专题突破练习(一) 运动图像 追及相遇问题
说明：单选题每小题4分，多选题每小题6分；本试卷共72分
1．(2024·新课标卷)一质点做直线运动，下列描述其位移x或速度v随时间t变化的图像中，可能正确的是( )
A B
C D
2．(多选)(2025·广东汕头模拟)如图所示，足球场上某运动员进行“边路突破”训练，沿边线将足球向前踢出，为控制足球，又向前追赶足球，下列v t和s t 图像能大致反映此过程的是( )
A B
C D
3．(多选)(2021·广东卷)赛龙舟是端午节的传统活动。下列v t和s t图像描述了五条相同的龙舟从同一起点线同时出发、沿长直河道划向同一终点线的运动全过程，其中能反映龙舟甲与其他龙舟在途中出现船头并齐的有( )
A B
C D
4．(2024·广东佛山二模)某医用智能机器人在医院大厅巡视，如图所示是该机器人在某段时间内做直线运动的位移—时间图像，20～30 s的图线为曲线，其余为直线。则机器人在( )
A．0～10 s内做匀加速直线运动
B．0～20 s内平均速度大小为零
C．0～30 s内的位移大小为5 m
D．5 s末的速度与15 s末的速度相同
5．(2025·广东佛山模拟)随着自动驾驶技术不断成熟，无人汽车陆续进入特定道路进行试验。如图所示是两辆无人汽车在某一水平直线道路上同时同地出发运动的v t图像，运动过程没有发生相碰，对两辆无人汽车的运动过程，下列说法正确的是( )
A．前2 s内，甲的加速度始终大于乙的加速度
B．2.5 s时，甲无人汽车回到出发点
C．2.5 s时，甲、乙无人汽车的加速度方向相同
D．4 s时，两辆无人汽车间的距离为12 m
6．如图所示，可视为质点的A、B两物体相距s＝7 m时，A在水平拉力和摩擦力作用下，正以vA＝4 m/s 的速度向右匀速运动，而物体B此时正在摩擦力作用下以初速度vB＝10 m/s向右匀减速运动，加速度a＝－2 m/s2，则A追上B所经历的时间是( )
A．7 s B．8 s C．9 s D．10 s
7．(2025·广东肇庆模拟)汽车的设计、竞技体育的指导、宇航员的训练等多种工作都会用到急动度的概念。急动度j是加速度变化量Δa与发生这一变化所用时间Δt的比值，即j＝，它的方向与物体加速度变化量的方向相同。一物体从静止开始做直线运动，其加速度a随时间t的变化关系如图所示，则该物体在( )
A．1～3 s内做减速运动
B．0～5 s内速度方向发生改变
C．t＝2 s时和t＝4 s时加速度等大反向
D．t＝2 s时和t＝4 s时急动度等大反向
8．一位医生赶到汽车站乘车时，车已经沿平直公路驶离车站，听到呼喊后汽车马上以大小为的加速度匀减速刹车，设医生同时以4 m/s的速度匀速追赶汽车，汽车开始刹车时速度为8 m/s，减速前距离医生12 m。则医生追上汽车所需的时间为( )
A．6 s B．7 s C．8 s D．9 s
9．(2024·广东茂名二模)甲驾驶汽车在一段平直马路上等待绿灯，甲启动汽车时乙驾驶汽车刚好从旁边经过，他们的v2 x图像如图所示(图中v0、x0已知)，下列说法正确的是( )
A．两车同时到达x0处
B．甲驾驶汽车做匀加速直线运动时的加速度为
C．从甲启动汽车到两车速度相等经历的时间为
D．两车在0～x0内，乙受到座椅的作用力竖直向上，甲受到座椅的作用力水平向前
10．(多选)(2025·广东珠海模拟)为了研究某品牌玩具车的性能，生产厂家拿两辆完全相同的玩具车做测试：将玩具车甲、乙放在平直的轨道上同时沿同一起始线释放，已知两玩具车的运动方向相同，乙运动5 m停下，在该过程中通过计算机描绘了两玩具车速度的平方与位移的关系图像。下列说法正确的是( )
A．两车均做匀变速直线运动，且加速度方向相反
B．两车在 m时再次并排行驶
C．甲车在 s时追上乙车
D．乙车停止运动前两车的最大间距为 m
1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 ＋0.5
11．(13分)某中学禁止学生骑电动车上、放学，一学生违规驾驶电动车在平直公路上行驶，速度为v1＝15 m/s。突然发现前方35 m处静止停放着一辆交通事故车，马上紧急刹车，并以3 m/s2的恒定加速度减速行驶，分情况讨论：
(1)如果考虑到该名学生看到交通事故时的反应时间为0.1 s，通过计算说明，该违规驾驶电动车学生是否会出现安全问题；
(2)交通事故车发现后方35 m处的学生，马上以速度v2＝3 m/s匀速驾驶离开，两车均不考虑反应时间，求两车相距最近的距离。
1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 ＋0.5
12．(13分)一辆值勤的警车停在公路边，当警员发现从他旁边以10 m/s 的速度匀速行驶的货车严重超载时，决定前去追赶，经过5.5 s后警车发动起来，并以的加速度做匀加速运动，但警车的行驶速度必须控制在90 km/h以内。求：
(1)警车在追赶货车的过程中，两车间的最大距离；
(2)警车发动后要多长时间才能追上货车。
1 / 5 运动图像 追及相遇问题
运动学中的两种典型图像
1．x-t图像与v-t图像的比较
图像 x-t图像 v-t图像
意义 倾斜直线表示匀速直线运动；曲线表示变速直线运动 倾斜直线表示匀变速直线运动；曲线表示变加速直线运动
特别处 两条图线的交点表示相遇 图线与时间轴所围面积表示位移
运动情况 甲做匀速直线运动，乙做速度逐渐减小的直线运动 丙做匀加速直线运动，丁做加速度逐渐减小的变加速直线运动
位移 0～t1时间内甲、乙位移相等 0～t2时间内丁的位移大于丙的位移
平均速度 0～t1时间内甲、乙平均速度相等 0～t2时间内丁的平均速度大于丙的平均速度
2．三点说明
(1)x-t图像与v-t图像都只能描述直线运动，且均不表示物体运动的轨迹。
(2)分析图像要充分利用图像与其所对应的物理量的函数关系。
(3)识图方法：一轴、二线、三斜率、四面积、五截距、六交点。
[典例1] (2023·广东卷)铯原子喷泉钟是定标“秒”的装置。在喷泉钟的真空系统中，可视为质点的铯原子团在激光的推动下，获得一定的初速度。随后激光关闭，铯原子团仅在重力的作用下做竖直上抛运动，到达最高点后再做一段自由落体运动。取竖直向上为正方向。下列可能表示激光关闭后铯原子团速度v或加速度a随时间t变化的图像是( )
A B
C D
D [铯原子团仅在重力的作用下运动，加速度g竖直向下，大小恒定，在v-t图像中，斜率为加速度，故斜率不变，所以图像应该是一条倾斜的直线，故选项A、B错误；因为加速度恒定，且方向竖直向下，故始终为负值，故选项C错误，选项D正确。故选D。]
分析图像问题的三环节
运动学中非常规图像
1．a-t图像
由Δv＝aΔt可知，图像中图线与横轴所围面积表示速度变化量Δv，如图甲所示。
2．匀变速直线运动的-t图像
由x＝v0t＋at2可得＝v0＋at，由此知-t图像的斜率为a，纵轴截距为v0，如图乙所示。
3．v2-x图像
由＝2ax可知v2＝＋2ax，故v2-x图像斜率为2a，纵轴截距为。
[典例2] 如图所示，四幅图为物体做直线运动的图像，下列说法正确的是( )
A．图甲中，物体在0～t0这段时间内的位移小于
B．图乙中，物体的加速度为2 m/s2
C．图丙中，阴影面积表示t1～t2时间内物体的加速度变化量
D．图丁中，t＝3 s时物体的速度为25 m/s
D [题图甲中，因v-t图像与t轴围成的面积等于位移，可知物体在0～t0这段时间内的位移大于，选项A错误；题图乙中，根据v2＝2ax可知2a＝ m/s2＝1 m/s2，则物体的加速度为，选项B错误；题图丙中，根据Δv＝aΔt可知，阴影面积表示t1～t2时间内物体的速度变化量，选项C错误；题图丁中，由x＝v0t＋at2可得＝v0＋at，由题图丁可知a＝ m/s2＝5 m/s2，则a＝10 m/s2，v0＝－5 m/s，则t＝3 s时物体的速度为v3＝v0＋at3＝25 m/s，选项D正确。]
分析图像问题的两种方法
(1)函数法
图像反映了两个变量(物理量)之间的函数关系，因此要由运动学公式推导出两个物理量间的函数关系，来分析图像的意义。
(2)排除法
利用图像的“斜率”“截距”“面积”的意义，采用排除方法提高选择题图像类题型的解题准确率和速度。
追及相遇问题
1．分析思路
可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”。
(1)一个临界条件：速度相等。它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析、判断问题的切入点。
(2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系，通过画草图找出两物体的位移关系是解题的突破口。
2．能否追上的判断方法(临界条件法)
物体B追赶物体A：开始时，两个物体相距x0，当vB＝vA时，若xB>xA＋x0，则能追上；若xB＝xA＋x0，则恰好追上；若xB特别提醒：若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动。
3．常用分析方法
(1)物理分析法：抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条件，建立物体运动关系的情境图。
(2)函数法：设相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于位移x与时间t的二次函数关系，由此判断两物体追及或相遇情况。
①若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次；
②若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；
③若Δ<0，说明追不上或不能相遇。
(3)极值法：设经过时间t，分别列出两物体的位移—时间关系式，得位移之差Δx与时间t的二次函数，再利用数学极值法求解距离的最大(或最小)值。
(4)图像法：将两个物体运动的速度—时间关系图线在同一坐标系中画出，然后利用图像分析、求解相关问题。
[典例3] (一题多法)在水平轨道上有两列火车A和B相距s，A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同。要使两车不相撞，求A车的初速度v0满足什么条件。
思路点拨：要使两车恰好不相撞，A车追上B车时其速度只能与B车相等。设A、B两车从相距s到A车追上B车时，A车的位移为sA、末速度为vA、所用时间为t，B车的位移为sB、末速度为vB，两者的运动过程如图所示。
[解析] 解法一：临界法
利用位移公式、速度公式求解
对A车有sA＝v0t＋×(－2a)×t2
vA＝v0＋(－2a)×t
对B车有sB＝at2，vB＝at
对两车有s＝sA－sB
追上时，两车不相撞的临界条件是vA＝vB
联立以上各式解得v0＝
故要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0<。
解法二：函数法
利用判别式求解，由法一可知sA＝s＋sB
即v0t＋×(－2a)×t2＝s＋at2
整理得3at2－2v0t＋2s＝0
这是一个关于时间t的一元二次方程，当根的判别式Δ＝(－2v0)2－4×3a×2s<0时，t无实数解，即两车不相撞，所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0<。
解法三：图像法
利用速度—时间图像求解，先作A、B两车的速度—时间图像，其图像如图所示，
设经过t′时间两车刚好不相撞，则对A车有vA＝v′＝v0－2at′
对B车有vB＝v′＝at′
以上两式联立解得t′＝
经t′时间两车发生的位移大小之差，即原来两车间的距离s，它可用图中的阴影面积表示，由图像可知s＝v0·t′＝v0·＝，所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0<。
[答案] v0<
求解追及和相遇问题的两点技巧
【典例3 教用·备选题】具有我国自主知识产权的“歼-10”飞机的横空出世，证实了我国航空事业在飞速发展，而航空事业的发展又离不开风洞试验，其简化模型如图(a)所示。在光滑的水平轨道上停放相距x0＝10 m的甲、乙两车，其中乙车是风力驱动车。在弹射装置使甲车获得v0＝40 m/s的瞬时速度向乙车运动的同时，乙车的风洞开始工作，将风吹向固定在甲车上的挡风板，从而使乙车获得了速度，测绘装置得到了甲、乙两车的v-t图像如图(b)所示，设两车始终未相撞。
(1)若甲车的质量与其加速度大小的乘积等于乙车的质量与其加速度大小的乘积，求甲、乙两车的质量比；
(2)求两车相距最近时的距离。
[解析] (1)由题图(b)可知，甲车加速度的大小
a甲＝ m/s2
乙车加速度的大小a乙＝ m/s2
因甲车的质量与其加速度大小的乘积等于乙车的质量与其加速度大小的乘积，所以有m甲a甲＝m乙a乙
解得 ＝。
(2)在t1时刻，甲、乙两车的速度相等，均为v＝10 m/s，此时两车相距最近
对乙车有v＝a乙t1
对甲车有v＝a甲(0.4 s－t1)
可解得t1＝0.3 s
车的位移等于v-t图线与时间轴所围的面积，有x甲＝ m＝7.5 m
x乙＝ m＝1.5 m
两车相距最近时的距离为
xmin＝x0＋x乙－x甲＝4 m。
[答案] (1)1∶3 (2)4 m
1．(2024·重庆卷)如图所示，某滑雪爱好者经过M点后在水平雪道滑行。然后滑上平滑连接的倾斜雪道，当其达到N点时速度为0，水平雪道上的滑行视为匀速直线运动，在倾斜雪道上的运动视为匀减速直线运动。则M到N的运动过程中，其速度大小v随时间t的变化图像可能是( )
A B
C D
C [滑雪爱好者在水平雪道上做匀速直线运动，滑上平滑连接(没有能量损失，速度大小不变)的倾斜雪道后，在倾斜雪道上做匀减速直线运动。故选C。]
2．一小车沿直线运动，从t＝0开始由静止匀加速至t＝t1时刻，此后做匀减速运动，到t＝t2时刻速度降为零。在下列小车位移x与时间t的关系曲线中，可能正确的是( )
A B
C D
D [选项中图像皆为x-t图像，x-t图像中图线各点切线斜率表示该点的瞬时速度大小。由题意可知，小车初速度为0，0～t1时间内小车做匀加速运动，根据公式v＝at，可知小车速度增大，所以图像斜率增大，t1～t2时间内小车做匀减速运动，图像斜率减小，t＝t2时刻速度降为0，故D正确。]
3．(2025·广东佛山模拟)一个物体沿直线运动，从t＝0时刻开始，物体的-t图像如图所示，图线与纵、横坐标轴的交点分别为0.5和－1，由此可知( )
A．物体做匀速直线运动
B．物体做加速度大小为0.5 m/s2的匀加速直线运动
C．物体的初速度大小为1 m/s
D．物体在第2 s内的位移为2 m
D [由题图得＝(0.5t＋0.5) m/s，由匀变速直线运动的位移—时间公式x＝v0t＋at2，有＝v0＋at，可得a＝0.5 m/s2，物体的加速度a＝1 m/s2，初速度v0＝0.5 m/s，可知物体的加速度不变，物体做匀加速直线运动，A、B、C错误；物体在第2 s内的位移为＝＝m－m＝2 m，D正确。]
4．(2025·广东肇庆高三诊断)一物体从静止开始做直线运动，其加速度随时间变化如图所示，则( )
A．0～2t0内的平均速度为
B．2t0末，物体的速度为
C．t0～2t0内的位移小于
D．全程位移等于
B [加速度与时间的关系图线与时间轴围成的面积表示速度的变化量，可知速度的变化量Δv＝a0t0＋＝，则2t0末的速度为，物体全程加速，最大速度为，则0～2t0内平均速度小于，故A错误，B正确；作出对应的速度—时间图线，如图所示，根据图线与横轴围成的面积表示位移知，t0～2t0内的位移＝，C错误；全程的位移＝，D错误。]
5．(2025·广东珠海检测)在一条平直的公路上，乙车以v1＝10 m/s的速度匀速行驶，甲车在乙车的后面做同方向初速度为v2＝15 m/s、加速度大小为a＝0.5 m/s2的匀减速运动，若两车初始距离L＝36 m，请通过计算分析两车能否相遇。若能相遇则求出两车相遇的时间；若不能相遇则求出两车间的最近距离。
[解析] 设两车经时间t速度相等，有v1t＋L＝v2t－at2
代入数值得t2－5t＋36＝0
Δ＝b2－4ac＝－9<0
t无解，即两车不会相遇。
当两车速度相等时相距最近，有v1＝v2－at1
得t1＝10 s
则最近距离为Δsmin＝
代入数值解得Δsmin＝11 m。
[答案] 两车不会相遇 11 m
专题突破练习(一) 运动图像 追及相遇问题
1．(2024·新课标卷)一质点做直线运动，下列描述其位移x或速度v随时间t变化的图像中，可能正确的是( )
A B
C D
C [任何时刻质点的速度与位移都是唯一的，C可能正确，A、B、D错误。]
2．(多选)(2025·广东汕头模拟)如图所示，足球场上某运动员进行“边路突破”训练，沿边线将足球向前踢出，为控制足球，又向前追赶足球，下列v-t和s-t图像能大致反映此过程的是( )
A B
C D
AC [运动员将足球向前踢出，由于地面有阻力作用，足球做匀减速运动，运动员向前追赶做加速运动，故A正确，B错误；s-t图像的斜率表示速度，足球做减速运动，运动员做加速运动，且踢球时两者在同一位置，故C正确，D错误。故选AC。]
3．(多选)(2021·广东卷)赛龙舟是端午节的传统活动。下列v-t和s-t图像描述了五条相同的龙舟从同一起点线同时出发、沿长直河道划向同一终点线的运动全过程，其中能反映龙舟甲与其他龙舟在途中出现船头并齐的有( )
A B
C D
BD [从v-t图像上看，由于所有龙舟出发点相同，故只要存在龙舟甲与其他龙舟从出发到某时刻图线与t轴所围图形面积相等，就存在船头并齐的情况，故A错误，B正确；从s-t图像上看，图像的交点即代表两龙舟船头并齐，故D正确，C错误。]
4．(2024·广东佛山二模)某医用智能机器人在医院大厅巡视，如图所示是该机器人在某段时间内做直线运动的位移—时间图像，20～30 s的图线为曲线，其余为直线。则机器人在( )
A．0～10 s内做匀加速直线运动
B．0～20 s内平均速度大小为零
C．0～30 s内的位移大小为5 m
D．5 s末的速度与15 s末的速度相同
B [根据x-t图像的斜率表示速度可知0～10 s内机器人做匀速直线运动，故A错误；根据题图可知，0～20 s内机器人的位移为0，则0～20 s内平均速度大小为零，故B正确；根据题图知，在0～30 s内有Δx＝0 m－2 m＝－2 m，可知0～30 s内的位移大小为2 m，故C错误；根据x-t图像的斜率表示速度可知5 s末的速度与15 s末的速度大小相等、方向相反，故D错误。]
5．(2025·广东佛山模拟)随着自动驾驶技术不断成熟，无人汽车陆续进入特定道路进行试验。如图所示是两辆无人汽车在某一水平直线道路上同时同地出发运动的v-t图像，运动过程没有发生相碰，对两辆无人汽车的运动过程，下列说法正确的是( )
A．前2 s内，甲的加速度始终大于乙的加速度
B．2.5 s时，甲无人汽车回到出发点
C．2.5 s时，甲、乙无人汽车的加速度方向相同
D．4 s时，两辆无人汽车间的距离为12 m
D [v-t图像的斜率表示加速度，可知在0～1 s内甲的加速度大于乙的加速度，在1～2 s内甲的加速度小于乙的加速度，选项A错误；0～2.5 s内甲的速度一直为正，则一直向前运动，则2.5 s时，甲无人汽车距离出发点最远，选项B错误；v-t图像斜率的正负反映加速度的方向，则2.5 s时，甲、乙无人汽车的加速度方向相反，选项C错误；v-t图像中图线与时间轴围成的面积表示位移，可知4 s时，甲的位移x1＝×4 m－×1.5×4 m＝4 m，乙的位移x2＝×8×4 m＝16 m，即两辆无人汽车间的距离为12 m，选项D正确。]
6．如图所示，可视为质点的A、B两物体相距s＝7 m时，A在水平拉力和摩擦力作用下，正以vA＝4 m/s 的速度向右匀速运动，而物体B此时正在摩擦力作用下以初速度vB＝10 m/s向右匀减速运动，加速度a＝－2 m/s2，则A追上B所经历的时间是( )
A．7 s B．8 s
C．9 s D．10 s
B [由题意知，t＝5 s时，物体B的速度减为零，位移大小xB＝vBt＋at2＝25 m，此时A的位移xA＝vAt＝20 m，A、B两物体相距Δs＝s＋xB－xA＝7 m＋25 m－20 m＝12 m，再经过Δt＝＝3 s，A追上B，所以A追上B所经历的时间是5 s＋3 s＝8 s，选项B正确。]
7．(2025·广东肇庆模拟)汽车的设计、竞技体育的指导、宇航员的训练等多种工作都会用到急动度的概念。急动度j是加速度变化量Δa与发生这一变化所用时间Δt的比值，即j＝，它的方向与物体加速度变化量的方向相同。一物体从静止开始做直线运动，其加速度a随时间t的变化关系如图所示，则该物体在( )
A．1～3 s内做减速运动
B．0～5 s内速度方向发生改变
C．t＝2 s时和t＝4 s时加速度等大反向
D．t＝2 s时和t＝4 s时急动度等大反向
C [1～3 s内加速度为正值，物体做加速度减小的加速运动，故A错误；图线与时间轴所围面积为物体速度的变化量，0～5 s内始终为正值，故速度方向不变，故B错误；由题图可知，t＝2 s时和t＝4 s时加速度等大反向，故C正确；t＝2 s 时和t＝4 s时，图线斜率相同，故急动度相同，故D错误。]
8．一位医生赶到汽车站乘车时，车已经沿平直公路驶离车站，听到呼喊后汽车马上以大小为2 m/的加速度匀减速刹车，设医生同时以4 m/s的速度匀速追赶汽车，汽车开始刹车时速度为8 m/s，减速前距离医生12 m。则医生追上汽车所需的时间为( )
A．6 s B．7 s C．8 s D．9 s
B [汽车速度减为0的时间为t1＝＝4 s，汽车速度减为0的位移为x＝＝ m＝16 m，医生追上汽车的位移x′＝x0＋x＝(12＋16) m＝28 m，医生追上汽车的时间t＝＝ s＝7 s>t1，所以医生追上汽车所需的时间为7 s，故B正确，A、C、D错误。]
9．(2024·广东茂名二模)甲驾驶汽车在一段平直马路上等待绿灯，甲启动汽车时乙驾驶汽车刚好从旁边经过，他们的v2-x图像如图所示(图中v0、x0已知)，下列说法正确的是( )
A．两车同时到达x0处
B．甲驾驶汽车做匀加速直线运动时的加速度为
C．从甲启动汽车到两车速度相等经历的时间为
D．两车在0～x0内，乙受到座椅的作用力竖直向上，甲受到座椅的作用力水平向前
C [在0～x0位移内，设甲的加速度为a，由初速度为0的匀加速直线运动规律可得2ax0＝，解得a＝，故B错误；甲做匀加速直线运动，乙做匀速直线运动，当甲、乙运动相等的位移x0，所需要的运动时间不相等，即两车不在同一时刻到达x0处，故A错误；由v0＝at，a＝，综合解得甲、乙速度相等的时刻为t＝，故C正确；乙做匀速直线运动，根据平衡条件可知乙受到座椅的作用力竖直向上，甲做匀加速直线运动，座椅对甲的作用力沿竖直方向的分力与重力平衡，沿水平方向的分力提供加速度，根据力的合成可知甲受到座椅的作用力斜向前上，故D错误。]
10．(多选)(2025·广东珠海模拟)为了研究某品牌玩具车的性能，生产厂家拿两辆完全相同的玩具车做测试：将玩具车甲、乙放在平直的轨道上同时沿同一起始线释放，已知两玩具车的运动方向相同，乙运动5 m停下，在该过程中通过计算机描绘了两玩具车速度的平方与位移的关系图像。下列说法正确的是( )
A．两车均做匀变速直线运动，且加速度方向相反
B．两车在 m时再次并排行驶
C．甲车在 s时追上乙车
D．乙车停止运动前两车的最大间距为 m
AD [由匀变速直线运动规律有2ax＝，整理得v2＝，所以v2-x的图像为倾斜的直线，斜率k＝2a，截距b＝，由题图知v0甲＝0，v0乙＝5 m/s，a甲＝＝1 m/s2，a乙＝＝－2.5 m/s2，所以两车均做匀变速直线运动，且加速度方向相反，选项A正确；两车在 m时速度相同，但并不代表同时到达 m 处，选项B错误；甲车追上乙车有a甲t2＝v0乙t＋a乙t2，代入数值解得t＝ s，t停＝＝2 s，t停11．某中学禁止学生骑电动车上、放学，一学生违规驾驶电动车在平直公路上行驶，速度为v1＝15 m/s。突然发现前方35 m处静止停放着一辆交通事故车，马上紧急刹车，并以3 m/s2的恒定加速度减速行驶，分情况讨论：
(1)如果考虑到该名学生看到交通事故时的反应时间为0.1 s，通过计算说明，该违规驾驶电动车学生是否会出现安全问题；
(2)交通事故车发现后方35 m处的学生，马上以速度v2＝3 m/s匀速驾驶离开，两车均不考虑反应时间，求两车相距最近的距离。
[解析] (1)由题意，可得该学生在反应时间内前进的距离为
x0＝v1t0＝1.5 m
设刹车距离为x，由
＝2ax
得x＝＝37.5 m
因为
x＋x0＝39 m＞35 m
所以会出现安全问题。
(2)两车速度相等时，距离最近，有
v1－at＝v2
最近距离
Δx＝35 m－
联立解得
Δx＝11 m
[答案] (1)会，详见解析 (2)11 m
12．一辆值勤的警车停在公路边，当警员发现从他旁边以10 m/s 的速度匀速行驶的货车严重超载时，决定前去追赶，经过5.5 s后警车发动起来，并以的加速度做匀加速运动，但警车的行驶速度必须控制在90 km/h以内。求：
(1)警车在追赶货车的过程中，两车间的最大距离；
(2)警车发动后要多长时间才能追上货车。
[解析] (1)当两车速度相等时，它们的距离最大，设警车发动后经过t1时间两车的速度相等
则t1＝＝ s＝4 s
x货＝v1＝10×(5.5＋4) m＝95 m
x警＝＝×2.5×42 m＝20 m
所以两车间的最大距离Δx＝x货－x警＝75 m。
(2)警车达到最大速度v＝90 km/h＝25 m/s的时间t2＝＝10 s
此时两车的位移分别为x警′＝＝ m＝125 m
x货′＝v1(t0＋t2)＝10×(5.5＋10) m＝155 m
两车距离Δx′＝x货′－x警′＝30 m
警车达到最大速度后做匀速运动，设再经过Δt时间追上货车
则Δt＝＝2 s
所以警车发动后要经过t＝t2＋Δt＝12 s，才能追上货车。
[答案] (1)75 m (2)12 s
16 / 16 运动图像 追及相遇问题
运动学中的两种典型图像
1．x-t图像与v-t图像的比较
图像 x-t图像 v-t图像
意义 倾斜直线表示匀速直线运动；曲线表示变速直线运动 倾斜直线表示匀变速直线运动；曲线表示变加速直线运动
特别处 两条图线的交点表示相遇 图线与时间轴所围面积表示位移
运动情况 甲做匀速直线运动，乙做速度逐渐减小的直线运动 丙做匀加速直线运动，丁做加速度逐渐减小的变加速直线运动
位移 0～t1时间内甲、乙位移相等 0～t2时间内丁的位移大于丙的位移
平均速度 0～t1时间内甲、乙平均速度相等 0～t2时间内丁的平均速度大于丙的平均速度
2．三点说明
(1)x-t图像与v-t图像都只能描述直线运动，且均不表示物体运动的轨迹。
(2)分析图像要充分利用图像与其所对应的物理量的函数关系。
(3)识图方法：一轴、二线、三斜率、四面积、五截距、六交点。
[典例1] (2023·广东卷)铯原子喷泉钟是定标“秒”的装置。在喷泉钟的真空系统中，可视为质点的铯原子团在激光的推动下，获得一定的初速度。随后激光关闭，铯原子团仅在重力的作用下做竖直上抛运动，到达最高点后再做一段自由落体运动。取竖直向上为正方向。下列可能表示激光关闭后铯原子团速度v或加速度a随时间t变化的图像是( )
A B
C D
[听课记录]
分析图像问题的三环节
运动学中非常规图像
1．a-t图像
由Δv＝aΔt可知，图像中图线与横轴所围面积表示速度变化量Δv，如图甲所示。
2．匀变速直线运动的-t图像
由x＝v0t＋at2可得＝v0＋at，由此知-t图像的斜率为a，纵轴截距为v0，如图乙所示。
3．v2-x图像
由＝2ax可知v2＝＋2ax，故v2-x图像斜率为2a，纵轴截距为。
[典例2] 如图所示，四幅图为物体做直线运动的图像，下列说法正确的是( )
A．图甲中，物体在0～t0这段时间内的位移小于
B．图乙中，物体的加速度为2 m/s2
C．图丙中，阴影面积表示t1～t2时间内物体的加速度变化量
D．图丁中，t＝3 s时物体的速度为25 m/s
[听课记录]
分析图像问题的两种方法
(1)函数法
图像反映了两个变量(物理量)之间的函数关系，因此要由运动学公式推导出两个物理量间的函数关系，来分析图像的意义。
(2)排除法
利用图像的“斜率”“截距”“面积”的意义，采用排除方法提高选择题图像类题型的解题准确率和速度。
追及相遇问题
1．分析思路
可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”。
(1)一个临界条件：速度相等。它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析、判断问题的切入点。
(2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系，通过画草图找出两物体的位移关系是解题的突破口。
2．能否追上的判断方法(临界条件法)
物体B追赶物体A：开始时，两个物体相距x0，当vB＝vA时，若xB>xA＋x0，则能追上；若xB＝xA＋x0，则恰好追上；若xB特别提醒：若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动。
3．常用分析方法
(1)物理分析法：抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条件，建立物体运动关系的情境图。
(2)函数法：设相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于位移x与时间t的二次函数关系，由此判断两物体追及或相遇情况。
①若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次；
②若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；
③若Δ<0，说明追不上或不能相遇。
(3)极值法：设经过时间t，分别列出两物体的位移—时间关系式，得位移之差Δx与时间t的二次函数，再利用数学极值法求解距离的最大(或最小)值。
(4)图像法：将两个物体运动的速度—时间关系图线在同一坐标系中画出，然后利用图像分析、求解相关问题。
[典例3] (一题多法)在水平轨道上有两列火车A和B相距s，A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同。要使两车不相撞，求A车的初速度v0满足什么条件。
思路点拨：要使两车恰好不相撞，A车追上B车时其速度只能与B车相等。设A、B两车从相距s到A车追上B车时，A车的位移为sA、末速度为vA、所用时间为t，B车的位移为sB、末速度为vB，两者的运动过程如图所示。
[听课记录]
求解追及和相遇问题的两点技巧
1．(2024·重庆卷)如图所示，某滑雪爱好者经过M点后在水平雪道滑行。然后滑上平滑连接的倾斜雪道，当其达到N点时速度为0，水平雪道上的滑行视为匀速直线运动，在倾斜雪道上的运动视为匀减速直线运动。则M到N的运动过程中，其速度大小v随时间t的变化图像可能是( )
A B
C D
2．一小车沿直线运动，从t＝0开始由静止匀加速至t＝t1时刻，此后做匀减速运动，到t＝t2时刻速度降为零。在下列小车位移x与时间t的关系曲线中，可能正确的是( )
A B
C D
3．(2025·广东佛山模拟)一个物体沿直线运动，从t＝0时刻开始，物体的-t图像如图所示，图线与纵、横坐标轴的交点分别为0.5和－1，由此可知( )
A．物体做匀速直线运动
B．物体做加速度大小为0.5 m/s2的匀加速直线运动
C．物体的初速度大小为1 m/s
D．物体在第2 s内的位移为2 m
4．(2025·广东肇庆高三诊断)一物体从静止开始做直线运动，其加速度随时间变化如图所示，则( )
A．0～2t0内的平均速度为
B．2t0末，物体的速度为
C．t0～2t0内的位移小于
D．全程位移等于
5．(2025·广东珠海检测)在一条平直的公路上，乙车以v1＝10 m/s的速度匀速行驶，甲车在乙车的后面做同方向初速度为v2＝15 m/s、加速度大小为a＝0.5 m/s2的匀减速运动，若两车初始距离L＝36 m，请通过计算分析两车能否相遇。若能相遇则求出两车相遇的时间；若不能相遇则求出两车间的最近距离。
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