2.1.1 等式性质与不等式性质
第 1 课时 不等关系与不等式—— (教学方式：基本概念课—逐点理清式教学)
[课时目标]
1．在具体问题中建立不等关系，要注意区分“不等关系”“相等关系”与“不等式”等概念．
2．理解实数比较大小的依据，重点掌握作差法比较实数大小．
3．能通过比较大小在实际生活中的应用建立数学建模的意识．
逐点清(一) 用不等式(组)表示不等关系
[多维理解]
1．不等关系与不等式
不等关系 不等关系常用不等式来表示
不等式 用________(>，<，≥，≤，≠)表示不等关系的式子叫做不等式
2．不等式中文字语言与符号语言之间的转换
文字语言 大于、高于、 超过 小于、低于、 少于 大于或等于、至少、不低于 小于或等于、至多、不多于、不超过
符号语言
|微|点|助|解|
(1)不等关系强调的是关系，可用“>”“<”“≠”“≥”“≤”表示．而不等式则是表示两者不等关系的式子，如“a>b”“ab或a＝b”等价于“a不小于b”，即a>b或a＝b中有一个正确，则a≥b正确；不等式a≤b读作“a小于或等于b”，其含义是指“a(2)在用不等式表示实际问题时，一定要注意单位统一．
[微点练明]
1．某厂技术科组织工人参加某项技能测试，某职工参加完测试后对自己的成绩进行了如下估计：理论考试成绩x超过85分，技能操作成绩y不低于90分，答辩面试成绩z高于95分，用不等式组表示为( )
A. B.
C. D.
2．某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案A为一次性投资300万元；方案B为第一年投资80万元，以后每年投资20万元．下列不等式表示“经过n年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”的不等关系是( )
A．80＋20n≥300 B．80＋20n≤300
C．80＋20(n－1)≤300 D．80＋20(n－1)≥300
3．用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不小于96 m2，靠墙的一边长为x m，则用不等式(组)表示其中的不等关系是________．
逐点清(二) 实数(式)的比较大小
[多维理解]
1．文字叙述
(1)如果a－b是正数，那么a____b；
(2)如果a－b等于0，那么a____b；
(3)如果a－b是负数，那么a____b．反过来也对．
2．符号表示
(1)a____b a－b>0；
(2)a____b a－b＝0；
(3)a____b a－b<0.
3．用作差法比较两个数(式)大小的步骤
作差法是比较两个数(式)大小的基本方法，一般步骤：
①作差：对要比较大小的两个实数(或式子)作差；
②变形：对差进行变形，变形的常用方法有配方、因式分解、分母有理化等；
③确定差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号．
④下结论：写出两个数(式)的大小关系．
[微点练明]
1．设M＝2a2＋5a＋4，N＝(a＋1)(a＋3)，则M与N的大小关系为( )
A．M>N B．M＝N
C．M2．若a＝＋，b＝－，c＝＋，则( )
A．a>c>b B．a>b>c
C．c>b>a D．b>c>a
3．已知a，b都是正实数，比较＋与a＋b的大小．
4．设a>b>0，M＝，N＝，比较M，N的大小．
逐点清(三) 重要不等式a2＋b2≥2ab
一般地， a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．变形形式：
(1)ab≤，当且仅当a＝b时，等号成立；
(2)≥2，当且仅当a＝b时，等号成立．
|微|点|助|解|
(1)重要不等式的实质是实数平方的非负性，不等式中a，b的取值既可以是某个具体的数，也可以是一个代数式；
(2)当且仅当的含义：①当a＝b时等号成立，即a＝b a2＋b2＝2ab；②仅当a＝b时等号成立，即a2＋b2＝2ab a＝b.
[典例] 已知a>0，b>0，证明a3＋b3≥ab2＋a2b.
听课记录：
|思|维|建|模|
比较两个数(式)的大小关系，最基本的方法是利用作差法，通过逻辑推理得到差的符号，从而判定两个数(式)的大小关系，也可以由a＋(a＞0)构建重要不等式的形式，通过逻辑推理进行证明．
[针对训练]
已知a>0，求证：a＋≥2.
2.1.1 不等关系与不等式
[逐点清(一)]
[多维理解] 1.不等号 2.> < ≥ ≤
[微点练明]
1．选C x超过85分表示为x>85，y不低于90分表示为y≥90，z高于95分，表示为z>95，故选C.
2．选D 经过n年后，方案B的投入为80＋20(n－1) 万元，则“经过n年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”用不等式表示为80＋20(n－1)≥300.
3．解析：因为矩形菜园靠墙的一边长为x m，而墙长为18 m，所以0答案：
[逐点清(二)]
[多维理解] 1.(1)> (2)＝ (3)<
2．(1)> (2)＝ (3)<
[微点练明]
1．选A 因为M－N＝2a2＋5a＋4－(a＋1)·(a＋3)＝a2＋a＋1＝2＋>0，所以M>N.
2．选A 因为a－c＝－＋＝＝>0，所以a>c.因为c－b＝－＋＝，又(2＋)2－(2)2＝4－9＝－>0，且2＋>0,2>0，所以2＋>2，所以c－b>0，所以c>b.故a>c>b.
3．解：＋－(a＋b)＝＝，因为a>0，b>0，所以a＋b>0，ab>0.当a＝b时，＋－(a＋b)＝0，即＋＝a＋b.当a≠b时，＋－(a＋b)>0，即＋>a＋b.所以＋≥a＋b.
4．解：法一：作差法 M－N＝－＝
＝＝，
因为a>b>0，所以a＋b>0，a－b>0,2ab>0，a2＋b2>0，
所以>0，所以>.所以M>N.
法二：作商法 因为a>b>0，所以>0，>0,2ab>0，所以＝＝＝＝1＋>1，所以>.所以M>N.
[逐点清(三)]
[典例] 证明：a3＋b3－(ab2＋a2b)＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－ab(a＋b)＝(a＋b)(a2－2ab＋b2)．
∵a>0，b>0，且a2＋b2≥2ab，∴a＋b>0，a2＋b2－2ab≥0，∴a3＋b3－(ab2＋a2b)≥0，
故a3＋b3≥ab2＋a2b.
[针对训练]
证明：法一 ∵a>0，∴a＋＝()2＋2≥2·＝2.当且仅当a＝1时，等号成立．
法二 ∵a＋－2＝()2＋2－2＝2≥0，∴a＋≥2.(共52张PPT)
不等关系与不等式
(教学方式：基本概念课—逐点理清式教学)
2.1.1
课时目标
1．在具体问题中建立不等关系，要注意区分“不等关系”“相等关系”与“不等式”等概念．
2．理解实数比较大小的依据，重点掌握作差法比较实数大小．
3．能通过比较大小在实际生活中的应用建立数学建模的意识．
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一) 用不等式(组)表示不等关系
逐点清(二) 实数(式)的比较大小
逐点清(三) 重要不等式a2＋b2≥2ab
4
课时跟踪检测
逐点清(一)
用不等式(组)表示不等关系
01
1．不等关系与不等式
多维理解
不等关系 不等关系常用不等式来表示
不等式 用_______(>，<，≥，≤，≠)表示不等关系的式子叫做不等式
不等号
2．不等式中文字语言与符号语言之间的转换
文字 语言 大于、高于、 超过 小于、低于、 少于 大于或等于、 至少、不低于 小于或等于、至多、不多于、不超过
符号 语言 _____ _____ _____ _____
>
<
≥
≤
|微|点|助|解|
(1)不等关系强调的是关系，可用“>”“<”“≠”“≥”“≤”表示.而不等式则是表示两者不等关系的式子，如“a>b”“a“a≤b”.要特别注意“≥”和“≤”两个符号的含义：不等式a≥b读作“a大于或等于b”，其含义是指“a>b或a＝b”等价于“a不小于b”，即a>b或a＝b中有一个正确，则a≥b正确；不等式a≤b读作“a小于或等于b”，其含义是指“a(2)在用不等式表示实际问题时，一定要注意单位统一．
√
微点练明
解析：x超过85分表示为x>85，y不低于90分表示为y≥90，z高于95分，表示为z>95，故选C．
√
2．某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案A为一次性投资300万元；方案B为第一年投资80万元，以后每年投资20万元．下列不等式表示“经过n年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”的不等关系是( )
A．80＋20n≥300 B．80＋20n≤300
C．80＋20(n－1)≤300 D．80＋20(n－1)≥300
解析：经过n年后，方案B的投入为80＋20(n－1) 万元，则“经过n年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”用不等式表示为80＋20(n－1)≥300．
3．用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不小于96 m2，靠墙的一边长为x m，则用不等式(组)表示其中的不等关系是________________．
逐点清(二)
实数(式)的比较大小
02
1．文字叙述
(1)如果a－b是正数，那么a____b；
(2)如果a－b等于0，那么a ____b；
(3)如果a－b是负数，那么a ____b．反过来也对．
多维理解
>
＝
<
2．符号表示
(1)a ____b a－b>0；
(2)a ____b a－b＝0；
(3)a ____b a－b<0．
>
＝
<
3．用作差法比较两个数(式)大小的步骤
作差法是比较两个数(式)大小的基本方法，一般步骤：
①作差：对要比较大小的两个实数(或式子)作差；
②变形：对差进行变形，变形的常用方法有配方、因式分解、分母有理化等；
③确定差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号．
④下结论：写出两个数(式)的大小关系．
√
1．设M＝2a2＋5a＋4，N＝(a＋1)(a＋3)，则M与N的大小关系为( )
A．M>N B．M＝N
C．M微点练明
√
逐点清(三)
重要不等式a2＋b2≥2ab
03
|微|点|助|解|
(1)重要不等式的实质是实数平方的非负性，不等式中a，b的取值既可以是某个具体的数，也可以是一个代数式；
(2)当且仅当的含义：①当a＝b时等号成立，即a＝b a2＋b2＝2ab；②仅当a＝b时等号成立，即a2＋b2＝2ab a＝b．
[典例] 已知a>0，b>0，证明a3＋b3≥ab2＋a2b．
证明：a3＋b3－(ab2＋a2b)＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－ab(a＋b)＝(a＋b)(a2－2ab＋b2)．
∵a>0，b>0，且a2＋b2≥2ab，∴a＋b>0，a2＋b2－2ab≥0，∴a3＋b3－(ab2＋a2b)≥0，
故a3＋b3≥ab2＋a2b．
针对训练
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1．下面能表示“a与b的和是非正数”的不等式为( )
A．a＋b<0 B．a＋b>0
C．a＋b≤0 D．a＋b≥0
解析：a与b的和是非正数，即a＋b≤0．
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2．铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130 cm，设携带品的外部尺寸长、宽、高分别为a，b，c(单位：cm)，这个规定用数学关系式可表示为( )
A．a＋b＋c>130 B．a＋b＋c<130
C．a＋b＋c≥130 D．a＋b＋c≤130
解析：根据乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130 cm可知，a＋b＋c≤130．
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3．若x∈R，y∈R，则( )
A．x2＋y2>2xy－1 B．x2＋y2＝2xy－1
C．x2＋y2<2xy－1 D．x2＋y2≤2xy－1
解析：由重要不等式x2＋y2≥2xy，得x2＋y2>2xy－1．
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4．(多选)下列关于不等关系的说法正确的是( )
A．某隧道入口竖立着“限高4．5米”的警示牌，是指示司机要安全通过隧道，应使车载货物高度h(单位：米)满足h≤4．5
B．用不等式表示“a与b的差是非负数”为a－b>0
C．不等式x≥2的含义是指x不小于2
D．若a16
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解析：因为“限高4．5米”即为“高度不超过4．5米”，不超过用“≤”表示，故A正确；因为“非负数”即为“不是负数”，所以a－b≥0，故B错误；因为不等式x≥2表示x>2或x＝2，即x不小于2，故C正确；因为不等式a≤b表示a16
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5．设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则( )
A．M>N B．M≥N
C．M解析：因为M－N＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)＝2a2－4a－(a2－2a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2>0恒成立，所以M>N．
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6．完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x人，瓦工y人，则请工人满足的关系式是( )
A．5x＋4y<200 B．5x＋4y≥200
C．5x＋4y＝200 D．5x＋4y≤200
解析：依题意，请工人满足的关系式是50x＋40y≤2 000，即5x＋4y≤200．
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8．某营救小组有48人，需要乘船过河去执行营救任务，现从甲、乙两种型号的船中选择一种．甲型号的船比乙型号的船少5艘．若只选择甲型号的，每艘船载4人，则船不够；每艘船载5人，则有船没有载满．若只选择乙型号的，每艘船载3人，则船不够；每艘船载4人，则有多余的船．甲型号的船有( )
A．9艘 B．10艘
C．11艘 D．12艘
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11．已知x<1，则x2＋2与3x的大小关系为___________．
解析：x2＋2－3x＝(x－1)(x－2)．当x<1时，x－1<0，x－2<0，所以(x－1)(x－2)>0，即x2＋2－3x>0，所以x2＋2>3x．
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x2＋2>3x
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14．某车工计划在15天里加工零件408个，最初三天中，每天加工24个，则以后平均每天至少需加工多少个，才能在规定的时间内超额完成任务？设以后平均每天至少需要加工x个，求解此问题需要构建的不等关系式为______________．
解析：因为该车工3天后的12天里，平均每天需加工x个零件，共加工12x个零件，15天里共加工(3×24＋12x)个零件，则72＋12x>408．
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72＋12x＞408
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15．(10分)某单位计划组织员工参观花博会需租车前往．甲租车公司：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠” .乙租车公司：“你们属团体票，按原价的8折优惠” .这两家租车公司的单人全票价、车型都是一样的，试根据该单位参观的人数，选择一下租车公司．
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16课时跟踪检测(十) 不等关系与不等式
(满分90分，选填小题每题5分)
1．下面能表示“a与b的和是非正数”的不等式为( )
A．a＋b<0 B．a＋b>0
C．a＋b≤0 D．a＋b≥0
2．铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130 cm，设携带品的外部尺寸长、宽、高分别为a，b，c(单位：cm)，这个规定用数学关系式可表示为( )
A．a＋b＋c>130 B．a＋b＋c<130
C．a＋b＋c≥130 D．a＋b＋c≤130
3．若x∈R，y∈R，则( )
A．x2＋y2>2xy－1 B．x2＋y2＝2xy－1
C．x2＋y2<2xy－1 D．x2＋y2≤2xy－1
4．(多选)下列关于不等关系的说法正确的是( )
A．某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌，是指示司机要安全通过隧道，应使车载货物高度h(单位：米)满足h≤4.5
B．用不等式表示“a与b的差是非负数”为a－b>0
C．不等式x≥2的含义是指x不小于2
D．若a5．设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则( )
A．M>N B．M≥N
C．M6．完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x人，瓦工y人，则请工人满足的关系式是( )
A．5x＋4y<200 B．5x＋4y≥200
C．5x＋4y＝200 D．5x＋4y≤200
7．若x>0，y>0，M＝，N＝＋，则M，N的大小关系是( )
A．M＝N B．MC．M≤N D．M>N
8．某营救小组有48人，需要乘船过河去执行营救任务，现从甲、乙两种型号的船中选择一种．甲型号的船比乙型号的船少5艘．若只选择甲型号的，每艘船载4人，则船不够；每艘船载5人，则有船没有载满．若只选择乙型号的，每艘船载3人，则船不够；每艘船载4人，则有多余的船．甲型号的船有( )
A．9艘 B．10艘
C．11艘 D．12艘
9．(多选)下列不等式，其中恒成立的不等式为( )
A．a2＋3>2a(a∈R) B．x2＋y2>xy
C．a2＋b2>2(a－b－1) D．8xy≤4x2＋8y2
10．(多选)19世纪戴德金利用他提出的分割理论，从对有理数集的分割精确地给出了实数的定义，并且该定义作为现代数学实数理论的基础之一，可以推出实数理论中的六大基本定理，那么在证明有理数的不完备性时，经常会用到以下两个式子，已知正有理数p，满足p2<2，q＝p－，则下列说法正确的是( )
A．pq
C．q< D．q>
11．已知x<1，则x2＋2与3x的大小关系为________．
12．某校在冬季长跑活动中，要给获得一、二等奖的学生购买奖品，要求花费总额不得超过200元，已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为20元、10元，一等奖人数与二等奖人数的比值不得高于，且获得一等奖的人数不能小于2.设获得一等奖的学生有x人，获得二等奖的学生有y人，则x，y满足的不等关系为__________________．
13．请根据矩形图表信息，补齐不等式：＋≥________.
14．某车工计划在15天里加工零件408个，最初三天中，每天加工24个，则以后平均每天至少需加工多少个，才能在规定的时间内超额完成任务？设以后平均每天至少需要加工x个，求解此问题需要构建的不等关系式为________．
15．(10分)某单位计划组织员工参观花博会需租车前往．甲租车公司：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”．乙租车公司：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两家租车公司的单人全票价、车型都是一样的，试根据该单位参观的人数，选择一下租车公司．
16．(10分)已知x∈R且x≠－1，比较与1－x的大小．
课时跟踪检测(十)
1．选C a与b的和是非正数，即a＋b≤0.
2．选D 根据乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130 cm可知，a＋b＋c≤130.
3．选A 由重要不等式x2＋y2≥2xy，得x2＋y2>2xy－1.
4．选ACD 因为“限高4.5米”即为“高度不超过4.5米”，不超过用“≤”表示，故A正确；因为“非负数”即为“不是负数”，所以a－b≥0，故B错误；因为不等式x≥2表示x>2或x＝2，即x不小于2，故C正确；因为不等式a≤b表示a5．选A 因为M－N＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)＝2a2－4a－(a2－2a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2>0恒成立，所以M>N.
6．选D 依题意，请工人满足的关系式是50x＋40y≤2 000，即5x＋4y≤200.
7．选B ∵x>0，y>0，∴1＋x＋y>1＋x>0，1＋x＋y>1＋y>0，∴<，<，故M＝＝＋<＋＝N，即M8．选B 设甲船有x艘，则乙船有(x＋5)艘，
由题意可得解得9.6即甲型号的船有10艘．
9．选AD ∵a2＋3－2a＝(a－1)2＋2>0，∴a2＋3>2a，A正确；x2＋y2－xy＝2＋y2≥0，B错误；a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，C错误；4x2＋8y2＝(2x)2＋(2y)2≥2·2x·2y＝8xy，D正确．
10．选AC 因为p－q＝p－p＋＝，而p2<2，p>0，所以<0，即p0，q2－()2＝＝<0，所以q2<()2，即q<，故C正确，D错误．
11．解析：x2＋2－3x＝(x－1)(x－2)．当x<1时，x－1<0，x－2<0，所以(x－1)(x－2)>0，即x2＋2－3x>0，所以x2＋2>3x.
答案：x2＋2>3x
12．解析：由题意得
化简得
答案：
13．解析：由勾股定理知，AB＝＝，AC＝，BC＝，
如题图中的△ABC，根据三角形的两边之和大于第三边，知AB≤AC＋BC，当且仅当A，B，C三点共线时，等号成立，所以＋≥ .
答案：
14．解析：因为该车工3天后的12天里，平均每天需加工x个零件，共加工12x个零件，15天里共加工(3×24＋12x)个零件，则72＋12x>408.
答案：72＋12x＞408
15．解：设该单位员工有n人(n∈N*)，全票价为x(x>0)元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，则y1＝x＋x·(n－1)＝x＋xn，y2＝nx.因为y1－y2＝x＋xn－xn＝x－nx＝x，且已知x>0，所以当n＝5时，y1＝y2；当n>5时，y1y2.因此，当单位去参观的人数为5时，两家租车公司收费相同；多于5人时，选甲租车公司更优惠；少于5人时，选乙租车公司更优惠．
16．解：∵－(1－x)＝＝，当x＝0时，＝0，∴＝1－x；当1＋x<0，即x<－1时，<0，∴<1－x；当1＋x>0且x≠0，即－10时，>0，∴>1－x.综上，当x<－1时，<1－x；当x＝0时，＝1－x；当－10时，>1－x.
