电场能的性质
1．静电力做功
(1)特点：与路径无关，只与初始位置和终止位置有关。
(2)计算方法
①W＝qEd，适用于匀强电场，d为沿电场方向的位移。
②WAB＝qUAB，适用于任何电场。
2．静电力做功与电势能变化的关系
(1)静电力做的功等于电荷电势能的减少量，即WAB＝EpA－EpB。静电力对电荷做多少正功，电荷电势能就减少多少；电荷克服静电力做多少功，电荷电势能就增加多少。
(2)电势能的大小：由WAB＝EpA－EpB可知，若令EpB＝0，则EpA＝WAB，即一个电荷在电场中某点具有的电势能，数值上等于将其从该点移到零电势能位置过程中静电力所做的功。
3．电势
(1)定义式：φ＝，公式应用时，各量的正负号要代入。
(2)矢标性：标量，但有正负之分，其正(负)表示比零电势高(低)。
(3)相对性：电势大小与零电势点的选取有关。
4．等势面
(1)定义：电场中电势相同的点构成的面。
(2)特点：
①在同一等势面上移动电荷时，静电力不做功。
②电场线和等势面垂直。
③等差等势面的疏密表示电场的强弱。
④等势面不相交。
5．几种常见等势面的比较
电场 等势面(虚线)图样 特点
匀强电场 垂直于电场线的一簇平面
点电荷的电场 以点电荷为球心的一簇球面
等量异种点电荷的电场 两电荷连线的中垂面为等势面
等量正点电荷的电场 在两电荷连线上，中点电势最低； 在两电荷连线的中垂线上，中点电势最高
6．电势差
(1)定义式：UAB＝。
(2)静电力做功与电势差的关系：WAB＝EpA－EpB＝q(φA－φB)＝qUAB。
(3)电势差与电势的关系：UAB＝φA－φB，UAB＝－UBA。
(4)匀强电场中电势差与电场强度的关系：U＝Ed。
7．静电平衡
(1)概念：导体中的自由电荷不再发生定向移动。
(2)特点：
①导体内部电场强度为零。
②导体是等势体，表面是等势面，电荷只分布在外表面上。
1．易错易混辨析
(1)电场中电场强度为零的地方电势一定为零。 (×)
(2)等势面是客观存在的，电场线与等势面一定垂直。 (×)
(3)静电力做功与路径无关。 (√)
(4)带电粒子仅受静电力作用时，一定从电势能大的地方向电势能小的地方移动。 (×)
(5)等差等势面越密的地方，电场线越密，电场强度越大。 (√)
(6)电场中电势降低的方向，就是电场强度的方向。 (×)
(7)A、B两点的电势差与试探电荷无关，所以UAB＝UBA。 (×)
2．(人教版必修第三册改编)电荷量为q的电荷在电场中由A点移到B点时，静电力做功为W，由此可算出两点间的电势差为U，若让电荷量为2q的电荷在电场中由A点移到B点，则( )
A．静电力做功仍为W
B．静电力做功为
C．两点间的电势差仍为U
D．两点间的电势差为
C [两点间电势差与移动的电荷无关，静电力做功变为W′＝2qU＝2W，C正确。]
3．(人教版必修第三册改编)如图所示，匀强电场的电场强度为E，A与B两点间的距离为d，AB与电场线的夹角为α，则A、B两点间的电势差为( )
A．Ed B．Ed cos α
C．Ed sin α D．Ed tan α
B [题图中A、B两点之间沿电场方向的距离为d cos α，则电势差UAB＝E·d cos α，故B正确，A、C、D错误。]
电势高低与电势能大小的判断
1．电势高低常用的两种判断方法
(1)沿电场线方向电势逐渐降低。
(2)若UAB>0，则φA>φB；若UAB<0，则φA<φB。
2．电势能大小的四种判断方法
判断角度 方法解读
做功判断法 电场力做正功，电势能减小；电场力做负功，电势能增大
电荷电势法 正电荷在电势高的地方电势能大，负电荷在电势低的地方电势能大
公式法 由Ep＝qφ，将q、φ的大小、正负号一起代入公式，Ep的正值越大，电势能越大；Ep的负值的绝对值越小，电势能越大
能量守恒法 在电场中，若只有电场力做功时，电荷的动能和电势能相互转化，动能增大，电势能减小；反之，电势能增大
[典例1] (2025·广东汕头高三检测)如图所示为某电场中的一根电场线，电场线上有A、B、C三点且AB＝BC，一电子从A点出发经B点运动到C点。下列说法正确的是( )
A．该电场是匀强电场
B．在A、B、C三点中，A点的电势最高
C．在A、B、C三点中，A点的电场强度最大
D．在A、B、C三点中，电子在A点的电势能最大
B [只有一条电场线不能确定是否为匀强电场，A错误；沿电场线的方向，电势降低，A点的电势最高，C点的电势最低，B正确；电场线的疏密表示电场的强弱，一条电场线无法比较疏密，所以无法比较电场强弱，C错误；电子带负电，受力与电场方向相反，沿电场线方向，电场力对电子做负功，电势能增大，故电子在A点的电势能最小，D错误。]
[典例2] (多选)(2024·广东深圳二模)如图甲所示，在倾角为θ的足够长的绝缘光滑斜面底端，静止放置质量为m、带电量为q(q＞0)的物体。加上沿着斜面方向的电场，物体沿斜面向上运动。物体运动过程中的机械能E与其位移x的关系图像如图乙所示，其中OA为直线，AB为曲线，BC为平行于横轴的直线，重力加速度为g，不计空气阻力( )
A．0～x1过程中，电场强度的大小恒为
B．x1～x2过程中，电势降低了
C．x1～x2过程中，物体加速度的大小先变小后变大
D．x2～x3过程中，电场强度为零
BCD [0～x1过程中，电场力做正功，机械能增大，则E1＝E电qx1，解得E电＝，故A错误；x1～x2过程中，电场力做正功，故电势降低，可得qUAB＝E2－E1，解得UAB＝，故B正确；E-x图像的斜率表示电场力大小，x1～x2过程中，斜率逐渐减小到零，故电场力逐渐减小到零，物体加速度a＝，可知加速度先沿斜面向上减小到零，后沿斜面向下增大，故C正确；x2～x3过程中，机械能不变，故只有重力做功，故电场力为零，则电场强度为零，故D正确。故选BCD。]
匀强电场中电势差与电场强度的关系
1．公式E＝的三点注意
(1)只适用于匀强电场。
(2)d为某两点沿电场强度方向上的距离，或两点所在等势面之间的距离。
(3)电场强度的方向是电势降低最快的方向。
2．两个推论
(1)如图甲所示，C点为线段AB的中点，则有φC＝。
(2)如图乙所示，AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD。
3．三点妙用
(1)解释等差等势面的疏密与电场强度大小的关系。当电势差U一定时，电场强度E越大，则沿电场强度方向的距离d越小，即电场强度越大，等差等势面越密。
(2)定性判断非匀强电场电势差的大小关系。如距离相等的两点间的电势差，E越大，U越大；E越小，U越小。
(3)利用φ-x图像的斜率判断沿x轴方向的电场强度Ex随位置的变化规律。在φ-x图像中斜率k＝＝＝Ex，斜率的大小表示电场强度的大小，正负表示电场强度的方向。
[典例3] (多选)(2025·广东梅州模拟)如图所示，在匀强电场中，有边长为2 cm的正六边形ABCDEF，其六个顶点均位于同一个圆上，正六边形所在平面与匀强电场的电场线平行，O点为该正六边形的中心，A、B、F三点电势分别为φA＝6 V、φB＝9 V、φF＝3 V，下列说法正确的是( )
A．将电子由B点移到A点，电子的电势能增加了3 eV
B．电子在A、C两点电势能的比较，在A点的电势能小于在C点的电势能
C．匀强电场的电场强度大小为100 V/m，方向由B指向F
D．在正六边形ABCDEF外接圆的圆周上，电势最低点的电势为 V
AC [由于WBA＝(－e)(9 V－6 V)＝－3 eV，说明将电子由B点移到A点电势能增加了3 eV，A正确；由于EpA＝qφA＝－6 eV，由φA＋φO＝φF＋φB得φO＝6 V，又φB＋φO＝φA＋φC，得φC＝9 V，EpC＝qφC＝－9 eV，故EpA>EpC，B错误；由电场强度与电势差间的关系得E＝＝＝100 V/m，场强方向垂直于AO从B指向F，C正确；由图可知，在正六边形ABCDEF外接圆的圆周上，由电势沿电场线方向降低可知，电势最低点是N点，＝＝，得φN＝ V，D错误。]
[典例4] (多选)一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c三点的位置如图所示，三点的电势分别为10 V、17 V、26 V。下列说法正确的是( )
A．电场强度的大小为2.5 V/cm
B．坐标原点处的电势为1 V
C．电子在a点的电势能比在b点的低7 eV
D．电子从b点运动到c点，电场力做功为9 eV
ABD [如图所示，由匀强电场中两平行线距离相等的两点间电势差相等知，Oa间电势差与bc间电势差相等，故O点电势为1 V，选项B正确；则在x轴上，每0.5 cm长度对应电势差为1 V，10 V对应的等势线与x轴交点e坐标为(4.5 cm，0)，△aOe中，Oe∶Oa＝4.5∶6＝3∶4，由几何知识得：Od长度为3.6 cm，代入公式E＝得，E＝2.5 V/cm，选项A正确；电子带负电，电势越高，电势能越小，电子在a点的电势能比在b点的高7 eV，选项C错误；电子从b点运动到c点，电场力做功W＝9 eV，选项D正确。]
应用E＝关系的解题思路
电场线、等势面及运动轨迹问题
1．判断速度方向：带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为该点处的速度方向。
2．判断电场力(或电场强度)的方向：仅受电场力作用时，带电粒子所受电场力方向指向轨迹曲线的凹侧，再根据粒子的正负判断电场强度的方向。
3．判断电场力做功的正负及电势能的增减：若电场力与速度方向成锐角，则电场力做正功，电势能减少；若电场力与速度方向成钝角，则电场力做负功，电势能增加。
[典例5] 如图所示是某一带电导体周围的电场线与等势面，A、C是同一等势面上的两点，B是另一等势面上的一点。下列说法正确的是( )
A．导体内部的场强左端大于右端
B．A、C两点的电势均低于B点的电势
C．B点的电场强度大于A点的电场强度
D．正电荷从A点沿虚线移到B点的过程中电场力做正功，电势能减小
D [带电导体处于静电平衡状态，导体内部的场强处处为零，导体表面为等势面，整个导体为一个等势体，A错误；沿电场线方向电势逐渐降低，所以A、C两点的电势均高于B点的电势，B错误；电场线的疏密表示电场强度的大小，所以B点的电场强度小于A点的电场强度，C错误；根据Ep＝qφ可知，正电荷从高电势A点沿虚线移动到低电势B点，电势能减少，电场力做正功，D正确。]
[典例6] (2025·广东潮州检测)冷冻电镜是用于扫描电镜的超低温冷冻制样及传输技术，可实现直接观察液体、半液体及对电子束敏感的样品。电子显微镜是冷冻电镜中的关键部分，其中的一种电子透镜的电场分布如图所示，虚线为等差等势面，一电子在其中运动的轨迹如图中实线所示，a、b是轨迹上的两点，则( )
A．a点的电场强度大于b点的电场强度
B．b点电场强度的方向水平向右
C．a点的电势高于b点的电势
D．电子在a点的电势能大于在b点的电势能
C [根据等差等势面的疏密可判断场强强弱，由于a点等差等势面比b点稀疏，则a点的电场强度小于b点的电场强度，故A错误；由于电场线垂直于等势面，则b点电场强度垂直等势面沿水平方向，又因为电子轨迹为曲线，所受电场力指向轨迹凹侧，即水平向右，又电子带负电，则b点电场强度的方向水平向左，故B错误；顺着电场线方向，电势逐渐降低，电场线由高等势面指向低等势面，根据电子受力方向向右，则电场线方向向左，故a点电势高于b点，故C正确；因为φa>φb，电子在电势低的地方电势能大，在电势高的地方电势能小，故电子在a点的电势能小于在b点的电势能，故D错误。]
1．(多选)如图所示，正三角形三个顶点固定三个带等量电荷的点电荷，其中A、B带正电，C带负电，O、M、N为AB边的四等分点，下列说法正确的是( )
A．M、N两点电场强度相同
B．M、N两点电势相同
C．负电荷在M点电势能比在O点时要小
D．负电荷在N点电势能比在O点时要大
BC [根据场强的叠加以及对称性可知，M、N两点的场强大小相同，但是方向不同，选项A错误；因在A、B处的正电荷在M、N两点的合电势相等，在C点的负电荷在M、N两点的电势也相等，则M、N两点电势相等，选项B正确；负电荷从M到O，因A、B两电荷的合力对负电荷的库仑力从O指向M，则该力对负电荷做负功，C点的负电荷也对该负电荷做负功，可知三个电荷对该负电荷的合力对其做负功，则该负电荷的电势能增加，即负电荷在M点的电势能比在O点时小；同理可知负电荷在N点的电势能比在O点时小，选项C正确，D错误。故选BC。]
2．如图所示，在某电场中画出了三条电场线，C点是A、B连线的中点。已知A点的电势为φA＝30 V，B点的电势为φB＝－10 V，则C点的电势( )
A．φC＝10 V B．φC>10 V
C．φC<10 V D．无法判断
C [由于A、C之间的电场线比C、B之间的电场线密，相等距离之间的电势差较大，即UAC>UCB，所以φA－φC>φC－φB，可得φC<，即φC<10 V，选项C正确。]
3．(2025·广东惠州模拟)如图所示，边长为1 cm的正三角形ABC处于匀强电场中，电场方向平行于三角形所在平面。将电子由A点移动到B点，电场力做功4 eV；将电子由A点移动到C点，电场力做功2 eV。电场强度大小为( )
A．200 V/m B．300 V/m
C．200 V/m D．400 V/m
D [电子由A点移动到B点，电场力做功4 eV，则UAB＝＝＝－4 V；电子由A点移动到C点，电场力做功2 eV，UAC＝＝＝－2 V；设AB的中点为D，则C、D两点电势相等，CD为等势线，电场方向沿BA方向，则E＝＝ V/m＝400 V/m，选项D正确。]
4．(多选)如图所示，实线为方向未知的三条电场线，虚线分别为等势线1、2、3，已知MN＝NQ，a、b两带电粒子从等势线2上的O点以相同的初速度飞出。仅在电场力作用下，两粒子的运动轨迹如图所示，则( )
A．a一定带正电，b一定带负电
B．a加速度减小，b加速度增大
C．M、N两点间的电势差|UMN|大于N、Q两点间的电势差|UNQ|
D．a粒子到达等势线3的动能变化量比b粒子到达等势线1的动能变化量小
BC [粒子受到的电场力一定与电场方向在同一直线上，再根据曲线运动的知识可知粒子受到的合外力应指向弯曲的凹侧，可得a、b粒子电性相反，但题中没有给出电场线的方向，故无法判断电性，由题意知a往电场线稀疏的区域运动，故电场力变小，加速度变小，b相反，故A错误，B正确；M、N之间平均电场强度比N、Q之间的平均电场强度大，MN＝NQ，由U＝Ed可知，M、N之间的电势差更大，C正确；因为不知道两个粒子带电荷量的关系，故无法判断电势能的变化，也就没有办法比较动能变化量的关系，故D错误。]
5．(2025·广东湛江高三调研)如图所示，虚线a、b、c表示O处点电荷的电场中的三个不同的等势面，相邻等势面的间距相等，一电子射入电场后(只受电场力作用)的运动轨迹如图中实线所示，其中1、2、3、4表示运动轨迹与等势面的交点，由此可以判定( )
A．O处的点电荷一定带正电
B．电子运动过程中，动能先增大后减小
C．三个等势面的电势高低关系是φc＞φb＞φa
D．电子从位置2到位置3与从位置3到位置4过程中电场力所做的功相等
C [从电子的运动轨迹可以看出两个电荷相互排斥，故点O处电荷带负电，A错误；两个电荷相互排斥，故电子运动过程中电场力先做负功，后做正功，根据动能定理，动能先变小后变大，B错误；点O处电荷带负电，故结合负电荷的等势面图，可以知道a、b、c三个等势面的电势高低关系是φc＞φb＞φa，C正确；点电荷产生的电场中，距离点电荷越远，电场强度越小，由于两相邻等势面的间距相等，所以U32＞U43，由W＝qU可知，电子从位置2到位置3与从位置3到位置4过程中电场力做的功不相等，D错误。]
课时分层作业(二十) 电场能的性质
1．(多选)静电场中，一带电粒子仅在电场力的作用下自M点由静止开始运动，N为粒子运动轨迹上的另外一点，则( )
A．运动过程中，粒子的速度大小可能先增大后减小
B．在M、N两点间，粒子的轨迹一定与某条电场线重合
C．粒子在M点的电势能不低于其在N点的电势能
D．粒子在N点所受电场力的方向一定与粒子轨迹在该点的切线平行
AC [在两个同种点电荷的电场中，一带异种电荷的粒子在两电荷连线的垂直平分线上自M点静止开始运动时，粒子的速度先增大后减小，选项A正确；带电粒子仅在电场力作用下运动，若运动到N点的动能为零，则带电粒子在N、M两点的电势能相等，仅在电场力作用下运动，带电粒子的动能和电势能之和保持不变，可知若粒子运动到N点时动能不为零，则粒子在N点的电势能小于在M点的电势能，即粒子在M点的电势能不低于其在N点的电势能，选项C正确；若静电场的电场线不是直线，带电粒子仅在电场力作用下的运动轨迹不会与电场线重合，选项B错误；若粒子运动轨迹为曲线，根据粒子做曲线运动的条件，可知粒子在N点所受电场力的方向一定不与粒子轨迹在该点的切线平行，选项D错误。]
2．(2024·广东广州一模)点电荷Q产生的电场中，电子仅在电场力作用下，从M点到N点做加速度减小的减速直线运动，则( )
A．点电荷Q为正电荷
B．点电荷Q为负电荷
C．M点场强比N点的小
D．M点电势比N点的低
A [电子仅在电场力作用下，从M点到N点做加速度减小的减速直线运动，可知电子在远离点电荷Q，且电场力指向点电荷，点电荷Q为正电荷，故A正确，B错误；电子从M点到N点加速度减小，根据牛顿第二定律有F＝ma，可知电场力减小，根据电场强度定义式E＝可知电场强度减小，即M点场强比N点的大，故C错误；点电荷带正电，电场线方向由M点指向N点，M点电势比N点的高，故D错误。故选A。]
3．(多选)(2024·广东深圳二模)范德格拉夫静电加速器结构如图所示，其工作原理是先通过传送带将正电荷传送到金属球壳(电荷在金属球壳上均匀分布)，使金属球与地面间产生几百万伏的高压，然后利用高压给绝缘管中的带电粒子加速。在加速管顶端A点无初速度释放一带电粒子，粒子经过B、C两点到达管底(B为AC中点)。不计粒子重力，仅考虑球壳产生的电场的影响，下列说法正确的是( )
A．B点电势比C点电势高
B．粒子从B点到C点的过程中电势能增大
C．粒子在B点的加速度大于在C点的加速度
D．粒子在AB与BC间的动能变化量相同
AC [根据题意可知，电场方向由A→C，由沿电场线方向电势降低可知，B点电势比C点电势高，故A正确；粒子从静止开始运动，电场力做正功，则电势能减小，故B错误；根据题意可知，B点附近的电场强度大于C点的电场强度，则粒子在B点的加速度大于在C点的加速度，故C正确；根据题意可知，在AB间电场强度的平均值大于BC间电场强度的平均值，则由动能定理可知，粒子在AB间的动能变化量比BC间的动能变化量大，故D错误。]
4．(多选)(2024·广东广州一模)在干燥的冬天，手接触房间的金属门锁时，会有一种被电击的感觉。带负电的手在缓慢靠近门锁还未被电击的过程中，门锁( )
A．近手端感应出正电荷
B．电势比手的电势低
C．与手之间场强逐渐增大
D．与手之间场强保持不变
AC [放电前手指靠近金属门锁的过程中，门锁在手的影响下，发生静电感应，近手端感应出正电荷，故A正确；由于门锁近手端带正电，手带负电，二者间空间产生电场，电场线由门锁近手端指向手，所以门锁电势比手的电势高，故B错误；随着手的靠近，二者间距逐渐减小，将门锁与手之间看成一个电容器，可知当两者距离减小时，根据公式C＝，E＝，C＝联立，可得E＝，由于异种电荷相互吸引，手接近的过程中，感应电荷越来越接近手，门锁近手端电荷密度越来越大，电荷分布的电荷密度变大，故门锁与手指之间场强逐渐增大，故C正确，D错误。故选AC。]
5．在一些电子显示设备中，让阴极发射的电子束通过适当的非匀强电场，可以使发散的电子束聚集。下列4幅图中带箭头的实线表示电场线，如果用虚线表示电子可能的运动轨迹，其中正确的是( )
A B
C D
A [电子只受电场力的作用，在电场中做曲线运动，电子做曲线运动时，运动轨迹应处在电场力方向与速度方向之间，且电场力方向沿电场线的切线方向、速度方向沿轨迹的切线方向，画出电子在某一点的受力方向和速度方向如图所示，可知A正确，B、C、D错误。
A B
]
C D
6．(多选)图(a)为金属四极杆带电粒子质量分析器的局部结构示意图，图(b)为四极杆内垂直于x轴的任意截面内的等势面分布图，相邻两等势面间电势差相等，则( )
A．P点电势比M点的低
B．P点电场强度大小比M点的大
C．M点电场强度方向沿z轴正方向
D．沿x轴运动的带电粒子，电势能不变
CD [P点电场强度方向沿y轴正方向，沿着电场线方向电势降低，所以P点电势比x轴高，x轴电势比M点的高，所以P点电势比M点的高，A错误；在同一静电场中，等差等势线的疏密程度反应了电场强度的大小，M点所在处的等势线比P点所在处的等势线密集，则M点电场强度大小比P点的大，B错误；由以上分析可知，x轴上的电势高于M点电势，又电场线与等势线垂直且由高电势指向低电势，所以M点电场强度方向沿z轴正方向，C正确；垂直于x轴的任意截面内的等势面分布图相同，说明x轴是一条等势线，所以粒子沿x轴运动，电势能不变，D正确。]
7．(多选)静电透镜被广泛应用于电子器件中，如图所示是阴极射线示波管的聚焦电场，其中虚线为等势线，任意两条相邻等势线间电势差相等，z轴为该电场的中心轴线。一电子从其左侧进入聚焦电场，实线为电子运动的轨迹，P、Q、R为其轨迹上的三点，电子仅在静电力作用下从P点运动到R点，在此过程中，下列说法正确的是( )
A．P点的电势低于Q点的电势
B．电子在P点的加速度小于在R点的加速度
C．从P至R的运动过程中，电子的电势能增加
D．从P至R的运动过程中，电子的动能一直增大
AD [电子仅在静电力作用下从P点运动到R点，由于合力方向指向轨迹的凹侧，电子带负电，所受静电力方向与电场强度方向相反，静电力方向与等势线垂直，可知，电场线方向整体从右指向左，又由于沿电场线方向电势降低，可知，P点的电势低于Q点的电势，故A正确；由于任意两条相邻等势线间电势差相等，则等势线分布的密集程度能够表示电场的强弱，P点处的等势线分布比R点处的密集，则P点的电场强度大于R点的电场强度，可知，电子在P点的加速度大于在R点的加速度，故B错误；结合上述可知，从P至R的运动过程中，电子所受静电力做正功，电子的电势能减小，电子的动能增大，故C错误，D正确。]
8．(2025·广东汕尾调研)如图是匀强电场遇到空腔导体后的部分电场线分布图，电场线的方向如图所示，M、N、Q是以直电场线上一点O为圆心的同一圆周上的三点，OQ连线垂直于MN，以下说法正确的是( )
A．O点电势与Q点电势相等
B．将一正电荷由M点移到Q点，电荷的电势能减少
C．MO间的电势差等于ON间的电势差
D．在Q点释放一个正电荷，正电荷所受电场力将沿与OQ垂直的方向竖直向上
B [过O点和Q点作电场的等势面，如图所示。由图可知，O、Q两点的电势不相等，故A错误；将一正电荷由M点移到Q点，电场力对电荷做正功，故电荷的电势能减少，故B正确；MO与ON相等，但由于电场不是匀强电场，且MO间的平均场强大于ON间的平均场强，因此由U＝Ed可推得，MO间的电势差大于ON间的电势差，故C错误；在Q点释放一个正电荷，正电荷所受电场力将沿Q点电场线的切线方向斜向上，故D错误。]
9．如图所示，真空中电荷量为2q和－q(q＞0)的两个点电荷分别位于M点与N点，形成一个以MN延长线上O点为球心，电势为零的等势面(取无穷远处电势为零)，P为MN连线上的一点，S为等势面与直线MN的交点，T为等势面上的一点，下列说法正确的是( )
A．P点电势低于S点电势
B．T点电场强度方向指向O点
C．除无穷远处外，MN直线上还存在两个电场强度为零的点
D．将正试探电荷q0从T点移到P点，静电力做正功
B [在直线MN上，左边正电荷在M点右侧电场强度水平向右，右边负电荷在N点左侧电场强度水平向右，根据电场的叠加可知MN间的电场强度水平向右，沿着电场线方向电势逐渐降低，可知P点电势高于零等势面与MN交点处电势，则P点电势高于S点电势，故A错误；由于正电荷的电荷量大于负电荷电荷量，可知在N左侧电场强度不可能为零，则N右侧，设MN距离为L，根据＝可知，除无穷远处外，直线MN上电场强度为零的点只有一个，故C错误；由A选项分析可知：T点电势低于P点电势，则正电荷在T点的电势能低于在P点电势的电势能，将正试探电荷q0从T点移到P点，电势能增大，静电力做负功，故D错误；由于电场强度方向垂直等势面，可知T点的场强方向所在直线必过等势面的圆心，又离负电荷越近电势越低，可知零等势面上的电势高于零等势面内的电势，可知T点电场方向指向O点，故B正确。故选B。]
10．如图所示，一带正电的点电荷固定于O点，两虚线圆均以O为圆心，两实线分别为带电粒子M和N先后在电场中运动的轨迹，a、b、c、d、e为轨迹和虚线圆的交点。不计重力，下列说法错误的是( )
A．M带负电荷，N带正电荷
B．M在b点的动能小于它在a点的动能
C．N在d点的电势能等于它在e点的电势能
D．N在从c点运动到d点的过程中克服电场力做功
D [由粒子运动轨迹可知，M受到的是吸引力，N受到的是排斥力，可知M带负电荷，N带正电荷，故A正确；M从a点到b点，库仑力做负功，根据动能定理知，动能减小，则M在b点的动能小于在a点的动能，故B正确；d点和e点在同一等势面上，电势相等，则N在d点的电势能等于在e点的电势能，故C正确；N从c点运动到d点，库仑力做正功，故D错误。故选D。]
11．(多选)如图所示，两对等量异号点电荷＋q、－q(q＞0)固定于正方形的4个顶点上。L、N是该正方形两条对角线与其内切圆的交点，O为内切圆的圆心，M为切点。则( )
A．L和N两点处的电场方向相互垂直
B．M点的电场方向平行于该点处的切线，方向向左
C．将一带正电的点电荷从M点移动到O点，电场力做正功
D．将一带正电的点电荷从L点移动到N点，电场力做功为零
AB [两正点电荷在N点处产生的场强方向由N指向O，N点处于两负点电荷连线的垂直平分线上，则两负点电荷在N点产生的场强方向由N指向O，则N点处的合电场强度方向由N指向O，同理可知，L点处的合电场强度方向由O指向L，由于正方形两对角线相互垂直平分，则L和N两点处的电场方向相互垂直，A正确；正方形底边上的等量异号点电荷在M点产生的场强方向向左，而上方的等量异号点电荷在M点产生的场强方向向右，由于M点离上方等量异号点电荷距离较远，则M点的场强方向平行于该点处的切线，方向向左，B正确；由题图可知，M和O点位于两对等量异号点电荷的等势线上，即M点和O点电势相等，所以将一带正电的点电荷从M点移动到O点，电场力做的功为零，C错误；由题图结合等量异号点电荷模型可知，L点的电势低于N点电势，则将一带正电的点电荷从L点移动到N点，电场力做的功不为零，D错误。]
12．(多选)如图所示是带电量不同的正、负点电荷的电场线，A、M、N是电场中的三点。A是两电荷连线的中点，M、N在两电荷连线的垂直平分线上。一个带负电的点电荷在两点受到的电场力分别为FM、FN。无穷远处电势为零，则( )
A．FM>FN
B．A点电势为零
C．M点电势高于N点电势
D．将负点电荷从M点移动到N点的过程中，电势能增加
ACD [因为电场线的疏密表示电场强度的大小，电场线越密的地方电场强度越大，由题图可知，M点的电场强度大于N点的电场强度，则由F＝qE可得FM>FN，故A正确；由等势线与电场线垂直可得过A点的等势线如答图所示，因为无穷远处电势为零，且沿着电场线电势降低，所以A点电势大于零，故B错误；因为沿着电场线电势降低，由图可知，M点电势高于N点电势，故C正确；因为负电荷在电势高的地方电势能小，所以将负点电荷从M点移动到N点的过程中，电势能增加，故D正确。故选ACD。]
13．(多选)在O点处固定一个正点电荷，P点在O点右上方。从P点由静止释放一个带负电的小球，小球仅在重力和该点电荷电场力作用下在竖直面内运动，其一段轨迹如图所示。M、N是轨迹上的两点，OP>OM，OM＝ON，则小球( )
A．在运动过程中，电势能先增加后减少
B．在P点的电势能大于在N点的电势能
C．在M点的机械能等于在N点的机械能
D．从M点运动到N点的过程中，电场力始终不做功
BC [在正点电荷形成的电场中，离点电荷越近电势越高，而负电荷在电势越高的地方，电势能越小，在电势越低的地方，电势能越大，因为OP>OM，所以P点电势小于M点电势，则小球在P点的电势能大于在M点的电势能，因为OM＝ON，所以小球在M、N两点的电势能相等，故B正确；小球在运动过程中只有电场力和重力做功，机械能与电势能之和守恒，又小球在M、N两点的电势能相等，故小球在M、N两点的机械能相等，C正确；因为P点在O点右上方，且OP>OM，所以小球开始运动时，电场力做正功，小球的电势能先减少，故A错误；根据题图可知，小球从M到N的过程中先靠近O点再远离O点，故电场力先做正功后做负功，故D错误。]
14．(多选)(2024·广东江门模拟)有一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c、d四点的位置如图所示，cd、cb 分别垂直于x轴、y轴，其中a、b、c三点电势分别为：4 V、8 V、10 V，使一电荷量为q＝－2×10-5 C的负点电荷由a点开始沿abcd路线运动，则下列判断正确的是( )
A．坐标原点O的电势为6 V
B．电场强度的大小为 V/m
C．该点电荷在c点的电势能为2×10-5 J
D．该点电荷从a点移到d点过程中，电场力做功为 8×10-5 J
AD [由于是匀强电场，所以沿同一方向增加相同距离电势的变化量相等，所以φc－φb＝φO－φa，代入数据解得：φO＝6 V，故A正确；ab中点e的电势为φe＝6 V，连接Oe则为等势面，如图所示。由几何关系可知，ab垂直于Oe，则ab为一条电场线，且方向由b指向a，电场强度为：E＝＝ V/m＝100 V/m，故B错误；该点电荷在c点的电势能为Epc＝qφc＝－2×10-4 J，故C错误；由题意结合几何知识可知b、d在同一等势面上，该点电荷从a点移动到d点，电场力做功为：Wad＝qUad＝qUab＝(4－8)×(－2×10-5) J＝8×10-5 J，故D正确。]
14 / 21 电场能的性质
1．静电力做功
(1)特点：与路径无关，只与________位置和终止位置有关。
(2)计算方法
①W＝________，适用于匀强电场，d为沿电场方向的位移。
②WAB＝________，适用于任何电场。
2．静电力做功与电势能变化的关系
(1)静电力做的功等于电荷电势能的________，即WAB＝EpA－EpB。静电力对电荷做多少正功，电荷电势能就________多少；电荷克服静电力做多少功，电荷电势能就________多少。
(2)电势能的大小：由WAB＝EpA－EpB可知，若令EpB＝0，则EpA＝WAB，即一个电荷在电场中某点具有的电势能，数值上等于将其从该点移到零电势能位置过程中静电力所做的功。
3．电势
(1)定义式：φ＝________，公式应用时，各量的正负号要代入。
(2)矢标性：标量，但有正负之分，其正(负)表示比________高(低)。
(3)相对性：电势大小与零电势点的选取有关。
4．等势面
(1)定义：电场中________相同的点构成的面。
(2)特点：
①在同一等势面上移动电荷时，静电力________。
②电场线和等势面垂直。
③等差等势面的疏密表示电场的________。
④等势面不相交。
5．几种常见等势面的比较
电场 等势面(虚线)图样 特点
匀强电场 垂直于电场线的一簇平面
点电荷的电场 以点电荷为球心的一簇球面
等量异种点电荷的电场 两电荷连线的中垂面为等势面
等量正点电荷的电场 在两电荷连线上，中点电势最______； 在两电荷连线的中垂线上，中点电势最______
6．电势差
(1)定义式：UAB＝。
(2)静电力做功与电势差的关系：WAB＝EpA－EpB＝q(φA－φB)＝qUAB。
(3)电势差与电势的关系：UAB＝________，UAB＝－UBA。
(4)匀强电场中电势差与电场强度的关系：U＝Ed。
7．静电平衡
(1)概念：导体中的自由电荷不再发生____________。
(2)特点：
①导体内部电场强度为零。
②导体是等势体，表面是等势面，电荷只分布在外表面上。
1．易错易混辨析
(1)电场中电场强度为零的地方电势一定为零。 ( )
(2)等势面是客观存在的，电场线与等势面一定垂直。 ( )
(3)静电力做功与路径无关。 ( )
(4)带电粒子仅受静电力作用时，一定从电势能大的地方向电势能小的地方移动。 ( )
(5)等差等势面越密的地方，电场线越密，电场强度越大。 ( )
(6)电场中电势降低的方向，就是电场强度的方向。 ( )
(7)A、B两点的电势差与试探电荷无关，所以UAB＝UBA。 ( )
2．(人教版必修第三册改编)电荷量为q的电荷在电场中由A点移到B点时，静电力做功为W，由此可算出两点间的电势差为U，若让电荷量为2q的电荷在电场中由A点移到B点，则( )
A．静电力做功仍为W
B．静电力做功为
C．两点间的电势差仍为U
D．两点间的电势差为
3．(人教版必修第三册改编)如图所示，匀强电场的电场强度为E，A与B两点间的距离为d，AB与电场线的夹角为α，则A、B两点间的电势差为( )
A．Ed B．Ed cos α
C．Ed sin α D．Ed tan α
电势高低与电势能大小的判断
1．电势高低常用的两种判断方法
(1)沿电场线方向电势逐渐降低。
(2)若UAB>0，则φA>φB；若UAB<0，则φA<φB。
2．电势能大小的四种判断方法
判断角度 方法解读
做功判断法 电场力做正功，电势能减小；电场力做负功，电势能增大
电荷电势法 正电荷在电势高的地方电势能大，负电荷在电势低的地方电势能大
公式法 由Ep＝qφ，将q、φ的大小、正负号一起代入公式，Ep的正值越大，电势能越大；Ep的负值的绝对值越小，电势能越大
能量守恒法 在电场中，若只有电场力做功时，电荷的动能和电势能相互转化，动能增大，电势能减小；反之，电势能增大
[典例1] (2025·广东汕头高三检测)如图所示为某电场中的一根电场线，电场线上有A、B、C三点且AB＝BC，一电子从A点出发经B点运动到C点。下列说法正确的是( )
A．该电场是匀强电场
B．在A、B、C三点中，A点的电势最高
C．在A、B、C三点中，A点的电场强度最大
D．在A、B、C三点中，电子在A点的电势能最大
[听课记录]
[典例2] (多选)(2024·广东深圳二模)如图甲所示，在倾角为θ的足够长的绝缘光滑斜面底端，静止放置质量为m、带电量为q(q＞0)的物体。加上沿着斜面方向的电场，物体沿斜面向上运动。物体运动过程中的机械能E与其位移x的关系图像如图乙所示，其中OA为直线，AB为曲线，BC为平行于横轴的直线，重力加速度为g，不计空气阻力( )
A．0～x1过程中，电场强度的大小恒为
B．x1～x2过程中，电势降低了
C．x1～x2过程中，物体加速度的大小先变小后变大
D．x2～x3过程中，电场强度为零
[听课记录]
匀强电场中电势差与电场强度的关系
1．公式E＝的三点注意
(1)只适用于匀强电场。
(2)d为某两点沿电场强度方向上的距离，或两点所在等势面之间的距离。
(3)电场强度的方向是电势降低最快的方向。
2．两个推论
(1)如图甲所示，C点为线段AB的中点，则有φC＝。
(2)如图乙所示，AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD。
3．三点妙用
(1)解释等差等势面的疏密与电场强度大小的关系。当电势差U一定时，电场强度E越大，则沿电场强度方向的距离d越小，即电场强度越大，等差等势面越密。
(2)定性判断非匀强电场电势差的大小关系。如距离相等的两点间的电势差，E越大，U越大；E越小，U越小。
(3)利用φ-x图像的斜率判断沿x轴方向的电场强度Ex随位置的变化规律。在φ-x图像中斜率k＝＝＝Ex，斜率的大小表示电场强度的大小，正负表示电场强度的方向。
[典例3] (多选)(2025·广东梅州模拟)如图所示，在匀强电场中，有边长为2 cm 的正六边形ABCDEF，其六个顶点均位于同一个圆上，正六边形所在平面与匀强电场的电场线平行，O点为该正六边形的中心，A、B、F三点电势分别为φA＝6 V、φB＝9 V、φF＝3 V，下列说法正确的是( )
A．将电子由B点移到A点，电子的电势能增加了3 eV
B．电子在A、C两点电势能的比较，在A点的电势能小于在C点的电势能
C．匀强电场的电场强度大小为100 V/m，方向由B指向F
D．在正六边形ABCDEF外接圆的圆周上，电势最低点的电势为 V
[听课记录]
[典例4] (多选)一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c三点的位置如图所示，三点的电势分别为10 V、17 V、26 V。下列说法正确的是( )
A．电场强度的大小为2.5 V/cm
B．坐标原点处的电势为1 V
C．电子在a点的电势能比在b点的低7 eV
D．电子从b点运动到c点，电场力做功为9 eV
[听课记录]
应用E＝关系的解题思路
电场线、等势面及运动轨迹问题
1．判断速度方向：带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为该点处的速度方向。
2．判断电场力(或电场强度)的方向：仅受电场力作用时，带电粒子所受电场力方向指向轨迹曲线的凹侧，再根据粒子的正负判断电场强度的方向。
3．判断电场力做功的正负及电势能的增减：若电场力与速度方向成锐角，则电场力做正功，电势能减少；若电场力与速度方向成钝角，则电场力做负功，电势能增加。
[典例5] 如图所示是某一带电导体周围的电场线与等势面，A、C是同一等势面上的两点，B是另一等势面上的一点。下列说法正确的是( )
A．导体内部的场强左端大于右端
B．A、C两点的电势均低于B点的电势
C．B点的电场强度大于A点的电场强度
D．正电荷从A点沿虚线移到B点的过程中电场力做正功，电势能减小
[听课记录]
[典例6] (2025·广东潮州检测)冷冻电镜是用于扫描电镜的超低温冷冻制样及传输技术，可实现直接观察液体、半液体及对电子束敏感的样品。电子显微镜是冷冻电镜中的关键部分，其中的一种电子透镜的电场分布如图所示，虚线为等差等势面，一电子在其中运动的轨迹如图中实线所示，a、b是轨迹上的两点，则( )
A．a点的电场强度大于b点的电场强度
B．b点电场强度的方向水平向右
C．a点的电势高于b点的电势
D．电子在a点的电势能大于在b点的电势能
[听课记录]
1．(多选)如图所示，正三角形三个顶点固定三个带等量电荷的点电荷，其中A、B带正电，C带负电，O、M、N为AB边的四等分点，下列说法正确的是( )
A．M、N两点电场强度相同
B．M、N两点电势相同
C．负电荷在M点电势能比在O点时要小
D．负电荷在N点电势能比在O点时要大
2．如图所示，在某电场中画出了三条电场线，C点是A、B连线的中点。已知A点的电势为φA＝30 V，B点的电势为φB＝－10 V，则C点的电势( )
A．φC＝10 V B．φC>10 V
C．φC<10 V D．无法判断
3．(2025·广东惠州模拟)如图所示，边长为1 cm的正三角形ABC处于匀强电场中，电场方向平行于三角形所在平面。将电子由A点移动到B点，电场力做功4 eV；将电子由A点移动到C点，电场力做功2 eV。电场强度大小为( )
A．200 V/m B．300 V/m
C．200 V/m D．400 V/m
4．(多选)如图所示，实线为方向未知的三条电场线，虚线分别为等势线1、2、3，已知MN＝NQ，a、b两带电粒子从等势线2上的O点以相同的初速度飞出。仅在电场力作用下，两粒子的运动轨迹如图所示，则( )
A．a一定带正电，b一定带负电
B．a加速度减小，b加速度增大
C．M、N两点间的电势差|UMN|大于N、Q两点间的电势差|UNQ|
D．a粒子到达等势线3的动能变化量比b粒子到达等势线1的动能变化量小
5．(2025·广东湛江高三调研)如图所示，虚线a、b、c表示O处点电荷的电场中的三个不同的等势面，相邻等势面的间距相等，一电子射入电场后(只受电场力作用)的运动轨迹如图中实线所示，其中1、2、3、4表示运动轨迹与等势面的交点，由此可以判定( )
A．O处的点电荷一定带正电
B．电子运动过程中，动能先增大后减小
C．三个等势面的电势高低关系是φc＞φb＞φa
D．电子从位置2到位置3与从位置3到位置4过程中电场力所做的功相等
1 / 10课时分层作业(二十) 电场能的性质
说明：单选题每小题4分，多选题每小题6分；本试卷共74分
1．(多选)静电场中，一带电粒子仅在电场力的作用下自M点由静止开始运动，N为粒子运动轨迹上的另外一点，则( )
A．运动过程中，粒子的速度大小可能先增大后减小
B．在M、N两点间，粒子的轨迹一定与某条电场线重合
C．粒子在M点的电势能不低于其在N点的电势能
D．粒子在N点所受电场力的方向一定与粒子轨迹在该点的切线平行
2．(2024·广东广州一模)点电荷Q产生的电场中，电子仅在电场力作用下，从M点到N点做加速度减小的减速直线运动，则( )
A．点电荷Q为正电荷
B．点电荷Q为负电荷
C．M点场强比N点的小
D．M点电势比N点的低
3．(多选)(2024·广东深圳二模)范德格拉夫静电加速器结构如图所示，其工作原理是先通过传送带将正电荷传送到金属球壳(电荷在金属球壳上均匀分布)，使金属球与地面间产生几百万伏的高压，然后利用高压给绝缘管中的带电粒子加速。在加速管顶端A点无初速度释放一带电粒子，粒子经过B、C两点到达管底(B为AC中点)。不计粒子重力，仅考虑球壳产生的电场的影响，下列说法正确的是( )
A．B点电势比C点电势高
B．粒子从B点到C点的过程中电势能增大
C．粒子在B点的加速度大于在C点的加速度
D．粒子在AB与BC间的动能变化量相同
4．(多选)(2024·广东广州一模)在干燥的冬天，手接触房间的金属门锁时，会有一种被电击的感觉。带负电的手在缓慢靠近门锁还未被电击的过程中，门锁( )
A．近手端感应出正电荷
B．电势比手的电势低
C．与手之间场强逐渐增大
D．与手之间场强保持不变
5．在一些电子显示设备中，让阴极发射的电子束通过适当的非匀强电场，可以使发散的电子束聚集。下列4幅图中带箭头的实线表示电场线，如果用虚线表示电子可能的运动轨迹，其中正确的是( )
A B
C D
6．(多选)图(a)为金属四极杆带电粒子质量分析器的局部结构示意图，图(b)为四极杆内垂直于x轴的任意截面内的等势面分布图，相邻两等势面间电势差相等，则( )
A．P点电势比M点的低
B．P点电场强度大小比M点的大
C．M点电场强度方向沿z轴正方向
D．沿x轴运动的带电粒子，电势能不变
7．(多选)静电透镜被广泛应用于电子器件中，如图所示是阴极射线示波管的聚焦电场，其中虚线为等势线，任意两条相邻等势线间电势差相等，z轴为该电场的中心轴线。一电子从其左侧进入聚焦电场，实线为电子运动的轨迹，P、Q、R为其轨迹上的三点，电子仅在静电力作用下从P点运动到R点，在此过程中，下列说法正确的是( )
A．P点的电势低于Q点的电势
B．电子在P点的加速度小于在R点的加速度
C．从P至R的运动过程中，电子的电势能增加
D．从P至R的运动过程中，电子的动能一直增大
8．(2025·广东汕尾调研)如图是匀强电场遇到空腔导体后的部分电场线分布图，电场线的方向如图所示，M、N、Q是以直电场线上一点O为圆心的同一圆周上的三点，OQ连线垂直于MN，以下说法正确的是( )
A．O点电势与Q点电势相等
B．将一正电荷由M点移到Q点，电荷的电势能减少
C．MO间的电势差等于ON间的电势差
D．在Q点释放一个正电荷，正电荷所受电场力将沿与OQ垂直的方向竖直向上
9．如图所示，真空中电荷量为2q和－q(q＞0)的两个点电荷分别位于M点与N点，形成一个以MN延长线上O点为球心，电势为零的等势面(取无穷远处电势为零)，P为MN连线上的一点，S为等势面与直线MN的交点，T为等势面上的一点，下列说法正确的是( )
A．P点电势低于S点电势
B．T点电场强度方向指向O点
C．除无穷远处外，MN直线上还存在两个电场强度为零的点
D．将正试探电荷q0从T点移到P点，静电力做正功
10．如图所示，一带正电的点电荷固定于O点，两虚线圆均以O为圆心，两实线分别为带电粒子M和N先后在电场中运动的轨迹，a、b、c、d、e为轨迹和虚线圆的交点。不计重力，下列说法错误的是( )
A．M带负电荷，N带正电荷
B．M在b点的动能小于它在a点的动能
C．N在d点的电势能等于它在e点的电势能
D．N在从c点运动到d点的过程中克服电场力做功
11．(多选)如图所示，两对等量异号点电荷＋q、－q(q＞0)固定于正方形的4个顶点上。L、N是该正方形两条对角线与其内切圆的交点，O为内切圆的圆心，M为切点。则( )
A．L和N两点处的电场方向相互垂直
B．M点的电场方向平行于该点处的切线，方向向左
C．将一带正电的点电荷从M点移动到O点，电场力做正功
D．将一带正电的点电荷从L点移动到N点，电场力做功为零
12．(多选)如图所示是带电量不同的正、负点电荷的电场线，A、M、N是电场中的三点。A是两电荷连线的中点，M、N在两电荷连线的垂直平分线上。一个带负电的点电荷在两点受到的电场力分别为FM、FN。无穷远处电势为零，则( )
A．FM>FN
B．A点电势为零
C．M点电势高于N点电势
D．将负点电荷从M点移动到N点的过程中，电势能增加
13．(多选)在O点处固定一个正点电荷，P点在O点右上方。从P点由静止释放一个带负电的小球，小球仅在重力和该点电荷电场力作用下在竖直面内运动，其一段轨迹如图所示。M、N是轨迹上的两点，OP>OM，OM＝ON，则小球( )
A．在运动过程中，电势能先增加后减少
B．在P点的电势能大于在N点的电势能
C．在M点的机械能等于在N点的机械能
D．从M点运动到N点的过程中，电场力始终不做功
14．(多选)(2024·广东江门模拟)有一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c、d四点的位置如图所示，cd、cb 分别垂直于x轴、y轴，其中a、b、c三点电势分别为：4 V、8 V、10 V，使一电荷量为q＝－2×10-5 C的负点电荷由a点开始沿abcd路线运动，则下列判断正确的是( )
A．坐标原点O的电势为6 V
B．电场强度的大小为 V/m
C．该点电荷在c点的电势能为2×10-5 J
D．该点电荷从a点移到d点过程中，电场力做功为 8×10-5 J
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