1.4.2 充分、必要及充要条件的应用 (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
[课时目标]
1．本节重点关注判定充分必要条件问题，或利用已知关系探求参数的取值范围问题．
2．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明，解题关键是分清命题的条件与结论，分清充分性和必要性这两个问题．
题型(一) 充分、必要条件的探求
[例1] 使“x≤－或x≥3”成立的一个充分不必要条件是( )
A．x＜0 B．x≥0
C．x∈{－1, 3, 5} D．x≤－或x≥3
听课记录：
[例2] 设a，b∈R，则“ab＋1＝a＋b”的充要条件是( )
A．a，b都为1 B．a，b都不为1
C．a，b中至少有一个为1 D．a，b都不为0
听课记录：
|思|维|建|模|
1．探求充分、必要条件的方法
(1)寻求q的充分条件p，即求使q成立的条件p，从集合的角度看，是找q的子集；
(2)寻求q的必要条件p，即求以q为条件可推出的结论p，从集合的角度看，是找能包含q的集合．
2．探求充要条件的方法
(1)先由结论寻找使之成立的条件，再由条件来推证结论成立，即保证必要性和充分性都成立．
(2)变换命题为其等价命题，使每一步都可逆，直接得到使结论成立的充要条件．
[针对训练]
1．“a<0，b<0”的一个必要条件为( )
A．a＋b<0 B．a＋b>0
C.>1 D.<－1
2．(多选)使0＜x＜3成立的一个充分条件是( )
A．2＜x≤3 B．0≤x＜1
C．0＜x≤2 D．1＜x＜2
题型(二) 利用充分条件、必要条件求参数
设A，B为两个集合．A B是指x∈A x∈B，这就是说，“x∈A”是“x∈B”的充分条件，“x∈B”是“x∈A”的必要条件；若A B且A B，即A＝B，则“x∈A”是“x∈B”的充要条件；若AB且A B，则“x∈A”既不是“x∈B”的充分条件，也不是“x∈B”的必要条件，即“x∈A”是“x∈B”的既不充分也不必要条件.
[例3] 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
听课记录：
[变式拓展]
1．若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围．
2．若本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
|思|维|建|模| 求参数值(范围)的一般步骤
化简 化简集合，明确题干中的充分条件和必要条件
转化 根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合间的关系问题
列式 利用集合间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组．注意等号成立的条件
获解 解不等式，得参数范围
[针对训练]
3．已知P＝{x|a－4
题型(三) 充要条件的证明
[例4] 求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.
听课记录：
|思|维|建|模| 充要条件证明的两个思路
直接法 证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p q是证明充分性，推证q p是证明必要性
集合 思想 记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件.
[针对训练]
4．求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.
1.4.2 充分、必要及充要条件的应用
[题型(一)]
[例1] 选C 对于A，x<0不能推出x≥3或x≤－，反之也不能，是其既不充分也不必要条件；
对于B，x≥0不能推出x≥3或x≤－，反之也不能，是其既不充分也不必要条件；
对于C，x∈{－1,3,5}可以推出x≥3或x≤－，反之不能，是其充分不必要条件；
对于D，x≤－或x≥3，是其充要条件．
[例2] 选C 由ab＋1＝a＋b，可得(a－1)·(b－1)＝0，解得a＝1或b＝1，
故“ab＋1＝a＋b”的充要条件是“a，b中至少有一个为1”．故选C.
[针对训练]
1．选A 对于A，因为a<0，b<0，所以a＋b<0，即a＋b<0是“a<0，b<0”的必要条件，A正确；对于B，当a<0，b<0时，a＋b>0不可能成立，B不正确；对于C，当a<0，b<0时，>1不一定成立，如a＝－1，b＝－2满足条件，而<1，C不正确；对于D，当a<0，b<0时，必有>0成立，即不能推出<－1，D不正确．故选A.
2．选CD 从集合观点看，求0＜x＜3成立的一个充分条件，就是从A、B、C、D中选出集合{x|0＜x＜3}的子集．由于{x|0＜x≤2} {x|0＜x＜3}，{x|1＜x＜2} {x|0＜x＜3}，故选CD.
[题型(二)]
[例3] 解：设p代表的集合为A＝{x|－2≤x≤10}，q代表的集合为B＝{x|1－m≤x≤1＋m}，
因为p是q的必要不充分条件，所以B?A，
故有或
解得m≤3.又m>0，所以实数m的取值范围为{m|0[变式拓展]
1．解：设p代表的集合为A，q代表的集合为B，
因为p是q的充分不必要条件，所以A?B.
所以或解得m≥9，即实数m的取值范围是{m|m≥9}．
2．解：若p是q的充要条件，
则此方程组无解，
故不存在实数m，
使得p是q的充要条件．
[针对训练]
3．解：因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q P.
所以即
所以－1≤a≤5.
故实数a的取值范围为{a|－1≤a≤5}．
[题型(三)]
[例4] 证明：充分性：(由ac＜0推证方程有一正根和一负根)
因为ac＜0，所以一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac＞0，所以方程一定有两个不等实根．
设两根为x1，x2，则x1x2＝＜0，
所以方程的两根异号．
即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．
必要性：(由方程有一正根和一负根推证ac＜0)
因为方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，设为x1，x2，则由根与系数的关系得x1x2＝＜0，即ac＜0.
综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.
[针对训练]
4．证明：①充分性：如果b＝0，那么y＝kx(k≠0)，
当x＝0时，y＝0，函数图象过原点．
②必要性：因为y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点，所以当x＝0时，y＝0，得0＝k·0＋b，所以b＝0.
综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.(共44张PPT)
充分、必要及充要条件的应用
(教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
1.4.2
课时目标
1．本节重点关注判定充分必要条件问题，或利用已知关系探求参数的取值范围问题．
2．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明，解题关键是分清命题的条件与结论，分清充分性和必要性这两个问题．
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一) 充分、必要条件的探求
题型(二) 利用充分条件、
必要条件求参数
题型(三) 充要条件的证明
4
课时跟踪检测
题型(一) 充分、必要条件的探求
√
[例2] 设a，b∈R，则“ab＋1＝a＋b”的充要条件是( )
A．a，b都为1 B．a，b都不为1
C．a，b中至少有一个为1 D．a，b都不为0
解析：由ab＋1＝a＋b，可得(a－1)·(b－1)＝0，解得a＝1或b＝1，故“ab＋1＝a＋b”的充要条件是“a，b中至少有一个为1”．故选C.
√
|思|维|建|模|
1．探求充分、必要条件的方法
(1)寻求q的充分条件p，即求使q成立的条件p，从集合的角度看，是找q的子集；
(2)寻求q的必要条件p，即求以q为条件可推出的结论p，从集合的角度看，是找能包含q的集合．
2．探求充要条件的方法
(1)先由结论寻找使之成立的条件，再由条件来推证结论成立，即保证必要性和充分性都成立．
(2)变换命题为其等价命题，使每一步都可逆，直接得到使结论成立的充要条件．
√
针对训练
2．(多选)使0＜x＜3成立的一个充分条件是( )
A．2＜x≤3 B．0≤x＜1
C．0＜x≤2 D．1＜x＜2
解析：从集合观点看，求0＜x＜3成立的一个充分条件，就是从A、B、C、D中选出集合{x|0＜x＜3}的子集．由于{x|0＜x≤2} {x|0＜x＜3}，{x|1＜x＜2} {x|0＜x＜3}，故选CD.
√
√
题型(二) 利用充分条件、必要条件求参数
设A，B为两个集合.A B是指x∈A x∈B，这就是说，“x∈A”是“x∈B”的充分条件，“x∈B”是“x∈A”的必要条件；若A B且A B，即A＝B，则“x∈A”是“x∈B”的充要条件；若A B且A B，则“x∈A”既不是“x∈B”的充分条件，也不是“x∈B”的必要条件，即“x∈A”是“x∈B”的既不充分也不必要条件.
[例3] 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
[变式拓展]
1．若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围．
2．若本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
|思|维|建|模| 求参数值(范围)的一般步骤
化简 化简集合，明确题干中的充分条件和必要条件
转化 根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合间的关系问题
列式 利用集合间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组．注意等号成立的条件
获解 解不等式，得参数范围
3．已知P＝{x|a－4针对训练
[例4] 求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0
有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.
证明：充分性：(由ac＜0推证方程有一正根和一负根)
因为ac＜0，
所以一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac＞0，
所以方程一定有两个不等实根．
题型(三) 充要条件的证明
|思|维|建|模| 充要条件证明的两个思路
直接法 证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p q是证明充分性，推证q p是证明必要性
集合 思想 记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件.
4．求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.
证明：①充分性：如果b＝0，那么y＝kx(k≠0)，
当x＝0时，y＝0，函数图象过原点．
②必要性：因为y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点，
所以当x＝0时，y＝0，得0＝k·0＋b，所以b＝0.
综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.
针对训练
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A级——达标评价
1．使“|x|>1”成立的一个充分不必要条件是( )
A．x>1 B．x<1
C．－1－1
解析：设M＝{x||x|>1}，解得M＝{x|x>1或x<－1}，使“|x|>1”成立的充分不必要条件只需要为集合M的真子集，由选项可知A符合．
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2．已知a，b∈R，则“a>b”的一个必要条件是( )
A．|a|>|b| B．a2>b2
C．a>b＋1 D．a>b－1
解析：由a>b可得a>b－1，故“a>b－1”是“a>b”的必要条件，由a>b不能得到|a|>|b|，a2>b2，a>b＋1，比如a＝－1，b＝－2.
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3．已知p：1≤x＜4，q：x＜m，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围为( )
A．{m|m＞4} B．{m|m＜4}
C．{m|m≤4} D．{m|m≥4}
解析：令A＝{x|1≤x＜4}，B＝{x|x＜m}，因为p是q的充分条件，所以p q，即A B，所以m≥4.故选D.
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5．已知p：4x－m<0，q：1≤3－x≤4，若p是q的一个必要不充分条件，则实数m的取值范围为( )
A．{m|m≥8} B．{m|m>8}
C．{m|m>－4} D．{m|m≥－4}
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6．已知命题p：4－x≤6，q：x≥a－1，若p是q的充要条件，则实数a＝_______.
解析：由题意得p：x≥－2，q：x≥a－1，因为p是q的充要条件，所以a－1＝－2，即a＝－1.
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7．已知集合A＝{x|a－2＜x＜a＋2}，B＝{x|x≤－2或x≥4}，则A∩B＝ 的充要条件是_________．
0≤a≤2
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8．若“x≤－2”是“x{a|a≤－2}
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9．(8分)若集合A＝{x|x>－2}，B＝{x|x≤b，b∈R}，试写出：
(1)A∪B＝R的充要条件；
解：若A∪B＝R，则b≥－2，故A∪B＝R的充要条件是b≥－2.
(2)A∪B＝R的一个必要不充分条件；
解：由(1)知A∪B＝R的充要条件是b≥－2，
所以A∪B＝R的一个必要不充分条件可以是b≥－3.
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(3)A∪B＝R的一个充分不必要条件．
解：由(1)知A∪B＝R的充要条件是b≥－2，
所以A∪B＝R的一个充分不必要条件可以是b≥－1.
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B级——重点培优
11．设集合U＝{(x, y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x, y)|2x－y＋m＞0}，B＝{(x, y)|x＋y－n＞0}，那么点P(2, 3)∈(A∩B)的充要条件是( )
A．m＞－1，n＜5 B．m＜－1，n＜5
C．m＞－1，n＞5 D．m＜－1，n＞5
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12．集合A＝{x|－1A．{b|－2≤b<0} B．{b|0C．{b|－2解析：因为B＝{x|－a16
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13．设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝______.
解析：由判别式Δ＝16－4n≥0，n∈N*，得1≤n≤4. 逐个分析，当n＝1, 2时，方程没有整数解；而当n＝3时，方程有正整数解1,3；当n＝4时，方程有正整数解2.
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14．已知2a－b＝3，写出使得“m>－a2＋b＋1对任意的实数a，b恒成立”的一个充分不必要条件为__________________________________．
(用含m的式子表示)
16
m＝1(答案不唯一，满足m＞－1均可)
解析：2a－b＝3，则b＝2a－3，所以－a2＋b＋1＝－a2＋2a－3＋1＝－a2＋2a－2＝－(a－1)2－1，所以a＝1时，－a2＋b＋1取得最大值为－1，因此m>－a2＋b＋1对任意的实数a，b恒成立的充要条件是m>－1，在此范围内任取一数均可．
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(2)若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
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16．(10分)记关于x的方程|x2＋ax＋b|＝2的解集为M，其中a，b∈R.
(1)求M恰有3个元素的充要条件；
解：(1)因为原方程等价于x2＋ax＋b＝2或x2＋ax＋b＝－2，
所以x2＋ax＋b－2＝0或x2＋ax＋b＋2＝0，
由于Δ1＝a2－4b＋8>a2－4b－8＝Δ2，
所以当Δ2＝0时，M恰有3个元素，即a2－4b＝8，
故M恰有3个元素的充要条件为a2－4b＝8.
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(2)在(1)的条件下，试求：以M中的元素为边长的三角形恰好为直角三角形的充要条件．
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充分性：若a＝－16，b＝62，
可解得M＝{6,8,10}，以6,8,10为边长的三角形恰为直角三角形．
所以以M中的元素为边长的三角形恰好为直角三角形的充要条件是a＝－16，b＝62.课时跟踪检测(七) 充分、必要及充要条件的应用
(满分100分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1．使“|x|>1”成立的一个充分不必要条件是( )
A．x>1 B．x<1
C．－1－1
2．已知a，b∈R，则“a>b”的一个必要条件是( )
A．|a|>|b| B．a2>b2
C．a>b＋1 D．a>b－1
3．已知p：1≤x＜4，q：x＜m，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围为( )
A．{m|m＞4} B．{m|m＜4}
C．{m|m≤4} D．{m|m≥4}
4．已知不等式m－1A. B.
C. D.
5．已知p：4x－m<0，q：1≤3－x≤4，若p是q的一个必要不充分条件，则实数m的取值范围为( )
A．{m|m≥8} B．{m|m>8}
C．{m|m>－4} D．{m|m≥－4}
6．已知命题p：4－x≤6，q：x≥a－1，若p是q的充要条件，则实数a＝_________.
7．已知集合A＝{x|a－2＜x＜a＋2}，B＝{x|x≤－2或x≥4}，则A∩B＝ 的充要条件是________．
8．若“x≤－2”是“x9．(8分)若集合A＝{x|x>－2}，B＝{x|x≤b，b∈R}，试写出：
(1)A∪B＝R的充要条件；
(2)A∪B＝R的一个必要不充分条件；
(3)A∪B＝R的一个充分不必要条件．
10．(8分)已知x，y都是非零实数，且x>y，
求证：<的充要条件是xy>0.
B级——重点培优
11．设集合U＝{(x, y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x, y)|2x－y＋m＞0}，B＝{(x, y)|x＋y－n＞0}，那么点P(2, 3)∈(A∩B)的充要条件是( )
A．m＞－1，n＜5 B．m＜－1，n＜5
C．m＞－1，n＞5 D．m＜－1，n＞5
12．集合A＝{x|－1A．{b|－2≤b<0} B．{b|0C．{b|－213．设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.
14．已知2a－b＝3，写出使得“m>－a2＋b＋1对任意的实数a，b恒成立”的一个充分不必要条件为________．(用含m的式子表示)
15．(10分)已知全集U＝R，集合A＝，
B＝{x|a－1(1)当a＝2时，求( UA)∩( UB)；
(2)若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
16．(10分)记关于x的方程|x2＋ax＋b|＝2的解集为M，其中a，b∈R.
(1)求M恰有3个元素的充要条件；
(2)在(1)的条件下，试求：以M中的元素为边长的三角形恰好为直角三角形的充要条件．
课时跟踪检测(七)
1．选A 设M＝{x||x|>1}，解得M＝{x|x>1或x<－1}，使“|x|>1”成立的充分不必要条件只需要为集合M的真子集，由选项可知A符合．
2．选D 由a>b可得a>b－1，故“a>b－1”是“a>b”的必要条件，由a>b不能得到|a|>|b|，a2>b2，a>b＋1，比如a＝－1，b＝－2.
3．选D 令A＝{x|1≤x＜4}，B＝{x|x＜m}，因为p是q的充分条件，所以p q，即A B，所以m≥4.故选D.
4．选D 由题意得 {x|m－15．选B 由4x－m<0，得x<；由1≤3－x≤4，得－1≤x≤2. ∵p是q的一个必要不充分条件，∴>2，∴m>8.
6．解析：由题意得p：x≥－2，q：x≥a－1，因为p是q的充要条件，所以a－1＝－2，即a＝－1.
答案：－1
7．解析：A∩B＝ 解得0≤a≤2.
答案：0≤a≤2
8．解析：因为“x≤－2”是“x答案：{a|a≤－2}
9．解：(1)若A∪B＝R，则b≥－2，故A∪B＝R的充要条件是b≥－2.
(2)由(1)知A∪B＝R的充要条件是b≥－2，
所以A∪B＝R的一个必要不充分条件可以是b≥－3.
(3)由(1)知A∪B＝R的充要条件是b≥－2，
所以A∪B＝R的一个充分不必要条件可以是b≥－1.
10．证明：①必要性：由<，得－<0，即<0，又由x>y，得y－x<0，所以xy>0.
②充分性：由xy>0及x>y，得>，即<.综上所述，<的充要条件是xy>0.
11．选A ∵P(2,3)∈(A∩B)，
∴满足即
12．选C 因为B＝{x|－a13．解析：由判别式Δ＝16－4n≥0，n∈N*，得1≤n≤4. 逐个分析，当n＝1, 2时，方程没有整数解；而当n＝3时，方程有正整数解1,3；当n＝4时，方程有正整数解2.
答案：3或4
14．解析：2a－b＝3，则b＝2a－3，所以－a2＋b＋1＝－a2＋2a－3＋1＝－a2＋2a－2＝－(a－1)2－1，所以a＝1时，－a2＋b＋1取得最大值为－1，因此m>－a2＋b＋1对任意的实数a，b恒成立的充要条件是m>－1，在此范围内任取一数均可．
答案：m＝1(答案不唯一，满足m＞－1均可)
15．解：(1)因为A＝＝{x|2因为全集U＝R，则 UA＝{x|x≤2或x>5}， UB＝{x|x≤1或x≥3}，
因此，( UA)∩( UB)＝{x|x≤1或x>5}．
(2)易知集合B＝{x|a－1因为x∈A是x∈B的必要不充分条件，则B?A，所以解得3≤a≤4.
因此，实数a的取值范围是{a|3≤a≤4}．
16．解：(1)因为原方程等价于x2＋ax＋b＝2或x2＋ax＋b＝－2，所以x2＋ax＋b－2＝0或x2＋ax＋b＋2＝0，
由于Δ1＝a2－4b＋8>a2－4b－8＝Δ2，
所以当Δ2＝0时，M恰有3个元素，即a2－4b＝8，故M恰有3个元素的充要条件为a2－4b＝8.
(2)必要性：由(1)知，两个方程x2＋ax＋－4＝0或x2＋ax＋＝0，两个方程的三个根分别为－－2，－＋2，－，
若它们是直角三角形的三边，
则2＋2＝2，
解得a＝－16，b＝62.
充分性：若a＝－16，b＝62，可解得M＝{6,8,10}，以6,8,10为边长的三角形恰为直角三角形．所以以M中的元素为边长的三角形恰好为直角三角形的充要条件是a＝－16，b＝62.