动力学的连接体和临界、极值问题
动力学中的连接体问题
1．连接体：多个相互关联的物体由细绳、细杆或弹簧等连接或叠放在一起，构成的物体系统称为连接体。
2．常见连接体模型
(1)弹簧连接体：在弹簧发生形变的过程中，两端连接体的速度不一定相等；在弹簧形变最大(弹簧最长或最短)时，两端连接体的速率相等(加速度大小不一定相等)。
(2)物物叠放连接体：相对静止时具有相同的加速度，相对运动时根据受力特点结合运动情境分析。
(3)轻绳(杆)连接体：轻绳在伸直状态下，两端的连接体沿绳方向的速度总是相等的；轻杆平动时，连接体具有相同的平动速度。
同一方向的连接体问题
[典例1] (多选)(2024·广东东莞月考)如图所示，水平地面上有三个靠在一起的物块P、Q和R，质量分别为m、2m和3m，物块与地面间的动摩擦因数都为μ。用大小为F的水平外力推动物块P，R和Q之间相互作用力F1与Q和P之间相互作用力F2的大小之比为k。下列判断正确的是( )
A．若μ≠0，则k＝ B．若μ≠0，则k＝
C．若μ＝0，则k＝ D．若μ＝0，则k＝
BD [三物块靠在一起，将以相同加速度向右运动，则加速度大小a＝，所以R和Q之间相互作用力F1＝3ma＋3μmg＝F，Q与P之间相互作用力F2＝F－μmg－ma＝F－F＝F，所以可得k＝＝＝，与μ是否为零无关，故有k＝恒成立。故B、D正确，A、C错误。]
【典例1 教用·备选题】(多选)(2025·广东河源高三质检)如图所示，在粗糙的水平面上，质量分别为m和M的物块A、B用轻弹簧相连，两物块与水平面间的动摩擦因数均为μ，当用水平力F作用于B上且两物块共同向右以加速度a1匀加速运动时，弹簧的伸长量为x1；当用同样大小的恒力F沿着倾角为θ的光滑斜面方向作用于B上且两物块共同以加速度a2匀加速沿斜面向上运动时，弹簧的伸长量为x2，则下列说法正确的是( )
A．若m>M，有x1＝x2
B．若mC．若μ>sin θ，有x1>x2
D．若μAB [在水平面上滑动时，对整体，根据牛顿第二定律有F－μ(m＋M)g＝(m＋M)a1，隔离物块A，根据牛顿第二定律有FT－μmg＝ma1，联立解得FT＝F；在斜面上滑动时，对整体，根据牛顿第二定律有F－(m＋M)g sin θ＝(m＋M)a2，隔离物块A，根据牛顿第二定律有F′T－mg sin θ＝ma2，联立解得F′T＝F。比较可知，弹簧弹力相等，与动摩擦因数和斜面的倾角无关，故A、B正确，C、D错误。]
不同方向上连接体问题
[典例2] (2024·全国甲卷)如图，一轻绳跨过光滑定滑轮，绳的一端系物块P，P置于水平桌面上，与桌面间存在摩擦；绳的另一端悬挂一轻盘(质量可忽略)，盘中放置砝码。改变盘中砝码总质量m，并测量P的加速度大小a，得到a-m图像。重力加速度大小为g。在下列a-m图像中，可能正确的是( )
A B
C D
D [设P的质量为M，P与桌面间的滑动摩擦力为f；以P为研究对象，根据牛顿第二定律可得T－f＝Ma，以盘和砝码为研究对象，根据牛顿第二定律可得mg－T＝ma，联立可得a＝＝·m可知，a-m不是线性关系，故A、C错误；当砝码的重力小于物块P的最大静摩擦力时，物块和砝码静止，加速度为0，当砝码重力大于f时，才有一定的加速度，当m趋于无穷大时，加速度趋近等于g，故D正确，B错误。]
【典例2 教用·备选题】(多选)(2025·广东珠海质量检测)如图所示，倾角为30°的光滑斜面上放一质量为m的盒子A，A盒用轻质细绳跨过光滑轻质定滑轮与B盒相连，A盒与定滑轮间的细绳与斜面平行，B盒内放一质量为的物体。如果把这个物体改放在A盒内，则B盒的加速度恰好与原来等值反向，重力加速度大小为g，则B盒的质量mB和系统的加速度a的大小分别为( )
A．mB＝ B．mB＝
C．a＝0.2g D．a＝0.4g
BC [当物体放在B盒中时，以A、B和B盒内的物体整体为研究对象，根据牛顿第二定律有g－mg sin 30°＝a，当物体放在A盒中时，以A、B和A盒内的物体整体为研究对象，根据牛顿第二定律有(m＋m)g sin 30°－mBg＝a，联立解得mB＝，加速度大小为a＝0.2g，故A、D错误，B、C正确。]
处理连接体问题的四点技巧
(1)同一方向的连接体问题：这类问题通常具有相同的加速度，解题时一般采用先整体后隔离的方法。
(2)不同方向的连接体问题：由跨过定滑轮的绳相连的两个物体，不在同一直线上运动，加速度大小相等，但方向不同，可以分别对每一个物体列牛顿第二定律方程，也可采用整体法求解。
(3)处理连接体问题时，整体法与隔离法往往交叉使用，一般的思路是先用整体法求加速度，再用隔离法求物体间的作用力。
(4)隔离法分析物体间的作用力时，一般应先选受力个数较少的物体进行分析。
动力学中的临界、极值问题
1．临界、极值问题的标志
(1)有些题中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点。
(2)若题中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，此类题述存在着极值。
(3)题中存在“取值范围”“多大距离”等字眼，此类题述存在着“起止点”，往往对应临界。
2．四类临界与极值问题的条件
(1)接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是弹力FN＝0。
(2)相对滑动的临界条件：静摩擦力达到最大值。
(3)绳子断裂与松弛的临界条件：绳子断裂的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力；绳子松弛的临界条件是FT＝0。
(4)最终速度(收尾速度)的临界条件：物体所受合外力为零。
[典例3] 如图所示，一弹簧一端固定在倾角为θ＝37°的光滑固定斜面的底端，另一端拴住质量为m1＝4 kg 的物体P，Q为一质量为m2＝8 kg的物体，弹簧的质量不计，劲度系数k＝600 N/m，系统处于静止状态。现给Q施加一个方向沿斜面向上的力F，使它从静止开始沿斜面向上做匀加速运动，已知在前0.2 s时间内，F为变力，0.2 s以后F为恒力，已知 sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2。求力F的最大值与最小值。
审题指导：
关键语句 获取信息
光滑固定斜面 无滑动摩擦力
系统处于静止状态 可求出弹簧的压缩量
从静止开始沿斜面向上做匀加速运动 初速度为零，加速度恒定
0.2 s以后F为恒力 经过0.2 s，P和Q恰好分离
力F的最大值与最小值 t＝0时拉力最小，分离后拉力最大
[解析] 设开始时弹簧的压缩量为x0
由平衡条件得
(m1＋m2)g sin θ＝kx0
代入数据解得x0＝0.12 m
因前0.2 s时间内F为变力，之后为恒力，则0.2 s时刻两物体分离，此时P、Q之间的弹力为零，设此时弹簧的压缩量为x1
对物体P，由牛顿第二定律得
kx1－m1g sin θ＝m1a
前0.2 s时间内两物体的位移
x0－x1＝at2
联立解得a＝3 m/s2
对两物体受力分析知，开始运动时拉力最小，分离时拉力最大
Fmin＝(m1＋m2)a＝36 N
对Q应用牛顿第二定律得
Fmax－m2g sin θ＝m2a
解得Fmax＝m2(g sin θ＋a)＝72 N。
[答案] 72 N 36 N
解决临界问题的三种方法
极限法 把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象(或状态)暴露出来，以达到正确解决问题的目的
假设法 临界问题存在多种可能，特别是有非此即彼两种可能时，或变化过程中可能出现临界条件，也可能不出现临界条件时，往往用假设法解决问题
数学法 将物理过程转化为数学表达式，如(1)三角函数法；(2)根据临界条件列不等式法；(3)利用二次函数的判别式法
1．如图所示，在光滑水平地面上，两相同物块用细线相连，两物块质量均为1 kg，细线能承受的最大拉力为2 N。若在水平拉力F作用下，两物块一起向右做匀加速直线运动。则F的最大值为( )
A．1 N B．2 N
C．4 N D．5 N
C [对两物块整体做受力分析，有F＝2ma，对后面的物块有FTmax＝ma，FTmax＝2 N，联立解得F＝4 N，故选C。]
2．(2025·广东江门检测)如图所示，光滑水平面上放置质量分别为m、2m和3m的三个木块，其中质量为2m和3m的木块间用一不可伸长的水平轻绳相连，轻绳能承受的最大拉力为FT。现用水平拉力F拉质量为3m的木块，使三个木块以同一加速度运动，则下列说法正确的是( )
A．质量为2m的木块受到四个力的作用
B．当F逐渐增大到FT时，轻绳刚好被拉断
C．当F逐渐增大到1.5FT时，轻绳还不会被拉断
D．轻绳刚要被拉断时，质量为m和2m的木块间的摩擦力为FT
C [质量为2m的木块受到重力、质量为m的木块的压力，m对其向后的静摩擦力、轻绳的拉力和地面的支持力五个力的作用，故A项错误；当绳的拉力为FT时，对m和2m有FT＝3ma，此时对整体有F＝6ma，可得F＝2FT，故B项错误，C项正确；轻绳刚要被拉断时，对m，有Ff＝ma＝FT，故D项错误。]
3．(多选)物块B放在光滑的水平桌面上，其上放置物块A，物块A、C通过细绳相连，细绳跨过定滑轮，如图所示。物块A、B、C质量均为m，现释放物块C，A和B一起以相同加速度加速运动，不计细绳与滑轮之间的摩擦力，重力加速度大小为g，则细绳中的拉力大小及A、B间的摩擦力大小分别为( )
A．FT＝mg B．FT＝mg
C．Ff＝mg D．Ff＝mg
BD [以C为研究对象，由牛顿第二定律得mg－FT＝ma；以A、B为研究对象，由牛顿第二定律得FT＝2ma，联立解得FT＝mg，a＝g，以B为研究对象，由牛顿第二定律得Ff＝ma，得Ff＝mg，故B、D正确。]
4．(多选)(2025·广东惠州模拟)车厢中用细线悬挂小球，通过细线的倾斜程度来检测车辆在行进过程中的加速度。如图所示，质量相同的两个光滑小球通过轻质细线分别系于车的顶部，左侧小球与车厢左侧壁接触，两细线与竖直方向的夹角相同，拉力大小分别为T1和T2。不计空气阻力，下列说法正确的是( )
A．车可能正在向右做加速运动
B．两细线的拉力T1＝T2
C．当车加速度增大时，T1变小
D．当车加速度减小时，T2增大
AB [对右边小球进行受力分析，受沿细线方向斜向右上方的拉力和竖直向下的重力，设细线与竖直方向夹角为θ，根据牛顿第二定律有mg tan θ＝ma，T2＝，加速度水平向右，可以判断车可能向右加速，或者向左减速，故A正确；同理，对左边小球受力分析，可得FN－mg tan θ＝ma，T1＝，联立可得T1＝T2，故B正确；根据上面选项的分析，可知当车加速度增大时， T1不变，故C错误；根据上面选项的分析，可知当车加速度减小时，小球2的细线与竖直方向的夹角变小，T2变小，故D错误。]
5．(多选)如图所示，质量相等的两滑块P、Q置于水平桌面上，二者用一轻弹簧水平连接，两滑块与桌面间的动摩擦因数均为μ。重力加速度大小为g。用水平向右的拉力F拉动P，使两滑块均做匀速运动；某时刻突然撤去该拉力，则从此刻开始到弹簧第一次恢复原长之前( )
A．P的加速度大小的最大值为2μg
B．Q的加速度大小的最大值为2μg
C．P的位移大小一定大于Q的位移大小
D．P的速度大小均不大于同一时刻Q的速度大小
AD [两滑块匀速运动过程中，弹簧对P、Q的弹力大小为kx＝μmg，当撤去拉力后，对滑块P，由牛顿第二定律有kx′＋μmg＝ma1，同理，对滑块Q有μmg－kx′＝ma2，从撤去拉力到弹簧第一次恢复原长过程中，弹力由μmg一直减小到零，所以P的加速度大小的最大值为刚撤去拉力F瞬间的加速度大小，此时P的加速度大小为2μg，而弹簧恢复原长时，Q的加速度大小达到最大值，即Q的最大加速度为μg，A项正确，B项错误；由于弹簧恢复原长前滑块P的加速度大小一直大于Q的加速度大小，且两滑块初速度相同，所以撤去拉力后P的速度一直小于同一时刻Q的速度，所以P的位移一定小于Q的位移，C项错误，D项正确。]
6．如图甲所示，一个质量m＝0.5 kg的小物块(可看成质点)，以v0＝2 m/s的初速度在平行斜面向上的拉力F＝6 N作用下沿斜面向上做匀加速运动，经t＝2 s的时间物块由A点运动到B点，A、B之间的距离L＝8 m，已知斜面倾角θ＝37°，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求：
(1)物块加速度a的大小；
(2)物块与斜面之间的动摩擦因数μ；
(3)若拉力F的大小和方向可调节，如图乙所示，为保持原加速度不变，F的最小值是多少。
[解析] (1)根据L＝v0t＋at2
代入数据解得a＝2 m/s2。
(2)根据牛顿第二定律有
F－mg sin θ－μmg cos θ＝ma
代入数据解得μ＝0.5。
(3)设F与斜面夹角为α，平行斜面方向有
F cos α－mg sin θ－μFN＝ma
垂直斜面方向有FN＋F sin α＝mg cos θ
联立解得
F＝
＝
当sin (φ＋α)＝1时，F有最小值Fmin
代入数据解得Fmin＝ N。
[答案] (1)2 m/s2 (2)0.5 (3) N
专题突破练习(三) 动力学的连接体和临界、极值问题
1．(2024·北京卷)如图所示，飞船与空间站对接后，在推力F作用下一起向前运动。飞船和空间站的质量分别为m和M，则飞船和空间站之间的作用力大小为( )
A．F B．F
C．F D．F
A [根据题意，对整体应用牛顿第二定律有F ＝ (M＋m)a，对空间站分析有F′＝Ma，解两式可得飞船和空间站之间的作用力F′＝F，故选A。]
2．某运送物资的班列由40节质量相等的车厢组成，在车头牵引下，列车沿平直轨道匀加速行驶时，第2节对第3节车厢的牵引力为F。若每节车厢所受摩擦力、空气阻力均相等，则倒数第3节对倒数第2节车厢的牵引力为( )
A．F B． C． D．
C [设列车的加速度为a，每节车厢的质量为m，每节车厢受到的阻力为Ff，对后38节车厢，由牛顿第二定律有F－38Ff＝38ma；设倒数第3节车厢对倒数第2节车厢的牵引力为F1，对后2节车厢，由牛顿第二定律得F1－2Ff＝2ma，联立解得F1＝，故选项C正确。]
3．如图所示，质量为M、中空为半球形的光滑凹槽放置于光滑水平地面上，光滑凹槽内有一质量为m的小铁球，现用一水平向右的推力F推动凹槽，小铁球与光滑凹槽相对静止时，凹槽圆心和小铁球的连线与竖直方向成α角。重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
A．小铁球受到的合外力方向水平向左
B．凹槽对小铁球的支持力为
C．系统的加速度为a＝g tan α
D．推力F＝Mg tan α
C [根据小铁球与光滑凹槽相对静止可知，系统有水平向右的加速度a＝g tan α，小铁球受到的合外力方向水平向右，凹槽对小铁球的支持力为，推力F＝(M＋m)g tan α，选项A、B、D错误，C正确。]
4．(2025·广东云浮高三检测)如图所示，钢铁构件A、B叠放在卡车的水平底板上，卡车底板与B间的动摩擦因数为μ1，A、B间的动摩擦因数为μ2，μ1>μ2，卡车刹车的最大加速度为a(a>μ2g)，可以认为最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，卡车沿平直公路行驶途中遇到紧急刹车情况时，要求其刹车后在s0距离内能安全停下，重力加速度为g，不计空气阻力，则卡车行驶的速度不能超过( )
A． B．
C． D．
C [当A、B整体相对车发生滑动时，a1＝＝μ1g，当A、B间发生相对滑动时，A的加速度a2＝＝μ2g，由于μ1>μ2，所以a1>a2，即当以a1刹车时，A、B间发生相对滑动，所以要求整体都处于相对静止时，汽车刹车的最大加速度为a2，则有＝2μ2gs0，解得v0＝，C项正确。]
5．(多选)(2024·广东潮州高三下学期第二次质检)京张高铁是北京冬奥会的重要交通保障设施。如图所示为某次高铁列车运行过程中某节车厢的截面示意图，车厢内两相同拉手A、B分别向前进方向在竖直方向偏离角度α和β并保持不变。重力加速度为g，不计空气等阻力，则下列说法正确的是( )
A．列车可能在减速进站
B．两角度一定满足α＝β
C．减小拉手悬绳长度，则偏角变大
D．列车加速度大小为a＝g tan α
ABD [由题图可知拉手所受合力向左，则加速度向左，列车向左加速或向右减速，而前进方向向右，所以列车可能在减速进站，选项A正确；拉手与列车具有相同的加速度，即两拉手具有相同的加速度，受力分析可知F合＝mg tan α＝ma，F合＝mg tan β＝ma，所以α＝β，选项B正确；因列车加速度不变，则拉手的加速度不变，由F合＝mg tan α＝ma可知偏角不变，选项C错误；根据F合＝mg tan α＝ma可得，加速度大小a＝g tan α，选项D正确。]
6．在光滑水平面上有一辆小车A，其质量为mA＝2.0 kg，小车上放一个物体B，其质量为mB＝1.0 kg。如图甲所示，给B一个水平推力F，当F增大到稍大于3.0 N时，A、B开始相对滑动。如果撤去F，对A施加一水平推力F′，如图乙所示。要使A、B不相对滑动，则F′的最大值Fm为( )
A．2.0 N B．3.0 N
C．6.0 N D．9.0 N
C [根据题图甲所示情境，设A、B间的静摩擦力达到最大值Ffmax时，系统的加速度为a，对A、B整体，根据牛顿第二定律有F＝(mA＋mB)a，对A，有Ffmax＝mAa，代入数据解得Ffmax＝2.0 N。根据题图乙所示情况，设A、B刚好相对滑动时系统的加速度为a′，以B为研究对象，根据牛顿第二定律有Ffmax＝mBa′，以A、B整体为研究对象，有Fm＝(mA＋mB)a′，代入数据解得Fm＝6.0 N，故C正确。]
7．如图所示，一轻绳跨过一定滑轮，两端各系一重物，它们的质量分别为m1和m2，且m1＞m2(滑轮质量及一切摩擦不计)，此时系统的加速度为a，今用一竖直向下的恒力F＝m1g代替m1，系统的加速度为a1，则a1和a的关系为( )
A．a1＝a B．a1＝a
C．a1＝a D．a1＝a
B [定滑轮两端各系一重物时，对整体，根据牛顿第二定律得(m1－m2)g＝(m1＋m2)a，得a＝g；当用一竖直向下的恒力F＝m1g代替m1时，对m2，根据牛顿第二定律得m1g－m2g＝m2a1，得a1＝g，则a1＝a，故A、C、D错误，B正确。]
8．如图所示，水平光滑细杆上套一环A，环A与球B间用一不可伸长轻质绳相连，质量分别为mA和mB，由于B球受到水平风力作用，轻绳与竖直方向的夹角为θ，A环与B球一起向右做加速度为a的匀加速运动，g为重力加速度，则下列说法正确的是( )
A．B球受到的风力大小为mBa
B．当风力增大时，杆对A环的支持力变大
C．此时球B受到的绳子拉力大小为mBg cos θ
D．当风力增大时，轻绳对B球的拉力将会变大
D [对球B受力分析，受重力、拉力和水平风力，如图所示，
B球竖直方向受力平衡，则有T cos θ＝mBg，得T＝，所以C错误；水平方向，根据牛顿第二定律有F－T sin θ＝mBa，故F＝T sin θ＋mBa，所以A错误；对整体分析可知，在竖直方向整体受力平衡，故水平风力增大时不会改变杆对A环的支持力，所以B错误；风力增大时，整体的加速度增大，故拉力在水平方向上的分力增大，而竖直方向分力不变，故夹角增大，则拉力T＝增大，所以D正确。]
9．(多选)(2025·广东韶关检测)如图所示，一质量M＝3 kg、倾角为 α＝45°的斜面体放在光滑水平地面上，斜面体上有一质量为m＝1 kg的光滑楔形物体。用一水平向左的恒力F作用在斜面体上，系统恰好保持相对静止地向左运动。重力加速度g＝10 m/s2，下列判断正确的是( )
A．系统做匀速直线运动
B．F＝40 N
C．斜面体对楔形物体的作用力大小为5 N
D．增大力F，楔形物体将相对斜面体沿斜面向上运动
BD [对整体受力分析如图甲所示，由牛顿第二定律有 F＝(M＋m)a，对楔形物体受力分析如图乙所示，由牛顿第二定律有mg tan 45°＝ma，可得F＝40 N，a＝10 m/s2，A错误，B正确；斜面体对楔形物体的作用力FN2＝＝mg＝10 N，C错误；外力F增大，则斜面体加速度增加，由于斜面体与楔形物体间无摩擦力，则楔形物体将会相对斜面体沿斜面上滑，D正确。
]
10．如图所示，质量为M的小车放在光滑的水平面上，小车上用细线悬吊一质量为m的小球，M＞m，用一力F水平向右拉小球，使小球和车一起以加速度a向右运动时，细线与竖直方向成θ角，细线的拉力为F1。若用一力F′水平向左拉小车，使小球和其一起以加速度a′向左运动时，细线与竖直方向也成θ角，细线的拉力为F1′。则( )
A．a′＝a，F1′＝F1 B．a′＞a，F1′＝F1
C．a′＜a，F1′＝F1 D．a′＞a，F1′＞F1
B [当用力F水平向右拉小球时，以小球为研究对象，竖直方向有F1cos θ＝mg，水平方向有F－F1sin θ＝ma，以整体为研究对象，有F＝(m＋M)a，解得a＝g tan θ；当用力F′水平向左拉小车时，以小球为研究对象，竖直方向有F1′cos θ＝mg，水平方向有F1′sin θ＝ma′，解得a′＝g tan θ。结合两种情况，有F1＝F1′，并结合M＞m有a′＞a，故B正确。]
11．如图所示，质量均为m的A、B两物体叠放在竖直弹簧上并保持静止，用大小等于mg(g为重力加速度)的恒力F向上拉B，运动距离h时，B与A分离。下列说法正确的是( )
A．B和A刚分离时，弹簧长度等于原长
B．B和A刚分离时，它们的加速度为g
C．弹簧的劲度系数等于
D．在B与A分离之前，它们做匀加速直线运动
C [A、B分离前，A、B共同做加速运动，由于F是恒力，而弹力是变力，故A、B做变加速直线运动，故D错误；当两物体要分离时，FAB＝0，对B，有F－mg＝ma，对A，有kx－mg＝ma，即F＝kx时，A、B分离，此时弹簧处于压缩状态，又F＝mg，可得a＝0，故A、B错误；设用恒力F拉B前弹簧压缩量为x0，有2mg＝kx0，h＝x0－x，x＝，联立解得k＝，故C正确。]
12．(2025·广东茂名检测)某运动员做跳伞训练，他从悬停在空中的直升机上由静止跳下，跳离直升机一段时间后打开降落伞做减速下落，他打开降落伞后的速度图线如图甲所示。降落伞用8 根对称的绳悬挂运动员，每根绳与中轴线的夹角均为37°，如图乙所示。已知运动员的质量为50 kg，降落伞质量也为50 kg，不计运动员所受的阻力，打开降落伞后降落伞所受阻力f与速度v成正比，即f＝kv(g取10m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)。
(1)求打开降落伞前运动员下落的距离；
(2)求阻力系数 k和打开降落伞瞬间的加速度a的大小和方向；
(3)绳能够承受的拉力至少为多少？
[解析] (1)打开降落伞前运动员做自由落体运动，则有h0＝＝20 m。
(2)由题图甲可知，当速度等于5 m/s时，运动员与降落伞做匀速运动，受力平衡
则有kv1＝2mg，可得k＝＝ N·s/m＝200 N·s/m
打开降落伞瞬间，根据牛顿第二定律得
a＝＝30 m/s2，方向竖直向上。
(3)刚打开降落伞时运动员加速度最大，绳承受的拉力最大
设此时每根绳的拉力为FT，以运动员为研究对象，根据牛顿第二定律得8FTcos 37°－mg＝ma
解得FT＝＝312.5 N
所以绳能够承受的拉力至少为312.5 N。
[答案] (1)20 m (2)200 N·s/m 30 m/s2，方向竖直向上 (3)312.5 N
13．如图所示，木块a紧贴着木块b的竖直侧壁，对木块a施加水平推力F，a、b一起在水平桌面上匀速前进。a的质量m1＝0.2 kg，b的质量m2＝0.4 kg，a、b间的动摩擦因数为μ1＝0.8，b与桌面间的动摩擦因数为μ2＝0.5，a到桌面的高度h＝0.36 m。若撤去推力F，木块a落到桌面的同时木块b也刚好停下。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g＝10 m/s2。求：
(1)撤去推力前，a、b间的弹力大小；
(2)撤去推力后，木块b前进的距离。
[解析] (1)撤去推力前，设a、b间的弹力为N，对b，水平方向有
N－μ2(m1＋m2)g＝0
可得N＝3 N。
(2)撤去推力后，设a、b间弹力变为N1，b与桌面间弹力变为N2，a、b水平方向的加速度大小为ax，木块a竖直方向的加速度大小为ay，对a、b整体，水平方向有
μ2N2＝(m1＋m2)ax
对b竖直方向有
N2－m2g－μ1N1＝0
对a水平方向有
N1＝m1ax
对a竖直方向有
m1g－μ1N1＝m1ay
可得
ax＝ m/s2，ay＝ m/s2
设撤去推力后经时间t，木块b停下，b的位移为
x＝axt2
对a竖直方向有
h＝ayt2
可得
x＝0.2 m。
[答案] (1)3 N (2)0.2 m
4 / 17 动力学的连接体和临界、极值问题
动力学中的连接体问题
1．连接体：多个相互关联的物体由细绳、细杆或弹簧等连接或叠放在一起，构成的物体系统称为连接体。
2．常见连接体模型
(1)弹簧连接体：在弹簧发生形变的过程中，两端连接体的速度不一定相等；在弹簧形变最大(弹簧最长或最短)时，两端连接体的速率相等(加速度大小不一定相等)。
(2)物物叠放连接体：相对静止时具有相同的加速度，相对运动时根据受力特点结合运动情境分析。
(3)轻绳(杆)连接体：轻绳在伸直状态下，两端的连接体沿绳方向的速度总是相等的；轻杆平动时，连接体具有相同的平动速度。
同一方向的连接体问题
[典例1] (多选)(2024·广东东莞月考)如图所示，水平地面上有三个靠在一起的物块P、Q和R，质量分别为m、2m和3m，物块与地面间的动摩擦因数都为μ。用大小为F的水平外力推动物块P，R和Q之间相互作用力F1与Q和P之间相互作用力F2的大小之比为k。下列判断正确的是( )
A．若μ≠0，则k＝ B．若μ≠0，则k＝
C．若μ＝0，则k＝ D．若μ＝0，则k＝
[听课记录]
不同方向上连接体问题
[典例2] (2024·全国甲卷)如图，一轻绳跨过光滑定滑轮，绳的一端系物块P，P置于水平桌面上，与桌面间存在摩擦；绳的另一端悬挂一轻盘(质量可忽略)，盘中放置砝码。改变盘中砝码总质量m，并测量P的加速度大小a，得到a-m图像。重力加速度大小为g。在下列a-m图像中，可能正确的是( )
A B
C D
[听课记录]
处理连接体问题的四点技巧
(1)同一方向的连接体问题：这类问题通常具有相同的加速度，解题时一般采用先整体后隔离的方法。
(2)不同方向的连接体问题：由跨过定滑轮的绳相连的两个物体，不在同一直线上运动，加速度大小相等，但方向不同，可以分别对每一个物体列牛顿第二定律方程，也可采用整体法求解。
(3)处理连接体问题时，整体法与隔离法往往交叉使用，一般的思路是先用整体法求加速度，再用隔离法求物体间的作用力。
(4)隔离法分析物体间的作用力时，一般应先选受力个数较少的物体进行分析。
动力学中的临界、极值问题
1．临界、极值问题的标志
(1)有些题中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点。
(2)若题中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，此类题述存在着极值。
(3)题中存在“取值范围”“多大距离”等字眼，此类题述存在着“起止点”，往往对应临界。
2．四类临界与极值问题的条件
(1)接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是弹力FN＝0。
(2)相对滑动的临界条件：静摩擦力达到最大值。
(3)绳子断裂与松弛的临界条件：绳子断裂的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力；绳子松弛的临界条件是FT＝0。
(4)最终速度(收尾速度)的临界条件：物体所受合外力为零。
[典例3] 如图所示，一弹簧一端固定在倾角为θ＝37°的光滑固定斜面的底端，另一端拴住质量为m1＝4 kg 的物体P，Q为一质量为m2＝8 kg的物体，弹簧的质量不计，劲度系数k＝600 N/m，系统处于静止状态。现给Q施加一个方向沿斜面向上的力F，使它从静止开始沿斜面向上做匀加速运动，已知在前0.2 s时间内，F为变力，0.2 s以后F为恒力，已知 sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2。求力F的最大值与最小值。
审题指导：
关键语句 获取信息
光滑固定斜面 无滑动摩擦力
系统处于静止状态 可求出弹簧的压缩量
从静止开始沿斜面向上做匀加速运动 初速度为零，加速度恒定
0.2 s以后F为恒力 经过0.2 s，P和Q恰好分离
力F的最大值与最小值 t＝0时拉力最小，分离后拉力最大
[听课记录]
解决临界问题的三种方法
极限法 把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象(或状态)暴露出来，以达到正确解决问题的目的
假设法 临界问题存在多种可能，特别是有非此即彼两种可能时，或变化过程中可能出现临界条件，也可能不出现临界条件时，往往用假设法解决问题
数学法 将物理过程转化为数学表达式，如(1)三角函数法；(2)根据临界条件列不等式法；(3)利用二次函数的判别式法
1．如图所示，在光滑水平地面上，两相同物块用细线相连，两物块质量均为1 kg，细线能承受的最大拉力为2 N。若在水平拉力F作用下，两物块一起向右做匀加速直线运动。则F的最大值为( )
A．1 N B．2 N C．4 N D．5 N
2．(2025·广东江门检测)如图所示，光滑水平面上放置质量分别为m、2m和3m的三个木块，其中质量为2m和3m的木块间用一不可伸长的水平轻绳相连，轻绳能承受的最大拉力为FT。现用水平拉力F拉质量为3m的木块，使三个木块以同一加速度运动，则下列说法正确的是( )
A．质量为2m的木块受到四个力的作用
B．当F逐渐增大到FT时，轻绳刚好被拉断
C．当F逐渐增大到1.5FT时，轻绳还不会被拉断
D．轻绳刚要被拉断时，质量为m和2m的木块间的摩擦力为FT
3．(多选)物块B放在光滑的水平桌面上，其上放置物块A，物块A、C通过细绳相连，细绳跨过定滑轮，如图所示。物块A、B、C质量均为m，现释放物块C，A和B一起以相同加速度加速运动，不计细绳与滑轮之间的摩擦力，重力加速度大小为g，则细绳中的拉力大小及A、B间的摩擦力大小分别为( )
A．FT＝mg B．FT＝mg
C．Ff＝mg D．Ff＝mg
4．(多选)(2025·广东惠州模拟)车厢中用细线悬挂小球，通过细线的倾斜程度来检测车辆在行进过程中的加速度。如图所示，质量相同的两个光滑小球通过轻质细线分别系于车的顶部，左侧小球与车厢左侧壁接触，两细线与竖直方向的夹角相同，拉力大小分别为T1和T2。不计空气阻力，下列说法正确的是( )
A．车可能正在向右做加速运动
B．两细线的拉力T1＝T2
C．当车加速度增大时，T1变小
D．当车加速度减小时，T2增大
5．(多选)如图所示，质量相等的两滑块P、Q置于水平桌面上，二者用一轻弹簧水平连接，两滑块与桌面间的动摩擦因数均为μ。重力加速度大小为g。用水平向右的拉力F拉动P，使两滑块均做匀速运动；某时刻突然撤去该拉力，则从此刻开始到弹簧第一次恢复原长之前( )
A．P的加速度大小的最大值为2μg
B．Q的加速度大小的最大值为2μg
C．P的位移大小一定大于Q的位移大小
D．P的速度大小均不大于同一时刻Q的速度大小
6．如图甲所示，一个质量m＝0.5 kg的小物块(可看成质点)，以v0＝2 m/s的初速度在平行斜面向上的拉力F＝6 N作用下沿斜面向上做匀加速运动，经t＝2 s的时间物块由A点运动到B点，A、B之间的距离L＝8 m，已知斜面倾角θ＝37°，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求：
(1)物块加速度a的大小；
(2)物块与斜面之间的动摩擦因数μ；
(3)若拉力F的大小和方向可调节，如图乙所示，为保持原加速度不变，F的最小值是多少。
1 / 7专题突破练习(三) 动力学的连接体和临界、极值问题
说明：单选题每小题4分，多选题每小题6分；本试卷共76分
1．(2024·北京卷)如图所示，飞船与空间站对接后，在推力F作用下一起向前运动。飞船和空间站的质量分别为m和M，则飞船和空间站之间的作用力大小为( )
A．F B．F
C．F D．F
2．某运送物资的班列由40节质量相等的车厢组成，在车头牵引下，列车沿平直轨道匀加速行驶时，第2节对第3节车厢的牵引力为F。若每节车厢所受摩擦力、空气阻力均相等，则倒数第3节对倒数第2节车厢的牵引力为( )
A．F B． C． D．
3．如图所示，质量为M、中空为半球形的光滑凹槽放置于光滑水平地面上，光滑凹槽内有一质量为m的小铁球，现用一水平向右的推力F推动凹槽，小铁球与光滑凹槽相对静止时，凹槽圆心和小铁球的连线与竖直方向成α角。重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
A．小铁球受到的合外力方向水平向左
B．凹槽对小铁球的支持力为
C．系统的加速度为a＝g tan α
D．推力F＝Mg tan α
4．(2025·广东云浮高三检测)如图所示，钢铁构件A、B叠放在卡车的水平底板上，卡车底板与B间的动摩擦因数为μ1，A、B间的动摩擦因数为μ2，μ1>μ2，卡车刹车的最大加速度为a(a>μ2g)，可以认为最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，卡车沿平直公路行驶途中遇到紧急刹车情况时，要求其刹车后在s0距离内能安全停下，重力加速度为g，不计空气阻力，则卡车行驶的速度不能超过( )
A． B．
C． D．
5．(多选)(2024·广东潮州高三下学期第二次质检)京张高铁是北京冬奥会的重要交通保障设施。如图所示为某次高铁列车运行过程中某节车厢的截面示意图，车厢内两相同拉手A、B分别向前进方向在竖直方向偏离角度α和β并保持不变。重力加速度为g，不计空气等阻力，则下列说法正确的是( )
A．列车可能在减速进站
B．两角度一定满足α＝β
C．减小拉手悬绳长度，则偏角变大
D．列车加速度大小为a＝g tan α
6．在光滑水平面上有一辆小车A，其质量为mA＝2.0 kg，小车上放一个物体B，其质量为mB＝1.0 kg。如图甲所示，给B一个水平推力F，当F增大到稍大于3.0 N时，A、B开始相对滑动。如果撤去F，对A施加一水平推力F′，如图乙所示。要使A、B不相对滑动，则F′的最大值Fm为( )
A．2.0 N B．3.0 N
C．6.0 N D．9.0 N
7．如图所示，一轻绳跨过一定滑轮，两端各系一重物，它们的质量分别为m1和m2，且m1＞m2(滑轮质量及一切摩擦不计)，此时系统的加速度为a，今用一竖直向下的恒力F＝m1g代替m1，系统的加速度为a1，则a1和a的关系为( )
A．a1＝a B．a1＝a
C．a1＝a D．a1＝a
8．如图所示，水平光滑细杆上套一环A，环A与球B间用一不可伸长轻质绳相连，质量分别为mA和mB，由于B球受到水平风力作用，轻绳与竖直方向的夹角为θ，A环与B球一起向右做加速度为a的匀加速运动，g为重力加速度，则下列说法正确的是( )
A．B球受到的风力大小为mBa
B．当风力增大时，杆对A环的支持力变大
C．此时球B受到的绳子拉力大小为mBg cos θ
D．当风力增大时，轻绳对B球的拉力将会变大
9．(多选)(2025·广东韶关检测)如图所示，一质量M＝3 kg、倾角为 α＝45°的斜面体放在光滑水平地面上，斜面体上有一质量为m＝1 kg的光滑楔形物体。用一水平向左的恒力F作用在斜面体上，系统恰好保持相对静止地向左运动。重力加速度g＝10 m/s2，下列判断正确的是( )
A．系统做匀速直线运动
B．F＝40 N
C．斜面体对楔形物体的作用力大小为5 N
D．增大力F，楔形物体将相对斜面体沿斜面向上运动
10．如图所示，质量为M的小车放在光滑的水平面上，小车上用细线悬吊一质量为m的小球，M＞m，用一力F水平向右拉小球，使小球和车一起以加速度a向右运动时，细线与竖直方向成θ角，细线的拉力为F1。若用一力F′水平向左拉小车，使小球和其一起以加速度a′向左运动时，细线与竖直方向也成θ角，细线的拉力为F1′。则( )
A．a′＝a，F1′＝F1 B．a′＞a，F1′＝F1
C．a′＜a，F1′＝F1 D．a′＞a，F1′＞F1
11．如图所示，质量均为m的A、B两物体叠放在竖直弹簧上并保持静止，用大小等于mg(g为重力加速度)的恒力F向上拉B，运动距离h时，B与A分离。下列说法正确的是( )
A．B和A刚分离时，弹簧长度等于原长
B．B和A刚分离时，它们的加速度为g
C．弹簧的劲度系数等于
D．在B与A分离之前，它们做匀加速直线运动
1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 ＋0.5
12．(2025·广东茂名检测)某运动员做跳伞训练，他从悬停在空中的直升机上由静止跳下，跳离直升机一段时间后打开降落伞做减速下落，他打开降落伞后的速度图线如图甲所示。降落伞用8 根对称的绳悬挂运动员，每根绳与中轴线的夹角均为37°，如图乙所示。已知运动员的质量为50 kg，降落伞质量也为50 kg，不计运动员所受的阻力，打开降落伞后降落伞所受阻力f与速度v成正比，即f＝kv(g取10m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)。
(1)求打开降落伞前运动员下落的距离；
(2)求阻力系数 k和打开降落伞瞬间的加速度a的大小和方向；
(3)绳能够承受的拉力至少为多少？
1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 ＋0.5
13．如图所示，木块a紧贴着木块b的竖直侧壁，对木块a施加水平推力F，a、b一起在水平桌面上匀速前进。a的质量m1＝0.2 kg，b的质量m2＝0.4 kg，a、b间的动摩擦因数为μ1＝0.8，b与桌面间的动摩擦因数为μ2＝0.5，a到桌面的高度h＝0.36 m。若撤去推力F，木块a落到桌面的同时木块b也刚好停下。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g＝10 m/s2。求：
(1)撤去推力前，a、b间的弹力大小；
(2)撤去推力后，木块b前进的距离。
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