天体运动的三类热点问题
卫星的发射与变轨问题
1．变轨原理及过程
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上，如图所示。
(2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。
(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。
2．各物理量的比较
(1)两个不同轨道的“切点”处线速度不相等。图中vⅢB>vⅡB，vⅡA>vⅠA。
(2)同一个椭圆轨道上近地点和远地点的线速度大小不相等。从远地点到近地点，万有引力对卫星做正功，卫星的动能增大(引力势能减小)。图中vⅡA>vⅡB，EkⅡA>EkⅡB，EpⅡA(3)两个不同圆轨道上线速度大小不相等。轨道半径越大，线速度越小，图中vⅠ>vⅢ。
(4)卫星在不同轨道上的机械能E不相等，“高轨高能，低轨低能”。卫星变轨过程中机械能不守恒。图中EⅠ(5)卫星运行的加速度与卫星和中心天体间的距离有关，与轨道形状无关，图中aⅢB＝aⅡB，aⅡA＝aⅠA。
[典例1] (2024·安徽卷)2024年3月20日，我国探月工程四期“鹊桥二号”中继星成功发射升空。当抵达距离月球表面某高度时，“鹊桥二号”开始进行近月制动，并顺利进入捕获轨道运行，如图所示，轨道的半长轴约为51 900 km。后经多次轨道调整，进入冻结轨道运行，轨道的半长轴约为9 900 km，周期约为24 h。则“鹊桥二号”在捕获轨道运行时( )
A．周期约为144 h
B．近月点的速度大于远月点的速度
C．近月点的速度小于在冻结轨道运行时近月点的速度
D．近月点的加速度大于在冻结轨道运行时近月点的加速度
B [冻结轨道和捕获轨道的中心天体都是月球，根据开普勒第三定律得＝，整理得T2＝≈288 h，A错误；根据开普勒第二定律得，捕获轨道近月点的速度大于远月点的速度，B正确；近月点从捕获轨道到冻结轨道，“鹊桥二号”进行近月制动，在捕获轨道运行时近月点的速度大于在冻结轨道运行时近月点的速度，C错误；两轨道的近月点所受的万有引力相同，根据牛顿第二定律可知，“鹊桥二号”在捕获轨道运行时近月点的加速度等于在冻结轨道运行时近月点的加速度，D错误。故选B。]
【典例1 教用·备选题】(2025·广东清远诊断)“天通一号”03星的发射过程简化为如图所示：火箭先把卫星送上轨道1(椭圆轨道，P、Q是远地点和近地点)后火箭脱离；卫星再变轨，到轨道2(圆轨道)；卫星最后变轨到轨道3(静止圆轨道)。轨道1、2相切于P点，轨道2、3相交于M、N两点，忽略卫星的质量变化，下列说法正确的是( )
A．卫星在三个轨道上的周期T3>T2>T1
B．由轨道1变至轨道2，卫星在P点向前喷气
C．卫星在三个轨道上的机械能E3＝E2>E1
D．卫星在轨道1的Q点的线速度小于在轨道3的线速度
C [根据开普勒第三定律＝k可知，卫星在三个轨道上的周期T3＝T2>T1，故A错误；由轨道1变至轨道2做离心运动，卫星在P点向后喷气，故B错误；由轨道1变至轨道2做离心运动，卫星在P点向后喷气，机械能增大，而在轨道2、3上，高度相同，根据v＝可知，速度大小相同，动能相同，则机械能相同，故E3＝E2>E1，故C正确；卫星在轨道1的Q点的线速度大于对应圆轨道的线速度，根据v＝可知卫星在Q点对应圆轨道的线速度大于在轨道3的线速度，故卫星在轨道1的Q点的线速度大于在轨道3的线速度，故D错误。]
卫星变轨的实质
两类变轨 离心运动 近心运动
变轨起因 卫星速度突然增大 卫星速度突然减小
受力分析 G＜m G＞m
变轨结果 变为椭圆轨道运动或在较大半径的圆轨道上运动 变为椭圆轨道运动或在较小半径的圆轨道上运动
能量分析 重力势能、机械能均增加 重力势能、机械能均减小
天体的追及相遇问题
1．相距最近
当两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星的角度关系为(ωA－ωB)t＝2πn(n＝1，2，3，…)(同向)或(ωA＋ωB)t＝2πn(n＝1，2，3，…)(反向)，两卫星转过的圈数关系为＝n(n＝1，2，3，…)(同向)或＝n(n＝1，2，3，…)(反向)。
2．相距最远
当两卫星位于和中心连线的半径上两侧时，两卫星相距最远，从运动关系上，两卫星运动的角度关系应满足(ωA－ωB)t′＝(2n－1)π(n＝1，2，3，…)(同向)或(ωA＋ωB)t′＝(2n－1)π(n＝1，2，3，…)(反向)。两卫星转过的圈数关系为＝(n＝1，2，3，…)(同向)或＝(n＝1，2，3，…)(反向)。
[典例2] (多选)(2025·广东汕头质检)如图所示，在万有引力作用下，a、b两卫星在同一平面内绕某一行星c沿逆时针方向做匀速圆周运动，已知轨道半径之比为ra∶rb＝1∶4，则下列说法中正确的有( )
A．a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶8
B．a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶4
C．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线 12次
D．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次
AD [根据开普勒第三定律，半径的三次方与周期的二次方成正比，则a、b运动的周期之比为1∶8，A正确，B错误；设题图所示位置ac连线与bc连线的夹角为θ<，b转动一周(圆心角为2π)的时间为Tb，则a、b相距最远时满足t1－t1＝(π－θ)＋n·2π(n＝0，1，2，…)，其中t1≤Tb，可知n<6.75，n可取7个值；a、b相距最近时t2－t2＝(2π－θ)＋m·2π(m＝0，1，2，…)，其中t2≤Tb，可知m<6.25，m可取7个值，故在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次，C错误，D正确。]
【典例2 教用·备选题】(多选)如图，火星与地球近似在同一平面内绕太阳沿同一方向做匀速圆周运动，火星的轨道半径大约是地球的1.5倍。地球上的观测者在大多数的时间内观测到火星相对于恒星背景由西向东运动，称为顺行；有时观测到火星由东向西运动，称为逆行。当火星、地球、太阳三者在同一直线上，且太阳和火星位于地球两侧时，称为火星冲日。
忽略地球自转，只考虑太阳对行星的引力，下列说法正确的是( )
A．火星的公转周期大约是地球的倍
B．在冲日处，地球上的观测者观测到火星的运动为顺行
C．在冲日处，地球上的观测者观测到火星的运动为逆行
D．在冲日处，火星相对于地球的速度最小
CD [由开普勒第三定律可知，由于火星轨道半径大于地球轨道半径，所以火星公转周期一定大于地球公转周期(也可根据＝，r火≈1.5r地，得出T火＝T地)，A项错误；火星与地球均绕太阳做匀速圆周运动，即G＝m，解得v＝，所以火星公转速度小于地球公转速度，因此在冲日处，地球上的观测者观测到火星相对于地球由东向西运动，为逆行，B项错误，C项正确；火星和地球运行的线速度大小不变，且在冲日处，地球与火星速度方向相同，故此时火星相对于地球的速度最小，D项正确。故选CD。]
双星或多星模型
1．双星模型
(1)模型构建：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示。
(2)特点：
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即
＝r1，＝r2。
②两颗星的周期及角速度都相同，即
T1＝T2，ω1＝ω2。
③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L。
2．多星模型
(1)模型构建：所研究星体受到的万有引力的合力提供其做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同。
(2)三星模型：
①三颗星体位于同一直线上，两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)。
②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)。
(3)四星模型：
①四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)。
②三颗质量相等的星体始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)。
双星模型
[典例3] (2025·广东汕尾联考)宇宙中两颗靠得比较近的恒星，仅在彼此之间的万有引力作用下互相绕转，称之为双星系统。设某双星系统A、B绕其连线上的某固定点O点做匀速圆周运动，如图所示。若A、B两星球到O点的距离之比为3∶1，则( )
A．星球A与星球B所受引力大小之比为1∶3
B．星球A与星球B的线速度大小之比为1∶3
C．星球A与星球B的质量之比为3∶1
D．星球A与星球B的动能之比为3∶1
D [星球A所受的引力与星球B所受的引力是作用力与反作用力，大小是相等的，故A错误；双星系统中，星球A与星球B转动的角速度相等，根据v＝ωr，则线速度大小之比为3∶1，故B错误；A、B两星球做匀速圆周运动的向心力由二者之间的万有引力提供，可得G＝mAω2rA＝mBω2rB，则星球A与星球B的质量之比为mA∶mB＝rB∶rA＝1∶3，故C错误；星球A与星球B的动能之比为 ＝＝＝，故D正确。]
三星模型
[典例4] (2024·重庆卷)在万有引力作用下，太空中的某三个天体可以做相对位置不变的圆周运动，假设a、b两个天体的质量均为M，相距2r，其连线的中点为O，另一天体c(图中未画出)质量为m(m M)，若c处于a、b连线的垂直平分线上某特殊位置，a、b、c可视为绕O点做角速度相同的匀速圆周运动，且相对位置不变，忽略其他天体的影响。引力常量为G。则( )
A．c的线速度大小为a的 倍
B．c的向心加速度大小为b的一半
C．c在一个周期内运动的路程为2πr
D．c的角速度大小为
A [a、b、c三个天体角速度相同，由于m M，则对a天体有G＝Mω2r，解得ω＝，故D错误；设c与a、b的连线与a、b连线的中垂线的夹角为α，对c天体有2Gcos α＝mω2，解得α ＝30°，则c的轨道半径为rc＝＝r，由v＝ωr可知c的线速度大小为a的 倍，故A正确；由a＝ω2r可知c的向心加速度大小是b的 倍，故B错误；c在一个周期内运动的路程为s＝2πrc＝2πr，故C错误。故选A。]
【典例4 教用·备选题】(多选)太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式(如图)：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设这三颗星的质量均为M，并设两种系统的运动周期相同，则( )
A．直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同
B．直线三星系统的运动周期T＝4πR
C．三角形三星系统中星体间的距离L＝R
D．三角形三星系统的线速度大小为
BC [直线三星系统中甲星和丙星的线速度大小相等，方向相反，选项A错误；三星系统中，对直线三星系统有G＋G＝MR，解得T＝4πR，选项B正确；对三角形三星系统，根据万有引力和牛顿第二定律得2Gcos 30°＝M，联立解得L＝
，选项D错误。]
四星模型
[典例5] 宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。设四星系统中每个星体的质量均为m，半径均为R，四颗星稳定分布在边长为a的正方形的四个顶点上。已知引力常量为G。关于宇宙四星系统，下列说法错误的是( )
A．四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动
B．四颗星的轨道半径均为
C．四颗星表面的重力加速度均为G
D．四颗星的周期均为2πa
B [四星系统中任一颗星体均在其他三颗星体的万有引力作用下，合力方向指向对角线的交点，围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，由几何知识可得轨道半径均为a，故A正确，不符合题意，B错误，符合题意；在星体表面，根据万有引力等于重力，可得G＝m′g，解得g＝，故C正确，不符合题意；由万有引力定律和向心力公式得＝m，解得T＝2πa，故D正确，不符合题意。]
解决双星、多星问题的四个关键点
(1)根据双星或多星的特点、规律，确定系统的中心以及运动的轨道半径。
(2)星体的向心力由其他天体的万有引力的合力提供。
(3)星体的角速度都相同。
(4)星体的轨道半径不是天体间的距离。要利用几何知识，寻找两者之间的关系，正确计算万有引力和向心力。
1．(多选)(2024·广东潮州月考)假设将来人类一艘飞船从火星返回地球时，经历了如图所示的变轨过程，则下列说法中正确的是( )
A．飞船在轨道Ⅱ上运动时，在P点的速度大于在Q点的速度
B．飞船在轨道Ⅰ上运动时的机械能大于在轨道Ⅱ上运动的机械能
C．飞船在轨道Ⅰ上运动到P点时的加速度等于飞船在轨道Ⅱ上运动到P点时的加速度
D．飞船绕火星在轨道Ⅰ上运动的周期跟飞船返回地面的过程中绕地球以与轨道Ⅰ相等的半径运动的周期相同
AC [由开普勒第二定律可知，飞船在P点的速度大于在Q点的速度，A正确；飞船由轨道Ⅰ变为轨道Ⅱ时，需在P点加速，因此飞船在轨道Ⅰ上运动时的机械能小于在轨道Ⅱ上运动的机械能，B错误；飞船在轨道Ⅰ上运动到P点时与飞船在轨道Ⅱ上运动到P点时受到的万有引力大小相等，由牛顿第二定律可知，飞船加速度相等，C正确； 由万有引力提供向心力有G＝m2r，得到T＝2π，由上式可知，虽然r相等，但是因为地球和火星的质量不等，所以周期T不相同，D错误。]
2．(多选)若“嫦娥五号”从距月面高度为100 km的环月圆形轨道Ⅰ上的P点实施变轨，进入近月点为15 km的椭圆轨道Ⅱ，由近月点Q落月，如图所示。关于“嫦娥五号”，下列说法正确的是( )
A．沿轨道Ⅰ运动至P时，需制动减速才能进入轨道Ⅱ
B．沿轨道Ⅱ运行的周期大于沿轨道Ⅰ运行的周期
C．沿轨道Ⅱ运行时，在P点的加速度大于在Q点的加速度
D．在轨道Ⅱ上由P点运行到Q点的过程中，机械能不变
AD [要使“嫦娥五号”从环月圆形轨道Ⅰ上的P点实施变轨进入椭圆轨道Ⅱ，需制动减速做近心运动，A正确；由开普勒第三定律知，沿轨道Ⅱ运行的周期小于沿轨道Ⅰ运行的周期，B错误；根据万有引力提供向心力可得＝ma，则沿轨道Ⅱ运行时，在P点的加速度小于在Q点的加速度，C错误；月球对“嫦娥五号”的万有引力指向月球，所以在轨道Ⅱ上由P点运行到Q点的过程中，万有引力对其做正功，它的动能增加，重力势能减小，机械能不变，D正确。]
3．(多选)三颗星a、b、c均在赤道平面上绕地球做匀速圆周运动，其中a、b转动的方向与地球自转方向相同，c转动的方向与地球自转方向相反，a、b、c三颗星的周期分别为Ta ＝6 h、Tb ＝24 h、Tc＝12 h，下列说法正确的是( )
A．a、b每经过6 h相遇一次
B．a、b每经过8 h相遇一次
C．b、c每经过8 h相遇一次
D．b、c每经过6 h相遇一次
BC [a、b转动方向与地球自转方向相同，每相遇一次，a比b多转一圈，设相遇一次的时间为Δt，则有＝1，解得Δt＝8 h，选项B正确，A错误；b、c转动方向相反，每相遇一次， b、c共转一圈，设相遇一次的时间为Δt′，则有＝1，解得Δt′＝8 h，选项C正确，D错误。]
4．(2024·广东深圳二模)由于潮汐等因素的影响，月球正以每年约3至5厘米的速度远离地球。地球和月球可以看作双星系统，它们绕O点做匀速圆周运动。多年以后，地球( )
A．与月球之间的万有引力变大
B．绕O点做圆周运动的周期不变
C．绕O点做圆周运动的角速度变小
D．绕O点做圆周运动的轨道半径变小
C [多年以后，地球和月球间距离变大，两星的质量不变，由万有引力定律可知，地球与月球之间的万有引力变小，故A错误；地球和月球绕O点做匀速圆周运动的角速度大小ω相等，周期T相等，设地球与月球的质量分别为M1和M2，圆周运动的半径分别为r1和r2，地球和月球间距离为L，则有L＝r1＋r2，由万有引力定律提供向心力可得＝M12r1＝M1ω2r1，＝M2r2＝M2ω2r2，联立可得＝＝ω2L，r1＝，地球与月球的质量不变，地球和月球间距离增大，则地球绕O点做圆周运动的周期T变大，地球绕O点做圆周运动的角速度变小，地球绕O点做圆周运动的轨道半径变大，故B、D错误，C正确。故选C。]
5．(多选)如图所示，甲、乙、丙是位于同一直线上的离其他恒星较远的三颗恒星，甲、丙围绕乙在半径为R的圆轨道上运行，若三颗星质量均为M，引力常量为G，则( )
A．甲星所受合力为
B．乙星所受合力为
C．甲星和丙星的线速度相同
D．甲星和丙星的角速度相同
AD [甲星所受合力为乙、丙对甲星的万有引力的合力，F甲＝G＋G＝，A正确；由对称性可知，甲、丙对乙星的万有引力等大反向，乙星所受合力为零，B错误；根据牛顿第二定律得＝M，解得v＝＝，甲、丙的轨道半径相等，所以线速度大小相等，但方向不同，故线速度不同， C错误；根据v＝ωR知，甲、丙角速度大小相等，由于它们旋转方向一致，所以角速度的方向相同，故角速度相同，D正确。故选AD。]
专题突破练习(五) 天体运动的三类热点问题
1．(2024·湖北卷)太空碎片会对航天器带来危害。设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动，如图中实线所示。为了避开碎片，空间站在P点向图中箭头所指径向方向在极短时间内喷射气体，使空间站获得一定的反冲速度，从而实现变轨。变轨后的轨道如图中虚线所示，其半长轴大于原轨道半径。则( )
A．空间站变轨前、后在P点的加速度相同
B．空间站变轨后的运动周期比变轨前的小
C．空间站变轨后在P点的速度比变轨前的小
D．空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大
A [在P点变轨前、后空间站所受到的万有引力不变，根据牛顿第二定律可知空间站变轨前、后在P点的加速度相同，故A正确；因为变轨后其半长轴大于原轨道半径，根据开普勒第三定律可知空间站变轨后的运动周期比变轨前的大，故B错误；变轨后在P点因反冲运动瞬间获得竖直向下的速度，原水平向左的圆周运动速度不变，因此合速度变大，故C错误；由于空间站变轨后在P点的速度比变轨前大，而比在近地点的速度小，则空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的小，故D错误。故选A。]
2．做匀速圆周运动的人造地球卫星在运行中的某时刻开始，火箭沿线速度反向喷火，喷火后经过一段时间的飞行姿态的调整，稳定后会在新的轨道上继续做匀速圆周运动，那么与喷火之前相比较( )
A．加速度a减小，周期T增大，半径r减小
B．加速度a减小，周期T减小，半径r减小
C．加速度a减小，周期T增大，半径r增大
D．加速度a增大，周期T减小，半径r增大
C [人造地球卫星在运行中，火箭沿线速度反向喷火，线速度变大，做离心运动，半径变大，稳定后做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力得G＝ma＝m，整理可以得到a＝，T＝，由于r变大，则a变小，T变大，故C正确，A、B、D错误。]
3．(多选)(2025·广东深圳调研)如图所示，在发射地球同步卫星的过程中，卫星首先进入近地停泊轨道Ⅰ，然后由Q点进入椭圆轨道Ⅱ，再在P点通过改变卫星速度，进入地球同步轨道Ⅲ，则( )
A．将卫星发射至轨道Ⅰ，发射速度必定大于 11.2 km/s
B．卫星在同步轨道Ⅲ上运行时，其速度小于 7.9 km/s
C．卫星在P点通过加速来实现由轨道Ⅱ进入轨道Ⅲ
D．卫星在轨道Ⅱ上经过P点时的加速度大于在轨道Ⅲ上经过P点时的加速度
BC [11.2 km/s是第二宇宙速度，发射到近地轨道的最小速度是第一宇宙速度7.9 km/s，A错误；根据万有引力提供向心力有G＝m，同步卫星的轨道半径大于近地卫星的轨道半径，所以同步卫星的环绕速度小于近地卫星的环绕速度7.9 km/s，B正确；由轨道Ⅱ进入轨道Ⅲ为从低轨道进入高轨道，需要点火加速，C正确；根据牛顿第二定律有G＝ma，无论在哪个轨道经过P点，到地心的距离都相同，受到的万有引力都相同，加速度相同，D错误。]
4．(2024·重庆卷)2024年5月3日，“嫦娥六号”探测器成功发射，开启了月球背面采样之旅，探测器的着陆器、上升器组合体着陆月球要经过减速、悬停、自由下落等阶段。则组合体着陆月球的过程中( )
A．减速阶段所受合力为0
B．悬停阶段不受力
C．自由下落阶段机械能守恒
D．自由下落阶段加速度大小g＝9.8 m/s2
C [组合体在减速阶段有加速度，合力不为零，故A错误；组合体在悬停阶段速度为零，处于平衡状态，合力为零，仍受重力和升力，故B错误；组合体在自由下落阶段只受重力，机械能守恒，故C正确；月球表面重力加速度不为9.8 m/s2，故D错误。故选C。]
5．2022年12月8日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现象被称为“火星冲日”。火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，火星与地球的公转轨道半径之比约为3∶2，如图所示。根据以上信息可以得出( )
A．火星与地球绕太阳运动的周期之比约为27∶8
B．当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最大
C．火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为9∶4
D．下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之前
B [由题意得火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，根据开普勒第三定律得＝＝，A错误；当火星与地球相距最远时，火星和地球分别位于太阳两侧，两者的速度方向相反，故地球和火星相对速度最大，B正确；忽略天体自转产生的影响，根据物体在天体表面所受的重力等于万有引力得g＝，根据题目中所给条件无法计算出比例关系，C错误；设经过时间t会再次出现“火星冲日”，在此期间地球比火星多运动一周，则＝1，所以t＝年>1年，D错误。]
6．“神舟十八号”飞船采用“快速返回技术”，在近地轨道上，返回舱脱离“天和”核心舱，在圆轨道环绕并择机返回地面。则( )
A．“天和”核心舱所处的圆轨道距地面高度越高，环绕速度越大
B．返回舱中的航天员处于失重状态，不受地球的引力
C．质量不同的返回舱与“天和”核心舱可以在同一轨道运行
D．返回舱穿越大气层返回地面的过程中，机械能守恒
C [根据G＝m，可得v＝，可知圆轨道距地面高度越高，环绕速度越小，而只要环绕速度相同，返回舱和天和核心舱就可以在同一轨道运行，与返回舱和天和核心舱的质量无关，故A错误，C正确；返回舱中的航天员处于失重状态，仍然受到地球的引力作用，地球的引力提供航天员绕地球运动的向心力，故B错误；返回舱穿越大气层返回地面过程中，有阻力做功产生热量，机械能减小，故D错误。故选C。]
7．(多选)宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中一种三星系统如图所示。三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R。忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，引力常量为G，则( )
A．每颗星体做圆周运动的线速度大小为
B．每颗星体做圆周运动的角速度为
C．每颗星体做圆周运动的周期为2π
D．每颗星体做圆周运动的加速度与三星的质量无关
ABC [每颗星体受到的合力为F＝2Gsin 60°＝G，轨道半径为r＝R，由向心力公式F＝ma＝m＝mω2r＝mr，解得a＝，v＝，ω＝，T＝2π，显然加速度a与m有关，故A、B、C正确，D错误。]
8．(多选)(2024·广东茂名高三月考)已知某卫星在赤道上空轨道半径为r1的圆形轨道上绕地球运行的周期为T，卫星运动方向与地球自转方向相同，赤道上某城市的人每三天恰好五次看到卫星经过其正上方。假设某时刻，该卫星在如图所示的A点变轨进入椭圆轨道，近地点B到地心距离为r2。设卫星由A到B运动的时间为t，地球自转周期为T0，不计空气阻力。则( )
A．T＝T0
B．t＝
C．卫星在图中椭圆轨道由A到B时，机械能不变
D．卫星由图中圆轨道进入椭圆轨道过程中，机械能不变
BC [赤道上某城市的人每三天恰好五次看到卫星经过其正上方，则知三天内卫星转了8圈，则3T0＝8T，解得T＝T0，故A错误；根据开普勒第三定律知，＝，解得t＝，故B正确；卫星在题图中椭圆轨道由A到B时，只有万有引力做功，机械能守恒，故C正确；卫星由圆轨道进入椭圆轨道，需要减速，则机械能减小，故D错误。]
9．(多选)如图所示，质量相同的三颗卫星a、b、c绕地球做匀速圆周运动，其中b、c在地球的同步轨道上，a距离地球表面的高度为R，此时a、b恰好相距最近。已知地球质量为M、半径为R、地球自转的角速度为ω，引力常量为G，则( )
A．发射卫星b时速度要大于11.2 km/s
B．若要卫星a与b实现对接，可调节卫星a，使其在b的后下方加速
C．若要卫星c与b实现对接，可让卫星c直接在原轨道加速
D．卫星a和b下次相距最近还需经过t＝
BD [卫星b绕地球做匀速圆周运动，7.9 km/s是在地球上发射的物体绕地球做圆周运动所需的最小发射速度，11.2 km/s是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，所以发射卫星b时速度大于7.9 km/s，而小于11.2 km/s，故A错误；让卫星加速，所需的向心力增大，由于万有引力小于所需的向心力，卫星会做离心运动，离开原轨道向高轨道运行，所以a通过调节可以与b实现对接，而c不能直接在原轨道与b实现对接，故B正确，C错误；b、c在地球的同步轨道上，所以卫星b、c和地球具有相同的周期和角速度，a距离地球表面的高度为R，由万有引力提供向心力有＝(2R)，所以卫星a的角速度ωa＝，此时a、b恰好相距最近，到卫星a和b下一次相距最近时，有 (ωa－ω)t＝2π，t＝，故D正确。]
10．(多选)(2024·广东汕头二模)“嫦娥五号”轨道器在地面飞控人员的精确控制下成功被日—地拉格朗日L1点捕获，这是我国首颗进入日—地L1点探测轨道的航天器。已知太阳和地球所在的连线上有如图所示的3个拉格朗日点，飞行器位于这些点上时，在太阳与地球引力的共同作用下，可以保持与地球同步绕太阳做匀速圆周运动。下列说法正确的是( )
A．飞行器在L1点绕太阳飞行的加速度小于地球绕太阳飞行的加速度
B．飞行器在L1点处于平衡状态
C．飞行器A在L1点绕太阳飞行的动能小于飞行器B在L2点绕太阳飞行的动能
D．飞行器A在L1点绕太阳飞行的角速度等于飞行器B在L2点绕太阳飞行的角速度
AD [飞行器与地球同步绕太阳做匀速圆周运动，即两者的角速度相同，由an＝ω2r及在L1点的飞行器的轨道半径小于地球的轨道半径可知，其加速度小于地球的加速度，选项A正确；飞行器在L1点绕太阳做匀速圆周运动，故所受合力不为零，选项B错误；两飞行器的质量关系不明，故它们的动能关系不能确定，选项C错误；飞行器只要在拉格朗日点，均与地球同步绕太阳做匀速圆周运动，故飞行器A在L1点绕太阳飞行的角速度等于飞行器B在L2点绕太阳飞行的角速度，选项D正确。]
11．太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，这种现象称为“行星冲日”。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如表所示：
行星名称 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
轨道半径R/AU 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
则相邻两次“冲日”时间间隔约为( )
A．火星365天 B．火星800天
C．天王星365天 D．天王星800天
B [根据开普勒第三定律有＝，解得T＝T地，设相邻两次“冲日”时间间隔为t，则2π＝t，解得t＝＝，由表格中的数据可得t火＝≈801天，t天＝≈369天，故选B。]
12．(多选)(2024·湖南卷)2024年5月3日，“嫦娥六号”探测器顺利进入地月转移轨道，正式开启月球之旅。相较于“嫦娥四号”和“嫦娥五号”，本次的主要任务是登陆月球背面进行月壤采集，并通过升空器将月壤转移至绕月运行的返回舱，返回舱再通过返回轨道返回地球。设返回舱绕月运行的轨道为圆轨道，半径近似为月球半径。已知月球表面重力加速度约为地球表面的，月球半径约为地球半径的。关于返回舱在该绕月轨道上的运动，下列说法正确的是( )
A．其相对于月球的速度大于地球第一宇宙速度
B．其相对于月球的速度小于地球第一宇宙速度
C．其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的倍
D．其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的倍
BD [返回舱在该绕月轨道上运动时万有引力提供向心力，且返回舱绕月运行的轨道为圆轨道，半径近似为月球半径，则有G＝，其中在月球表面万有引力和重力的关系为G＝mg月，联立解得v月＝，由于第一宇宙速度为近地卫星的环绕速度，同理可得v地＝，代入题中数据可得v月＝v地，故A错误，B正确；根据线速度和周期的关系有T＝·r，根据以上分析可得T月＝T地，故C错误，D正确。故选BD。]
13．双星系统中两个星球A、B的质量都是m，A、B相距L，它们正围绕两者连线上某一点做匀速圆周运动。实际观测该系统的周期T要小于按照力学理论计算出的周期理论值T0，且＝k(k<1)，于是有人猜测这可能是受到了一颗未发现的星球C的影响，并认为C位于双星A、B的连线正中间，相对A、B静止，已知引力常量为G，求：
(1)两个星球A、B组成的双星系统的周期理论值T0；
(2)星球C的质量。
[解析] (1)两星球的角速度相同，根据万有引力提供向心力知＝＝
可得r1＝r2
两星绕连线的中点转动，则有＝
解得ω1＝
所以T0＝＝2π。
(2)由于C的存在，双星的向心力由两个力的合力提供，设C的质量为M，则
＋G＝
T＝＝kT0
联立解得M＝。
[答案] (1)2π (2)
20 / 20 天体运动的三类热点问题
卫星的发射与变轨问题
1．变轨原理及过程
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上，如图所示。
(2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。
(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。
2．各物理量的比较
(1)两个不同轨道的“切点”处线速度不相等。图中vⅢB>vⅡB，vⅡA>vⅠA。
(2)同一个椭圆轨道上近地点和远地点的线速度大小不相等。从远地点到近地点，万有引力对卫星做正功，卫星的动能增大(引力势能减小)。图中vⅡA>vⅡB，EkⅡA>EkⅡB，EpⅡA(3)两个不同圆轨道上线速度大小不相等。轨道半径越大，线速度越小，图中vⅠ>vⅢ。
(4)卫星在不同轨道上的机械能E不相等，“高轨高能，低轨低能”。卫星变轨过程中机械能不守恒。图中EⅠ(5)卫星运行的加速度与卫星和中心天体间的距离有关，与轨道形状无关，图中aⅢB＝aⅡB，aⅡA＝aⅠA。
[典例1] (2024·安徽卷)2024年3月20日，我国探月工程四期“鹊桥二号”中继星成功发射升空。当抵达距离月球表面某高度时，“鹊桥二号”开始进行近月制动，并顺利进入捕获轨道运行，如图所示，轨道的半长轴约为51 900 km。后经多次轨道调整，进入冻结轨道运行，轨道的半长轴约为9 900 km，周期约为24 h。则“鹊桥二号”在捕获轨道运行时( )
A．周期约为144 h
B．近月点的速度大于远月点的速度
C．近月点的速度小于在冻结轨道运行时近月点的速度
D．近月点的加速度大于在冻结轨道运行时近月点的加速度
[听课记录]
卫星变轨的实质
两类变轨 离心运动 近心运动
变轨起因 卫星速度突然增大 卫星速度突然减小
受力分析 G＜m G＞m
变轨结果 变为椭圆轨道运动或在较大半径的圆轨道上运动 变为椭圆轨道运动或在较小半径的圆轨道上运动
能量分析 重力势能、机械能均增加 重力势能、机械能均减小
天体的追及相遇问题
1．相距最近
当两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星的角度关系为(ωA－ωB)t＝2πn(n＝1，2，3，…)(同向)或(ωA＋ωB)t＝2πn(n＝1，2，3，…)(反向)，两卫星转过的圈数关系为＝n(n＝1，2，3，…)(同向)或＝n(n＝1，2，3，…)(反向)。
2．相距最远
当两卫星位于和中心连线的半径上两侧时，两卫星相距最远，从运动关系上，两卫星运动的角度关系应满足(ωA－ωB)t′＝(2n－1)π(n＝1，2，3，…)(同向)或(ωA＋ωB)t′＝(2n－1)π(n＝1，2，3，…)(反向)。两卫星转过的圈数关系为＝(n＝1，2，3，…)(同向)或＝(n＝1，2，3，…)(反向)。
[典例2] (多选)(2025·广东汕头质检)如图所示，在万有引力作用下，a、b两卫星在同一平面内绕某一行星c沿逆时针方向做匀速圆周运动，已知轨道半径之比为ra∶rb＝1∶4，则下列说法中正确的有( )
A．a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶8
B．a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶4
C．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线 12次
D．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次
[听课记录]
双星或多星模型
1．双星模型
(1)模型构建：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示。
(2)特点：
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即
＝r1，＝r2。
②两颗星的周期及角速度都相同，即
T1＝T2，ω1＝ω2。
③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L。
2．多星模型
(1)模型构建：所研究星体受到的万有引力的合力提供其做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同。
(2)三星模型：
①三颗星体位于同一直线上，两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)。
②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)。
(3)四星模型：
①四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)。
②三颗质量相等的星体始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)。
双星模型
[典例3] (2025·广东汕尾联考)宇宙中两颗靠得比较近的恒星，仅在彼此之间的万有引力作用下互相绕转，称之为双星系统。设某双星系统A、B绕其连线上的某固定点O点做匀速圆周运动，如图所示。若A、B两星球到O点的距离之比为3∶1，则( )
A．星球A与星球B所受引力大小之比为1∶3
B．星球A与星球B的线速度大小之比为1∶3
C．星球A与星球B的质量之比为3∶1
D．星球A与星球B的动能之比为3∶1
[听课记录]
三星模型
[典例4] (2024·重庆卷)在万有引力作用下，太空中的某三个天体可以做相对位置不变的圆周运动，假设a、b两个天体的质量均为M，相距2r，其连线的中点为O，另一天体c(图中未画出)质量为m(m M)，若c处于a、b连线的垂直平分线上某特殊位置，a、b、c可视为绕O点做角速度相同的匀速圆周运动，且相对位置不变，忽略其他天体的影响。引力常量为G。则( )
A．c的线速度大小为a的 倍
B．c的向心加速度大小为b的一半
C．c在一个周期内运动的路程为2πr
D．c的角速度大小为
[听课记录]
四星模型
[典例5] 宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。设四星系统中每个星体的质量均为m，半径均为R，四颗星稳定分布在边长为a的正方形的四个顶点上。已知引力常量为G。关于宇宙四星系统，下列说法错误的是( )
A．四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动
B．四颗星的轨道半径均为
C．四颗星表面的重力加速度均为G
D．四颗星的周期均为2πa
[听课记录]
解决双星、多星问题的四个关键点
(1)根据双星或多星的特点、规律，确定系统的中心以及运动的轨道半径。
(2)星体的向心力由其他天体的万有引力的合力提供。
(3)星体的角速度都相同。
(4)星体的轨道半径不是天体间的距离。要利用几何知识，寻找两者之间的关系，正确计算万有引力和向心力。
1．(多选)(2024·广东潮州月考)假设将来人类一艘飞船从火星返回地球时，经历了如图所示的变轨过程，则下列说法中正确的是( )
A．飞船在轨道Ⅱ上运动时，在P点的速度大于在Q点的速度
B．飞船在轨道Ⅰ上运动时的机械能大于在轨道Ⅱ上运动的机械能
C．飞船在轨道Ⅰ上运动到P点时的加速度等于飞船在轨道Ⅱ上运动到P点时的加速度
D．飞船绕火星在轨道Ⅰ上运动的周期跟飞船返回地面的过程中绕地球以与轨道Ⅰ相等的半径运动的周期相同
2．(多选)若“嫦娥五号”从距月面高度为100 km 的环月圆形轨道Ⅰ上的P点实施变轨，进入近月点为15 km 的椭圆轨道Ⅱ，由近月点Q落月，如图所示。关于“嫦娥五号”，下列说法正确的是( )
A．沿轨道Ⅰ运动至P时，需制动减速才能进入轨道Ⅱ
B．沿轨道Ⅱ运行的周期大于沿轨道Ⅰ运行的周期
C．沿轨道Ⅱ运行时，在P点的加速度大于在Q点的加速度
D．在轨道Ⅱ上由P点运行到Q点的过程中，机械能不变
3．(多选)三颗星a、b、c均在赤道平面上绕地球做匀速圆周运动，其中a、b转动的方向与地球自转方向相同，c转动的方向与地球自转方向相反，a、b、c三颗星的周期分别为Ta ＝6 h、Tb ＝24 h、Tc＝12 h，下列说法正确的是( )
A．a、b每经过6 h相遇一次
B．a、b每经过8 h相遇一次
C．b、c每经过8 h相遇一次
D．b、c每经过6 h相遇一次
4．(2024·广东深圳二模)由于潮汐等因素的影响，月球正以每年约3至5厘米的速度远离地球。地球和月球可以看作双星系统，它们绕O点做匀速圆周运动。多年以后，地球( )
A．与月球之间的万有引力变大
B．绕O点做圆周运动的周期不变
C．绕O点做圆周运动的角速度变小
D．绕O点做圆周运动的轨道半径变小
5．(多选)如图所示，甲、乙、丙是位于同一直线上的离其他恒星较远的三颗恒星，甲、丙围绕乙在半径为R的圆轨道上运行，若三颗星质量均为M，引力常量为G，则( )
A．甲星所受合力为
B．乙星所受合力为
C．甲星和丙星的线速度相同
D．甲星和丙星的角速度相同
1 / 8专题突破练习(五) 天体运动的三类热点问题
说明：单选题每小题4分，多选题每小题6分；本试卷共73分)
1．(2024·湖北卷)太空碎片会对航天器带来危害。设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动，如图中实线所示。为了避开碎片，空间站在P点向图中箭头所指径向方向在极短时间内喷射气体，使空间站获得一定的反冲速度，从而实现变轨。变轨后的轨道如图中虚线所示，其半长轴大于原轨道半径。则( )
A．空间站变轨前、后在P点的加速度相同
B．空间站变轨后的运动周期比变轨前的小
C．空间站变轨后在P点的速度比变轨前的小
D．空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大
2．做匀速圆周运动的人造地球卫星在运行中的某时刻开始，火箭沿线速度反向喷火，喷火后经过一段时间的飞行姿态的调整，稳定后会在新的轨道上继续做匀速圆周运动，那么与喷火之前相比较( )
A．加速度a减小，周期T增大，半径r减小
B．加速度a减小，周期T减小，半径r减小
C．加速度a减小，周期T增大，半径r增大
D．加速度a增大，周期T减小，半径r增大
3．(多选)(2025·广东深圳调研)如图所示，在发射地球同步卫星的过程中，卫星首先进入近地停泊轨道Ⅰ，然后由Q点进入椭圆轨道Ⅱ，再在P点通过改变卫星速度，进入地球同步轨道Ⅲ，则( )
A．将卫星发射至轨道Ⅰ，发射速度必定大于 11.2 km/s
B．卫星在同步轨道Ⅲ上运行时，其速度小于 7.9 km/s
C．卫星在P点通过加速来实现由轨道Ⅱ进入轨道Ⅲ
D．卫星在轨道Ⅱ上经过P点时的加速度大于在轨道Ⅲ上经过P点时的加速度
4．(2024·重庆卷)2024年5月3日，“嫦娥六号”探测器成功发射，开启了月球背面采样之旅，探测器的着陆器、上升器组合体着陆月球要经过减速、悬停、自由下落等阶段。则组合体着陆月球的过程中( )
A．减速阶段所受合力为0
B．悬停阶段不受力
C．自由下落阶段机械能守恒
D．自由下落阶段加速度大小g＝9.8 m/s2
5．2022年12月8日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现象被称为“火星冲日”。火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，火星与地球的公转轨道半径之比约为3∶2，如图所示。根据以上信息可以得出( )
A．火星与地球绕太阳运动的周期之比约为27∶8
B．当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最大
C．火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为9∶4
D．下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之前
6．“神舟十八号”飞船采用“快速返回技术”，在近地轨道上，返回舱脱离“天和”核心舱，在圆轨道环绕并择机返回地面。则( )
A．“天和”核心舱所处的圆轨道距地面高度越高，环绕速度越大
B．返回舱中的航天员处于失重状态，不受地球的引力
C．质量不同的返回舱与“天和”核心舱可以在同一轨道运行
D．返回舱穿越大气层返回地面的过程中，机械能守恒
7．(多选)宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中一种三星系统如图所示。三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R。忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，引力常量为G，则( )
A．每颗星体做圆周运动的线速度大小为
B．每颗星体做圆周运动的角速度为
C．每颗星体做圆周运动的周期为2π
D．每颗星体做圆周运动的加速度与三星的质量无关
8．(多选)(2024·广东茂名高三月考)已知某卫星在赤道上空轨道半径为r1的圆形轨道上绕地球运行的周期为T，卫星运动方向与地球自转方向相同，赤道上某城市的人每三天恰好五次看到卫星经过其正上方。假设某时刻，该卫星在如图所示的A点变轨进入椭圆轨道，近地点B到地心距离为r2。设卫星由A到B运动的时间为t，地球自转周期为T0，不计空气阻力。则( )
A．T＝T0
B．t＝
C．卫星在图中椭圆轨道由A到B时，机械能不变
D．卫星由图中圆轨道进入椭圆轨道过程中，机械能不变
9．(多选)如图所示，质量相同的三颗卫星a、b、c绕地球做匀速圆周运动，其中b、c在地球的同步轨道上，a距离地球表面的高度为R，此时a、b恰好相距最近。已知地球质量为M、半径为R、地球自转的角速度为ω，引力常量为G，则( )
A．发射卫星b时速度要大于11.2 km/s
B．若要卫星a与b实现对接，可调节卫星a，使其在b的后下方加速
C．若要卫星c与b实现对接，可让卫星c直接在原轨道加速
D．卫星a和b下次相距最近还需经过t＝
10．(多选)(2024·广东汕头二模)“嫦娥五号”轨道器在地面飞控人员的精确控制下成功被日—地拉格朗日L1点捕获，这是我国首颗进入日—地L1点探测轨道的航天器。已知太阳和地球所在的连线上有如图所示的3个拉格朗日点，飞行器位于这些点上时，在太阳与地球引力的共同作用下，可以保持与地球同步绕太阳做匀速圆周运动。下列说法正确的是( )
A．飞行器在L1点绕太阳飞行的加速度小于地球绕太阳飞行的加速度
B．飞行器在L1点处于平衡状态
C．飞行器A在L1点绕太阳飞行的动能小于飞行器B在L2点绕太阳飞行的动能
D．飞行器A在L1点绕太阳飞行的角速度等于飞行器B在L2点绕太阳飞行的角速度
11．太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，这种现象称为“行星冲日”。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如表所示：
行星名称 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
轨道半径R/AU 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
则相邻两次“冲日”时间间隔约为( )
A．火星365天 B．火星800天
C．天王星365天 D．天王星800天
12．(多选)(2024·湖南卷)2024年5月3日，“嫦娥六号”探测器顺利进入地月转移轨道，正式开启月球之旅。相较于“嫦娥四号”和“嫦娥五号”，本次的主要任务是登陆月球背面进行月壤采集，并通过升空器将月壤转移至绕月运行的返回舱，返回舱再通过返回轨道返回地球。设返回舱绕月运行的轨道为圆轨道，半径近似为月球半径。已知月球表面重力加速度约为地球表面的，月球半径约为地球半径的。关于返回舱在该绕月轨道上的运动，下列说法正确的是( )
A．其相对于月球的速度大于地球第一宇宙速度
B．其相对于月球的速度小于地球第一宇宙速度
C．其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的倍
D．其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的倍
1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 ＋0.5
13．双星系统中两个星球A、B的质量都是m，A、B相距L，它们正围绕两者连线上某一点做匀速圆周运动。实际观测该系统的周期T要小于按照力学理论计算出的周期理论值T0，且＝k(k<1)，于是有人猜测这可能是受到了一颗未发现的星球C的影响，并认为C位于双星A、B的连线正中间，相对A、B静止，已知引力常量为G，求：
(1)两个星球A、B组成的双星系统的周期理论值T0；
(2)星球C的质量。
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