2.1.2 不等式的性质及应用—— (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
[课时目标]
1．通过等式与不等式的差异，掌握等式和不等式的性质，能利用不等式的性质证明简单的不等式．
2．运用不等式的性质分析解决问题时，必须验证是否满足它成立的条件．
1．等式的基本性质
性质 性质内容
1 如果a＝b，那么________
2 如果a＝b，b＝c，那么________
3 如果a＝b，那么a±c＝b±c
4 如果a＝b，那么ac＝bc
5 如果a＝b，c≠0，那么＝
2.不等式的基本性质
性质 别名 性质内容 注意
1 对称性 a>b b____a
2 传递性 a>b，b>c a____c 不可逆
3 可加性 a>b a＋c____b＋c 可逆
4 可乘性 a>b，c>0 ________ a>b，c<0 ________ c的符号
5 同向可加性 a>b，c>d __________ 同向
6 同向同正 可乘性 a>b>0，c>d>0 ____ 同向，同正
7 可乘方性 a>b>0 an____bn (n∈N，n≥2) 同正
3.不等式中的常用二级结论
(1)a>b，c
b－d.
(2)a＋c>b a>b－c.
(3)a>b>0，d>c>0 >.
(4)a>b，ab>0 <；a>b，ab<0 >.
(5)a>b，n∈N*，n>1且n为奇数 an>bn，>.
(6)a>b>0，c>0 >.
|微|点|助|解|
(1)性质3(可加性)是移项法则“不等式中任何一项的符号变成相反的符号后，可以把它从一边移到另一边”的依据．
(2)性质4(可乘性)在使用中要特别注意研究“乘数的符号”．
(3)性质5(同向可加性)，即“同向不等式只能相加，不等号方向不变，不能相减”．
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若>1，则a>b.( )
(2)a与b的差是非负实数， 可表示为a－b>0.( )
(3) x∈R，都有x2>x－1.( )
(4)a，b，c为实数，在等式中，若a＝b，则ac＝bc；在不等式中，若a>b，则ac>bc.( )
(5)a，b，c为实数，若ac2>bc2，则a>b.( )
2．已知a<0A．a＋b<0 .<1
C.>1 .>
3．已知b<2a,3dA．2a－c>b－3d B．2ac>3bd
C．2a＋c>b＋3d D．2a＋3d>b＋c
题型(一) 利用不等式性质判断命题的真假
[例1] 对于实数a，b，c，下列命题中的真命题是( )
A．若a>b，则ac2>bc2
B．若a>b>0，则>
C．若a
D．若a>b，>，则a>0，b<0
听课记录：
|思|维|建|模|
利用不等式的性质判断命题真假的注意点
(1)运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能想当然随意捏造性质．
(2)解有关不等式的选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．
[针对训练]
1．下列命题中的真命题是( )
A．若a>b，则ac>bc
B．若<，则aC．若a2>b2且ab>0，则<
D．若a>b，c>d，则a－c>b－d
2．(多选)已知x，y，z为实数，则下列结论正确的是( )
A．若xz2>yz2，则x>y
B．若x>y，则xz2>yz2
C．若x>y>0，z<0，则>
D．若z>y>x，则>
题型(二) 利用不等式的性质证明不等式
[例2] 已知c>a>b>0，求证：>.
听课记录：
[变式拓展]
在本例条件不变的情况下，求证：>.
|思|维|建|模|
利用不等式的性质证明不等式的注意事项
(1)利用不等式的性质及实数大小关系的基本事实可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．
(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
[针对训练]
3．已知a>b>0，c(1)<；
(2)>.
题型(三) 利用不等式的性质求取值范围
[例3] 已知－1(1)求x－y的取值范围；
(2)求3x＋2y的取值范围．
听课记录：
[变式拓展]
1．若将本例条件改为－12．若将本例条件改为－1|思|维|建|模|
利用不等式的性质求取值范围的策略
(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．
(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．
[提醒] 求解这种不等式问题要特别注意不能简单地分别求出单个变量的范围，再去求其他不等式的范围．
[针对训练]
4．已知12.1.2 不等式的性质及应用
?课前预知教材
1．b＝a a＝c 2.< > > ac>bc acb＋d ac>bd >
[基础落实训练]
1．(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√
2．B 3.C
?课堂题点研究
[题型(一)]
[例1] 选D 法一 ∵c2≥0，∴c＝0时，有ac2＝bc2，故A为假命题；
由a>b>0，有ab>0 > >，故B为假命题；
>，故C为假命题；
ab<0.
∵a>b，∴a>0且b<0，故D为真命题．
法二 特殊值排除法．取c＝0，则ac2＝bc2，故A为假命题；取a＝2，b＝1，则＝，＝1，有<，故B为假命题；取a＝－2，b＝－1，则＝，＝2，有<，故C为假命题．
[针对训练]
1．选B 若c≤0，则ac>bc不成立，故A错误；由不等式性质可知，若<，则有ab2且ab>0，则当a，故C错误；当a＝5，b＝2，c＝11，d＝2时，有a>b，c>d成立，但此时a－c＝5－11＝－6，b－d＝2－2＝0，由－6<0可知，a－c>b－d不成立，故D错误．
2．选AC 因为z2≥0，若xz2>yz2，当z2＝0时，xz2＝yz2＝0，不满足条件xz2>yz2，所以z2>0，故xz2>yz2 x>y，故A正确；当z2＝0时，若x>y，有xz2＝yz2＝0，不满足xz2>yz2，故B错误；若x>y>0，则由不等式的性质有<，又z<0，则>，故C正确；当z＝5，y＝3，x＝2，则＝，＝，<，不满足>，故D错误．
[题型(二)]
[例2] 证明：法一 因为c>a>b>0，
所以0所以(c－a)(c－b)>0，所以0<·(c－a)<·(c－b)，
即0<<，即>>0，
又因为a>b>0，所以>.
法二 因为a>b>0，所以<.因为c>0，所以<，所以－1<－1，即<.因为c>a>b>0，所以c－a>0，c－b>0.所以>.
法三 －＝＝＝，
因为c>a>b>0，所以a－b>0，c－a>0，c－b>0，所以>.
[变式拓展]
证明：法一 因为c>a>b>0，所以0所以0<(c－a)2<(c－b)2，所以(c－a)2(c－b)2>0，所以·(c－a)2<·(c－b)2，
即0<<，所以>>0，又因为a>b>0，所以>.
法二 －
＝
＝
＝＝，
因为c>a>b>0，所以a－b>0，c2>ab，c－a>0，c－b>0，所以(a－b)(c2－ab)>0，所以>0，所以－>0，因此>.
[针对训练]
3．证明：(1)因为a>b>0，－c>－d>0，所以a－c>b－d>0，所以<.
(2)由(1)得<，又m<0，所以>.
[题型(三)]
[例3] 解：(1)因为－1所以x－y的取值范围是－4(2)由－1所以3x＋2y的取值范围是1<3x＋2y<18.
[变式拓展]
1．解：因为－1所以－3＜－y<1，所以－4又因为x所以x－y的取值范围是－42．解：设3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，
则所以
即3x＋2y＝(x＋y)＋(x－y)，
又因为－1所以－<(x＋y)＋(x－y)<，
即－<3x＋2y<.
所以3x＋2y的取值范围是－<3x＋2y<.
[针对训练]
4．解：∵1∵2又1∴2a＋3b的取值范围是8<2a＋3b<32，a－b的取值范围是－7不等式的性质及应用
(教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
2.1.2
课时目标
1．通过等式与不等式的差异，掌握等式和不等式的性质，能利用不等式的性质证明简单的不等式．
2．运用不等式的性质分析解决问题时，必须验证是否满足它成立的条件．
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
1．等式的基本性质
性质 性质内容
1 如果a＝b，那么______
2 如果a＝b，b＝c，那么_____
3 如果a＝b，那么a±c＝b±c
4 如果a＝b，那么ac＝bc
5 如果a＝b，c≠0，那么
b＝a
a＝c
2．不等式的基本性质
性质 别名 性质内容 注意
1 对称性 a>b b___a
2 传递性 a>b，b>c a___c 不可逆
3 可加性 a>b a＋c___b＋c 可逆
4 可乘性 a>b，c>0 _______ a>b，c<0 _______ c的符号
<
>
>
ac>bc
ac续表
5 同向可加性 a>b，c>d __________ 同向
6 同向同正 可乘性 a>b>0，c>d>0 ______ 同向，同正
7 可乘方性 a>b>0 an____bn(n∈N，n≥2) 同正
a＋c>b＋d
ac>bd
>
|微|点|助|解|
(1)性质3(可加性)是移项法则“不等式中任何一项的符号变成相反的符号后，可以把它从一边移到另一边”的依据．
(2)性质4(可乘性)在使用中要特别注意研究“乘数的符号”．
(3)性质5(同向可加性)，即“同向不等式只能相加，不等号方向不变，不能相减”．
基础落实训练
×
×
√
×
√
√
3．已知b<2a,3dA．2a－c>b－3d B．2ac>3bd
C．2a＋c>b＋3d D．2a＋3d>b＋c
解析：由于b<2a,3d√
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一) 利用不等式性质判断命题的真假
√
|思|维|建|模|
利用不等式的性质判断命题真假的注意点
(1)运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能想当然随意捏造性质．
(2)解有关不等式的选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．
√
针对训练
√
√
题型(二) 利用不等式的性质证明不等式
|思|维|建|模|
利用不等式的性质证明不等式的注意事项
(1)利用不等式的性质及实数大小关系的基本事实可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．
(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
针对训练
[例3] 已知－1(1)求x－y的取值范围；
解：因为－1所以x－y的取值范围是－4题型(三) 利用不等式的性质求取值范围
(2)求3x＋2y的取值范围．
解：由－1所以1<3x＋2y<18．
所以3x＋2y的取值范围是1<3x＋2y<18．
[变式拓展]
1．若将本例条件改为－1解：因为－1所以－3＜－y<1，所以－4又因为x所以x－y的取值范围是－42．若将本例条件改为－1|思|维|建|模|
利用不等式的性质求取值范围的策略
(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．
(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．
[提醒] 求解这种不等式问题要特别注意不能简单地分别求出单个变量的范围，再去求其他不等式的范围．
4．已知1解：∵1∵2又1即－7∴2a＋3b的取值范围是8<2a＋3b<32，a－b的取值范围是－7针对训练
课时跟踪检测
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
√
1
5
6
7
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13
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2
3
4
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
√
3．已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小是( )
A．a>b>－b>－a B．a>－b>－a>b
C．a>－b>b>－a D．a>b>－a>－b
解析：∵a＋b>0，b<0，∴a>－b>0,0>b>－a，∴a>－b>b>－a．
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
√
4．若1A．{z|－3＜z≤3} B．{z|－3＜z＜5}
C．{z|－3＜z＜3} D．{z|1＜z＜4}
解析：由题设0≤|b|<4，则－4<－|b|≤0，又11
5
6
7
8
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11
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3
4
2
√
1
5
6
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1
5
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12
13
14
15
3
4
2
1，－1(答案不唯一)
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
7．已知a0，请用恰当的不等号或等号填空：(a－2)c_____(b－2)c．
解析：因为a0，则a－2<
1
5
6
7
8
9
10
11
12
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3
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1
5
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3
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2
1
5
6
7
8
9
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11
12
13
14
15
3
4
2
10．(10分)已知－4≤a－c≤－1，－1≤4a－c≤5，求9a－c的取值范围．
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
B级——重点培优
11．已知x>y>z，x＋y＋z＝0，则下列不等式一定成立的是( )
A．xy>yz B．xz>yz
C．xy>xz D．x|y|>z|y|
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
√
12．有外表一样、重量不同的四个小球，它们的重量分别是a，b，c，d，已知a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，a＋cA．d>b>a>c B．b>c>d>a
C．d>b>c>a D．c>a>d>b
解析：∵a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，∴a＋d＋(a＋b)>b＋c＋(c＋d)，即a>c．∴bb>a>c．
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
√
√
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
14．给出下列三个论断：①a>b>c；②ab>bc；③b>0且c<0．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：____________________________．
解析：若选择①③作为条件，②作为结论：若a>b>c，b>0且c<0，则ab>bc；若选择①②作为条件，③作为结论：若a>b>c，ab>bc，则(a－c)b>0，故b>0，但c也可能为0，故选择①②作为条件，③作为结论的命题不正确；若选择②③作为条件，①作为结论：若ab>bc，b>0且c<0，则(a－c)b>0，故a>c，但a与b大小关系不确定，故选择②③作为条件，①作为结论的命题不正确．
若a>b>c，b>0且c<0，则ab>bc
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
15．(16分)已知a，b，c为三角形的三边长，求证：
(1)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；
证明：a，b，c为三角形的三边长，而2(a2＋b2＋c2)－2(ab＋bc＋ca)＝a2＋b2－2ab＋b2＋c2－2bc＋a2＋c2－2ac＝(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2，显然(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，(a－c)2≥0，即(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≥0，当且仅当a＝b＝c时取等号，因此2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)，所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca．
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
(2)(a＋b＋c)2<4ab＋4bc＋4ca．
证明：a，b，c为三角形的三边长，则0(满分100分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1．与a>b等价的不等式是( )
A．|a|>|b| B．a2>b2
C.>1 D．a3>b3
2．已知实数0A．a2>>a>－a B．a>a2>>－a
C.>a>a2>－a D.>a2>a>－a
3．已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小是( )
A．a>b>－b>－a B．a>－b>－a>b
C．a>－b>b>－a D．a>b>－a>－b
4．若1A．{z|－3＜z≤3} B．{z|－3＜z＜5}
C．{z|－3＜z＜3} D．{z|1＜z＜4}
5．已知a>b>c>0，则( )
A．2ab(a－c)
C.> D．(a－c)3>(b－c)3
6．能说明“若a>b，则<”为假命题的一组a，b的值依次为________．
7．已知a0，请用恰当的不等号或等号填空：(a－2)c________(b－2)c.
8．已知1<α<3，－4<β<2，若z＝α－β，则z的取值范围是______________．
9．(10分)(1)已知a(2)已知a>b，<，求证：ab>0.
10．(10分)已知－4≤a－c≤－1，－1≤4a－c≤5，
求9a－c的取值范围．
B级——重点培优
11．已知x>y>z，x＋y＋z＝0，则下列不等式一定成立的是( )
A．xy>yz B．xz>yz
C．xy>xz D．x|y|>z|y|
12．有外表一样、重量不同的四个小球，它们的重量分别是a，b，c，d，已知a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，a＋cA．d>b>a>c B．b>c>d>a
C．d>b>c>a D．c>a>d>b
13．(多选)生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖(a>0，b>0，且a>b)，若再添加c克糖(c>0)后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：>，趣称之为“糖水不等式”．根据生活经验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是( )
A．若a>b>0，m>0，则与的大小关系随m的变化而变化
B．若b>a>0，m>0，则>
C．若a>b>0，c>d>0，则<
D．若a>0，b>0，则一定有＋<＋
14．给出下列三个论断：①a>b>c；②ab>bc；③b>0且c<0.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：___________________________________
_____________________________________________.
15．(16分)已知a，b，c为三角形的三边长，求证：
(1)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；
(2)(a＋b＋c)2<4ab＋4bc＋4ca.
课时跟踪检测(十一)
1．选D 可利用赋值法．令a＝1，b＝－2，满足a>b，但|a|<|b|，a22．选C ∵01，－1<－a<0,0a>a2>－a.
3．选C ∵a＋b>0，b<0，∴a>－b>0,0>b>－a，∴a>－b>b>－a.
4．选C 由题设0≤|b|<4，则－4<－|b|≤0，又15．选D 对于A，因为a>b>c>0，所以a＋a>b＋a>b＋c，即2a>b＋c，故错误；对于B，取a＝3>b＝2>c＝1>0，则a(b－c)＝3b>c>0，得a－c>b－c>0，所以<，故错误；对于D，由a>b>c>0，得a－c>b－c>0，所以(a－c)3>(b－c)3，故正确．
6．解析：只要保证a为正b为负即可满足要求．当a>0>b时，>0>.
答案：1，－1(答案不唯一)
7．解析：因为a0，则a－2答案：<
8．解析：∵1<α<3，∴<α<，又－4<β<2，∴－2<－β<4.∴－<α－β<，即－答案：
9．证明：(1)由于－＝＝，
∵a0，ab>0，
∴<0，故<.
(2)∵<，∴－<0，即<0，而a>b，∴b－a<0，∴ab>0.
10．解：令
解得∴9a－c＝y－x.∵－4≤x≤－1，∴≤－x≤ ①.
∵－1≤y≤5，∴－≤y≤ ②.①＋②，得－1≤y－x≤20，∴－1≤9a－c≤20.
11．选C 因为x>y>z，x＋y＋z＝0，所以3x>x＋y＋z＝0,3z0，z<0.所以由可得xy>xz.
12．选A ∵a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，∴a＋d＋(a＋b)>b＋c＋(c＋d)，即a>c.∴bb>a>c.
13．选BCD ∵a>b>0，m>0，∴－＝>0，∴>，故A错误；∵b>a>0，m>0，∴－＝<0，∴>，故B正确；∵a>b>0，c>d>0，∴a－b>0，c－d>0，∴－＝＝>0，∴<，故C正确；∵0<1＋a<1＋a＋b,0<1＋b<1＋a＋b，∴>，>，∴＋>＋，故D正确．
14．解析：若选择①③作为条件，②作为结论：若a>b>c，b>0且c<0，则ab>bc；若选择①②作为条件，③作为结论：若a>b>c，ab>bc，则(a－c)b>0，故b>0，但c也可能为0，故选择①②作为条件，③作为结论的命题不正确；若选择②③作为条件，①作为结论：若ab>bc，b>0且c<0，则(a－c)b>0，故a>c，但a与b大小关系不确定，故选择②③作为条件，①作为结论的命题不正确．
答案：若a>b>c，b>0且c<0，则ab>bc
15．证明：(1)a，b，c为三角形的三边长，而2(a2＋b2＋c2)－2(ab＋bc＋ca)＝a2＋b2－2ab＋b2＋c2－2bc＋a2＋c2－2ac＝(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2，显然(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，(a－c)2≥0，即(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≥0，当且仅当a＝b＝c时取等号，因此2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)，所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
(2)a，b，c为三角形的三边长，则0