减速运动，根据Ek＝mv2，动能先增大然后减小，故A错误；在向下运动的过程中，小球受到的弹力对它做了负功，小球的机械能不守恒，故B错误；在向下运动过程中，重力势能减小，最终小球的速度为零，动能减小，弹簧的压缩量增大，弹性势能增大，根据能量守恒，最大弹性势能等于小球减少的动能和减小的重力势能之和，即克服弹力做功大于重力做功，故D错误，C正确。]
2．打桩机是基建常用工具。某种简易打桩机模型如图所示，重物A、B和C通过不可伸长的轻质长绳跨过两个光滑且等高的小定滑轮连接，在外力作用下使得C与滑轮等高(A、B和C均在空中)，且处于静止状态，C到两定滑轮的距离均为L。重物A和B的质量均为m，重物C的质量为 m。撤除外力，使C由静止开始竖直落下(始终未与地面相碰)，A、B、C均可视为质点。则重物C下落的最大距离为( )
A．8L B．6L
C．4L D．2L
C [设重物C下落的最大距离为h，此时重物A、B和C的速度均为0，根据几何关系可知重物A、B上升的高度均为h′＝－L，根据系统机械能守恒可得 mgh＝2mgh′＝2mg(－L)，解得h＝4L，故选C。]
3．(多选)(2025·广东梅州高三检测)如图所示，有质量分别为2m、m的小滑块P、Q，P套在固定竖直杆上，Q放在水平地面上。P、Q间通过铰链用长为L的刚性轻杆连接，一轻弹簧左端与Q相连，右端固定在竖直杆上，弹簧水平，α＝30°时，弹簧处于原长。当α＝30°时，P由静止释放，下降到最低点时α变为60°，整个运动过程中，P、Q始终在同一竖直平面内，弹簧在弹性限度内，忽略一切摩擦，重力加速度为g。则P下降过程中( )
A．P、Q组成的系统机械能守恒
B．当α＝45°时，P、Q的速度相同
C．弹簧弹性势能最大值为(－1)mgL
D．P下降过程中动能达到最大前，Q受到地面的支持力小于3mg
CD [对于P、Q组成的系统，由于弹簧对Q要做功，所以系统的机械能不守恒，但对P、Q、弹簧组成的系统，只有重力或弹簧弹力做功，系统的机械能守恒，故A错误；当α＝45°时，根据P、Q沿轻杆方向的分速度相等得 vQ cos 45°＝vP cos 45°，可得vP＝vQ，但速度方向不同，所以P、Q的速度不同，故B错误；根据系统机械能守恒可得Ep＝2mgL(cos 30°－cos 60°)，弹性势能的最大值为Ep＝(－1)mgL，故C正确；P下降过程中动能达到最大前，P加速下降，对P、Q整体，在竖直方向上根据牛顿第二定律有3mg－N＝2ma，则有N<3mg，故D正确。]
4．如图所示，倾角为37°的斜面与一竖直光滑圆轨道相切于A点，轨道半径R＝1 m，将滑块由B点无初速度释放，滑块恰能运动到圆周的C点，OC水平，OD竖直，xAB＝2 m，滑块可视为质点，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
(1)滑块在斜面上由B点运动至A点的时间；
(2)若滑块能从D点抛出，滑块仍从斜面上无初速度释放，释放点至少应距A点多远。
[解析] (1)设滑块到达A点的速度为vA，从A到C过程由机械能守恒有＝mgR cos 37°
从B到A过程，滑块做匀加速直线运动，由匀变速直线运动规律可知＝2axAB
vA＝at
联立各式解得a＝4 m/s2，t＝1 s。
(2)设滑块能从D点抛出的最小速度为vD，在D点，由重力提供向心力，有mg＝
从A到D由机械能守恒有
＝
＝2ax′
联立各式解得x′＝5.75 m。
[答案] (1)1 s (2)5.75 m
课时分层作业(十四) 机械能守恒定律及其应用
1．(多选)如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是( )
A．甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，物体A的机械能守恒
B．乙图中，物体A固定，物体B沿斜面匀速下滑，物体B的机械能守恒
C．丙图中，不计任何阻力和定滑轮质量时，A加速下落，B加速上升过程中，A、B组成的系统机械能守恒
D．丁图中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒
CD [题图甲中重力和系统内弹力做功，物体A和弹簧组成的系统机械能守恒，但物体A的机械能不守恒，A错误；题图乙中物体B除受重力外，还受到弹力和摩擦力作用，弹力不做功，但摩擦力做负功，物体B的机械能不守恒，B错误；题图丙中绳子张力对A做负功，对B做正功，代数和为零，A、B组成的系统机械能守恒，C正确；题图丁中小球的动能不变，势能不变，机械能守恒，D正确。]
2．(多选)(2025·广东东莞模拟)“蹦极”被称为“勇敢者的游戏”。如图甲所示将一根自然长度为OA的弹性轻绳一端系在人身上，另一端固定在跳台边缘。人从跳台由静止下落开始计时，下落过程中速度随时间的变化如图乙所示，图乙中 tA、tB、tC 三个时刻分别对应图甲中A、B、C 三个点，tB时刻对应图像最高点，不计空气阻力。下列说法正确的是( )
A．重力加速度大小为
B．人从A点运动到B点这一过程中，人的重力势能转化为动能
C．人在下落过程中，弹性绳对人先做正功再做负功
D．人从A点运动到C点这一过程中，人的机械能一直减少
AD [由题图乙可知，人从跳台下落到A点的过程，人做自由落体运动，可得重力加速度大小为g＝，故A正确；人从A点运动到B点这一过程中，人的重力势能转化为人的动能和弹性绳的弹性势能，故B错误；人在下落过程中，弹性绳的形变量一直增大，弹性势能一直增大，故弹性绳对人一直做负功，故C错误；人从A点运动到C点这一过程中，人和弹性绳组成的系统机械能守恒，由于下落过程中，弹性绳的弹性势能一直增大，故人的机械能一直减少，故D正确。]
3．(2025·广东清远高三检测)如图所示，光滑圆轨道固定在竖直面内，一质量为m的小球沿轨道做完整的圆周运动。已知小球在最低点时对轨道的压力大小为FN1，在最高点时对轨道的压力大小为FN2。重力加速度大小为g，则FN1－FN2的值为( )
A．3mg B．4mg C．5mg D．6mg
D [在最高点，根据牛顿第二定律可得FN2＋mg＝，在最低点，根据牛顿第二定律可得FN1－mg＝，从最高点到最低点过程中，机械能守恒，故有mg·2r＝，联立三式可得FN1－FN2＝6mg，选项D正确。]
4．如图所示，长为L的均匀链条放在光滑水平桌面上，且使其长度的垂在桌边，松手后链条从静止开始沿桌边下滑，则链条滑至刚离开桌边时的速度大小为(假设离开瞬间的速度方向向下，重力加速度为g)( )
A． B．
C． D．4
C [取桌面为零势能面，设链条的总质量为m，开始时链条的机械能E1＝－mg·L，当链条刚脱离桌面时的机械能E2＝mv2－，由机械能守恒可得E1＝E2，即有－mg·＝mv2－，解得v＝，故C正确。]
5．铅球被水平推出后的运动过程中，不计空气阻力，下列关于铅球在空中运动时的加速度大小a、速度大小v、动能Ek和机械能E随运动时间t的变化关系中，正确的是( )
A B C D
D [铅球被水平推出后，不考虑空气阻力，则铅球做平抛运动，其在运动过程中仅受重力，则加速度为重力加速度，保持不变，铅球的机械能保持不变，A错误，D正确；设铅球的初速度为v0，运动时间为t，则铅球的速度大小v＝，显然速度大小v与时间t并不是线性关系，B错误；铅球的动能Ek＝＋(gt)2]，动能Ek与时间t为二次函数关系，并不是线性关系，C错误。]
6．(2024·广东韶关高三期末)如图所示，有一光滑轨道ABC，AB部分为半径为R的圆弧，BC部分水平，质量均为m的小球a、b固定在竖直轻杆的两端，轻杆长为R，小球可视为质点，开始时a球处于圆弧上端A点，由静止开始释放小球和轻杆，使其沿光滑弧面下滑，重力加速度为g，下列说法正确的是( )
A．a球下滑过程中机械能保持不变
B．b球下滑过程中机械能保持不变
C．a、b球都滑到水平轨道上时速度大小均为
D．从释放a、b球到a、b球都滑到水平轨道上，整个过程中轻杆对a球做的功为mgR
D [对于单个小球来说，杆的弹力做功，小球机械能不守恒，A、B错误；两个小球组成的系统只有重力做功，所以系统的机械能守恒，故有mgR＋mg·2R＝·2mv2，解得v＝，选项C错误；a球在滑落过程中，杆对小球做功，重力对小球做功，故根据动能定理可得W＋mgR＝mv2，联立v＝，解得W＝mgR，故D正确。]
7．如图所示，竖直平面内有一半径R＝0.5 m的光滑圆弧槽BCD，B点与圆心O等高，一水平面与圆弧槽相接于D点，质量m＝0.5 kg的小球从B点正上方H高处的A点自由下落，由B点进入圆弧轨道，从D点飞出后落在水平面上的Q点，D、Q间的距离x＝2.4 m，球从D点飞出后的运动过程中相对于水平面上升的最大高度h＝0.8 m，g取10 m/s2，不计空气阻力，求：
(1)小球释放点到B点的高度H；
(2)经过圆弧槽最低点C时轨道对小球的支持力大小FN。
[解析] (1)设小球在飞行过程中通过最高点P的速度为v0，P到D和P到Q可视为两个对称的平抛运动
则有h＝gt2，＝v0t，可得t＝0.4 s，v0＝＝3 m/s
在D点有vy＝gt＝4 m/s
在D点的合速度大小为v＝＝5 m/s
设v与水平方向夹角为θ，则cos θ＝＝
A到D过程机械能守恒mgH＋mgR cos θ＝mv2
联立解得H＝0.95 m。
(2)设小球经过C点时速度大小为vC，A到C过程机械能守恒mg(H＋R)＝
由牛顿第二定律有FN－mg＝
联立解得FN＝34 N。
[答案] (1)0.95 m (2)34 N
8．(2024·广东湛江高三期末)如图所示，滑块a、b的质量均为m，a套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上。a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动。不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g，则( )
A．a落地前，轻杆对b一直做正功
B．a落地时速度大小为
C．a下落过程中，其加速度大小始终不大于g
D．a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mg
D [当a到达底端时，b的速度为零，b的速度在整个过程中先增大后减小，动能先增大后减小，所以轻杆对b先做正功，后做负功，A错误；a运动到最低点时，b的速度为零，根据系统机械能守恒得mgh＝，解得vA＝，B错误；b的速度在整个过程中先增大后减小，杆对b的作用力先是动力后是阻力，所以杆对a的作用力就先是阻力后是动力，所以在b减速的过程中，杆对a是斜向下的拉力，此时a的加速度大于重力加速度，C错误；a、b及杆组成的系统的机械能守恒，当a的机械能最小时，b的速度最大，此时b受到杆的推力为零，b只受到重力和支持力的作用，结合牛顿第三定律可知，b对地面的压力大小为mg，D正确。]
9．(2024·广东揭阳第二次模拟)如图所示，一光滑细杆固定在水平面上的C点，细杆与水平面的夹角为30°，一原长为L的轻质弹性绳，下端固定在水平面上的B点，上端与质量为m的小环相连，当把小环拉到A点时，AB与地面垂直，弹性绳长为2L，将小环从A点由静止释放，当小环运动到AC的中点D时，速度达到最大。重力加速度为g，下列说法正确的是( )
A．在下滑过程中小环的机械能先减小后增大
B．小环刚释放时的加速度大小为g
C．小环到达AD的中点时，弹性绳的弹性势能为零
D．小环的最大速度为
B [小环和弹性绳组成的系统机械能守恒，小环到达AC的中点D时，弹性绳的长度为2L，伸长量不为0，在AD之间有一位置弹性绳与AC垂直，小环从A点到弹性绳与AC垂直位置的过程中，弹性绳对小环做正功，从弹性绳与AC垂直位置到C点的过程中，弹性绳对小环做负功，所以下滑过程中小环的机械能先增大后减小，故A错误；在A位置，环受重力、弹性绳拉力和支持力，根据牛顿第二定律，有mg sin 30°＋F弹sin 30°＝ma，在D点，环的速度最大，说明加速度为零，弹性绳长度为2L，故mg sin 30°－F弹cos 60°＝0，联立解得a＝g，故B正确；小环到达AD的中点时，弹性绳的长度为L，伸长量不为0，故弹性势能不为零，故C错误；在D点速度最大，此时弹性绳长度等于初位置弹性绳的长度，故初位置和D位置环的弹性势能相等，所以mg·2L cos 60°＝mv2，解得v＝，故D错误。]
10．(2024·广东二模)如图所示，某升降电梯的轿厢A、配重B和电动机由轻质缆绳连接，电动机拉动B，使A运动。某次运行时，A(含载重)的质量M＝1 000 kg，t＝0时，A从1楼由静止开始以0.5 m/s2的加速度加速运动，然后以v＝1 m/s 的速度匀速运动，最后以大小为0.5 m/s2的加速度减速上升至3楼停止，A上升的高度h＝7 m。已知B的质量m＝800 kg，不计空气阻力和摩擦阻力，g取10 m/s2。求：
(1)此次电梯匀速运行的时间；
(2)t＝1 s时，B下端缆绳的拉力大小；
(3)A(含载重)从静止开始上升到5 m的过程，A(含载重)的机械能增量。
[解析] (1)电梯加速运行的时间
t1＝＝2 s
位移
h1＝t1＝1 m
减速运行的时间
t2＝＝2 s
位移
h2＝t2＝1 m
匀速运行的时间
t3＝＝5 s。
(2)由(1)可知t＝1 s时，A匀加速上升，B匀加速下降，设B下端缆绳的拉力大小为F，B上端缆绳的拉力大小为T，对A、B分别有
T－Mg＝Ma
F＋mg－T＝ma
代入数据解得
F＝2 900 N。
(3)由(1)可知A上升到5 m时，速度大小为1 m/s，机械能增量
ΔE＝Mv2＋MgΔh
代入数据解得
ΔE＝50 500 J。
[答案] (1)5 s (2)2 900 N (3)50 500 J
11．(2025·广东汕尾高三调研)如图所示，竖直光滑的固定杆上套有一滑块A，滑块通过细绳绕过光滑定滑轮连接物块B，B又通过一轻质弹簧连接物块C，C静止在地面上。开始用手托住A，使绳子刚好伸直处于水平位置但无张力，现将A由静止释放，当A、B速度达到最大时，C也刚好同时离开地面(此时B还没有到达定滑轮位置)。已知mA＝1.2 kg，mB＝mC＝1.0 kg，定滑轮与杆的水平距离L＝0.8 m，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6。求：
(1)A下降多大距离时速度最大；
(2)弹簧的劲度系数k；
(3)A的最大速度是多少？
[解析] (1)如图所示，设A下降h时速度达最大，此时绳与杆夹角为θ，绳中张力为T。
因为滑块A速度达到最大，故加速度为零，即受力平衡，有mAg＝T cos θ
此时C刚好离开地面，故T＝(mB＋mC)g＝20 N
解得cos θ＝0.6，即θ＝53°
所以h＝＝ m＝0.6 m。
(2)开始时绳中无张力，对B分析，有mBg＝kx1
C离开地面时，有mCg＝kx2
又x1＋x2＝－L
可解得k＝100 N/m。
(3)由(2)知，x1＝x2＝0.1 m，故初、末状态弹簧的弹性势能相等，对A、B、C及弹簧组成的系统由机械能守恒定律有
mAgh－mBg(x1＋x2)＝
又vB＝vA cos θ
联立可解得vA＝ m/s。
[答案] (1)0.6 m (2)100 N/m (3) m/s
23 / 23 机械能守恒定律及其应用
1．重力做功的特点
(1)重力做功只跟它的起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关。
(2)重力做功不引起物体________的变化。
2．重力势能
(1)表达式Ep＝________。
(2)重力势能的特点
①系统性：重力势能是物体和________所共有的。
②相对性：重力势能的大小与参考平面的选取________，但重力势能的变化量与参考平面的选取________。
(3)ΔEp与WG的关系
①定性关系：重力对物体做正功，重力势能____________；重力对物体做负功，重力势能________。
②定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的________量，即WG＝－(Ep2－Ep1)＝－ΔEp。
3．弹性势能
(1)定义：发生____________的物体的各部分之间由于有弹力的相互作用而具有的势能。
(2)ΔEp与W弹的关系：弹力做正功，弹性势能________；弹力做负功，弹性势能________。定量表达式为W弹＝－ΔEp。
4．机械能守恒定律
(1)内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，________与________可以互相转化，总的机械能____________。
(2)表达式：＝。
(3)守恒条件
①系统只受重力或弹簧弹力的作用，不受其他外力。
②系统除受重力或弹簧弹力作用外，还受其他内力和外力，但这些力对系统________。
③系统内除重力或弹簧弹力做功外，还有其他内力和外力做功，但这些力做功的代数和________。
1．易错易混辨析
粤教版必修第二册第104页“资料活页”：地铁线路节能设计——优化线路节能坡。据此情境进行判断(分析问题时，忽略摩擦和空气阻力)：
(1)列车关闭发动机上坡进站的过程中，动能转化为重力势能。 ( )
(2)列车关闭发动机，从开始上坡到完全进站过程中，机械能增加mgh。 ( )
(3)若列车刚要上坡时的初速度为v0，列车质量为m，则列车的机械能一定为。 ( )
(4)列车的机械能大小与零势能参考平面的选取有关。 ( )
2．(人教版必修第二册改编)(多选)如图所示，在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上。若以地面为零势能面，而且不计空气阻力，则下列说法正确的是( )
A．重力对物体做的功为mgh
B．物体在海平面上的重力势能为mgh
C．物体在海平面上的动能为－mgh
D．物体在海平面上的机械能为
机械能守恒的判断
1．对机械能守恒条件的理解
(1)只受重力作用，物体的机械能守恒(例如平抛运动)。
(2)除重力外，物体还受其他力，但其他力不做功或做功代数和为零。
(3)对物体和弹簧组成的系统，只有重力和弹力做功，系统的机械能守恒。注意：并非物体的机械能守恒。
2．机械能是否守恒的三种判断方法
(1)利用机械能的定义判断：若物体动能、势能之和不变，机械能守恒。
(2)用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，或有其他力做功，但其他力做功的代数和为零，则机械能守恒。
(3)利用能量转化判断：若物体系统与外界没有能量交换，只存在系统内动能和势能的相互转化，则物体系统机械能守恒。
[典例1] 如图所示，斜面体置于光滑水平地面上，其光滑斜面上有一物体由静止沿斜面下滑，在物体下滑过程中，下列说法正确的是( )
A．物体的重力势能减少，动能不变
B．斜面体的机械能不变
C．斜面对物体的作用力垂直于接触面，不对物体做功
D．物体和斜面体组成的系统机械能守恒
[听课记录]
[典例2] (多选)如图所示，质量分别为m和2m的两个小球a和b，中间用轻质杆相连，在杆的中点O处有一固定转动轴，把杆置于水平位置后释放，在b球顺时针摆动到最低位置的过程中( )
A．b球的重力势能减少，动能增加，b球机械能守恒
B．a球的重力势能增加，动能也增加，a球机械能不守恒
C．a球、b球组成的系统机械能守恒
D．a球、b球组成的系统机械能不守恒
[听课记录]
关于机械能守恒条件的三点提醒
(1)分析机械能是否守恒时，必须明确要研究的系统(如第2题中，守恒的是小球的机械能还是系统的机械能)。
(2)系统机械能守恒时，机械能一般在系统内物体间转移，其中的单个物体机械能通常不守恒。
(3)对于一些绳子突然绷紧、物体间碰撞等情况，除非题目特别说明，否则机械能必定不守恒。
单物体机械能守恒问题
1．表达式
2．求解单个物体机械能守恒问题的基本思路
(1)选对象：选取研究对象——物体。
(2)析受力、判守恒：根据研究对象所经历的物理过程，进行受力、做功分析，判断机械能是否守恒。
(3)析运动、明状态：在当地选取参考平面，确定研究对象在初、末状态时的机械能。
(4)列方程、解方程：选取方便的机械能守恒定律的方程形式(Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2，ΔEk＝)进行求解。
3．选用技巧
在处理单个物体机械能守恒问题时，通常应用守恒观点和转化观点，转化观点不用选取零势能面。
[典例3] 如图所示，在竖直平面内有由圆弧AB和圆弧BC组成的光滑固定轨道，两者在最低点B平滑连接。AB弧的半径为R，BC弧的半径为。一小球在A点正上方与A相距处由静止开始自由下落，经A点沿圆弧轨道运动。
(1)求小球在B、A两点的动能之比；
(2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点。
审题指导：
关键语句 获取信息
光滑固定圆弧轨道 小球在轨道内运动过程中不受摩擦力，弹力与速度方向垂直
小球能否运动到C点 由小球经C点的最小速度确定
[听课记录]
多物体机械能守恒问题
1．常见多物体机械能守恒的情境分析
(1)速率相等情境
用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。
(2)角速度相等情境
杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。
(3)关联速度情境
两物体速度的关联实质：沿绳(或沿杆)方向的分速度大小相等。
(4)“轻弹簧”连接的情境
由轻弹簧连接的物体系统，一般既有重力做功又有弹簧弹力做功，这时系统内物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化，而总的机械能守恒。
2．解决多物体系统机械能守恒的三点注意
(1)对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒。
(2)明确物体间的连接情况。
(3)列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝或ΔEA＝－ΔEB的形式。
轻杆连接系统的机械能守恒
[典例4] (多选)(2024·广东惠州高三检测)将质量分别为m和2m的两个小球A和B，用长为2L的轻杆相连，如图所示，在杆的中点O处有一固定水平转动轴，把杆置于水平位置后由静止自由释放，已知重力加速度为g，在B球顺时针转动到最低位置的过程中(不计一切摩擦)( )
A．A、B两球的线速度大小始终不相等
B．重力对B球做功的瞬时功率先增大后减小
C．B球转动到最低位置时的速度大小为
D．杆对B球做正功，B球机械能不守恒
[听课记录]
轻绳连接系统的机械能守恒
[典例5] (多选)如图所示，将一根光滑的硬质金属导线制成四分之一圆弧轨道AB后固定在竖直平面内，O1为轨道的圆心，O1B水平。质量为m的细圆环P套在轨道上，足够长的轻质细绳绕过光滑的细小定滑轮O2、O3分别连接圆环P与另一质量也为m的小球Q，AO1BO2为一边长为R的正方形。若将细圆环P从圆弧轨道的最高点A由静止释放，圆环P在细绳拉动下将沿轨道运动。已知重力加速度为g，空气阻力忽略不计，则细圆环P下滑至B点的过程中，下列说法正确的是( )
A．小球Q的机械能先增加后减少
B．细圆环P的机械能先减少后增加
C．小球Q的速度为零时，细圆环P的速度大小为
D．细圆环P运动到B点时，圆弧轨道对细圆环P的弹力大小为mg
[听课记录]
轻弹簧连接系统的机械能守恒
[典例6] 如图所示，A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固定的光滑斜面上，B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C球放在水平地面上。现用手控制住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行。已知A的质量为4m，B、C的质量均为m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计。开始时整个系统处于静止状态；释放A后，A沿斜面下滑至速度最大时，C恰好离开地面。求：
(1)斜面的倾角α；
(2)A球获得的最大速度vm。
审题指导：
关键语句 获取信息
固定的光滑斜面上 系统机械能守恒
使细线刚刚拉直但无拉力作用 弹簧处于压缩状态，且弹力等于B的重力
A沿斜面下滑至速度最大时，C恰好离开地面 弹簧处于伸长状态，且弹力等于C的重力
B、C的质量均为m 弹簧压缩量与伸长量相等，弹性势能相同
A球获得的最大速度vm A的加速度此时为零
[听课记录]
多个物体机械能守恒问题的分析方法
(1)正确选取研究对象，合理选取物理过程。
(2)对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒。
(3)注意寻找用轻绳、轻杆或轻弹簧相连接的物体间的速度关系和位移关系。
(4)列机械能守恒方程时，从三种表达式中选取方便求解问题的形式。
用机械能守恒定律解决非质点问题
1．特点：在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中重心位置相对物体会发生变化，因此这类物体不能再视为质点来处理，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒。
2．处理方法：一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置，根据初、末状态物体重力势能的变化列式求解。
[典例7] (多选)内径面积为S的U形圆筒竖直放在水平面上，筒内装水，底部阀门K关闭时两侧水面高度分别为h1和h2，如图所示。已知水的密度为ρ，重力加速度为g，不计水与筒壁的摩擦阻力。现把连接两筒的阀门K打开，当两筒水面高度相等时，则该过程中( )
A．水柱的重力做正功
B．大气压力对水柱做负功
C．水柱的机械能守恒
D．当两筒水面高度相等时，水柱的动能是ρgS(h1－h2)2
[听课记录]
[典例8] 如图所示，一长为L的均匀铁链对称挂在一轻质小滑轮上，由于某一微小的扰动使得链条向一侧滑动，滑轮离地面足够高，则铁链完全离开滑轮时的速度大小为(假设离开瞬间的速度方向向下，重力加速度为g)( )
A． B．
C． D．
[听课记录]
1．如图所示，小球从高处下落到竖直放置的轻弹簧上，弹簧一直保持竖直，空气阻力不计，那么小球从接触弹簧开始到将弹簧压缩到最短的过程中，下列说法正确的是( )
A．小球的动能一直减小
B．小球的机械能守恒
C．克服弹力做功大于重力做功
D．最大弹性势能等于小球减少的动能
2．打桩机是基建常用工具。某种简易打桩机模型如图所示，重物A、B和C通过不可伸长的轻质长绳跨过两个光滑且等高的小定滑轮连接，在外力作用下使得C与滑轮等高(A、B和C均在空中)，且处于静止状态，C到两定滑轮的距离均为L。重物A和B的质量均为m，重物C的质量为 m。撤除外力，使C由静止开始竖直落下(始终未与地面相碰)，A、B、C均可视为质点。则重物C下落的最大距离为( )
A．8L B．6L
C．4L D．2L
3．(多选)(2025·广东梅州高三检测)如图所示，有质量分别为2m、m的小滑块P、Q，P套在固定竖直杆上，Q放在水平地面上。P、Q间通过铰链用长为L的刚性轻杆连接，一轻弹簧左端与Q相连，右端固定在竖直杆上，弹簧水平，α＝30°时，弹簧处于原长。当α＝30°时，P由静止释放，下降到最低点时α变为60°，整个运动过程中，P、Q始终在同一竖直平面内，弹簧在弹性限度内，忽略一切摩擦，重力加速度为g。则P下降过程中( )
A．P、Q组成的系统机械能守恒
B．当α＝45°时，P、Q的速度相同
C．弹簧弹性势能最大值为(－1)mgL
D．P下降过程中动能达到最大前，Q受到地面的支持力小于3mg
4．如图所示，倾角为37°的斜面与一竖直光滑圆轨道相切于A点，轨道半径R＝1 m，将滑块由B点无初速度释放，滑块恰能运动到圆周的C点，OC水平，OD竖直，xAB＝2 m，滑块可视为质点，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
(1)滑块在斜面上由B点运动至A点的时间；
(2)若滑块能从D点抛出，滑块仍从斜面上无初速度释放，释放点至少应距A点多远。
1 / 12
