2.2.1 基本不等式—— (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
[课时目标]
1．掌握基本不等式≤(a>0，b>0)，掌握基本不等式的变形及应用．
2．能熟练运用基本不等式来比较两个代数式的大小及证明不等式．
1．基本不等式
(1)如果a>0，b>0，则____，当且仅当______时，等号成立．其中______叫做正数a，b的算术平均数，______叫做正数a，b的几何平均数．
(2)基本不等式表明：两个正数的算术平均数________它们的几何平均数．
2．常用变形
(1)ab≤2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立．
(2)a＋b≥2 ，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立．
|微|点|助|解|
(1)基本不等式≥中，要求a，b都是正实数．
(2)基本不等式成立的条件是a>0，b>0，而重要不等式中的a，b是实数．事实上，当a>0，b>0时，我们分别用，代替重要不等式中的a，b，即得a＋b≥2 ，变形可得≥ .
(3)基本不等式中的a，b的取值既可以是某个具体的正数，也可以是一个代数式，但是代数式的结果应为正数．
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若a>0，b>0且a≠b，则a＋b>2 .( )
(2)6和8的几何平均数为2.( )
(3)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2 均成立．( )
(4)若a≠0，则a＋≥2 ＝2.( )
2．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是( )
A．a＝±1 B．a＝1
C．a＝－1 D．a＝0
3．设a>b>0，则下列不等式一定成立的是( )
A．a－b<0 B．0<<1
C.< D．ab>a＋b
4．(多选)当a，b∈R时，下列不等关系不成立的是( )
A.≥ B．a－b≥2
C．a2＋b2≥2ab D．a2－b2≥2ab
题型(一) 对基本不等式的理解
[例1] (多选)下面4个推导过程正确的是( )
A．若a，b为正实数，则＋≥2＝2
B．若a∈R，a≠0，则＋a≥2＝4
C．若x，y∈R，xy＜0，则＋＝－＋≤－2＝－2
D．若a＜0，b＜0，则≤ab
听课记录：
|思|维|建|模|
对基本不等式的准确掌握要抓住两个方面
(1)定理成立的条件是a，b都是正数．
(2)“当且仅当”的含义：当a＝b时，≤的等号成立，即a＝b ＝；仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝ a＝b.
[针对训练]
1．下列不等式等号可以取到的是( )
A.＋≥2
B．x2＋2＋≥2
C．x2＋≥2
D．|x|＋3＋≥2
题型(二) 利用基本不等式比较大小
[例2] 设0
A．aC．a<[例3] 已知m＝a＋(a>2)，n＝2－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是________．
听课记录：
|思|维|建|模|
利用基本不等式比较大小的注意事项
(1)利用基本不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积)．
(2)利用基本不等式时，一定要注意条件是否满足a>0，b>0.
[针对训练]
2．设0A. B．b
C．2ab D．a2＋b2
3．已知a，b，c是两两不等的实数，则a2＋b2＋c2与ab＋bc＋ac的大小关系是________________________________________________________________________．
题型(三) 利用基本不等式证明不等式
[例4] 已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋>9.
听课记录：
[变式拓展]
本例条件不变，求证：－1>8.
|思|维|建|模|
利用基本不等式证明不等式的两种题型及解题思路
无附加条件 观察要证不等式的结构特征，若不能直接使用基本不等式，则要结合左、右两边的结构特征，进行拆项、变形、配凑(加减项或乘除某个实系数)等，使之满足使用基本不等式的条件
有附加条件 观察已知条件与要证不等式之间的关系，条件的巧妙代换是一种较为重要的变形．另外，解题过程中要时刻注意等号能否取到
[针对训练]
4．已知a>0，b>0，求证：＋≥a＋b.
2.2.1 基本不等式
?课前预知教材
1．(1)≤ a＝b (2)不小于
[基础落实训练]
1．(1)√ (2)× (3)× (4)×
2．B 3.C 4.ABD
?课堂题点研究
[题型(一)]
[例1] 选AC ∵a，b为正实数，∴，为正实数，符合基本不等式的条件，故A的推导正确．∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，∴＋a≥2＝4是错误的，故B的推导错误．由xy＜0，得，均为负数，但在推导过程中将整体＋提出负号后，，均变为正数，符合基本不等式的条件，故C的推导正确．∵对任意的a，b∈R，都有a2＋b2≥2ab，∴≥ab，故D的推导错误．
[针对训练]
1．选C 因为>0，所以＋≥2＝2，当且仅当＝，即x2＝－4，故等号不成立，故A不符合；因为x2＋2>0，所以x2＋2＋≥2＝2，当且仅当x2＋2＝，即x2＝－1，故等号不成立，故B不符合；因为x2>0，所以x2＋≥2＝2，当且仅当x2＝，即x＝±1时取等号，故C符合；因为|x|＋3>0，所以|x|＋3＋≥2＝2，当且仅当|x|＋3＝，即|x|＝－2，故等号不成立，故D不符合．
[题型(二)]
[例2] 选B 法一 ∵00，即>a，排除D项，故选B.
法二 取a＝2，b＝8，则＝4，＝5，
所以a＜＜＜b.故选B.
[例3] 解析：因为a>2，所以a－2>0，
又因为m＝a＋＝(a－2)＋＋2，所以m≥2＋2＝4，当且仅当a－2＝，即a＝3时，等号成立．由b≠0，得b2≠0，所以2－b2<2，n＝2－b2<2<4，综上可知m>n.
答案：m>n
[针对训练]
2．选B ∵ab<2，∴ab<，
∴2ab<.∵>>0，
∴ >，∴a2＋b2>.
∵b－(a2＋b2)＝(b－b2)－a2＝b(1－b)－a2＝ab－a2＝a(b－a)>0，∴b>a2＋b2，∴b最大．
3．解析：∵a，b，c互不相等，∴a2＋b2>2ab，b2＋c2>2bc，a2＋c2>2ac.∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)，即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac.
答案：a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac
[题型(三)]
[例4] 证明：∵a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，
∴＋＋＝＋＋＝3＋＋＋＋＋＋
＝3＋＋＋>3＋2＋2＋2＝3＋2＋2＋2＝9.
∴＋＋>9.
[变式拓展]
证明：∵a，b，c是互不相等的正数，
且a＋b＋c＝1，
∴－1＝>0，
－1＝>0，－1＝>0，
∴＝··>＝8.
∴>8.
[针对训练]
4．证明：∵a>0，b>0，
∴＋b≥2＝2a，＋a≥2 ＝2b，∴＋b＋＋a≥2a＋2b，
∴＋≥a＋b，当且仅当a＝b时，等号成立．(共56张PPT)
基本不等式
(教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
2.2.1
课时目标
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
≤
a＝b
不小于
基础落实训练
√
×
×
×
2．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是( )
A．a＝±1 B．a＝1
C．a＝－1 D．a＝0
解析：当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0，即a＝1时，等号成立．
√
√
√
√
√
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一) 对基本不等式的理解
√
√
√
针对训练
题型(二) 利用基本不等式比较大小
√
m>n
|思|维|建|模|
利用基本不等式比较大小的注意事项
(1)利用基本不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积)．
(2)利用基本不等式时，一定要注意条件是否满足a>0，b>0．
√
针对训练
3．已知a，b，c是两两不等的实数，则a2＋b2＋c2与ab＋bc＋ac的大小关系是______________________．
解析：∵a，b，c互不相等，∴a2＋b2>2ab，b2＋c2>2bc，a2＋c2>2ac．∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)，即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac．
a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac
题型(三) 利用基本不等式证明不等式
|思|维|建|模|
利用基本不等式证明不等式的两种题型及解题思路
无附加 条件 观察要证不等式的结构特征，若不能直接使用基本不等式，则要结合左、右两边的结构特征，进行拆项、变形、配凑(加减项或乘除某个实系数)等，使之满足使用基本不等式的条件
有附加 条件 观察已知条件与要证不等式之间的关系，条件的巧妙代换是一种较为重要的变形．另外，解题过程中要时刻注意等号能否取到
针对训练
课时跟踪检测
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2．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是( )
A．s≥t B．s>t
C．s≤t D．s解析：∵b2＋1≥2b(当且仅当b＝1时等号成立)，∴a＋2b≤a＋b2＋1．∴t≤s．
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解析：由基本不等式可知②④正确．
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①③⑤
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证明：由a＋b＋c＝1，得(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝1，
又由基本不等式可知当a，b，c均为正数时，2ab≤a2＋b2,2ac≤a2＋c2,2bc≤b2＋c2，
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2课时跟踪检测(十二) 基本不等式
(满分100分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1．(多选)下列条件可使＋≥2成立的有( )
A．ab>0 B．ab<0
C．a>0，b>0 D．a<0，b<0
2．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是( )
A．s≥t B．s>t
C．s≤t D．s3．下列不等式正确的是( )
A．a＋≥4 B．a2＋b2≥4ab
C.≥ D．x2＋≥2
4．(多选)设a，b∈R，且a≠b, a＋b＝2，则必有( )
A．ab>1 B．ab<1
C.<1 D.>1
5．如果0A．P>Q>M B．M>P>Q
C．Q>M>P D．M>Q>P
6．下列不等式：①a2＋1>2a；②≥2；③≤2；④x2＋≥1.其中正确的个数是________．
7．不等式＋(x－2)≥6(其中x>2)中等号成立的条件是__________.
8．比较大小：________2.(填“>”“<”“≥”或“≤”)
9．(8分)已知a，b，c都是非负实数，试比较 ＋＋与(a＋b＋c)的大小．
10．(10分)已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：a＋b＋c>＋＋.
B级——重点培优
11．两个工厂生产同一种产品，其产量分别为a，b(00)的值记为A，G，H并进行分析．则A，G，H的大小关系为( )
A．HC．A12．(多选)设a>0，b>0，则下列不等式一定成立的是( )
A．a＋b＋≥2 B.2≤
C.≥ D．(a＋b)≥4
13．若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是________(写出所有正确命题的序号)．①ab≤1；②＋≤；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3；⑤＋≥2.
14．(12分)已知a>b>c，你能比较出4与·(a－c)的大小吗？
15．(14分)设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：
(1)a2＋b2＋c2≥；
(2)＋＋≥1.
课时跟踪检测(十二)
1．选ACD 根据基本不等式的条件，a，b同号，则>0，>0.
2．选A ∵b2＋1≥2b(当且仅当b＝1时等号成立)，∴a＋2b≤a＋b2＋1.∴t≤s.
3．选D 若a<0，则a＋≥4不成立，故A错误；若a＝1，b＝1，则a2＋b2<4ab，故B错误；若a＝4，b＝16，则<，故C错误；由基本不等式可知D正确．
4．选BD 由基本不等式可得ab≤2, a≠b，所以ab<1, 又1＝＝<＝(a2＋b2)，所以(a2＋b2)>1，所以 ab<1<(a2＋b2) ，所以A不符合题意，B正确，C不符合题意，D正确，故选BD.
5．选B ∵a>0，b>0，∴≥ ，当且仅当a＝b时，等号成立，又∵0，即P＞Q.又()2－2＝a＋b－＝，0＜a＜b＜1，∴a＋b＞0，4－a－b＞0，∴()2－2＞0，
∴＞，即M＞P.
综上，M>P>Q.
6．解析：由基本不等式可知②④正确．
答案：2
7．解析：当x>2时，＋(x－2)≥2＝6，等号成立的条件是 ＝x－2，即(x－2)2＝9，解得x＝5(x＝－1舍去)．
答案：x＝5
8．解析：由题意，得≥1，＝＝＋≥2，当且仅当＝，即x＝0时，等号成立．
答案：≥
9．解：由≤ ，得 ≥(a＋b)．同理得 ≥(b＋c), ≥(a＋c)．
所以＋＋≥[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]＝(a＋b＋c)．
故＋＋≥(a＋b＋c)，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
10．证明：∵a>0，b>0，c>0，∴≥，≥，≥.∴＋＋≥＋＋，即a＋b＋c≥＋＋.由于a，b，c不全相等，∴等号不成立，∴a＋b＋c>＋＋.
11．选A 由＝1得x－a＝b－x，解得x＝，即A＝；由＝得x2－ax＝ab－ax，解得x＝，即G＝；由＝得bx－ab＝ab－ax，解得x＝，即H＝≤＝.又≥，∴≤≤，当且仅当a＝b时，等号成立．∴H12．选ABD 因为a>0，b>0，所以a＋b＋≥2 ＋≥2，当且仅当a＝b且2＝，即a＝b＝时，等号成立，故A一定成立．由作差比较法，－＝≥0，可知2≤，故B一定成立．因为a＋b≥2 >0, 所以≤＝，当且仅当a＝b时，等号成立，故C不一定成立．因为(a＋b)·＝2＋＋≥4，当且仅当a＝b时，等号成立，故D一定成立．
13．解析：因为a>0，b>0，所以a＋b＝2≥2，所以ab≤1，故①正确；左边平方可得(＋)2＝a＋b＋2≤2＋2＝4，所以＋≤2，故②错误；因为a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝4－2ab，由①知ab≤1，所以a2＋b2≥4－2＝2，故③正确；a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＝2×[(a＋b)2－3ab]＝8－6ab≥8－6＝2，故④错误；＋＝＝≥2，故⑤正确．故本题正确答案为①③⑤.
答案：①③⑤
14．解：(a－c)≥4，理由如下：
因为a－c＝(a－b)＋(b－c)，所以[(a－b)＋(b－c)]＝2＋＋，又a>b>c，所以a－b>0，b－c>0，
所以＋≥2，当且仅当＝，
即b－c＝a－b时，等号成立．
则2＋＋≥4.故(a－c)≥4.
15．证明：(1)由a＋b＋c＝1，得(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝1，
又由基本不等式可知当a，b，c均为正数时，2ab≤a2＋b2,2ac≤a2＋c2,2bc≤b2＋c2，
当且仅当a＝b＝c＝时，上述不等式等号均成立，所以a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc≤3a2＋3b2＋3c2，即3(a2＋b2＋c2)≥1，
所以a2＋b2＋c2≥，当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
(2)因为a，b，c均为正数，
所以＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，当且仅当a＝b＝c＝时，不等式等号均成立，
则＋＋＋b＋c＋a≥2a＋2b＋2c，
即＋＋≥a＋b＋c＝1，当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．所以＋＋≥1.