第 2 课时 基本不等式的应用—— (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
[课时目标]
1．进一步熟练掌握基本不等式，能够通过配凑、变形等利用基本不等式求最值．
2．要灵活应用不等式解决问题，能够利用基本不等式解决实际问题．
题型(一) 利用基本不等式求最值
1．用基本不等式求最值的结论
(1)设x，y为正实数，若xy＝P(积P为定值)，则当x＝y＝时，和x＋y有最小值为2.
(2)设x，y为正实数，若x＋y＝S(和S为定值)，则当x＝y＝时，积xy有最大值为.
2．三个关键点：一正、二定、三相等
(1)一正：各项必须为正；
(2)二定：各项之和或各项之积为定值；
(3)三相等：必须验证取等号成立时的条件是否具备．
[例1] (配凑求最值)已知0＜x＜，求x(1－2x)的最大值．
听课记录：
[例2] (拆裂项求最值)若x>1，求的最小值．
听课记录：
[例3] (常数代换求最值)已知x>0，y>0，且满足＋＝1，求x＋2y的最小值．
听课记录：
[变式拓展]
若把例3的条件“＋＝1”改为“x＋2y＝1”，其他条件不变，求＋的最小值．
|思|维|建|模|
(1)为了挖掘出题目中“积”或“和”为定值的条件，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使得“和”或“积”为定值(如例1)．
(2)裂项是指对分子的次数不低于分母的次数的分式进行整式分离——将分式分离为整式与“真分式”的和，再根据分式分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式求最值创造条件，进而求出最值(如例2)．
(3)常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值(如例3)．
[针对训练]
1．(1)已知x>0，求4x＋的最小值；
(2)已知x>0，求2－3x－的最大值；
(3)已知x<，求 4x－2＋的最大值．
题型(二) 利用基本不等式解决实际问题
[例4] 小明的爸爸要在家用围栏做一个面积为16 m2的矩形游乐园，当这个矩形的边长为多少时，所用围栏最省，并求所需围栏的长度．
听课记录：
[变式拓展]
如果小明的爸爸只有12 m长的围栏，如何设计，才能使游乐园的面积最大？
|思|维|建|模|
利用基本不等式解决实际问题的步骤
(1)理解题意，设变量，并理解变量的实际意义；
(2)构造定值，利用基本不等式求最值；
(3)检验，检验等号成立的条件是否满足题意；
(4)结论．
[针对训练]
2．某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？
题型(三) 基本不等式的综合应用
[例5] (1)已知4x＋(x>0, a>0)在x＝3时取得最小值，求a的值．
(2)若不等式9x＋≥a＋1(常数a＞0)对一切正实数x成立，求a的取值范围．
听课记录：
|思|维|建|模|
含参数不等式的求解策略
(1)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围．
(2)在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将已知不等式看作关于参数的不等式，体现了主元与次元的转化．
[针对训练]
3．已知正实数a，b满足＋＝m，若·的最小值为4，则实数m的取值范围是( )
A．{2} B．{m|m≥2}
C．{m|00}
4．已知a>0，b>0，若＋≥恒成立，则m的取值范围是________．
2.2.2 基本不等式的应用
[题型(一)]
[例1] 解：∵0＜x＜，∴1－2x＞0，
∴x(1－2x)＝·2x·(1－2x)≤2＝，
当且仅当2x＝1－2x，即x＝时，等号成立，
∴x(1－2x)的最大值为.
[例2] 解：由x>1，知x－1>0.
所以＝＝x＋1＋＝x－1＋＋2≥2＋2＝4，
当且仅当＝x－1，即x＝2时，等号成立．
所以当x＝2时，取得最小值4.
[例3] 解：因为x>0，y>0，＋＝1，
所以x＋2y＝(x＋2y)＝8＋＋＋2＝10＋＋≥10＋2＝18，
当且仅当＝，即x＝12，y＝3时，等号成立，所以x＋2y的最小值为18.
[变式拓展]
解：因为x>0，y>0，所以＋＝(x＋2y)·＝8＋＋＋2＝10＋＋≥10＋2＝18，当且仅当＝，x＋2y＝1，即x＝，y＝时，等号成立，所以＋的最小值为18.
[针对训练]
1．解：(1)因为x>0，故4x＋≥2＝4，当且仅当4x＝，即x＝时，等号成立．故4x＋的最小值为4.
(2)因为x>0，故2－3x－＝2－≤2－2＝2－4，当且仅当3x＝，即x＝时，等号成立，故2－3x－的最大值为2－4.
(3)因为x<，所以5－4x>0.
所以4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1，
当且仅当5－4x＝，即x＝1时，上式等号成立．
故当x＝1时，4x－2＋的最大值为1.
[题型(二)]
[例4] 解：设矩形围栏相邻两条边长分别为x m，y m，围栏的长度为2(x＋y) m.
法一 由已知xy＝16，由≥，
可知x＋y≥2＝8，所以2(x＋y)≥16，
当且仅当x＝y＝4时，等号成立，
因此，当这个矩形游乐园是边长为4 m的正方形时，所用围栏最省，所需围栏的长度为16 m.
法二 由已知xy＝16，得y＝.
所以2(x＋y)＝2≥2×2＝16.当且仅当x＝y＝4时，等号成立，因此，当这个矩形游乐园是边长为4 m的正方形时，所用围栏最省，所需围栏的长度为16 m.
[变式拓展]
解：由已知得2(x＋y)＝12，故x＋y＝6，面积为xy，由≤＝＝3，
或＝≤＝3，
可得xy≤9，当且仅当x＝y＝3时，等号成立．
因此，当游乐园是边长为3 m的正方形时，面积最大，最大面积为9 m2.
[针对训练]
2．解：设将楼房建为x层，则每平方米的平均购地费用为＝.
∴每平方米的平均综合费用为560＋48x＋＝560＋48.
当x＋取最小值时，y有最小值．
∵x≥10，∴x＋≥2＝30.
当且仅当x＝，即x＝15时，上式等号成立．
∴当x＝15时，y有最小值2 000元．
因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最少．
[题型(三)]
[例5] 解：(1)∵x>0，a>0，
∴4x＋≥2＝4.
当且仅当4x＝，即4x2＝a时4x＋取得最小值，又∵x＝3，∴a＝4×32＝36.
(2)常数a＞0，若9x＋≥a＋1对一切正实数x成立，则a＋1≤min，又9x＋≥6a，当且仅当9x＝，即x＝时，等号成立．故必有6a≥a＋1，解得a≥.
所以a的取值范围为.
[针对训练]
3．选B 因为a，b为正实数，·＝ab＋＋2≥2＋2＝4，
当且仅当ab＝，即ab＝1时等号成立，此时有b＝，又因为＋＝m，所以a＋＝m，由基本不等式可知a＋≥2(当且仅当a＝1时等号成立)，所以m≥2.
4．解析：根据题意，a>0，b>0，＋≥恒成立等价于(a＋3b)≥m恒成立．所以(a＋3b)＝3＋＋＋3＝6＋＋≥6＋2＝12，当且仅当＝，即a＝3b时等号成立，所以m≤12.
答案：{m|m≤12}(共56张PPT)
基本不等式的应用
(教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
2.2.2
课时目标
1．进一步熟练掌握基本不等式，能够通过配凑、变形等利用基本不等式求最值．
2．要灵活应用不等式解决问题，能够利用基本不等式解决实际问题．
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一) 利用基本不等式求最值
题型(二) 利用基本不等式解决实际问题
题型(三) 基本不等式的综合应用
4
课时跟踪检测
题型(一) 利用基本不等式求最值
2．三个关键点：一正、二定、三相等
(1)一正：各项必须为正；
(2)二定：各项之和或各项之积为定值；
(3)三相等：必须验证取等号成立时的条件是否具备．
|思|维|建|模|
(1)为了挖掘出题目中“积”或“和”为定值的条件，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使得“和”或“积”为定值(如例1)．
(2)裂项是指对分子的次数不低于分母的次数的分式进行整式分离——将分式分离为整式与“真分式”的和，再根据分式分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式求最值创造条件，进而求出最值(如例2)．
(3)常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值(如例3)．
针对训练
[例4] 小明的爸爸要在家用围栏做一个面积为16 m2的矩形游乐园，当这个矩形的边长为多少时，所用围栏最省，并求所需围栏的长度．
解：设矩形围栏相邻两条边长分别为x m，y m，围栏的长度为2(x＋y) m．
题型(二) 利用基本不等式解决实际问题
[变式拓展]
如果小明的爸爸只有12 m长的围栏，如何设计，才能使游乐园的面积最大？
|思|维|建|模|
利用基本不等式解决实际问题的步骤
(1)理解题意，设变量，并理解变量的实际意义；
(2)构造定值，利用基本不等式求最值；
(3)检验，检验等号成立的条件是否满足题意；
(4)结论．
2．某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？
针对训练
题型(三) 基本不等式的综合应用
|思|维|建|模|
含参数不等式的求解策略
(1)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围．
(2)在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将已知不等式看作关于参数的不等式，体现了主元与次元的转化．
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针对训练
{m|m≤12}
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6．已知01
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7．矩形的长为a，宽为b，且面积为64，则矩形周长的最小值为_______．
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(1)试写出经过观测点A的每辆车之间的时间间隔T与速度v的函数关系式；
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(2)问v为多少时，经过观测点A的车流量(即单位时间通过的汽车数量)最大？
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13．已知正数x，y满足(x－2)(y－1)＝2，若不等式x＋2y>m恒成立，则实数m的取值范围是__________．
{m|m<8}
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15．(14分)已知正实数x，y满足x＋y＝4．
(1)是否存在正实数x，y，使得xy＝5？若存在，求出x，y的值；若不存在，请说明理由．
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2课时跟踪检测(十三) 基本不等式的应用
(满分100分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1．下列各式最小值为2的是( )
A．y＝t＋(t>1) B．y＝＋
C．y＝t＋(t>1) D．y＝t＋＋1(t>0)
2．若(x＞1)在x＝t处取得最小值，则t等于( )
A．1＋ B．2
C．3 D．4
3．若x∈R，则3x2＋的最小值是( )
A．3－3 B．3
C．6 D．6－3
4．已知a＞0，b＞0，a＋b＝＋，则＋的最小值为( )
A．4 B．2
C．8 D．16
5．已知正实数a，b满足a＋b＝2，则＋的最大值为( )
A．2 B．4
C．4 D．16
6．已知07．矩形的长为a，宽为b，且面积为64，则矩形周长的最小值为________．
8．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式S＝求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦——秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a＋b＝5，c＝3，则此三角形面积的最大值为______．
9．(10分)已知x＞0，y＞0，＋＝1.
(1)求xy的最小值；
(2)求＋的最小值．
10．(12分)如图，汽车行驶时，由于惯性作用，刹车后还要向前滑行一段距离才能停住，我们把这段距离叫做“刹车距离”．在某公路上，“刹车距离”s(米)与汽车车速v(米/秒)之间有经验公式：s＝v2＋v.为保证安全行驶，要求在这条公路上行驶着的两车之间保持的“安全距离”为“刹车距离”再加25米．现假设行驶在这条公路上的汽车的平均身长5米，每辆车均以相同的速度v行驶，并且每两辆车之间的间隔均是“安全距离”．
(1)试写出经过观测点A的每辆车之间的时间间隔T与速度v的函数关系式；
(2)问v为多少时，经过观测点A的车流量(即单位时间通过的汽车数量)最大？
B级——重点培优
11．最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，根据记载，商高曾经和周公讨论过这个定理的有关问题．如果一个直角三角形的斜边长等于2，则当这个直角三角形周长取最大值时，其面积为( )
A. B．1
C．2 D．6
12．(多选)三元均值不等式：“当a，b，c均为正实数时，≥ ，即三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当a＝b＝c时等号成立”．利用上面结论，则下列不等式成立的是( )
A．若x>0，则x2＋≥3
B．若0C．若x>0，则2x＋≥3
D．若013．已知正数x，y满足(x－2)(y－1)＝2，若不等式x＋2y>m恒成立，则实数m的取值范围是________．
14．设自变量x对应的因变量为y，在满足对任意的x，不等式y≤M都成立的所有常数M中，将M的最小值叫做y的上确界．若a，b为正实数，且a＋b＝1，则－－的上确界为__________．
15．(14分)已知正实数x，y满足x＋y＝4.
(1)是否存在正实数x，y，使得xy＝5？若存在，求出x，y的值；若不存在，请说明理由．
(2)求证：＋≥，并说明等号成立的条件．
课时跟踪检测(十三)
1．选B 对于A，y＝t＋≥2，当且仅当t＝1时，等号成立；对于B，y＝＋≥2，当且仅当t＝1时，等号成立；对于C，y＝t＋＝t－1＋＋1≥3；对于D，y＝t＋＋1≥3.
2．选B ＝x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立，故t＝2.
3．选D 3(x2＋1)＋－3≥2－3＝2－3＝6－3，当且仅当x2＝－1时，等号成立，故选D.
4．选B 由a＋b＝＋＝，得ab＝1，则＋≥2＝2，当且仅当＝时，等号成立．
5．选A 因为(＋)2＝(a＋1)＋(b＋1)＋2·≤(a＋1)＋(b＋1)＋(a＋1)＋(b＋1)＝2(a＋b＋2)＝8，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，所以＋的最大值为2.
6．解析：因为00，所以x(1－x)≤2＝2＝，当且仅当x＝1－x，即x＝时，等号成立，即当x＝时，x(1－x)取得最大值.
答案：
7．解析：由题意，矩形的长为a，宽为b，且面积为64，即ab＝64，所以矩形的周长为2a＋2b＝2a＋≥2＝32，当且仅当a＝8时，等号成立，即矩形周长的最小值为32.
答案：32
8．解析：因为a＋b＝5，c＝3，所以p＝＝＝4，故S＝＝2＝2＝2，因为ab≤＝，当且仅当a＝b＝时，等号成立，故S＝2≤2× ＝3.
答案：3
9．解：(1)因为＋＝1.所以xy＝8y＋2x，
又x＞0，y＞0，所以由基本不等式得xy＝8y＋2x≥2＝8，
当且仅当即当x＝16，y＝4时，等号成立，解不等式得xy≥64，所以当且仅当x＝16，y＝4时，xy有最小值64.
(2)因为x＞0，y＞0，＋＝1，所以有x＝＞0，且y－2＞0，所以＋＝＋＝＋，由基本不等式得＋＝＋≥2＝1，当且仅当即x＝16，y＝4时，等号成立，所以当且仅当x＝16，y＝4时，＋有最小值1.
10．解：(1)T＝＝＝＋＋.
(2)经过A点的车流量最大，即每辆车之间的时间间隔T最小．
∵T＝＋＋≥2＋＝，当且仅当＝，即v＝20时取等号．
∴当v＝20米/秒时，经过观测点A的车流量最大．
11．选C 设该直角三角形的斜边为c＝2，直角边为a，b，则a2＋b2＝c2＝8.因为2ab≤a2＋b2，所以a2＋b2＋2ab≤2(a2＋b2)，即(a＋b)2≤16，当且仅当a＝b，且a2＋b2＝8，即a＝b＝2时，等号成立．因为a>0，b>0，所以a＋b≤4，所以a＋b的最大值为4.该直角三角形周长为a＋b＋c≤4＋2.故这个直角三角形周长取最大值4＋2时，a＝b＝2，此时三角形的面积为×2×2＝2.
12．选AC 因为x>0，x2＋＝x2＋＋≥3＝3，当且仅当x2＝时，即当x＝1时，等号成立，A正确；因为00，则2x＋＝x＋x＋≥3＝3，当且仅当x＝时，即当x＝1时，等号成立，C正确；因为013．解析：因为x>0，y>0，则(x－2)(y－1)＝xy－(x＋2y)＋2＝2，所以x＋2y＝xy，
所以＋＝1.
所以x＋2y＝(x＋2y)＝4＋＋≥4＋2＝8，
当且仅当＝时，即x＝4，y＝2时，等号成立．又x＋2y>m恒成立，所以m<8.
答案：{m|m<8}
14．解析：因为a，b为正实数，且a＋b＝1，所以＋＝·(a＋b)＝＋≥＋2＝，当且仅当b＝2a，即a＝，b＝时，等号成立，因此有－－≤－，即－－的上确界为－.
答案：－
15．解：(1)不存在．因为正实数x，y满足x＋y＝4，所以4＝x＋y≥2，所以xy≤4.
故不存在正实数x，y，使得xy＝5.
(2)证明：由x＋y＝4，得x＋1＋y＋2＝7.
又因为x，y都是正实数，
所以＋＝[(x＋1)＋(y＋2)]·＝≥＝，
当且仅当＝时，等号成立，
又因为x＋y＝4，
所以当且仅当x＝，y＝时，等号成立．
