1.5.2 全称量词与存在量词的综合问题 (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
[课时目标]
1．能够根据数学实例，正确理解含有一个量词的命题与它们的否定在真假上的关系，能正确地判断含有一个量词的命题的真假．
2．能根据全称量词命题或存在量词命题的真假求参数的值或范围．
题型(一) 全称量词命题与存在量词命题的真假判断
[例1] 指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假．
(1) x∈N, 2x＋1是奇数；
(2)存在一个x∈R，使＝0；
(3)对任意实数a，|a|＞0；
(4)有一个角α，使sin α＝.
听课记录：
|思|维|建|模|
全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法
(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x证明p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x，使得p(x)不成立即可，这就是通常所说的“举出一个反例”．
(2)要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x使p(x)成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题．
[针对训练]
1．(多选)下列命题正确的是( )
A． x∈R，x2＋2>0 B． x∈N，x4≥1
C． x∈Z，x3<1 D． x∈Q，x2＝3
2．对下列含有量词的命题作否定，并判断其真假．
(1)p： x∈ RQ，x2∈Q；
(2)p：所有能被2整除的数都是偶数；
(3)p：存在x∈R，使得2x≤0；
(4)p： x∈N*，∈N.
题型(二) 全称量词命题与存在量词命题的应用
题点1 由全称量词命题的真假求参数
[例2] 若命题“ 1≤x≤2，ax＋1>0”是真命题，则a的取值范围是( )
A. B.
C．{a|a>－1} D．{a|a≥－1}
听课记录：
|思|维|建|模|
对于全称量词命题“ x∈M，a>y(或aymax(或a题点2 由存在量词命题的真假求参数
[例3] 命题“存在x>1，使得2x＋a<3”是假命题，求实数a的取值范围．
听课记录：
[变式拓展]
若把本例中的“假命题”改为“真命题”，求实数a的取值范围．
|思|维|建|模|
对于存在量词命题“ x∈M，a>y(或aymin(或a[针对训练]
3．已知命题p： 1≤x≤3，都有m≥x，命题q： 1≤x≤3，使m≥x，若命题p为真命题，綈p为假命题，求实数m的取值范围．
1.5.2 全称量词与存在量词的综合问题
[题型(一)]
[例1] 解：(1)是全称量词命题．因为 x∈N,2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题．
(2)是存在量词命题．因为不存在x∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题．
(3)是全称量词命题．因为|0|＝0，所以|a|＞0不都成立，因此，该命题是假命题．
(4)是存在量词命题．因为当α＝30°时，sin α＝，所以该命题是真命题．
[针对训练]
1．选AC 对于A，由于 x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0. 所以命题“ x∈R，x2＋2>0”是真命题；对于B，由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立．所以命题“ x∈N，x4≥1”是假命题；对于C，由于－1∈Z，当x＝－1时，x3<1成立．所以命题“ x∈Z，x3<1”是真命题；对于D，由于使x2＝3成立的数只有±，±都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方等于3，所以命题“ x∈Q，x2＝3”是假命题．
2．解：(1)綈p： x∈ RQ，x2 Q，当x＝∈ RQ，则x2＝2∈Q，所以綈p为假命题．
(2)綈p：存在能被2整除的数不是偶数，因为所有能被2整除的数都是偶数为真命题，所以綈p为假命题．
(3)綈p：对于任意的x∈R，都有2x>0，因为2x>0，所以綈p为真命题．
(4)綈p： x∈N*， N，因为＝3－，且x∈N*，所以x＋1≥2，所以0<≤，所以3－ N，即 N，所以綈p为真命题．
[题型(二)]
[例2] 选A 因为 1≤x≤2，ax＋1>0，所以解得a>－.
[例3] 解：命题“存在x>1，使得2x＋a<3”是假命题，所以此命题的否定“任意x>1，使得2x＋a≥3”是真命题，因为对任意x>1，都有2x＋a>2＋a，所以2＋a≥3，所以a≥1.故a的取值范围是{a|a≥1}．
[变式拓展]
解：由题意知“存在x>1，使得x<”是真命题，故有>1，解得a<1.故a的取值范围是{a|a＜1}．
[针对训练]
3．解：由题意知命题p，q都是真命题．由 1≤x≤3，都有m≥x都成立，只需m大于或等于x的最大值，即m≥3.由 1≤x≤3，使m≥x成立，只需m大于或等于x的最小值，即m≥1.因为两者同时成立，故实数m的取值范围为{m|m≥3}∩{m|m≥1}＝{m|m≥3}．(共44张PPT)
全称量词与存在量词的综合问题
(教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
1.5.2
课时目标
1．能够根据数学实例，正确理解含有一个量词的命题与它们的否定在真假上的关系，能正确地判断含有一个量词的命题的真假．
2．能根据全称量词命题或存在量词命题的真假求参数的值或范围．
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一) 全称量词命题与存在量词
命题的真假判断
题型(二) 全称量词命题与存在量词
命题的应用
课时跟踪检测
[例1] 指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假．
(1) x∈N, 2x＋1是奇数；
解：(1)是全称量词命题．因为 x∈N,2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题．
题型(一) 全称量词命题与存在量词命题的真假判断
(3)对任意实数a，|a|＞0；
解：是全称量词命题．因为|0|＝0，所以|a|＞0不都成立，因此，该命题是假命题．
|思|维|建|模|
全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法
(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x证明p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x，使得p(x)不成立即可，这就是通常所说的“举出一个反例”．
(2)要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x使p(x)成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题．
1．(多选)下列命题正确的是( )
A． x∈R，x2＋2>0 B． x∈N，x4≥1
C． x∈Z，x3<1 D． x∈Q，x2＝3
解析：对于A，由于 x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0. 所以命题“ x∈R，x2＋2>0”是真命题；
√
针对训练
√
2．对下列含有量词的命题作否定，并判断其真假．
(1)p： x∈ RQ，x2∈Q；
(2)p：所有能被2整除的数都是偶数；
解：綈p：存在能被2整除的数不是偶数，因为所有能被2整除的数都是偶数为真命题，所以綈p为假命题．
(3)p：存在x∈R，使得2x≤0；
解：綈p：对于任意的x∈R，都有2x>0，因为2x>0，所以綈p为真命题．
题型(二) 全称量词命题与存在量词命题的应用
√
|思|维|建|模|
对于全称量词命题“ x∈M，a>y(或aymax(或a题点2 由存在量词命题的真假求参数
[例3] 命题“存在x>1，使得2x＋a<3”是假命题，求实数a的取值范围．
解：命题“存在x>1，使得2x＋a<3”是假命题，所以此命题的否定“任意x>1，使得2x＋a≥3”是真命题，因为对任意x>1，都有2x＋a>2＋a，所以2＋a≥3，所以a≥1.故a的取值范围是{a|a≥1}．
[变式拓展]
若把本例中的“假命题”改为“真命题”，求实数a的取值范围．
|思|维|建|模|
对于存在量词命题“ x∈M，a>y(或aymin(或a3．已知命题p： 1≤x≤3，都有m≥x，命题q： 1≤x≤3，使m≥x，若命题p为真命题，綈p为假命题，求实数m的取值范围．
解：由题意知命题p，q都是真命题．由 1≤x≤3，都有m≥x都成立，只需m大于或等于x的最大值，即m≥3.由 1≤x≤3，使m≥x成立，只需m大于或等于x的最小值，即m≥1.因为两者同时成立，故实数m的取值范围为{m|m≥3}∩{m|m≥1}＝{m|m≥3}．
针对训练
课时跟踪检测
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
√
A级——达标评价
1．已知命题p： x∈R，x＋2>x2，命题q： x∈R，x2>0，则( )
A．命题p，q都是真命题
B．命题p是真命题，q是假命题
C．命题p是假命题，q是真命题
D．命题p，q都是假命题
解析：当x＝0时，x＋2＝2，x2＝0，故命题p为真命题，当x＝0时，x2＝0，故命题q为假命题．
16
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
√
16
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析： a，b∈R，a2＋b2<0为全称量词命题，但是a2＋b2≥0，故是假命题，故A错误；是全称量词命题，但是菱形的对角线不一定相等，故B错误；是存在量词命题，故C错误；既是全称量词命题也是真命题，故D正确．
16
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
√
3．能说明全称量词命题“ x∈R，x(x2－3x＋2)＝0”为假命题的例子是( )
A．x＝0 B．x＝1
C．x＝2 D．x＝3
16
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
解析：因为x(x2－3x＋2)＝0，即x(x－2)·(x－1)＝0，解得x＝0或x＝1或x＝2，所以当x≠0且x≠1且x≠2时，均能说明全称量词命题“ x∈R，x(x2－3x＋2)＝0”为假命题，故符合题意的为D.
16
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
√
4．如果命题綈p与綈q至少有一个为真命题，那么( )
A．p，q均为真命题
B．p，q均为假命题
C．p，q中至少有一个为真命题
D．p，q中至多有一个为真命题
16
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
解析：因为命题綈p与綈q至少有一个为真命题，所以綈p与綈q可能恰有一个为真命题或者两个都为真命题．当綈p与綈q恰有一个为真命题时，p，q其中一个是真命题，另一个是假命题；当綈p与綈q都为真命题时，p，q均为假命题，所以p，q中至多有一个为真命题．
16
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
√
16
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
6．命题“已知y＝|x|－1， x∈R都有m≤y”是真命题，则实数m的取值范围是____________．
解析：由已知y＝|x|－1，得y≥－1，要使 x∈R，都有m≤y成立，只需m≤－1.
{m|m≤－1}
16
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
7．能够说明“ x∈N*,2x≥x2”是假命题的一个x值为_____．
解析：∵x∈N*，将x代入1,2,3，…可知，当x＝3时，23<32，∴说明“ x∈N*,2x≥x2”是假命题．
3
16
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
8．能够说明“存在不相等的实数a，b，使得a2－ab＋b＝0”是真命题的一组有序实数对(a，b)为_________________．
(2,4)(答案不唯一)
16
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
9．(8分)写出下列命题的否定，并判断其否定的真假．
(1)p：不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实根；
解：綈p：存在一个实数m，使方程x2＋mx－1＝0没有实数根．
∵该方程的判别式Δ＝m2＋4>0恒成立，
∴綈p为假命题．
16
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
(2)p： x，y∈R，x2＋y2＋2x－4y＋5＝0.
解：綈p： x，y∈R，x2＋y2＋2x－4y＋5≠0.
∵x2＋y2＋2x－4y＋5＝(x＋1)2＋(y－2)2，
当x＝0，y＝0时，x2＋y2＋2x－4y＋5≠0成立，
∴綈p为真命题．
16
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
10．(8分)已知命题“ x∈R，ax2＋2x＋1≠0”为假命题，求实数a的取值范围．
16
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
B级——重点培优
11．下列命题为真命题的是( )
A．对每一个无理数x，x2也是无理数
B．存在一个实数x，使x2＋2x＋4＝0
C．有些整数只有两个正因数
D．所有的素数都是奇数
√
16
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
16
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
√
12．若命题“ x∈R，ax2＋1≥0”为真命题，则实数a的取值范围为( )
A．{a|a＞0} B．{a|a≥0}
C．{a|a≤0} D．{a|a≤1}
解析：依题意命题“ x∈R，ax2＋1≥0”为真命题，当a＝0时，1≥0成立，当a>0时，ax2＋1≥0成立，当a<0时，函数y＝ax2＋1开口向下，ax2＋1≥0不恒成立．综上所述，a≥0.
16
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
√
13．(多选)命题“ －1≤x≤3，x2－m≤0”是真命题的一个充分不必要条件是( )
A．m≥9 B．m≥11
C．m≥10 D．m≤10
解析：因为 －1≤x≤3，x2－m≤0，所以m≥x2，则m≥(x2)max＝9，所以当m≥9时， －1≤x≤3，x2－m≤0恒成立．要求使“ －1≤x≤3，x2－m≤0”是真命题的一个充分不必要条件，则m的值要大于9，故m≥10，m≥11均可．故选BC.
√
16
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
14．某中学开展小组合作学习模式，高一某班某组王小一同学给组内王小二同学出题如下：若命题“ x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求m的取值范围．王小二略加思索，反手给了王小一一道题：若命题“ x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，求m的取值范围．你认为，两位同学题中m的取值范围是否一致？_____.(填“是”“否”中的一个)
是
16
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
解析：因为命题“ x∈R，x2＋2x＋m≤0”的否定是“ x∈R，x2＋2x＋m>0”，而命题“ x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，则其否定“ x∈R，x2＋2x＋m>0”为真命题，所以两位同学题中m的取值范围是一致的．
16
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
15．(10分)已知集合A＝{x|－3≤x≤10}，B＝{x|2m＋1≤x≤3m－2}，且B≠ .
(1)若命题p：“ x∈B，x∈A”是真命题，求实数m的取值范围；
16
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
(2)若命题q：“ x∈A，x∈B”是真命题，求实数m的取值范围．
16
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
16
16．(10分)已知命题p： x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≥0，命题q： x∈R，x2＋2ax＋4＝0，若命题綈p和命题q都是真命题，求实数a的取值范围.
解：若命题p： x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≥0为真命题，
则a≤x2在x∈{x|1≤x≤2}时恒成立，
∴a≤1.若命题q： x∈R，x2＋2ax＋4＝0为真命题，
则Δ＝(2a)2－16≥0，解得a≤－2或a≥2.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
16课时跟踪检测(九) 全称量词与存在量词的综合问题
(满分100分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1．已知命题p： x∈R，x＋2>x2，命题q： x∈R，x2>0，则( )
A．命题p，q都是真命题
B．命题p是真命题，q是假命题
C．命题p是假命题，q是真命题
D．命题p，q都是假命题
2．下列命题中，是全称量词命题，且为真命题的是( )
A． a，b∈R，a2＋b2<0
B．菱形的两条对角线相等
C． x0∈R, ＝x0
D．一次函数的图象是直线
3．能说明全称量词命题“ x∈R，x(x2－3x＋2)＝0”为假命题的例子是( )
A．x＝0 B．x＝1
C．x＝2 D．x＝3
4．如果命题綈p与綈q至少有一个为真命题，那么( )
A．p，q均为真命题
B．p，q均为假命题
C．p，q中至少有一个为真命题
D．p，q中至多有一个为真命题
5．已知命题p：“ x∈R，使得x2－2x＋m＝0成立”是真命题，则实数m的取值范围是( )
A．{m|m<3} B．{m|m>3}
C．{m|m≤3} D．{m|m≥3}
6．命题“已知y＝|x|－1， x∈R都有m≤y”是真命题，则实数m的取值范围是________．
7．能够说明“ x∈N*,2x≥x2”是假命题的一个x值为________．
8．能够说明“存在不相等的实数a，b，使得a2－ab＋b＝0”是真命题的一组有序实数对(a，b)为________．
9．(8分)写出下列命题的否定，并判断其否定的真假．
(1)p：不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实根；
(2)p： x，y∈R，x2＋y2＋2x－4y＋5＝0.
10．(8分)已知命题“ x∈R，ax2＋2x＋1≠0”为假命题，求实数a的取值范围．
B级——重点培优
11．下列命题为真命题的是( )
A．对每一个无理数x，x2也是无理数
B．存在一个实数x，使x2＋2x＋4＝0
C．有些整数只有两个正因数
D．所有的素数都是奇数
12．若命题“ x∈R，ax2＋1≥0”为真命题，则实数a的取值范围为( )
A．{a|a＞0} B．{a|a≥0}
C．{a|a≤0} D．{a|a≤1}
13．(多选)命题“ －1≤x≤3，x2－m≤0”是真命题的一个充分不必要条件是( )
A．m≥9 B．m≥11
C．m≥10 D．m≤10
14．某中学开展小组合作学习模式，高一某班某组王小一同学给组内王小二同学出题如下：若命题“ x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求m的取值范围．王小二略加思索，反手给了王小一一道题：若命题“ x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，求m的取值范围．你认为，两位同学题中m的取值范围是否一致？________.(填“是”“否”中的一个)
15．(10分)已知集合A＝{x|－3≤x≤10}，B＝{x|2m＋1≤x≤3m－2}，且B≠ .
(1)若命题p：“ x∈B，x∈A”是真命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题q：“ x∈A，x∈B”是真命题，求实数m的取值范围．
16．(10分)已知命题p： x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≥0，命题q： x∈R，x2＋2ax＋4＝0，若命题綈p和命题q都是真命题，求实数a的取值范围.
课时跟踪检测(九)
1．选B 当x＝0时，x＋2＝2，x2＝0，故命题p为真命题，当x＝0时，x2＝0，故命题q为假命题．
2．选D a，b∈R，a2＋b2<0为全称量词命题，但是a2＋b2≥0，故是假命题，故A错误；是全称量词命题，但是菱形的对角线不一定相等，故B错误；是存在量词命题，故C错误；既是全称量词命题也是真命题，故D正确．
3．选D 因为x(x2－3x＋2)＝0，即x(x－2)·(x－1)＝0，解得x＝0或x＝1或x＝2，所以当x≠0且x≠1且x≠2时，均能说明全称量词命题“ x∈R，x(x2－3x＋2)＝0”为假命题，故符合题意的为D.
4．选D 因为命题綈p与綈q至少有一个为真命题，所以綈p与綈q可能恰有一个为真命题或者两个都为真命题．当綈p与綈q恰有一个为真命题时，p，q其中一个是真命题，另一个是假命题；当綈p与綈q都为真命题时，p，q均为假命题，所以p，q中至多有一个为真命题．
5．选C x∈R，使得x2－2x＋m＝0成立 Δ＝12－4m≥0，∴m≤3.
6．解析：由已知y＝|x|－1，得y≥－1，要使 x∈R，都有m≤y成立，只需m≤－1.
答案：{m|m≤－1}
7．解析：∵x∈N*，将x代入1,2,3，…可知，当x＝3时，23<32，∴说明“ x∈N*,2x≥x2”是假命题．
答案：3
8．解析：由a2－ab＋b＝0，得ab－b＝a2，即b(a－1)＝a2，则b＝，令a＝2，得b＝4，故有序数对(2,4)能够说明“存在不相等的实数a，b，使得a2－ab＋b＝0”是真命题．
答案：(2,4)(答案不唯一)
9．解：(1)綈p：存在一个实数m，使方程x2＋mx－1＝0没有实数根．
∵该方程的判别式Δ＝m2＋4>0恒成立，
∴綈p为假命题．
(2)綈p： x，y∈R，x2＋y2＋2x－4y＋5≠0.
∵x2＋y2＋2x－4y＋5＝(x＋1)2＋(y－2)2，当x＝0，y＝0时，x2＋y2＋2x－4y＋5≠0成立，∴綈p为真命题．
10．解：题中的命题为全称量词命题，因为其是假命题，所以其否定“ x∈R，ax2＋2x＋1＝0”为真命题，即关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有实数根．
所以a＝0或即a＝0或a≤1且a≠0，所以a≤1.
故实数a的取值范围是{a|a≤1}．
11．选C 若x＝，则x2＝2是有理数，故A错误；因为x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3≥3，所以存在一个实数x，使x2＋2x＋4＝0是假命题，故B错误；因为2＝1×2，所以有些整数只有两个正因数，故C正确；2是素数，但2不是奇数，故D错误．故选C.
12．选B 依题意命题“ x∈R，ax2＋1≥0”为真命题，当a＝0时，1≥0成立，当a>0时，ax2＋1≥0成立，当a<0时，函数y＝ax2＋1开口向下，ax2＋1≥0不恒成立．综上所述，a≥0.
13．选BC 因为 －1≤x≤3，x2－m≤0，所以m≥x2，则m≥(x2)max＝9，所以当m≥9时， －1≤x≤3，x2－m≤0恒成立．要求使“ －1≤x≤3，x2－m≤0”是真命题的一个充分不必要条件，则m的值要大于9，故m≥10，m≥11均可．故选BC.
14．解析：因为命题“ x∈R，x2＋2x＋m≤0”的否定是“ x∈R，x2＋2x＋m>0”，而命题“ x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，则其否定“ x∈R，x2＋2x＋m>0”为真命题，所以两位同学题中m的取值范围是一致的．
答案：是
15．解：(1)由命题p：“ x∈B，x∈A”是真命题，可知B A，又B≠ ，所以解得3≤m≤4.
故m的取值范围是{m|3≤m≤4}．
(2)因为B≠ ，所以2m＋1≤3m－2，得m≥3.
因为命题q：“ x∈A，x∈B”是真命题，所以A∩B≠ ，所以－3≤2m＋1≤10或－3≤3m－2≤10，得－2≤m≤.综上，m的取值范围是.
16．解：若命题p： x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≥0为真命题，则a≤x2在x∈{x|1≤x≤2}时恒成立，∴a≤1.
若命题q： x∈R，x2＋2ax＋4＝0为真命题，
则Δ＝(2a)2－16≥0，解得a≤－2或a≥2.
∵命题綈p和命题q都是真命题，
∴解得a≥2.
故a的取值范围是{a|a≥2}．
