应用“三大力学观点”的三类典型模型
“滑块—弹簧”模型
模型图示
模型特点 (1)两个或两个以上的物体与弹簧相互作用的过程中，若系统所受外力的矢量和为零，则系统动量守恒 (2)在能量方面，由于弹簧形变会使弹性势能发生变化，系统的总动能将发生变化；若系统所受的外力和除弹簧弹力以外的内力不做功，则系统机械能守恒 (3)弹簧处于最长(最短)状态时两物体速度相等，弹性势能最大，系统动能通常最小(完全非弹性碰撞拓展模型) (4)弹簧恢复原长时，弹性势能为零，系统动能最大(弹性碰撞拓展模型，相当于碰撞结束时)
[典例1] 如图甲所示，一轻弹簧的两端分别与质量为m1和m2的两物块相连接，并且静止在光滑的水平面上。现使m1瞬间获得水平向右的速度，大小为3 m/s，以此刻为计时零点，两物块的速度随时间变化的规律如图乙所示，根据图像信息可得( )
A．在t1、t3时刻两物块达到共同速度1 m/s且弹簧都处于压缩状态
B．从t3到t4时刻弹簧由压缩状态逐渐恢复原长
C．两物块的质量之比为m1∶m2＝1∶3
D．t2时刻两物块的动量大小之比为p1∶p2＝1∶4
[听课记录]
[典例2] 如图所示，A、B、C三个木块的质量均为m，置于光滑的水平面上，B、C之间有一轻质弹簧，弹簧的两端与木块接触但不固连，将弹簧压缩到不能再压缩时用细线把B、C紧连，使弹簧不能伸展，以至于B、C可视为一个整体。现A以初速度v0沿B、C的连线方向朝B运动，与B相碰并粘在一起，之后细线突然断开，弹簧伸展，从而使C与A、B分离。已知C离开弹簧后的速度恰为v0，求弹簧释放的势能。
思路点拨：解此题要注意以下关键信息：
(1)“B、C可视为一个整体”表明A与B碰后，三者共速。
(2)“A与B碰后粘在一起”表明C离开弹簧时，A、B有共同的速度。
[听课记录]
“子弹打木块”模型
模型图示
模型特点 (1)当子弹和木块的速度相等时木块的速度最大，两者的相对位移(子弹射入木块的深度)最大 (2)系统的动量守恒，但机械能不守恒，摩擦力与两者相对位移的乘积等于系统减少的机械能 (3)根据能量守恒，系统损失的动能ΔEk＝ Ek0，可以看出，子弹的质量m越小，木块的质量M越大，动能损失越多 (4)该类问题既可以从动量、能量角度求解，也可以从力和运动的角度求解
[典例3] 光滑的水平面上放着一块质量为M、长度为d的木块，一颗质量为m的子弹(可视为质点)以水平速度v0射入木块，当子弹从木块中穿出后速度变为v1，子弹与木块之间的平均摩擦力大小为f。求：
(1)子弹打击木块的过程中摩擦力对子弹做的功，摩擦力对木块做的功；
(2)在这个过程中，系统产生的内能。
审题指导：
[听课记录]
“滑块—滑板”模型
模型图示
模型特点 “滑块—滑板”模型作为力学的基本模型经常出现，是对直线运动和牛顿运动定律及动量守恒定律有关知识的巩固和应用。这类问题可分为两类： (1)没有外力参与，滑板放在光滑水平面上，滑块以一定速度在滑板上运动，滑块与滑板组成的系统动量守恒，注意滑块若不滑离滑板，最后二者具有共同速度。摩擦力与相对路程的乘积等于系统损失的动能，即Ff·x相对＝ΔEk (2)系统受到外力，这时对滑块和滑板一般隔离分析，画出它们运动的示意图，应用牛顿运动定律、运动学公式及动量定理求解
[典例4] 如图所示，质量m1＝4.0 kg的小车静止在光滑的水平面上，车长L＝4 m，现有质量m2＝1.0 kg 的可视为质点的物块，以水平向右的速度v0＝5 m/s 从左端滑上小车，最后在车面上某处与小车保持相对静止。物块与车面间的动摩擦因数μ＝0.5，g取10 m/s2。求：
(1)物块在车面上滑行的时间t；
(2)要使物块不从小车右端滑出，物块滑上小车左端的速度不超过多少(结果可用根号表示)。
审题指导：
关键语句 获取信息
相对静止 最后共速
要使物块不从小车右端滑出 临界条件为物块滑到车右端与小车共速
[听课记录]
[典例5] (多选)如图所示，光滑水平面上有一右端带有固定挡板的长木板，总质量为m。一轻质弹簧右端与挡板相连，弹簧左端与长木板左端的距离为x1。质量也为m的滑块(可视为质点)从长木板的左端以速度v1滑上长木板，弹簧的最大压缩量为x2且滑块恰好能回到长木板的左端；若把长木板固定，滑块滑上长木板的速度为v2，弹簧的最大压缩量也为x2。已知滑块与长木板之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，则( )
A．v1＝v2
B．弹簧弹性势能的最大值为
C．弹簧弹性势能的最大值为μmg(x1＋x2)
D．滑块以速度v2滑上长木板，也恰好能回到长木板的左端
[听课记录]
1．(多选)如图所示，光滑水平地面上有A、B两物体，质量都为m，B左端固定一个处于压缩状态的轻弹簧，轻弹簧被装置锁定，当弹簧再受到压缩时锁定装置会失效，A以速率v向右运动，A撞上弹簧后，设弹簧始终不超过弹性限度，关于A、B运动过程的说法正确的是( )
A．A物体最终会静止，B物体最终会以速率v向右运动
B．A、B系统的总动量最终将大于mv
C．A、B系统的总动能最终将大于mv2
D．当弹簧的弹性势能最大时，A、B的总动能为mv2
2．(2025·广东江门检测)两物块A、B用轻弹簧相连，质量均为2 kg，初始时弹簧处于原长，A、B两物块都以v＝6 m/s的速度在光滑的水平地面上运动，质量为4 kg的物块C静止在前方，如图所示，B与C碰撞后二者会粘连在一起运动。则下列说法正确的是( )
A．B、C碰撞刚结束时的共同速度为3 m/s
B．弹簧的弹性势能最大时，物块A的速度为3 m/s
C．弹簧的弹性势能最大值为36 J
D．弹簧再次恢复原长时A、B、C三物块速度相同
3．如图所示，质量为M的木块静止在光滑水平桌面上，一质量为m的子弹以水平速度v0射入木块，深度为d时，子弹与木块相对静止，在子弹入射的过程中，木块沿桌面移动的距离为L，木块对子弹的平均阻力大小为f，那么在这一过程中，下列说法正确的是( )
A．木块的动能增加f(L＋d)
B．子弹的动能减少量为fd
C．子弹和木块组成的系统动能减少量为fL
D．子弹和木块组成的系统的动能减少量为
4．(多选)(2025·广东汕尾高三检测)如图所示，由A、B两部分粘合而成的滑板静止于光滑水平面上，现有一小滑块(可看作质点)以初速度v0从A的左端冲上滑板，小滑块最终相对滑板静止于B部分的中点处。已知A、B两部分长度均为L，小滑块与A、B两部分的动摩擦因数分别为μ1、μ2且μ2＝2μ1，小滑块、A、B的质量均为m。则( )
A．小滑块的最小速度为
B．小滑块与滑板组成的系统动量、机械能均守恒
C．小滑块分别在A、B上相对滑板运动的过程中系统产生的热量相同
D．小滑块在A上相对滑板运动时动量减小得比在B上相对滑板运动时慢
5．如图所示，光滑水平面上有两个等高且足够长的滑板A和B，质量分别为1 kg和2 kg，A右端和B左端分别放置物块C、D，物块质量均为1 kg，A和C以相同速度v0＝10 m/s向右运动，B和D以相同速度kv0向左运动，在某时刻发生碰撞，作用时间极短，碰撞后C与D粘在一起形成一个新物块，A与B粘在一起形成一个新滑板，物块与滑板之间的动摩擦因数均为μ＝0.1。重力加速度大小取g＝10 m/s2。
(1)若0＜k＜0.5，求碰撞后瞬间新物块和新滑板各自速度的大小和方向；
(2)若k＝0.5，从碰撞后到新物块与新滑板相对静止的过程中，求两者相对位移的大小。
1 / 8专题突破练习(七) 应用“三大力学观点”的三类典型模型
说明：单选题每小题4分，多选题每小题6分；本试卷共68分
1．如图所示，三小球a、b、c的质量都是m，都放于光滑的水平面上，小球b、c与轻弹簧相连且静止，小球a以速度v0冲向小球b，碰后与小球b粘在一起运动。在整个运动过程中，下列说法不正确的是 ( )
A．三球与弹簧组成的系统总动量守恒，总机械能不守恒
B．三球与弹簧组成的系统总动量守恒，总机械能也守恒
C．当小球b、c速度相等时，弹簧弹性势能最大
D．当弹簧第一次恢复原长时，小球c的动能一定最大，小球b的动能一定不为零
2．(多选)如图所示，一子弹以初速度v0击中静止在光滑的水平面上的木块，最终子弹未能射穿木块，射入的深度为d，木块加速运动的位移为s。则以下说法正确的是( )
A．子弹动能的亏损等于系统动能的亏损
B．子弹动量变化量的大小等于木块动量变化量的大小
C．摩擦力对木块做的功等于摩擦力对子弹做的功
D．子弹对木块做的功等于木块动能的增量
3．(多选)质量为M的带有光滑圆弧轨道的小车静止置于光滑水平面上，如图所示，一质量也为M的小球以速度v0水平冲上小车，到达某一高度后，小球又返回小车的左端，重力加速度为g，则( )
A．小球将向左做平抛运动
B．小球将做自由落体运动
C．此过程小球对小车做的功为
D．小球在圆弧轨道上上升的最大高度为
4．(多选)(2025·广东汕头高三检测)如图所示，竖直放置的轻弹簧下端固定在地上，上端与质量为m的钢板连接，钢板处于静止状态。一个质量也为m的物块从钢板正上方h处的P点自由落下，打在钢板上(碰撞时间极短)并与钢板一起向下运动x0后到达最低点Q，重力加速度为g，不计空气阻力。下列说法正确的是( )
A．物块与钢板碰后的速度为
B．物块与钢板碰后的速度为
C．物块与钢板从P到Q的过程中，弹簧弹性势能的增加量为mg
D．物块与钢板从P到Q的过程中，弹簧弹性势能的增加量为mg(2x0＋h)
5．(多选)长木板a放在光滑的水平地面上，在其上表面放一小物块b。以地面为参考系，给a和b以大小均为v0、方向相反的初速度，最后b没有滑离a。设a的初始速度方向为正方向，则下列a、b的v-t图像可能正确的是( )
A B
C D
6．如图所示，在固定的水平杆上套有质量为m的光滑圆环，轻绳一端拴在环上，另一端系着质量为M的木块，现有质量为m0的子弹以大小为v0的水平速度射入木块并留在木块中(此过程时间极短)，重力加速度为g，下列说法正确的是( )
A．子弹射入木块后的瞬间，木块的速度大小为
B．子弹射入木块后的瞬间，绳子拉力等于(M＋m0)g
C．子弹射入木块之后，圆环、木块和子弹构成的系统机械能守恒
D．子弹射入木块之后，圆环、木块和子弹构成的系统动量总是守恒的
7．(多选)(2025·广东茂名模拟)一质量为2m的物体P静止于光滑水平地面上，其截面如图所示。图中ab为粗糙的水平面，长度为L；bc为一光滑斜面，斜面和水平面通过与ab和bc均相切的长度可忽略的光滑圆弧连接。现有一质量为m的木块以大小为v0的水平初速度从a点向左运动，在斜面上上升的最大高度为h，返回后恰好到达a点且与物体P相对静止，重力加速度为g，则( )
A．木块与粗糙水平面ab的动摩擦因数为
B．木块最后到达a时的速度为0
C．木块最后到达a时的速度为
D．整个过程产生的热量为2mgh
1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 ＋0.5
8．(15分) (2024·1月九省联考广西卷)在图示装置中，固定斜面高h＝0.9 m，倾角α＝37°，形状相同的刚性小球A、B质量分别为100 g和20 g，轻弹簧P的劲度系数k＝270 N/m，用A球将弹簧压缩Δl＝10 cm后无初速度释放，A球沿光滑表面冲上斜面顶端与B球发生对心弹性碰撞，设碰撞时间极短，弹簧弹性势能Ep＝k(Δl)2，重力加速度的大小取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6。
(1)求碰撞前瞬间A球的速度大小；
(2)求B球飞离斜面时的速度大小；
(3)将装置置于竖直墙面左侧，仍取Δl＝10 cm，再次弹射使B球与墙面碰撞，碰撞前后瞬间，速度平行于墙面方向的分量不变，垂直于墙面方向的分量大小不变、方向相反，不计空气阻力，为使B球能落回到斜面上，求装置到墙面距离x的最大值。
1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 ＋0.5
9．(15分) (2023·广东卷)如图所示为某药品自动传送系统的示意图。该系统由水平传送带、竖直螺旋滑槽和与滑槽平滑连接的平台组成，滑槽高为3L，平台高为L。药品盒A、B依次被轻放在以v0的速度匀速运动的传送带上，在与传送带达到共速后，从M点进入滑槽，A刚好滑到平台最右端N点停下，随后滑下的B以2v0的速度与A发生正碰，碰撞时间极短，碰撞后A、B恰好落在桌面上圆盘直径的两端。已知A、B的质量分别为m和2m，碰撞过程中损失的能量为碰撞前瞬间总动能的。A与传送带间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，A、B在滑至N点之前不发生碰撞，忽略空气阻力和圆盘的高度，将药品盒视为质点。求：
(1)A在传送带上由静止加速到与传送带共速所用的时间t；
(2)B从M点滑至N点的过程中克服阻力做的功W；
(3)圆盘的圆心到平台右端N点的水平距离s。
1 / 5 应用“三大力学观点”的三类典型模型
“滑块—弹簧”模型
模型图示
模型特点 (1)两个或两个以上的物体与弹簧相互作用的过程中，若系统所受外力的矢量和为零，则系统动量守恒 (2)在能量方面，由于弹簧形变会使弹性势能发生变化，系统的总动能将发生变化；若系统所受的外力和除弹簧弹力以外的内力不做功，则系统机械能守恒 (3)弹簧处于最长(最短)状态时两物体速度相等，弹性势能最大，系统动能通常最小(完全非弹性碰撞拓展模型) (4)弹簧恢复原长时，弹性势能为零，系统动能最大(弹性碰撞拓展模型，相当于碰撞结束时)
[典例1] 如图甲所示，一轻弹簧的两端分别与质量为m1和m2的两物块相连接，并且静止在光滑的水平面上。现使m1瞬间获得水平向右的速度，大小为3 m/s，以此刻为计时零点，两物块的速度随时间变化的规律如图乙所示，根据图像信息可得( )
A．在t1、t3时刻两物块达到共同速度1 m/s且弹簧都处于压缩状态
B．从t3到t4时刻弹簧由压缩状态逐渐恢复原长
C．两物块的质量之比为m1∶m2＝1∶3
D．t2时刻两物块的动量大小之比为p1∶p2＝1∶4
D [结合题图乙可知两物块的运动过程中，开始时m1逐渐减速，m2逐渐加速，弹簧被压缩，t1时刻二者速度相同，速度大小为1 m/s，系统动能最小，弹性势能最大，弹簧被压缩至最短，然后弹簧逐渐恢复原长，m2继续加速，m1先减速为零，然后反向加速，t2时刻，弹簧恢复原长状态，因为此时两物块速度方向相反，因此弹簧的长度将逐渐增大，m2减速，m1先减速为零，再反向加速，t3时刻，两物块速度相等，速度大小为1 m/s，系统动能最小，弹簧最长，从t3到t4时刻弹簧由伸长状态恢复原长，故A、B错误；从t＝0开始到t1时刻，由系统动量守恒可得m1v0＝(m1＋m2)v1，将v0＝3 m/s、v1＝1 m/s代入得m1∶m2＝1∶2，故C错误；在t2时刻，m1的速度为v′1＝－1 m/s，m2的速度为v′2＝2 m/s，又m1∶m2＝1∶2，则动量大小之比为p1∶p2＝1∶4，故D正确。]
[典例2] 如图所示，A、B、C三个木块的质量均为m，置于光滑的水平面上，B、C之间有一轻质弹簧，弹簧的两端与木块接触但不固连，将弹簧压缩到不能再压缩时用细线把B、C紧连，使弹簧不能伸展，以至于B、C可视为一个整体。现A以初速度v0沿B、C的连线方向朝B运动，与B相碰并粘在一起，之后细线突然断开，弹簧伸展，从而使C与A、B分离。已知C离开弹簧后的速度恰为v0，求弹簧释放的势能。
思路点拨：解此题要注意以下关键信息：
(1)“B、C可视为一个整体”表明A与B碰后，三者共速。
(2)“A与B碰后粘在一起”表明C离开弹簧时，A、B有共同的速度。
[解析] 设碰后A、B和C共同速度的大小为v，由动量守恒定律得
mv0＝3mv ①
设C离开弹簧时，A、B的速度大小为v1，由动量守恒定律得
3mv＝2mv1＋mv0 ②
设弹簧的弹性势能为Ep，从细线断开到C与弹簧分开的过程中机械能守恒，有
(3m)v2＋Ep＝ ③
由①②③式得弹簧释放的势能为Ep＝。
[答案]
“子弹打木块”模型
模型图示
模型特点 (1)当子弹和木块的速度相等时木块的速度最大，两者的相对位移(子弹射入木块的深度)最大 (2)系统的动量守恒，但机械能不守恒，摩擦力与两者相对位移的乘积等于系统减少的机械能 (3)根据能量守恒，系统损失的动能ΔEk＝ Ek0，可以看出，子弹的质量m越小，木块的质量M越大，动能损失越多 (4)该类问题既可以从动量、能量角度求解，也可以从力和运动的角度求解
[典例3] 光滑的水平面上放着一块质量为M、长度为d的木块，一颗质量为m的子弹(可视为质点)以水平速度v0射入木块，当子弹从木块中穿出后速度变为v1，子弹与木块之间的平均摩擦力大小为f。求：
(1)子弹打击木块的过程中摩擦力对子弹做的功，摩擦力对木块做的功；
(2)在这个过程中，系统产生的内能。
审题指导：
[解析] (1)由于水平面光滑，则子弹和木块组成的系统在水平方向动量守恒，取子弹速度方向为正方向，则有mv0＝mv1＋Mv2，解得v2＝
设子弹打击木块的过程中摩擦力对子弹做的功为Wf1，子弹相对于地面移动的距离为x1，摩擦力对木块做的功为Wf2，木块相对于地面移动的距离为x2，则
对子弹，利用动能定理可得
Wf1＝－fx1＝
对木块，利用动能定理可得
Wf2＝fx2＝－0
联立得Wf2＝。
(2)由能量守恒定律可知，系统产生的内能等于系统机械能的减少量，则
Q＝fx1－fx2＝fd。
[答案] (2)fd
“滑块—滑板”模型
模型图示
模型特点 “滑块—滑板”模型作为力学的基本模型经常出现，是对直线运动和牛顿运动定律及动量守恒定律有关知识的巩固和应用。这类问题可分为两类： (1)没有外力参与，滑板放在光滑水平面上，滑块以一定速度在滑板上运动，滑块与滑板组成的系统动量守恒，注意滑块若不滑离滑板，最后二者具有共同速度。摩擦力与相对路程的乘积等于系统损失的动能，即Ff·x相对＝ΔEk (2)系统受到外力，这时对滑块和滑板一般隔离分析，画出它们运动的示意图，应用牛顿运动定律、运动学公式及动量定理求解
[典例4] 如图所示，质量m1＝4.0 kg的小车静止在光滑的水平面上，车长L＝4 m，现有质量m2＝1.0 kg 的可视为质点的物块，以水平向右的速度v0＝5 m/s 从左端滑上小车，最后在车面上某处与小车保持相对静止。物块与车面间的动摩擦因数μ＝0.5，g取10 m/s2。求：
(1)物块在车面上滑行的时间t；
(2)要使物块不从小车右端滑出，物块滑上小车左端的速度不超过多少(结果可用根号表示)。
审题指导：
关键语句 获取信息
相对静止 最后共速
要使物块不从小车右端滑出 临界条件为物块滑到车右端与小车共速
[解析] (1)设物块与小车的共同速度为v，以水平向右为正方向，根据动量守恒定律有
m2v0＝(m1＋m2)v
设物块与车面间的滑动摩擦力大小为f，对物块应用动量定理有－ft＝m2v－m2v0
其中f＝μm2g
联立解得t＝
代入数据得t＝ s＝0.8 s。
(2)若物块恰好不从小车右端滑出，则物块滑到车面右端时与小车有共同的速度v′，则有
m2v0′＝(m1＋m2)v′
由功能关系有
m2v0′2＝(m1＋m2)v′2＋μm2gL
代入数据解得v0′＝5 m/s
故要使物块不从小车右端滑出，物块滑上小车左端的速度不能超过5 m/s。
[答案] (1)0.8 s (2)5 m/s
[典例5] (多选)如图所示，光滑水平面上有一右端带有固定挡板的长木板，总质量为m。一轻质弹簧右端与挡板相连，弹簧左端与长木板左端的距离为x1。质量也为m的滑块(可视为质点)从长木板的左端以速度v1滑上长木板，弹簧的最大压缩量为x2且滑块恰好能回到长木板的左端；若把长木板固定，滑块滑上长木板的速度为v2，弹簧的最大压缩量也为x2。已知滑块与长木板之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，则( )
A．v1＝v2
B．弹簧弹性势能的最大值为
C．弹簧弹性势能的最大值为μmg(x1＋x2)
D．滑块以速度v2滑上长木板，也恰好能回到长木板的左端
ACD [当长木板不固定时，弹簧被压缩到最短时两者速度相同，设为v，弹簧最大弹性势能为Ep，从滑块以速度v1滑上长木板到弹簧被压缩到最短的过程，由动量守恒定律和能量守恒定律有mv1＝＝·2mv2＋μmg(x1＋x2)＋Ep，从弹簧被压缩到最短到滑块恰好滑到长木板的左端，两者速度再次相等，由能量守恒有Ep＝μmg(x1＋x2)；若把长木板固定，滑块滑上长木板的速度为v2，弹簧的最大压缩量也为x2，由能量守恒有＝＋x2)＋Ep，联立可得v1＝v2，Ep＝，设滑块被弹簧弹开，运动到长木板左端时的速度为v3，由能量守恒有Ep＝，代入数据可解得v3＝0，说明滑块以速度v2滑上长木板，也恰好能回到长木板的左端，故A、C、D正确，B错误。]
1．(多选)如图所示，光滑水平地面上有A、B两物体，质量都为m，B左端固定一个处于压缩状态的轻弹簧，轻弹簧被装置锁定，当弹簧再受到压缩时锁定装置会失效，A以速率v向右运动，A撞上弹簧后，设弹簧始终不超过弹性限度，关于A、B运动过程的说法正确的是( )
A．A物体最终会静止，B物体最终会以速率v向右运动
B．A、B系统的总动量最终将大于mv
C．A、B系统的总动能最终将大于mv2
D．当弹簧的弹性势能最大时，A、B的总动能为mv2
CD [设弹簧恢复原长时，A、B的速度分别为v1、v2，弹簧被锁定时的弹性势能为Ep，规定向右为正方向，A、B两物体与弹簧组成的系统在整个过程中动量守恒、机械能守恒，则有mv＝mv1＋mv2，Ep＋mv2＝，因Ep>0，可知v1≠0，v2≠v，选项A错误；A、B系统在水平方向动量守恒，系统的总动量最终等于mv，选项B错误；弹簧解除锁定后，存储的弹性势能会释放，导致A、B系统总动能增加，系统的总动能最终将大于mv2，选项C正确；弹簧弹性势能最大时，A、B两物体具有相同的速度，设为v′，由动量守恒定律知mv＝2mv′，解得v′＝v，则有总动能Ek＝·2m·＝mv2，选项D正确。]
2．(2025·广东江门检测)两物块A、B用轻弹簧相连，质量均为2 kg，初始时弹簧处于原长，A、B两物块都以v＝6 m/s的速度在光滑的水平地面上运动，质量为4 kg的物块C静止在前方，如图所示，B与C碰撞后二者会粘连在一起运动。则下列说法正确的是( )
A．B、C碰撞刚结束时的共同速度为3 m/s
B．弹簧的弹性势能最大时，物块A的速度为3 m/s
C．弹簧的弹性势能最大值为36 J
D．弹簧再次恢复原长时A、B、C三物块速度相同
B [B与C碰撞时，B、C组成的系统动量守恒，设碰后瞬间B、C两者共同速度为vBC，规定向右为正方向，则有mBv＝(mB＋mC)vBC，解得vBC＝2 m/s，故A错误；当A、B、C三者的速度相等时弹簧的弹性势能最大，A、B、C三者组成的系统动量守恒，则有(mA＋mB)v＝，解得vABC＝3 m/s，根据能量守恒定律得，弹簧的弹性势能最大值为Ep＝＝12 J，故B正确，C错误；三者共速时弹簧压缩量最大，恢复原长过程中，弹力对A做负功，A的速度减小，对B、C做正功，B、C的速度增大，则恢复原长时三物块速度不同，故D错误。]
3．如图所示，质量为M的木块静止在光滑水平桌面上，一质量为m的子弹以水平速度v0射入木块，深度为d时，子弹与木块相对静止，在子弹入射的过程中，木块沿桌面移动的距离为L，木块对子弹的平均阻力大小为f，那么在这一过程中，下列说法正确的是( )
A．木块的动能增加f(L＋d)
B．子弹的动能减少量为fd
C．子弹和木块组成的系统动能减少量为fL
D．子弹和木块组成的系统的动能减少量为
D [根据牛顿第三定律可知，子弹对木块的平均作用力大小为f，木块相对于水平桌面的位移为L，则子弹对木块做的功为fL，根据动能定理可知，木块动能的增加量等于子弹对木块做的功，即fL，故A错误；子弹相对于地面的位移大小为L＋d，则木块对子弹的阻力做的功大小为f(L＋d)，根据动能定理可知，子弹动能的减少量等于子弹克服阻力做的功，为f(L＋d)，故B错误；子弹相对于木块的位移大小为d，则系统克服阻力做的功为fd，根据功能关系可知，系统动能的减少量为fd，故C错误；由动量守恒定律有mv0＝(M＋m)v，解得v＝，则子弹和木块组成的系统的动能减少量为ΔEk＝，解得ΔEk＝，故D正确。故选D。]
4．(多选)(2025·广东汕尾高三检测)如图所示，由A、B两部分粘合而成的滑板静止于光滑水平面上，现有一小滑块(可看作质点)以初速度v0从A的左端冲上滑板，小滑块最终相对滑板静止于B部分的中点处。已知A、B两部分长度均为L，小滑块与A、B两部分的动摩擦因数分别为μ1、μ2且μ2＝2μ1，小滑块、A、B的质量均为m。则( )
A．小滑块的最小速度为
B．小滑块与滑板组成的系统动量、机械能均守恒
C．小滑块分别在A、B上相对滑板运动的过程中系统产生的热量相同
D．小滑块在A上相对滑板运动时动量减小得比在B上相对滑板运动时慢
CD [小滑块在A与B上一直做减速运动直到三者具有共同速度，以向右为正方向，由动量守恒定律可得mv0＝3mv共，解得v共＝，所以A错误；小滑块与滑板组成的系统动量守恒、机械能不守恒，所以B错误；因滑动摩擦力产生的热量为Q＝fL相对，则小滑块在A上相对滑板运动的过程中系统产生的热量为Q1＝μ1mgL，小滑块在B上相对滑板运动的过程中系统产生的热量为Q2＝μ2mg·＝μ1mgL，所以C正确；根据动量定理可得 F合Δt＝Δp，解得F合＝，则小滑块所受的合外力反映了小滑块的动量变化的快慢，由于小滑块在A上的合外力比在B上的小，所以小滑块在A上相对滑板运动时动量减小得比在B上相对滑板运动时慢，所以D正确。]
5．如图所示，光滑水平面上有两个等高且足够长的滑板A和B，质量分别为1 kg和2 kg，A右端和B左端分别放置物块C、D，物块质量均为1 kg，A和C以相同速度v0＝10 m/s向右运动，B和D以相同速度kv0向左运动，在某时刻发生碰撞，作用时间极短，碰撞后C与D粘在一起形成一个新物块，A与B粘在一起形成一个新滑板，物块与滑板之间的动摩擦因数均为μ＝0.1。重力加速度大小取g＝10 m/s2。
(1)若0＜k＜0.5，求碰撞后瞬间新物块和新滑板各自速度的大小和方向；
(2)若k＝0.5，从碰撞后到新物块与新滑板相对静止的过程中，求两者相对位移的大小。
[解析] (1)物块C、D碰撞过程中满足动量守恒，设碰撞后物块C、D形成的新物块的速度为v物，C、D的质量均为m＝1 kg，以向右为正方向
则有mv0－m·kv0＝(m＋m)v物
解得v物＝v0＝5(1－k) m/s＞0
可知碰撞后物块C、D形成的新物块的速度大小为5(1－k) m/s，方向向右；
滑板A、B碰撞过程中满足动量守恒，设碰撞后滑板A、B形成的新滑板的速度为v滑，滑板A和B质量分别为1 kg和2 kg
则有mAv0－mB·kv0＝(mA＋mB)v滑
解得v滑＝v0＝ m/s＞0
则新滑板速度方向也向右。
(2)若k＝0.5，可知碰后瞬间物块C、D形成的新物块的速度为
v物′＝5(1－k) m/s＝5×(1－0.5) m/s＝2.5 m/s
碰后瞬间滑板A、B形成的新滑板的速度为
v滑′＝ m/s＝0
可知碰后新物块相对于新滑板向右运动，新物块向右做匀减速运动，新滑板向右做匀加速运动，设新物块的质量为m′＝2 kg，新滑板的质量为M′＝3 kg，相对静止时的共同速度为v共，根据动量守恒可得m′v物′＝(m′＋M′)v共
解得v共＝1 m/s
根据能量守恒可得
μm′gx相＝
解得x相＝1.875 m。
[答案] (1)5(1－k) m/s，方向向右 m/s，方向向右 (2)1.875 m
专题突破练习(七) 应用“三大力学观点”的三类典型模型
1．如图所示，三小球a、b、c的质量都是m，都放于光滑的水平面上，小球b、c与轻弹簧相连且静止，小球a以速度v0冲向小球b，碰后与小球b粘在一起运动。在整个运动过程中，下列说法不正确的是 ( )
A．三球与弹簧组成的系统总动量守恒，总机械能不守恒
B．三球与弹簧组成的系统总动量守恒，总机械能也守恒
C．当小球b、c速度相等时，弹簧弹性势能最大
D．当弹簧第一次恢复原长时，小球c的动能一定最大，小球b的动能一定不为零
B [在整个运动过程中，三小球与弹簧组成的系统的合外力为零，总动量守恒，a与b碰撞过程机械能减小，故A正确，B错误；当小球b、c速度相等时，弹簧的压缩量或伸长量最大，弹性势能最大，故C正确；当弹簧第一次恢复原长时，小球c的动能一定最大，从小球a、b粘在一起到弹簧第一次恢复原长的运动过程中，根据动量守恒和机械能守恒分析可知，弹簧第一次恢复原长时小球b的动能不为零，故D正确。本题选说法不正确的，故选B。]
2．(多选)如图所示，一子弹以初速度v0击中静止在光滑的水平面上的木块，最终子弹未能射穿木块，射入的深度为d，木块加速运动的位移为s。则以下说法正确的是( )
A．子弹动能的亏损等于系统动能的亏损
B．子弹动量变化量的大小等于木块动量变化量的大小
C．摩擦力对木块做的功等于摩擦力对子弹做的功
D．子弹对木块做的功等于木块动能的增量
BD [子弹射入木块的过程要产生内能，由能量守恒定律知子弹动能的亏损大于系统动能的亏损，故A错误；子弹和木块组成的系统动量守恒，系统动量的变化量为零，则子弹与木块的动量变化量大小相等，方向相反，故B正确；摩擦力对木块做的功为Ffs，摩擦力对子弹做的功为－Ff(s＋d)，可知二者不等，故C错误；对木块根据动能定理可知，子弹对木块做的功即为摩擦力对木块做的功，等于木块动能的增量，故D正确。]
3．(多选)质量为M的带有光滑圆弧轨道的小车静止置于光滑水平面上，如图所示，一质量也为M的小球以速度v0水平冲上小车，到达某一高度后，小球又返回小车的左端，重力加速度为g，则( )
A．小球将向左做平抛运动
B．小球将做自由落体运动
C．此过程小球对小车做的功为
D．小球在圆弧轨道上上升的最大高度为
BC [小球上升到最高点时与小车相对静止，有相同的速度v′，由动量守恒定律和机械能守恒定律有Mv0＝＝·2Mv′2＋Mgh，联立解得h＝，故D错误；从小球滚上小车到滚下并离开小车的过程，系统在水平方向上动量守恒，由于无摩擦力做功，系统的机械能也守恒，此过程类似于弹性碰撞，二者质量相等，作用后两者交换速度，即小球返回小车左端时速度变为零，开始做自由落体运动，小车速度变为v0，动能为，根据功能关系知此过程小球对小车做的功为，故B、C正确，A错误。]
4．(多选)(2025·广东汕头高三检测)如图所示，竖直放置的轻弹簧下端固定在地上，上端与质量为m的钢板连接，钢板处于静止状态。一个质量也为m的物块从钢板正上方h处的P点自由落下，打在钢板上(碰撞时间极短)并与钢板一起向下运动x0后到达最低点Q，重力加速度为g，不计空气阻力。下列说法正确的是( )
A．物块与钢板碰后的速度为
B．物块与钢板碰后的速度为
C．物块与钢板从P到Q的过程中，弹簧弹性势能的增加量为mg
D．物块与钢板从P到Q的过程中，弹簧弹性势能的增加量为mg(2x0＋h)
BC [物块下落h，由机械能守恒得mgh＝，物块与钢板碰撞，以竖直向下的方向为正方向，则由动量守恒得mv1＝2mv2，解得v2＝v1＝，选项A错误，B正确；物块与钢板从碰撞到二者一起运动至Q点，由能量关系可知＋2mgx0＝ΔEp，则弹性势能的增加量为ΔEp＝mg，选项C正确，D错误。]
5．(多选)长木板a放在光滑的水平地面上，在其上表面放一小物块b。以地面为参考系，给a和b以大小均为v0、方向相反的初速度，最后b没有滑离a。设a的初始速度方向为正方向，则下列a、b的v-t图像可能正确的是( )
A B
C D
ABC [若长木板和小物块质量相等，则系统总动量为零，二者做减速运动最后都是静止的，选项C可能正确；若长木板质量较大，则系统总动量为正，二者最后速度相等且为正值，选项B可能正确；若小物块质量较大，则系统总动量为负，二者最后速度相等且为负值，选项A可能正确；二者一定同时达到相同速度，选项D一定不正确。]
6．如图所示，在固定的水平杆上套有质量为m的光滑圆环，轻绳一端拴在环上，另一端系着质量为M的木块，现有质量为m0的子弹以大小为v0的水平速度射入木块并留在木块中(此过程时间极短)，重力加速度为g，下列说法正确的是( )
A．子弹射入木块后的瞬间，木块的速度大小为
B．子弹射入木块后的瞬间，绳子拉力等于(M＋m0)g
C．子弹射入木块之后，圆环、木块和子弹构成的系统机械能守恒
D．子弹射入木块之后，圆环、木块和子弹构成的系统动量总是守恒的
C [子弹射入木块后的瞬间，以向右为正方向，子弹和木块构成的系统动量守恒，则m0v0＝(M＋m0)v1，解得v1＝，故A错误；子弹射入木块后的瞬间，根据牛顿第二定律可得FT－(M＋m0)g＝，可知绳子拉力FT＝>(M＋m0)g，故B错误；子弹射入木块之后，系统只有重力做功，所以圆环、木块和子弹构成的系统机械能守恒，故C正确；子弹射入木块之后，圆环、木块和子弹构成的系统在水平方向没有受到外力，该系统在水平方向动量守恒，但在竖直方向动量不守恒，所以子弹射入木块之后，圆环、木块和子弹构成的系统动量不守恒，故D错误。]
7．(多选)(2025·广东茂名模拟)一质量为2m的物体P静止于光滑水平地面上，其截面如图所示。图中ab为粗糙的水平面，长度为L；bc为一光滑斜面，斜面和水平面通过与ab和bc均相切的长度可忽略的光滑圆弧连接。现有一质量为m的木块以大小为v0的水平初速度从a点向左运动，在斜面上上升的最大高度为h，返回后恰好到达a点且与物体P相对静止，重力加速度为g，则( )
A．木块与粗糙水平面ab的动摩擦因数为
B．木块最后到达a时的速度为0
C．木块最后到达a时的速度为
D．整个过程产生的热量为2mgh
ACD [先分析木块从a点到最高点的过程，水平方向根据动量守恒定律有mv0＝3mv，解得v＝v0，根据能量守恒定律有μmgL＋mgh＝－mv2①，同理，最后到达a点时的速度也是v＝v0，整个过程能量守恒，有2μmgL＝mv2②，联立①②式得μmgL＝mgh，得μ＝，整个过程产生的热量Q＝2μmgL＝2mgh。综上所述，A、C、D正确，B错误。]
8．(2024·1月九省联考广西卷)在图示装置中，固定斜面高h＝0.9 m，倾角α＝37°，形状相同的刚性小球A、B质量分别为100 g和20 g，轻弹簧P的劲度系数k＝270 N/m，用A球将弹簧压缩Δl＝10 cm后无初速度释放，A球沿光滑表面冲上斜面顶端与B球发生对心弹性碰撞，设碰撞时间极短，弹簧弹性势能Ep＝k(Δl)2，重力加速度的大小取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6。
(1)求碰撞前瞬间A球的速度大小；
(2)求B球飞离斜面时的速度大小；
(3)将装置置于竖直墙面左侧，仍取Δl＝10 cm，再次弹射使B球与墙面碰撞，碰撞前后瞬间，速度平行于墙面方向的分量不变，垂直于墙面方向的分量大小不变、方向相反，不计空气阻力，为使B球能落回到斜面上，求装置到墙面距离x的最大值。
[解析] (1)设A球与B球碰撞前瞬间的速度大小为vA，由能量守恒定律得Ep＝
其中Ep＝k(Δl)2＝×270×0.12 J＝1.35 J
代入数据解得，碰撞前瞬间A球的速度大小为
vA＝3 m/s。
(2)A球与B球发生对心弹性碰撞，则碰撞过程中由动量守恒定律得
mAvA＝mAv′A＋mBv′B
由机械能守恒定律得＝
联立解得，B球飞离斜面时的速度大小为
v′B＝vA＝5 m/s。
(3)仍取Δl＝10 cm，则B球飞离斜面时的速度仍为v′B＝5 m/s。设B球运动的总时间为t，由对称性可知，若B球刚好能落回到斜面，则
水平方向有2x＝v′B cos 37°·t
竖直方向有y＝v′B sin 37°·t－gt2＝0
联立解得t＝0.6 s，x＝1.2 m。
[答案] (1)3 m/s (2)5 m/s (3)1.2 m
9．(2023·广东卷)如图所示为某药品自动传送系统的示意图。该系统由水平传送带、竖直螺旋滑槽和与滑槽平滑连接的平台组成，滑槽高为3L，平台高为L。药品盒A、B依次被轻放在以v0的速度匀速运动的传送带上，在与传送带达到共速后，从M点进入滑槽，A刚好滑到平台最右端N点停下，随后滑下的B以2v0的速度与A发生正碰，碰撞时间极短，碰撞后A、B恰好落在桌面上圆盘直径的两端。已知A、B的质量分别为m和2m，碰撞过程中损失的能量为碰撞前瞬间总动能的。A与传送带间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，A、B在滑至N点之前不发生碰撞，忽略空气阻力和圆盘的高度，将药品盒视为质点。求：
(1)A在传送带上由静止加速到与传送带共速所用的时间t；
(2)B从M点滑至N点的过程中克服阻力做的功W；
(3)圆盘的圆心到平台右端N点的水平距离s。
[解析] (1)A在传送带上运动时的加速度
a＝μg
由静止加速到与传送带共速所用的时间
t＝＝。
(2)B从M点滑至N点的过程中克服阻力做的功W＝＋2mg·3L－·2m·(2v0)2＝。
(3)设A、B碰撞后的速度分别为v1、v2，对A、B碰撞过程由动量守恒定律和能量关系可知2m·2v0＝＝·2m·(2v0)2
解得v1＝2v0，v2＝v0
(另一组v1＝v0，v2＝v0舍掉)
A、B平抛运动的时间t1＝
则s－r＝v2t1，s＋r＝v1t1，解得s＝。
[答案] (1) (3)
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