磁场对运动电荷的作用
1．洛伦兹力
(1)定义：运动电荷在磁场中受到的力。
(2)大小
F＝0(v∥B时)
F＝qvB(v⊥B时)
F＝qvB sin θ(v与B夹角为θ)
注意：“v”指电荷相对于磁场的速度。
(3)方向判定
左手定则：伸出左手，使拇指与其余四个手指垂直，并且都与手掌在同一个平面内。让磁感线从掌心垂直进入，并使四指指向正电荷运动的方向(或负电荷运动的反方向)。这时拇指所指的方向就是运动电荷在磁场中所受洛伦兹力的方向。
(4)特点：F⊥B，F⊥v，即F垂直于B与v决定的平面，F与v始终垂直，洛伦兹力不做功。
2．带电粒子在匀强磁场中的运动
(1)v∥B时：带电粒子做匀速直线运动。
(2)v⊥B时
①运动性质：匀速圆周运动。
②动力学方程：qvB＝m。
③半径、周期公式：r＝，T＝。
④运动时间：t＝＝T。
1．易错易混辨析
(1)带电粒子在磁场中运动时一定会受到磁场力的作用。 (×)
(2)洛伦兹力的方向在特殊情况下可能与带电粒子的速度方向不垂直。 (×)
(3)根据公式T＝，说明带电粒子在匀强磁场中的运动周期T与v成反比。 (×)
(4)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，其运动半径与带电粒子的比荷有关。 (√)
2．(人教版选择性必修第二册改编)如图所示，一束电子以垂直于磁感应强度B并垂直于磁场边界的速度v射入宽度为d的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向和原来射入方向的夹角为θ＝60°。下列判断正确的有( )
A．电子轨迹所对圆心角为30°
B．电子的轨迹半径为
C．电子的比荷为
D．电子穿越磁场的时间为
D [作出辅助线如图所示，根据几何关系可知，电子轨迹所对圆心角为θ＝60°，A错误；设电子的轨迹半径为r，由几何关系有r sin θ＝d，解得r＝，B错误；由洛伦兹力提供向心力有qvB＝，解得＝，C错误；电子在磁场中做圆周运动的周期T＝＝，电子穿越磁场的时间为t＝·T，联立解得t＝，D正确。]
洛伦兹力的理解
1．洛伦兹力的特点
(1)利用左手定则判断洛伦兹力的方向，注意区分正、负电荷。
(2)运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力作用。
(3)洛伦兹力一定不做功。
2．洛伦兹力与安培力的联系及区别
(1)安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者是相同性质的力，都是磁场力。
(2)安培力可以做功，而洛伦兹力对运动电荷不做功。
3．洛伦兹力与电场力的比较
项目 洛伦兹力 电场力
产生条件 v≠0且v与B不平行 电荷处在电场中
大小 F＝qvB(v⊥B) F＝qE
力方向与场方向的关系 F⊥B(F⊥B、v平面) F∥E
做功情况 任何情况下都不做功 可能做功，也可能不做功
作用效果 只改变电荷运动的方向，不改变速度大小 既可以改变电荷运动的速度大小，也可以改变速度方向
[典例1] (2022·广东卷)如图所示，一个立方体空间被对角平面MNPQ划分成两个区域，两区域分布有磁感应强度大小相等、方向相反且与z轴平行的匀强磁场。一质子以某一速度从立方体左侧垂直Oyz平面进入磁场，并穿过两个磁场区域。下列关于质子运动轨迹在不同坐标平面的投影中，可能正确的是( )
A B
C D
A [由题意知，当质子射出后先在MN左侧运动，刚射出时根据左手定则可知受到y轴正方向的洛伦兹力，即在MN左侧会向y轴正方向偏移，做匀速圆周运动，y轴坐标增大，在MN右侧根据左手定则可知洛伦兹力反向，质子在y轴正方向上可能做减速运动，故A正确，B错误；根据左手定则可知质子在整个运动过程中都只受到平行于Oxy平面的洛伦兹力作用，在z轴方向上没有运动，z轴坐标不变，故C、D错误。故选A。]
[典例2] (2025·广东湛江模拟)初速度为v0的电子，沿平行于通电长直导线的方向射出，直导线中电流方向与电子的初始运动方向如图所示，则( )
A．电子将向右偏转，速率不变
B．电子将向左偏转，速率改变
C．电子将向左偏转，速率不变
D．电子将向右偏转，速率改变
A [由安培定则可知直导线右侧磁场的方向垂直纸面向里，再根据左手定则可知电子所受洛伦兹力方向水平向右，即电子将向右偏转，由于洛伦兹力不做功，电子动能不变，即速率不变，A项正确。]
带电粒子在匀强磁场中的运动
1．两种方法定圆心
方法一：已知入射点、入射方向和出射点、出射方向时，可通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨迹的圆心(如图甲所示)。
方法二：已知入射方向和入射点、出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨迹的圆心(如图乙所示)。
2．利用几何知识求半径
利用平面几何关系，求出轨迹圆的可能半径(或圆心角)，求解时注意以下几个重要的几何特点：
(1)粒子速度的偏向角(φ)等于圆心角(α)，并等于AB弦与切线的夹角(弦切角θ)的2倍(如图所示)，即φ＝α＝2θ＝ωt。
(2)直角三角形的应用(勾股定理)。
找到AB的中点C，连接OC，则△AOC、△BOC都是直角三角形。
3．求时间的两种方法
方法一：由运动弧长计算，t＝(l为弧长)；
方法二：由旋转角度计算，t＝T或t＝T。
4．三类边界磁场中的轨迹特点
(1)直线边界：进出磁场具有对称性。
(2)平行边界：存在临界条件。
(3)圆形边界：等角进出，沿径向射入必沿径向射出。
无论带电粒子在哪类边界磁场中做匀速圆周运动，解题时都要抓住三个步骤：
[典例3] 如图所示，在直线MN上及其下方的半圆形区域内、外分别存在磁场方向垂直纸面向外和向里的匀强磁场。已知半圆的圆心为O，半径为r，M、O、N三点共线，N是圆外一点且OM＝ON。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从M点在纸面内沿MO垂直于磁场射入半圆中，第一次从A点(图中未画出)沿圆的半径方向射出半圆形区域后从N点垂直MN离开磁场区域。不计粒子重力，半圆内、外磁场的磁感应强度大小之比为( )
A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶5
C [根据题意，作出带电粒子在半圆内、外的运动轨迹，如图所示，设粒子在半圆内、外磁场中运动的轨道半径分别为R1、R2，由几何关系可知＝(2r－R2)2，△O2AO与△O2MO1相似，则＝，有＝，解得R1＝3r，R2＝，粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力充当向心力，有Bqv＝，即B＝，则B内＝，B外＝，解得B内∶B外＝1∶4，故选C。]
[典例4] (2025·广东江门检测)如图所示，在正六边形ABCDEF的内接圆范围内存在着方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小可以调节。正六边形的边长为l，O为正六边形的中心点，M、N分别为内接圆与正六边形AB边和BC边的切点，在M点安装一个粒子源，可向磁场区域内沿着垂直磁场的各个方向发射比荷为、速率为v的粒子，不计粒子重力。
(1)若沿MO方向射入磁场的粒子恰能从N点离开磁场，求匀强磁场的磁感应强度的大小；
(2)若匀强磁场的磁感应强度的大小调节为B＝，求粒子源发射的粒子在磁场中运动的最长时间。
[解析] (1)粒子以速率v沿MO方向射入磁场，恰能从N点离开磁场，轨迹如图甲所示：
由几何关系可知磁场圆的半径为R＝l
设轨迹圆半径为r1，
则tan ＝，θ＝60°
解得r1＝l
由牛顿第二定律可得qvB1＝m
解得B1＝。
(2)磁感应强度变化以后，大量此类粒子从M点射入磁场，由牛顿第二定律可得qvB＝m
解得r2＝l
粒子射入方向任意，粒子在磁场中运动时间最长时，弧长(劣弧)最长，对应的弦长最长(磁场圆的直径)，轨迹如图乙所示：
由几何关系得α＝
则粒子在磁场中运动的最长时间tmax＝
又T＝，解得tmax＝。
[答案] (1) (2)
带电粒子在有界磁场中运动的临界、极值与多解问题
1．带电粒子在磁场中运动的临界与极值问题分析
(1)找准临界点
以题目中“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语为突破口，挖掘隐含条件，分析可能的情况，必要时画出几个半径不同的轨迹，找出临界条件，如：
①刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。
②当速率v一定时，弧长(或弦长)越长，圆心角越大，则带电粒子在有界匀强磁场中运动的时间越长。
③圆形匀强磁场中，当运动轨迹圆半径大于磁场区域圆半径时，则入射点和出射点为磁场直径的两端点时，轨迹对应的偏转角最大。
(2)掌握有界磁场中临界问题的处理方法
①旋转圆法：粒子速度大小不变，方向改变，则r＝大小不变，但轨迹的圆心位置变化，相当于圆心在绕着入射点滚动(如图甲所示)。
②放缩圆法：入射粒子的速度方向不变，大小变化，形成圆心在一条射线上变动、半径大小不断变化的放缩圆(如图乙所示)。
③平移圆法：速度大小和方向相同的一排相同粒子进入直线边界，各粒子的轨迹圆弧可以由其他粒子的轨迹圆弧沿着边界平移得到(如图丙所示)。
2．带电粒子在磁场中运动的多解问题
带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于带电粒子电性不确定、磁场方向不确定、临界状态不确定、运动的往复性造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题。
①找出多解的原因。
②画出粒子的可能轨迹，找出圆心、半径的可能情况。
带电粒子在磁场中的临界、极值问题
[典例5] (2025·广东河源模拟)如图所示，OA、OB为相互垂直的有界匀强磁场边界，磁场磁感应强度B＝10 T，方向垂直纸面向里，S为粒子源，可向磁场内各个方向均匀发射比荷＝1.0×104 C/kg的带正电粒子，速度v0＝1.0×104 m/s。PQ为一长度为10 cm的荧光屏，已知OQ＝OS＝10 cm，不考虑粒子间的相互作用，粒子重力忽略不计，则下列说法正确的是( )
A．有的粒子可以打到荧光屏上，且荧光屏发光的长度为10(－1) cm
B．有的粒子可以打到荧光屏上，且荧光屏发光的长度为10(－1) cm
C．有的粒子可以打到荧光屏上，且荧光屏发光的长度为10 cm
D．有的粒子可以打到荧光屏上，且荧光屏发光的长度为10(－1) cm
A [粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，可得qv0B＝，解得r＝10 cm，粒子在磁场中运动的轨迹如图所示：
根据几何关系，水平向右射出的粒子刚好打到Q点，竖直向上射出的粒子也刚好打到Q点，则这两个速度方向之间的粒子可以打到荧光屏上，因此有的粒子可以打到荧光屏上，其中SM(M为粒子打在边界OB上距O最远的点)为轨迹直径，根据几何关系可得OM＝r＝10 cm，所以荧光屏发光长度为QM＝10(－1) cm，故选A。]
带电粒子在磁场中运动的多解问题
[典例6] 如图甲所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O′正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示。有一群正离子在t＝0时垂直于M板从小孔O射入磁场。已知正离子质量为m、带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力。求：
(1)磁感应强度B0的大小；
(2)要使正离子从O′垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度大小v0的可能值。
[解析] 设垂直于纸面向里的磁场方向为正方向。
(1)正离子射入磁场，洛伦兹力提供向心力，则有
qv0B0＝
做匀速圆周运动的周期T0＝
由以上两式得B0＝。
(2)要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，正离子运动轨迹应如图所示，两板之间正离子只运动一个周期即T0时，有R＝；当两板之间正离子运动n个周期即nT0时，有R＝(n＝1，2，3，…)
又R＝
得正离子的速度大小的可能值为
v0＝＝(n＝1，2，3，…)
说明：此题中若假设垂直纸面向外的磁场方向为正方向，经分析可知对答案无影响。
[答案] (1) (2)(n＝1，2，3，…)
解决多解问题的技巧方法
(1)分析题目特点，确定题目多解的形成原因。
(2)作出粒子的运动轨迹示意图(全面考虑多种可能性)。
(3)根据带电粒子的运动轨迹利用圆周运动的周期性寻找通项式，若是出现几种解的可能性，注意每种解出现的条件。
1．(多选)如图所示，一带电粒子以初速度v0沿x轴正方向从坐标原点O射入，并经过点P(a>0，b>0)。若上述过程仅由方向平行于y轴的匀强电场实现，粒子从O到P运动的时间为t1，到达P点的动能为Ek1。若上述过程仅由方向垂直于纸面的匀强磁场实现，粒子从O到P运动的时间为t2，到达P点的动能为Ek2。下列关系式正确的是( )
A．t1t2
C．Ek1Ek2
AD [当该过程由方向平行于y轴的匀强电场实现，此时粒子做类平抛运动，沿x轴正方向做匀速直线运动，当该过程仅由方向垂直于纸面的匀强磁场实现，此时粒子做匀速圆周运动，沿x轴正方向分速度在减小，根据t＝可知t1＜t2，故A正确，B错误；当该过程由方向平行于y轴的匀强电场实现，此时粒子做类平抛运动，到达P点时速度大于v0，当该过程仅由方向垂直于纸面的匀强磁场实现，此时粒子做匀速圆周运动，到达P点时速度等于v0，而根据Ek＝mv2可知Ek1＞Ek2，故C错误，D正确。故选AD。]
2．(多选)如图所示，圆形区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里。质量为m、电荷量为q的带电粒子由A点沿平行于直径CD的方向射入磁场，经过圆心O，最后离开磁场。已知圆形区域半径为R，A点到CD的距离为，不计粒子重力。则( )
A．粒子带负电
B．粒子运动速率为
C．粒子在磁场中运动的时间为
D．粒子在磁场中运动的路程为
AD [由于粒子经过圆心O，最后离开磁场，可知，粒子在A点所受洛伦兹力向下，根据左手定则，四指指向与速度方向相反，可知，粒子带负电，故A正确；由于圆形区域半径为R，A点到CD的距离为，设粒子圆周运动的半径为r，根据几何关系有r2＝＋R2－，解得r＝R，粒子做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有qv0B＝，解得v0＝，故B错误；根据上述分析，作出运动轨迹，如图所示，由于圆形区域半径为R，A点到CD的距离为，粒子圆周运动的半径也为R，则△AOO′与△EOO′均为等边三角形，则轨迹所对应的圆心角为120°，粒子圆周运动的周期T＝＝，则粒子在磁场中运动的时间为t＝T＝，故C错误；结合上述分析可知，粒子在磁场中运动的路程为x＝·2πr＝，故D正确。故选AD。]
3．(多选)(2025·广东阳江检测)如图所示，直线MON的上方有方向垂直于纸面向外的匀强磁场，两带电粒子P、Q先后从M、N射入磁场，P的速度与磁场边界的夹角为30°，Q的速度与磁场边界的夹角为60°。已知两粒子在磁场中做匀速圆周运动的时间相同，且均从O点射出磁场，OM＝2ON，则( )
A．P和Q均带正电
B．P和Q的比荷之比为1∶2
C．P和Q的速度大小之比为∶1
D．P和Q在磁场中运动的半径之比为2∶1
BC [两个粒子在磁场中的轨迹如图所示，均从O点射出磁场，根据左手定则可知，Q带正电，P带负电，故A错误；根据几何关系可知，Q对应的圆心角为120°，则RQ sin 60°＝ON，P对应的圆心角为60°，则RP＝OM，则P和Q在磁场中运动的半径之比为2∶1，两粒子在磁场中做匀速圆周运动的时间相同，即TQ＝TP，T＝，解得P和Q的速度大小之比为∶1，根据R＝，得＝，所以P和Q的比荷之比为1∶2，故B、C正确，D错误。
]
4．(多选)如图所示，直角三角形边界ABC内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，AC长为2L，AB长为L。从AC的中点D连续发射不同速率的相同粒子，方向与AC垂直，粒子带正电，电荷量为q，质量为m，不计粒子重力与粒子间的相互作用，下列判断正确的是( )
A．以不同速率入射的粒子在磁场中运动的时间一定不等
B．BC边上有粒子出射的区域长度不超过L
C．AB边上有粒子出射的区域长度为(－1)L
D．从AB边出射的粒子在磁场中的运动时间最短为
BC [若不同速率入射的粒子在磁场中运动时都从AC边射出，则运动的时间相等，选项A错误；如图甲所示，当粒子的速度无穷大时可认为粒子不发生偏转从E点射出，BC边上有粒子出射的区域为BE部分，则长度不超过L tan 30°＝L，选项B正确；
由图乙可知，AB边上有粒子出射的区域为BF之间，由几何关系可知＝，解得r＝，则BF＝L－＝(－1)L，选项C正确；从AB边上出射的粒子在B点射出时时间最短，粒子在磁场中运动轨迹所对的圆心角为60°，则粒子在磁场中的运动时间最短为t＝＝，选项D错误。]
5．(多选)如图所示，正三角形ABC区域内存在垂直纸面的匀强磁场(未画出)，磁感应强度为B＝，△ABC的边长为L，O为BC边的中点。大量质量为m、速度为v0的带电粒子从O点沿不同的方向垂直于磁场方向射入该磁场区域(不计粒子重力)，则从AB边和AC边射出的粒子在磁场中的运动时间可能为( )
A． B． C． D．
BCD [带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力得qv0B＝，解得r＝L；粒子在磁场中运动的周期为T＝＝。当轨迹圆弧对应的弦最长时，圆心角最大，运动时间最长，当轨迹圆弧对应的弦最短时，圆心角最小，运动时间最短。对于从AB边和AC边射出的粒子在磁场中的运动，可知最长的弦为OA＝＝r，恰好等于轨迹半径，对应的圆心角为60°，因此最长运动时间为tmax＝T＝；过O作AB边或AC边的垂线，设垂足为D，可知OD＝L为最短的弦，对应的圆心角略小于30°，因此最短运动时间略小于T＝，故A错误，B、C、D正确。]
6．(多选)在如图所示的平面内，分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，SP与磁场左右边界垂直。从离子源S处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角。已知离子比荷为k，不计重力。若离子从P点射出，设出射方向与入射方向的夹角为θ，则离子的入射速度和对应θ角的可能组合为( )
A．kBL，0° B．kBL，0°
C．kBL，60° D．2kBL，60°
BC [若离子通过下部分磁场直接到达P点，如图所示。
根据几何关系有R＝L，qvB＝m，可得v＝＝kBL。
根据对称性可知出射速度与SP成30°夹角，故出射方向与入射方向的夹角为θ＝60°；当离子上下磁场均经历一次时，如图所示。
因为上下磁场的磁感应强度均为B，则根据对称性有R＝L，根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，可得v＝＝kBL，此时出射方向与入射方向相同，即出射方向与入射方向的夹角为θ＝0°。
通过以上分析可知当离子从下部分磁场射出时，需满足v＝＝kBL(n＝1，2，3，…)，此时出射方向与入射方向的夹角为θ＝60°；当离子从上部分磁场射出时，需满足v＝＝kBL(n＝1，2，3，…)，此时出射方向与入射方向的夹角为θ＝0°，故B、C正确，A、D错误。故选BC。]
课时分层作业(二十五) 磁场对运动电荷的作用
1．一个带电粒子沿垂直于磁场的方向射入一匀强磁场，粒子的一段径迹如图所示，径迹上的每一小段都可近似看成圆弧，由于带电粒子使沿途的空气电离，粒子的能量逐渐减小(带电荷量不变)，从图中情况可以确定( )
A．粒子从a运动到b，带正电
B．粒子从a运动到b，带负电
C．粒子从b运动到a，带正电
D．粒子从b运动到a，带负电
C [由于带电粒子使沿途的空气电离，粒子的能量逐渐减小，则速度逐渐减小，根据粒子在磁场中运动的半径公式r＝可知，粒子运动的轨迹半径是逐渐减小的，所以粒子的运动轨迹是从b到a，选项A、B错误；根据左手定则可判断，粒子带正电，选项C正确，D错误。]
2．(多选)(2024·广东广州一模)如图所示，质子以一定初速度从a点沿ac方向进入立方体区域abcd-a′b′c′d′，由c′点飞出，该立方体区域可能仅存在( )
A．沿ab方向的匀强电场
B．沿aa′方向的匀强电场
C．沿bb′方向的匀强磁场
D．沿bd方向的匀强磁场
BD [若立方体区域仅存在沿ab方向的匀强电场，质子受到的电场力沿ab方向，会在水平面内做曲线运动，无法到达c′，A错误；若立方体区域仅存在沿aa′方向的匀强电场，质子受到的电场力沿aa′方向，会在竖直面内做曲线运动，有可能到达c′，B正确；若立方体区域仅存在沿bb′方向的匀强磁场，质子受到水平方向的洛伦兹力，会在水平面内做曲线运动，不可能到达c′，C错误；若立方体区域仅存在沿bd方向的匀强磁场，质子受到竖直方向的洛伦兹力，会在竖直面内做曲线运动，有可能到达c′，D正确。故选BD。]
3．一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，为半圆，ac、bd与直径ab共线，a、c间的距离等于半圆的半径。一束质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子重力及粒子之间的相互作用。在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为( )
A． B． C． D．
C [粒子在磁场中运动的时间与速度大小无关，由在磁场中运动轨迹对应的圆心角决定，即t＝T。采用放缩法，粒子从c点垂直于ac射入磁场，则圆心必在ac直线上，将粒子的轨迹半径由零开始逐渐放大，在r≤0.5R和r≥1.5R时，粒子分别从ac、bd边界射出，在磁场中的轨迹为半圆，运动时间等于半个周期。当0.5R4．(多选)(2025·广东佛山检测)地磁场能有效抵御宇宙射线的侵入。赤道剖面外的地磁场可简化为包围地球的一定厚度的匀强磁场，方向垂直该剖面，如图所示。图中给出了速度在图示平面内、分别从O点沿与地面平行和与地面垂直两个不同方向入射的微观带电粒子(不计重力)在地磁场中的三条运动轨迹a、b、c，且它们都恰好不能到达地面，则下列相关说法正确的是( )
A．沿a轨迹运动的粒子带正电
B．若沿a、c两轨迹运动的是相同的粒子，则沿轨迹a运动的粒子的速率更大
C．某种粒子运动轨迹为a，若它速率不变，只改变射入地磁场的方向，则只要其速度在图示平面内，无论沿什么方向入射，都不会到达地面
D．某种粒子运动轨迹为b，若它以相同的速率在图示平面内沿其他方向入射，则有可能到达地面
CD [由左手定则可知沿轨迹a、c运动的粒子带负电，沿轨迹b运动的粒子带正电，选项A错误；带电粒子在磁场中运动，由洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，解得轨迹半径r＝，又由题图可知ra5．如图所示，宽为d的混合粒子束由速率为3v、4v、5v的三种带正电的离子组成。所有离子的电荷量均为q，质量均为m，三种速率的离子水平向右进入匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外。在入口处，紧靠粒子束的下边缘，竖直放置一个长度为2d的薄吞噬板MN。忽略离子重力及离子间相互作用，若使这些离子都能打到吞噬板MN上，则磁感应强度大小的取值范围是( )
A．＜B＜ B．＜B＜
C．＜B＜ D．＜B＜
C [由分析可知，粒子束上边缘进入速率为v1＝3v的离子到达吞噬板上边缘时，半径最小，磁感应强度最大，根据qv1B1＝，由几何关系得R1＝，可得B1＝，粒子束下边缘进入速率为v2＝5v的离子到达吞噬板下边缘时，半径最大，磁感应强度最小，此时qv2B2＝，R2＝d，得B2＝，所以，磁感应强度的取值范围为＜B＜，故C正确，A、B、D错误。]
6．(多选)如图所示，在半径为R的圆形区域内存在磁感应强度为B的匀强磁场，MN是一竖直放置的足够长的感光板。大量相同的带正电粒子从圆形磁场最高点P以速度v沿不同方向垂直磁场方向射入，不考虑速度沿圆形磁场切线方向入射的粒子。粒子质量为m、电荷量为q，不考虑粒子间的相互作用力和粒子的重力。关于这些粒子的运动，以下说法正确的是( )
A．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的时间越短
B．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的时间越长
C．若粒子速度大小均为v＝，出射后均可垂直打在MN上
D．若粒子速度大小均为v＝，则粒子在磁场中的运动时间一定小于
ACD [对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中轨迹半径越大，弧长越长，轨迹对应的圆心角越小，由t＝T＝可知，运动时间越短，故选项A正确，B错误；速度满足v＝时，根据洛伦兹力提供向心力可得粒子的轨迹半径为r＝＝R，根据几何关系可知，入射点P、出射点、圆心O与轨迹的圆心的连线构成菱形，射出磁场时的轨迹半径与PO平行，故粒子射出磁场时的速度方向与MN垂直，出射后均可垂直打在MN上，根据几何关系可知，轨迹对应的圆心角小于180°，粒子在磁场中的运动时间t7．(多选)光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴的匀强磁场，筒上P点开有一个小孔，过P的横截面是以O为圆心的圆，如图所示。一带电粒子从P点沿PO射入，然后与筒壁发生碰撞。假设粒子在每次碰撞前、后瞬间，速度沿圆上碰撞点的切线方向的分量大小不变，沿法线方向的分量大小不变、方向相反；电荷量不变，不计重力。下列说法正确的是( )
A．粒子的运动轨迹可能通过圆心O
B．最少经2次碰撞，粒子就可能从小孔射出
C．射入小孔时粒子的速度越大，在圆内运动时间越短
D．每次碰撞后瞬间，粒子速度方向一定平行于碰撞点与圆心O的连线
BD [带电粒子从P点沿圆筒的半径进入磁场区域，若以O1为圆心做圆周运动，在A点与筒壁发生碰撞，则运动轨迹如图所示，由几何关系可知∠OAO1＝90°，所以粒子一定会沿圆筒的半径方向离开磁场，与筒壁碰撞后依然沿圆筒的半径方向，所以粒子不可能通过圆心O，且每次碰撞后瞬间，粒子的速度方向一定平行于碰撞点与圆心O的连线，故A错误，D正确；由对称性可知，粒子至少需要碰撞2次才能从P点离开，如图所示，故B正确；设粒子在磁场中运动的轨迹半径为r，圆筒的半径为R，粒子在磁场中做圆周运动，有qvB＝m，设∠POA＝α，由几何关系有tan ＝＝，若粒子恰好运动一周从P点离开，则粒子在磁场中运动的时间t＝T＝，则粒子的速度越大，α越大，粒子在磁场中运动的时间越短，若粒子运动一周不能从P点离开，则运动时间无法确定，故C错误。]
8．(多选)如图所示，一根足够长的绝缘粗糙细杆固定放在垂直纸面向里的匀强磁场中，杆与水平方向的夹角为θ，杆上穿了一个质量为m、所带电荷量为－q(q>0)的小球，小球由静止释放时可沿杆下滑，重力加速度为g，则小球下滑的过程中( )
A．小球速度先增大后减小
B．杆对小球的弹力一直减小
C．小球下滑的最大加速度为g sin θ
D．小球所受洛伦兹力一直增大，直到最后不变
CD [小球由静止开始下滑，在开始阶段，受力如图所示，洛伦兹力F洛＝Bqv，随着速度的增大，洛伦兹力不断增大，支持力则不断减小，摩擦力随着不断减小，合力不断增大，加速度不断增大，当FN＝0时，Ff＝0，此时加速度最大，由mg sin θ＝mam得am＝g sin θ，C正确；小球速度继续增大，洛伦兹力继续增大，杆对小球的弹力方向变为垂直杆向下且不断增大，小球受到的摩擦力也随之不断增大，小球加速度逐渐减小，当加速度减小为零时，小球的速度不再增加，此后以此时的速度做匀速运动，洛伦兹力则保持不变，综上所述，A、B错误，D正确。]
9．(多选)如图所示，S处有一粒子源，可向纸面内任意方向不断地均匀发射质量为 m＝6.4×10-27 kg、电荷量q＝3.2×10-19 C、速度大小v＝1.0×106 m/s的带正电粒子，有一垂直纸面的感光板，其在纸面内的长度为0.4 m，中点O与S连线垂直板，O、S间的距离为 0.2 m，板下表面和上表面被粒子击中会吸收粒子，整个平面充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场(图中未画出)，磁感应强度为B＝0.1 T，不考虑粒子重力及粒子间的相互作用，则( )
A．粒子打中板前均沿顺时针方向做匀速圆周运动
B．所有粒子都可以打到板上
C．所有打中板的粒子中运动的最长时间为
D．稳定后某时刻，击中上、下板面的粒子数之比为1∶1
AD [粒子带正电，磁场的方向向外，由左手定则可知，粒子在磁场中沿顺时针方向运动，粒子在磁场中只受到洛伦兹力的作用，洛伦兹力的方向始终与速度的方向垂直，所以在粒子打中板前均沿顺时针方向做匀速圆周运动，选项A正确；由洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，代入数据解得r＝0.2 m，刚好等于O、S间的距离，如图所示，垂直板向下和垂直板向上发射的粒子刚好分别打中板的最左侧和最右侧，则由图可知向SO所在直线左侧发射的粒子都不能打到板上，选项B错误；当粒子轨迹为优弧时，弦长越短，弧越长，运动时间越长，最短的弦为SO，作出此时的轨迹图如图所示，根据几何关系可得轨迹对应的圆心角为300°，则运动的最长时间为tmax＝＝，选项C错误；由图结合轨迹分析可知偏左方向180°角范围内(除竖直向上和竖直向下)射出的粒子都不能打到板上，射入磁场的速度方向在从平行板向右到垂直板向下的90°角范围内的粒子可以到达上板面，射入磁场的速度方向在从垂直板向上到平行板向右的90°角范围内的粒子可以到达下板面，稳定后某时刻，由于沿各方向的粒子的数目是相同的，可知击中上、下板面的粒子数之比为1∶1，选项D正确。]
10．(2024·广东阳江月考)如图所示，在腰长为L的等腰直角三角形区域内存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。质量均为m的甲粒子(带电荷量为＋q)和乙粒子(带电荷量为－q)分别从a、b两点沿ab方向和ba方向射入磁场。不计粒子的重力及粒子之间的相互作用，则下列说法正确的是( )
A．乙粒子速度合适，可以从c点射出磁场
B．甲粒子从c点射出磁场的时间为
C．乙粒子从bc边射出的最大轨道半径为(－1)L
D．甲、乙两粒子在磁场中运动的最长时间之比为2∶3
C [如图(b)所示，乙粒子轨迹恰好与ac边相切时，乙粒子从bc边射出的轨迹半径最大，则易知选项A错误；如图(a)所示，甲粒子轨迹恰好与bc边相切于c点时从c点射出磁场，根据几何关系可得，甲粒子的轨道半径为L，运动轨迹所对的圆心角为90°，即运动了四分之一周期的时间，
运动时间为t＝＝＝，选项B错误；乙粒子轨迹与ac边相切时，乙粒子从bc边射出的轨道半径最大，设切点为e，由几何关系可得ae＝ab＝L，ac＝L，所以由几何知识知乙粒子从bc边射出的最大轨道半径为Rmax＝ec＝(－1)L，选项C正确；由上述分析可知甲粒子在磁场中运动的最长时间为t甲＝，乙粒子在磁场中运动的最长时间为t乙＝＝＝，则甲、乙两粒子在磁场中运动的最长时间之比为＝，选项D错误。]
11．空间存在两个垂直于xOy平面的匀强磁场，y轴为两磁场的边界，磁感应强度分别为2B0、3B0。甲、乙两种比荷不同的粒子同时从原点O沿x轴正向射入磁场，速度均为v。甲第1次、第2次经过y轴的位置分别为P、Q，其轨迹如图所示。甲经过Q时，乙也恰好同时经过该点。已知甲的质量为m、电荷量为q。不考虑粒子间的相互作用和重力影响。求：
(1)Q到O的距离d；
(2)甲两次经过P点的时间间隔Δt；
(3)乙的比荷可能的最小值。
[解析] (1)甲粒子先后在两磁场中做匀速圆周运动，设半径分别为r1、r2。
由半径r＝得，r1＝，r2＝
且d＝2r1－2r2，解得d＝。
(2)甲粒子先后在两磁场中做匀速圆周运动，设运动时间分别为t1、t2。
由T＝得，t1＝，t2＝
且Δt＝2t1＋3t2
解得Δt＝。
(3)由洛伦兹力提供向心力有qvB＝m
得r1′＝，r2′＝
完成一周期运动上升的距离d′＝2r1′－2r2′
若乙粒子从第一象限进入第二象限的过程中与甲粒子在Q点相遇，则2r1′＋nd′＝OQ＝d
n＋＝
结合以上式子，n无解。
若乙粒子从第二象限进入第一象限的过程中与甲粒子在Q点相遇，则
nd′＝OQ＝d，n＝
计算可得＝n(n＝1，2，3，…)
由于甲、乙粒子比荷不同，则n＝2时，乙的比荷最小，为＝。
[答案] (1) (2) (3)
12．如图(a)所示，在以O为圆心，内、外半径分别为R1和R2的圆环区域内，存在辐射状电场和垂直纸面的匀强磁场，内、外圆间的电势差U为常量，R1＝R0，R2＝3R0，一电荷量为＋q，质量为m的粒子从内圆上的A点进入该区域，不计重力。
(1)已知粒子从外圆上以速度v1射出，求粒子在A点的初速度v0的大小；
(2)若撤去电场，如图(b)所示，已知粒子从OA延长线与外圆的交点C以速度v2射出，方向与OA延长线成45°角，求磁感应强度的大小及粒子在磁场中运动的时间；
(3)在图(b)中，若粒子从A点进入磁场，速度大小为v3，方向不确定，要使粒子一定能够从外圆射出，磁感应强度应小于多少？
[解析] (1)电场、磁场都存在时，只有电场力对带电粒子做功，由动能定理有
qU＝ ①
得v0＝。 ②
(2)由牛顿第二定律得qvB＝m ③
由几何关系作出粒子运动轨迹的圆心O′和半径R，如图1所示，则有R2＋R2＝(R2－R1)2 ④
联立③④得磁感应强度大小B＝ ⑤
粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期T＝ ⑥
由几何关系确定粒子在磁场中运动的时间
t＝T ⑦
由④⑥⑦式，得t＝。 ⑧
(3)如图2所示，为使粒子射出，则粒子在磁场内的运动半径应大于过A点的最大内切圆半径，该半径为RC＝ ⑨
由③⑨，得磁感应强度应小于BC＝。 ⑩
[答案] (2) (3)
16 / 27 磁场对运动电荷的作用
1．洛伦兹力
(1)定义：________在磁场中受到的力。
(2)大小
F＝________(v∥B时)
F＝________(v⊥B时)
F＝qvB sin θ(v与B夹角为θ)
注意：“v”指电荷相对于磁场的速度。
(3)方向判定
左手定则：伸出左手，使拇指与其余四个手指________，并且都与手掌在同一个平面内。让磁感线从掌心垂直进入，并使四指指向________运动的方向(或负电荷运动的反方向)。这时拇指所指的方向就是运动电荷在磁场中所受______的方向。
(4)特点：F⊥B，F⊥v，即F垂直于B与v决定的平面，F与v始终垂直，洛伦兹力________。
2．带电粒子在匀强磁场中的运动
(1)v∥B时：带电粒子做______________运动。
(2)v⊥B时
①运动性质：____________运动。
②动力学方程：qvB＝m。
③半径、周期公式：r＝________，T＝________。
④运动时间：t＝＝________。
1．易错易混辨析
(1)带电粒子在磁场中运动时一定会受到磁场力的作用。 ( )
(2)洛伦兹力的方向在特殊情况下可能与带电粒子的速度方向不垂直。 ( )
(3)根据公式T＝，说明带电粒子在匀强磁场中的运动周期T与v成反比。 ( )
(4)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，其运动半径与带电粒子的比荷有关。 ( )
2．(人教版选择性必修第二册改编)如图所示，一束电子以垂直于磁感应强度B并垂直于磁场边界的速度v射入宽度为d的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向和原来射入方向的夹角为θ＝60°。下列判断正确的有( )
A．电子轨迹所对圆心角为30°
B．电子的轨迹半径为
C．电子的比荷为
D．电子穿越磁场的时间为
洛伦兹力的理解
1．洛伦兹力的特点
(1)利用左手定则判断洛伦兹力的方向，注意区分正、负电荷。
(2)运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力作用。
(3)洛伦兹力一定不做功。
2．洛伦兹力与安培力的联系及区别
(1)安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者是相同性质的力，都是磁场力。
(2)安培力可以做功，而洛伦兹力对运动电荷不做功。
3．洛伦兹力与电场力的比较
项目 洛伦兹力 电场力
产生条件 v≠0且v与B不平行 电荷处在电场中
大小 F＝qvB(v⊥B) F＝qE
力方向与场方向的关系 F⊥B(F⊥B、v平面) F∥E
做功情况 任何情况下都不做功 可能做功，也可能不做功
作用效果 只改变电荷运动的方向，不改变速度大小 既可以改变电荷运动的速度大小，也可以改变速度方向
[典例1] (2022·广东卷)如图所示，一个立方体空间被对角平面MNPQ划分成两个区域，两区域分布有磁感应强度大小相等、方向相反且与z轴平行的匀强磁场。一质子以某一速度从立方体左侧垂直Oyz平面进入磁场，并穿过两个磁场区域。下列关于质子运动轨迹在不同坐标平面的投影中，可能正确的是( )
A B
C D
[听课记录]
[典例2] (2025·广东湛江模拟)初速度为v0的电子，沿平行于通电长直导线的方向射出，直导线中电流方向与电子的初始运动方向如图所示，则( )
A．电子将向右偏转，速率不变
B．电子将向左偏转，速率改变
C．电子将向左偏转，速率不变
D．电子将向右偏转，速率改变
[听课记录]
带电粒子在匀强磁场中的运动
1．两种方法定圆心
方法一：已知入射点、入射方向和出射点、出射方向时，可通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨迹的圆心(如图甲所示)。
方法二：已知入射方向和入射点、出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨迹的圆心(如图乙所示)。
2．利用几何知识求半径
利用平面几何关系，求出轨迹圆的可能半径(或圆心角)，求解时注意以下几个重要的几何特点：
(1)粒子速度的偏向角(φ)等于圆心角(α)，并等于AB弦与切线的夹角(弦切角θ)的2倍(如图所示)，即φ＝α＝2θ＝ωt。
(2)直角三角形的应用(勾股定理)。
找到AB的中点C，连接OC，则△AOC、△BOC都是直角三角形。
3．求时间的两种方法
方法一：由运动弧长计算，t＝(l为弧长)；
方法二：由旋转角度计算，t＝T或t＝T。
4．三类边界磁场中的轨迹特点
(1)直线边界：进出磁场具有对称性。
(2)平行边界：存在临界条件。
(3)圆形边界：等角进出，沿径向射入必沿径向射出。
无论带电粒子在哪类边界磁场中做匀速圆周运动，解题时都要抓住三个步骤：
[典例3] 如图所示，在直线MN上及其下方的半圆形区域内、外分别存在磁场方向垂直纸面向外和向里的匀强磁场。已知半圆的圆心为O，半径为r，M、O、N三点共线，N是圆外一点且OM＝ON。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从M点在纸面内沿MO垂直于磁场射入半圆中，第一次从A点(图中未画出)沿圆的半径方向射出半圆形区域后从N点垂直MN离开磁场区域。不计粒子重力，半圆内、外磁场的磁感应强度大小之比为( )
A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶5
[听课记录]
[典例4] (2025·广东江门检测)如图所示，在正六边形ABCDEF的内接圆范围内存在着方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小可以调节。正六边形的边长为l，O为正六边形的中心点，M、N分别为内接圆与正六边形AB边和BC边的切点，在M点安装一个粒子源，可向磁场区域内沿着垂直磁场的各个方向发射比荷为、速率为v的粒子，不计粒子重力。
(1)若沿MO方向射入磁场的粒子恰能从N点离开磁场，求匀强磁场的磁感应强度的大小；
(2)若匀强磁场的磁感应强度的大小调节为B＝，求粒子源发射的粒子在磁场中运动的最长时间。
[听课记录]
带电粒子在有界磁场中运动的临界、极值与多解问题
1．带电粒子在磁场中运动的临界与极值问题分析
(1)找准临界点
以题目中“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语为突破口，挖掘隐含条件，分析可能的情况，必要时画出几个半径不同的轨迹，找出临界条件，如：
①刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。
②当速率v一定时，弧长(或弦长)越长，圆心角越大，则带电粒子在有界匀强磁场中运动的时间越长。
③圆形匀强磁场中，当运动轨迹圆半径大于磁场区域圆半径时，则入射点和出射点为磁场直径的两端点时，轨迹对应的偏转角最大。
(2)掌握有界磁场中临界问题的处理方法
①旋转圆法：粒子速度大小不变，方向改变，则r＝大小不变，但轨迹的圆心位置变化，相当于圆心在绕着入射点滚动(如图甲所示)。
②放缩圆法：入射粒子的速度方向不变，大小变化，形成圆心在一条射线上变动、半径大小不断变化的放缩圆(如图乙所示)。
③平移圆法：速度大小和方向相同的一排相同粒子进入直线边界，各粒子的轨迹圆弧可以由其他粒子的轨迹圆弧沿着边界平移得到(如图丙所示)。
2．带电粒子在磁场中运动的多解问题
带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于带电粒子电性不确定、磁场方向不确定、临界状态不确定、运动的往复性造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题。
①找出多解的原因。
②画出粒子的可能轨迹，找出圆心、半径的可能情况。
带电粒子在磁场中的临界、极值问题
[典例5] (2025·广东河源模拟)如图所示，OA、OB为相互垂直的有界匀强磁场边界，磁场磁感应强度B＝10 T，方向垂直纸面向里，S为粒子源，可向磁场内各个方向均匀发射比荷＝1.0×104 C/kg的带正电粒子，速度v0＝1.0×104 m/s。PQ为一长度为10 cm的荧光屏，已知OQ＝OS＝10 cm，不考虑粒子间的相互作用，粒子重力忽略不计，则下列说法正确的是( )
A．有的粒子可以打到荧光屏上，且荧光屏发光的长度为10(－1) cm
B．有的粒子可以打到荧光屏上，且荧光屏发光的长度为10(－1) cm
C．有的粒子可以打到荧光屏上，且荧光屏发光的长度为10 cm
D．有的粒子可以打到荧光屏上，且荧光屏发光的长度为10(－1) cm
[听课记录]
带电粒子在磁场中运动的多解问题
[典例6] 如图甲所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O′正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示。有一群正离子在t＝0时垂直于M板从小孔O射入磁场。已知正离子质量为m、带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力。求：
(1)磁感应强度B0的大小；
(2)要使正离子从O′垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度大小v0的可能值。
[听课记录]
解决多解问题的技巧方法
(1)分析题目特点，确定题目多解的形成原因。
(2)作出粒子的运动轨迹示意图(全面考虑多种可能性)。
(3)根据带电粒子的运动轨迹利用圆周运动的周期性寻找通项式，若是出现几种解的可能性，注意每种解出现的条件。
1．(多选)如图所示，一带电粒子以初速度v0沿x轴正方向从坐标原点O射入，并经过点P(a>0，b>0)。若上述过程仅由方向平行于y轴的匀强电场实现，粒子从O到P运动的时间为t1，到达P点的动能为Ek1。若上述过程仅由方向垂直于纸面的匀强磁场实现，粒子从O到P运动的时间为t2，到达P点的动能为Ek2。下列关系式正确的是( )
A．t1t2
C．Ek1Ek2
2．(多选)如图所示，圆形区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里。质量为m、电荷量为q的带电粒子由A点沿平行于直径CD的方向射入磁场，经过圆心O，最后离开磁场。已知圆形区域半径为R，A点到CD的距离为，不计粒子重力。则( )
A．粒子带负电
B．粒子运动速率为
C．粒子在磁场中运动的时间为
D．粒子在磁场中运动的路程为
3．(多选)(2025·广东阳江检测)如图所示，直线MON的上方有方向垂直于纸面向外的匀强磁场，两带电粒子P、Q先后从M、N射入磁场，P的速度与磁场边界的夹角为30°，Q的速度与磁场边界的夹角为60°。已知两粒子在磁场中做匀速圆周运动的时间相同，且均从O点射出磁场，OM＝2ON，则( )
A．P和Q均带正电
B．P和Q的比荷之比为1∶2
C．P和Q的速度大小之比为∶1
D．P和Q在磁场中运动的半径之比为2∶1
4．(多选)如图所示，直角三角形边界ABC内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，AC长为2L，AB长为L。从AC的中点D连续发射不同速率的相同粒子，方向与AC垂直，粒子带正电，电荷量为q，质量为m，不计粒子重力与粒子间的相互作用，下列判断正确的是( )
A．以不同速率入射的粒子在磁场中运动的时间一定不等
B．BC边上有粒子出射的区域长度不超过L
C．AB边上有粒子出射的区域长度为(－1)L
D．从AB边出射的粒子在磁场中的运动时间最短为
5．(多选)如图所示，正三角形ABC区域内存在垂直纸面的匀强磁场(未画出)，磁感应强度为B＝，△ABC的边长为L，O为BC边的中点。大量质量为m、速度为v0的带电粒子从O点沿不同的方向垂直于磁场方向射入该磁场区域(不计粒子重力)，则从AB边和AC边射出的粒子在磁场中的运动时间可能为( )
A． B． C． D．
6．(多选)在如图所示的平面内，分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，SP与磁场左右边界垂直。从离子源S处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角。已知离子比荷为k，不计重力。若离子从P点射出，设出射方向与入射方向的夹角为θ，则离子的入射速度和对应θ角的可能组合为( )
A．kBL，0° B．kBL，0°
C．kBL，60° D．2kBL，60°
1 / 12课时分层作业(二十五) 磁场对运动电荷的作用
说明：单选题每小题4分，多选题每小题6分；本试卷共82分
1．一个带电粒子沿垂直于磁场的方向射入一匀强磁场，粒子的一段径迹如图所示，径迹上的每一小段都可近似看成圆弧，由于带电粒子使沿途的空气电离，粒子的能量逐渐减小(带电荷量不变)，从图中情况可以确定( )
A．粒子从a运动到b，带正电
B．粒子从a运动到b，带负电
C．粒子从b运动到a，带正电
D．粒子从b运动到a，带负电
2．(多选)(2024·广东广州一模)如图所示，质子以一定初速度从a点沿ac方向进入立方体区域abcd-a′b′c′d′，由c′点飞出，该立方体区域可能仅存在( )
A．沿ab方向的匀强电场
B．沿aa′方向的匀强电场
C．沿bb′方向的匀强磁场
D．沿bd方向的匀强磁场
3．一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，为半圆，ac、bd与直径ab共线，a、c间的距离等于半圆的半径。一束质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子重力及粒子之间的相互作用。在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为( )
A． B． C． D．
4．(多选)(2025·广东佛山检测)地磁场能有效抵御宇宙射线的侵入。赤道剖面外的地磁场可简化为包围地球的一定厚度的匀强磁场，方向垂直该剖面，如图所示。图中给出了速度在图示平面内、分别从O点沿与地面平行和与地面垂直两个不同方向入射的微观带电粒子(不计重力)在地磁场中的三条运动轨迹a、b、c，且它们都恰好不能到达地面，则下列相关说法正确的是( )
A．沿a轨迹运动的粒子带正电
B．若沿a、c两轨迹运动的是相同的粒子，则沿轨迹a运动的粒子的速率更大
C．某种粒子运动轨迹为a，若它速率不变，只改变射入地磁场的方向，则只要其速度在图示平面内，无论沿什么方向入射，都不会到达地面
D．某种粒子运动轨迹为b，若它以相同的速率在图示平面内沿其他方向入射，则有可能到达地面
5．如图所示，宽为d的混合粒子束由速率为3v、4v、5v的三种带正电的离子组成。所有离子的电荷量均为q，质量均为m，三种速率的离子水平向右进入匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外。在入口处，紧靠粒子束的下边缘，竖直放置一个长度为2d的薄吞噬板MN。忽略离子重力及离子间相互作用，若使这些离子都能打到吞噬板MN上，则磁感应强度大小的取值范围是( )
A．＜B＜ B．＜B＜
C．＜B＜ D．＜B＜
6．(多选)如图所示，在半径为R的圆形区域内存在磁感应强度为B的匀强磁场，MN是一竖直放置的足够长的感光板。大量相同的带正电粒子从圆形磁场最高点P以速度v沿不同方向垂直磁场方向射入，不考虑速度沿圆形磁场切线方向入射的粒子。粒子质量为m、电荷量为q，不考虑粒子间的相互作用力和粒子的重力。关于这些粒子的运动，以下说法正确的是( )
A．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的时间越短
B．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的时间越长
C．若粒子速度大小均为v＝，出射后均可垂直打在MN上
D．若粒子速度大小均为v＝，则粒子在磁场中的运动时间一定小于
7．(多选)光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴的匀强磁场，筒上P点开有一个小孔，过P的横截面是以O为圆心的圆，如图所示。一带电粒子从P点沿PO射入，然后与筒壁发生碰撞。假设粒子在每次碰撞前、后瞬间，速度沿圆上碰撞点的切线方向的分量大小不变，沿法线方向的分量大小不变、方向相反；电荷量不变，不计重力。下列说法正确的是( )
A．粒子的运动轨迹可能通过圆心O
B．最少经2次碰撞，粒子就可能从小孔射出
C．射入小孔时粒子的速度越大，在圆内运动时间越短
D．每次碰撞后瞬间，粒子速度方向一定平行于碰撞点与圆心O的连线
8．(多选)如图所示，一根足够长的绝缘粗糙细杆固定放在垂直纸面向里的匀强磁场中，杆与水平方向的夹角为θ，杆上穿了一个质量为m、所带电荷量为－q(q>0)的小球，小球由静止释放时可沿杆下滑，重力加速度为g，则小球下滑的过程中( )
A．小球速度先增大后减小
B．杆对小球的弹力一直减小
C．小球下滑的最大加速度为g sin θ
D．小球所受洛伦兹力一直增大，直到最后不变
9．(多选)如图所示，S处有一粒子源，可向纸面内任意方向不断地均匀发射质量为 m＝6.4×10-27 kg、电荷量q＝3.2×10-19 C、速度大小v＝1.0×106 m/s的带正电粒子，有一垂直纸面的感光板，其在纸面内的长度为0.4 m，中点O与S连线垂直板，O、S间的距离为 0.2 m，板下表面和上表面被粒子击中会吸收粒子，整个平面充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场(图中未画出)，磁感应强度为B＝0.1 T，不考虑粒子重力及粒子间的相互作用，则( )
A．粒子打中板前均沿顺时针方向做匀速圆周运动
B．所有粒子都可以打到板上
C．所有打中板的粒子中运动的最长时间为
D．稳定后某时刻，击中上、下板面的粒子数之比为1∶1
10．(2024·广东阳江月考)如图所示，在腰长为L的等腰直角三角形区域内存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。质量均为m的甲粒子(带电荷量为＋q)和乙粒子(带电荷量为－q)分别从a、b两点沿ab方向和ba方向射入磁场。不计粒子的重力及粒子之间的相互作用，则下列说法正确的是( )
A．乙粒子速度合适，可以从c点射出磁场
B．甲粒子从c点射出磁场的时间为
C．乙粒子从bc边射出的最大轨道半径为(－1)L
D．甲、乙两粒子在磁场中运动的最长时间之比为2∶3
1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 ＋0.5
11．(15分) 空间存在两个垂直于xOy平面的匀强磁场，y轴为两磁场的边界，磁感应强度分别为2B0、3B0。甲、乙两种比荷不同的粒子同时从原点O沿x轴正向射入磁场，速度均为v。甲第1次、第2次经过y轴的位置分别为P、Q，其轨迹如图所示。甲经过Q时，乙也恰好同时经过该点。已知甲的质量为m、电荷量为q。不考虑粒子间的相互作用和重力影响。求：
(1)Q到O的距离d；
(2)甲两次经过P点的时间间隔Δt；
(3)乙的比荷可能的最小值。
1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 ＋0.5
12．(15分) 如图(a)所示，在以O为圆心，内、外半径分别为R1和R2的圆环区域内，存在辐射状电场和垂直纸面的匀强磁场，内、外圆间的电势差U为常量，R1＝R0，R2＝3R0，一电荷量为＋q，质量为m的粒子从内圆上的A点进入该区域，不计重力。
(1)已知粒子从外圆上以速度v1射出，求粒子在A点的初速度v0的大小；
(2)若撤去电场，如图(b)所示，已知粒子从OA延长线与外圆的交点C以速度v2射出，方向与OA延长线成45°角，求磁感应强度的大小及粒子在磁场中运动的时间；
(3)在图(b)中，若粒子从A点进入磁场，速度大小为v3，方向不确定，要使粒子一定能够从外圆射出，磁感应强度应小于多少？
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