2.3.1 初中知识衔接:一元二次函数与方程(课件 学案 练习)高中数学人教A版(2019)必修 第一册

文档属性

名称 2.3.1 初中知识衔接:一元二次函数与方程(课件 学案 练习)高中数学人教A版(2019)必修 第一册
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资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2025-07-07 23:15:13

文档简介

2.3.1 初中知识衔接:一元二次函数与方程
逐点清(一) 解一元二次方程
[多维理解]
一元二次方程的解法
配方法 解法步骤:(1)化二次项系数为1; (2)移项:把常数项移到方程的右边,二次项和一次项移到方程的左边; (3)配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方,使左边配成完全平方的形式; (4)解方程:若方程右边是非负数,通过直接开平方法求方程的根
公式法 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当b2-4ac≥0时,x=
因式分 解法 一元二次方程化为一般形式后,如果左边能分解因式,即产生A·B=0的形式,则可将原方程化为两个一次方程,即A=0或B=0,从而得方程的两根
[微点练明]
1.若多项式x2+kx-24可以因式分解为(x-3)(x+8),则实数k的值为(  )
A.5 B.-5
C.11 D.-11
2.关于x的方程x2-4x+7=0的根是(  )
A.x1=2+,x2=2-
B.x1=-2+,x2=-2-
C.无实数根
D.x1=2+,x2=2-
3.下列有两个不相等的实数根的方程是(  )
A.x2+1=0       B.x2-2x+1=0
C.x2+2x+4=0 D.x2-x-3=0
4.按指定的方法解方程:
(1)(x+9)2-25=0(直接开平方法);
(2)x2-6x-16=0(配方法);
(3)3x(x-1)=2(x-1)(因式分解法);
(4)2x2-7x+2=0(公式法).
逐点清(二) 一元二次方程根与系数的关系
[多维理解]
如果关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x1,x2,则x1+x2=__________,x1x2=__________.
|微|点|助|解| 
求一元二次方程的根需注意
(1)首先要把方程变成一般形式.
(2)注意方程有实根的前提条件是Δ=b2-4ac≥0.
(3)注意a,b,c应包含各自的符号.
(4)注意一元二次方程如果有根,应有两个,需要注意方程的根与方程的解的区别.
[微点练明]
1.关于x的一元二次方程x2+x+1=0的根的情况是(  )
A.两个不等的实数根 B.两个相等的实数根
C.没有实数根 D.无法确定
2.若关于x的一元二次方程kx2-x+1=0有实数根,则k的取值范围是(  )
A. B.
C. D.
3.已知方程x2-4x+1=0的两根为x1和x2,则x+x=________.
4.已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2-2=0.
(1)若该方程有两个实数根,求m的最小整数值;
(2)若方程的两个实数根为x1,x2,且(x1-x2)2+m2=21,求m的值.
逐点清(三) 一元二次函数与图象
[多维理解]
1.二次函数的解析式
(1)一般式:________________________;
(2)顶点式:______________,其中顶点为(h,k);
(3)交点式:____________________________,其中x1,x2为抛物线与x轴交点的横坐标.
2.二次函数的图象和性质
二次函数一般式y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质
图象
开口方向 开口向上 开口向下
对称轴 ________
顶点坐标 ____________
增减性 当x>-时,y随x的增大而______; 当x<-时,y随x的增大而______ 当x>-时,y随x的增大而______; 当x<-时,y随x的增大而______
最值 当x=-时,y取到最小值     当x=-时,y取到最大值________
[微点练明]
1.函数y=-(x-1)2+4的图象的顶点坐标是(  )
A.(-1,4) B.(-1,-4)
C.(1,-4) D.(1,4)
2.对于二次函数y=2(x-3)2-5的图象,下列说法正确的是(  )
A.图象与y轴交点的坐标是(0,-5)
B.该函数图象的对称轴是直线x=-3
C.当x<-6时,y随x的增大而增大
D.顶点坐标为(3,-5)
3.二次函数y=x2-12x+27的对称轴是________.
4.已知二次函数y=-x2+2x+m的部分图象如图所示,则关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的解为________.
2.3.1 初中知识衔接:一元二次函数与方程
[逐点清(一)]
[微点练明]
1.选A 由题意得x2+kx-24=(x-3)(x+8)=x2+5x-24.
2.C 3.D
4.解:(1)方程变形得(x+9)2=25,开方得x+9=5或x+9=-5,解得x1=-4,x2=-14.
(2)方程变形得x2-6x=16,配方得x2-6x+9=25,即(x-3)2=25,开方得x-3=5或x-3=-5,解得x1=8,x2=-2.
(3)方程变形得3x(x-1)-2(x-1)=0,因式分解得(3x-2)(x-1)=0,解得x1=,x2=1.
(4)由题意,知a=2,b=-7,c=2.
∵Δ=49-16=33,∴x=.
[逐点清(二)]
[多维理解] - 
[微点练明]
1.选C ∵x2+x+1=0,∴Δ=12-4×1×1=-3<0,∴该方程无实数根.
2.选C ∵关于x的一元二次方程kx2-x+1=0有实数根,∴k≠0且Δ=(-1)2-4k≥0,解得k≤且k≠0.
3.解析:方程x2-4x+1=0的两根为x1和x2,则x1+x2=4,x1x2=1,则x+x=(x1+x2)2-2x1x2=16-2=14.
答案:14
4.解:(1)根据题意,得Δ=(2m+1)2-4(m2-2)≥0,解得m≥-,∴m的最小整数值为-2.
(2)根据题意,得x1+x2=-(2m+1),x1x2=m2-2.∵(x1-x2)2+m2=21,
∴(x1+x2)2-4x1x2+m2
=(2m+1)2-4(m2-2)+m2=21.
整理得m2+4m-12=0,解得m1=2,m2=-6.
∵m≥-,∴m的值为2.
[逐点清(三)]
[多维理解] 1.(1)y=ax2+bx+c(a≠0) (2)y=a(x-h)2+k(a≠0) (3)y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) 2.x=-  增大 减小 减小 增大  
[微点练明]
1.选D 由y=-(x-1)2+4得函数图象的顶点坐标为(1,4).
2.选D 令x=0,则y=2(0-3)2-5=13,∴抛物线与y轴的交点坐标是(0,13),∴A错误;∵y=2(x-3)2-5,∴a=2>0,开口向上,顶点(3,-5),对称轴是直线x=3,当x>3时,y随x的增大而增大,∴B、C错误,D正确.故选D.
3.解析:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是x=-,故二次函数y=x2-12x+27图象的对称轴为x=-=6.
答案:x=6
4.解析:法一 结合二次函数图象的对称性可知,方程的另一个根为-2.
法二 由题图可知,4是方程的一个根,所以-42+2×4+m=0,解得m=8,由-x2+2x+8=0得(x+2)(x-4)=0,所以方程的根为-2和4.
答案:-2和4(共53张PPT)
初中知识衔接:一元二次函数与方程
2.3.1
CONTENTS
目录
1
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逐点清(一) 解一元二次方程
逐点清(二) 一元二次方程根与
系数的关系
逐点清(三) 一元二次函数与图象
4
课时跟踪检测
逐点清(一) 解一元二次方程
01
一元二次方程的解法
多维理解
配方法 解法步骤:(1)化二次项系数为1;
(2)移项:把常数项移到方程的右边,二次项和一次项移到方程的左边;
(3)配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方,使左边配成完全平方的形式;
(4)解方程:若方程右边是非负数,通过直接开平方法求方程的根
续表

1.若多项式x2+kx-24可以因式分解为(x-3)(x+8),则实数k的值为(  )
A.5 B.-5
C.11 D.-11
解析:由题意得x2+kx-24=(x-3)(x+8)=x2+5x-24.
微点练明


3.下列有两个不相等的实数根的方程是(  )
A.x2+1=0       B.x2-2x+1=0
C.x2+2x+4=0 D.x2-x-3=0
4.按指定的方法解方程:
(1)(x+9)2-25=0(直接开平方法);
解:方程变形得(x+9)2=25,开方得x+9=5或x+9=-5,解得x1=-4,x2=-14.
(2)x2-6x-16=0(配方法);
解:方程变形得x2-6x=16,配方得x2-6x+9=25,
即(x-3)2=25,
开方得x-3=5或x-3=-5,解得x1=8,x2=-2.
(3)3x(x-1)=2(x-1)(因式分解法);
(4)2x2-7x+2=0(公式法).
逐点清(二) 
一元二次方程根与系数的关系
02
多维理解
|微|点|助|解|
求一元二次方程的根需注意
(1)首先要把方程变成一般形式.
(2)注意方程有实根的前提条件是Δ=b2-4ac≥0.
(3)注意a,b,c应包含各自的符号.
(4)注意一元二次方程如果有根,应有两个,需要注意方程的根与方程的解的区别.

1.关于x的一元二次方程x2+x+1=0的根的情况是(  )
A.两个不等的实数根   B.两个相等的实数根
C.没有实数根   D.无法确定
解析:∵x2+x+1=0,∴Δ=12-4×1×1=-3<0,∴该方程无实数根.
微点练明

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4.已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2-2=0.
(1)若该方程有两个实数根,求m的最小整数值;
(2)若方程的两个实数根为x1,x2,且(x1-x2)2+m2=21,求m的值.
逐点清(三) 一元二次函数与图象
03
1.二次函数的解析式
(1)一般式:____________________;
(2)顶点式:____________________,其中顶点为(h,k);
(3)交点式:_______________________,其中x1,x2为抛物线与x轴交点的横坐标.
多维理解
y=ax2+bx+c(a≠0)
y=a(x-h)2+k(a≠0)
y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)
2.二次函数的图象和性质
二次函数一般式y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质
图象
开口方向 开口向上 开口向下
续表
对称轴
—————
顶点坐标
————————
续表
增大
减小
减小
增大

1.函数y=-(x-1)2+4的图象的顶点坐标是(  )
A.(-1,4)    B.(-1,-4)
C.(1,-4)    D.(1,4)
解析:由y=-(x-1)2+4得函数图象的顶点坐标为(1,4).
微点练明

2.对于二次函数y=2(x-3)2-5的图象,下列说法正确的是(  )
A.图象与y轴交点的坐标是(0,-5)
B.该函数图象的对称轴是直线x=-3
C.当x<-6时,y随x的增大而增大
D.顶点坐标为(3,-5)
解析:令x=0,则y=2(0-3)2-5=13,∴抛物线与y轴的交点坐标是(0,13),∴A错误;∵y=2(x-3)2-5,∴a=2>0,开口向上,顶点(3,-5),对称轴是直线x=3,当x>3时,y随x的增大而增大,∴B、C错误,D正确.故选D.
3.二次函数y=x2-12x+27的对称轴是_______.
x=6
4.已知二次函数y=-x2+2x+m的部分图象如图所示,则关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的解为________.
-2和4
解析:法一 结合二次函数图象的对称性可知,方程的另一个根为-2.
法二 由题图可知,4是方程的一个根,所以-42+2×4+m=0,解得m=8,由-x2+2x+8=0得(x+2)(x-4)=0,所以方程的根为-2和4.
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1.一元二次方程2x2+px+q=0的两根为-1和2,那么二次三项式2x2+px+q可分解为(  )
A.(x+1)(x-2) B.(2x+1)(x-2)
C.2(x-1)(x+2) D.2(x+1)(x-2)
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解析:∵一元二次方程2x2+px+q=0的两根为-1和2,∴2(x+1)(x-2)=0,∴2x2+px+q可分解为2(x+1)(x-2).故选D.
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2.从-1,0,3,5,7五个数中任意选取一个数,记为m,则使二次函数y=mx2+6x+2与x轴有交点时的m的值有(  )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
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3.不解方程,判断关于x的方程2x2-(2m+1)x+(m2+1)=0的解集情况是(  )
A. B.非空集
C.单元素集合 D.二元集
解析:由判别式Δ=(2m+1)2-8(m2+1)=-4m2+4m-7=-(2m-1)2-6<0得方程的解集为空集.故选A.
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4.若非零实数a,b,c满足9a-3b+c=0,则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有一个根为(  )
A.3 B.-3
C.0 D.无法确定
解析:把x=-3代入方程ax2+bx+c=0,得9a-3b+c=0,即方程一定有一个根为x=-3.
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6.已知α,β是方程x2-2x-4=0的两个实数根,则α3+8β+6的值为(  )
A.-1 B.2
C.22 D.30
解析:∵α是方程x2-2x-4=0的实根,∴α2-2α-4=0,即α2=2α+4,∴α3=2α2+4α=2(2α+4)+4α=8α+8,∴原式=8α+8+8β+6=8(α+β)+14,∵α,β是方程x2-2x-4=0的两实根,∴α+β=2,∴原式=8×2+14=30,故选D.
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7.(多选)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,且对称轴为x=1,点B的坐标为(-1,0),则下面结论正确的是(  )
A.2a+b=0
B.4a-2b+c<0
C.b2-4ac>0
D.当y<0时,x<-1或x>4
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8.定义:如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a+b+c=0,那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知ax2+bx+c=0(a≠0)是“凤凰”方程,且有两个相等的实数根,则下列结论正确的是(  )
A.a=c B.a=b
C.b=c D.a=b=c
解析:∵一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根,∴Δ=b2-4ac=0.又a+b+c=0,即b=-a-c,代入b2-4ac=0得(-a-c)2-4ac=0,化简得(a-c)2=0,所以a=c.

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9.设A(-2,y1),B(1,y2),C(2,y3)是抛物线y=3(x+1)2+4m(m为常数)上的三点,则y1,y2,y3的大小关系为(  )
A.y1<y2<y3 B.y2<y1<y3
C.y3<y1<y2 D.y3<y2<y1
解析:∵抛物线y=3(x+1)2+4m(m为常数)的开口向上,对称轴为直线x=-1,而点C(2,y3)离直线x=-1的距离最远,点A(-2,y1)离直线x=-1最近,∴y1<y2<y3.
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10.若把多项式x2+mx+14分解因式后含有因式x+7,则m=______.
解析:设x2+mx+14=(x+7)(x+n),即x2+mx+14=(x+7)(x+n)=x2+(7+n)x+7n,所以7n=14,7+n=m,所以m=9.
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11.已知二次函数y=x2+(2a+1)x+a2-1的顶点在x轴上,则a=________.
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12.已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1,那么它的另一个根是______,m=______.
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13.若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=1,则关于x的方程x2+mx=3的解为________.
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-1和3
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14.当a-1≤x≤a时,二次函数y=x2-4x+3的最小值为8,则a的值为_________.
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-1或6
解析:当y=8时,有x2-4x+3=8,解得x1=-1,x2=5.
∵当a-1≤x≤a时,函数有最小值8,
∴a-1=5或a=-1,∴a=6或a=-1.
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15.(13分)已知关于x的方程(k-1)x2+(2k-3)x+k+1=0有两个不相等的实数根x1,x2.
(1)求k的取值范围;
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(2)是否存在实数k,使方程的两实根互为相反数?如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由.
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16.(17分)如图,抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于点A(-3,0),B(1,0),与y轴相交于点C.
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(1)求抛物线的函数表达式;
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(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得以点A,C,P为顶点的三角形是直角三角形?若存在,求出点P坐标;若不存在,请说明理由.
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解:存在.对于y=x2+2x-3,令x=0,则y=-3,
即点C(0,-3),抛物线的对称轴为直线x=-1,
设点P(-1,m),由勾股定理得AC2=32+32=18,AP2=22+m2,PC2=1+(m+3)2,
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16课时跟踪检测(十四) 初中知识衔接:一元二次函数与方程
(满分100分,选填小题每题5分)
1.一元二次方程2x2+px+q=0的两根为-1和2,那么二次三项式2x2+px+q可分解为(  )
A.(x+1)(x-2) B.(2x+1)(x-2)
C.2(x-1)(x+2) D.2(x+1)(x-2)
2.从-1,0,3,5,7五个数中任意选取一个数,记为m,则使二次函数y=mx2+6x+2与x轴有交点时的m的值有(  )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
3.不解方程,判断关于x的方程2x2-(2m+1)x+(m2+1)=0的解集情况是(  )
A. B.非空集
C.单元素集合 D.二元集
4.若非零实数a,b,c满足9a-3b+c=0,则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有一个根为(  )
A.3 B.-3
C.0 D.无法确定
5.若关于x的方程mx2+(2m+1)x+m=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是(  )
A. B.
C. D.
6.已知α,β是方程x2-2x-4=0的两个实数根,则α3+8β+6的值为(  )
A.-1 B.2
C.22 D.30
7.(多选)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,且对称轴为x=1,点B的坐标为(-1,0),则下面结论正确的是(  )
A.2a+b=0
B.4a-2b+c<0
C.b2-4ac>0
D.当y<0时,x<-1或x>4
8.定义:如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a+b+c=0,那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知ax2+bx+c=0(a≠0)是“凤凰”方程,且有两个相等的实数根,则下列结论正确的是(  )
A.a=c B.a=b
C.b=c D.a=b=c
9.设A(-2,y1),B(1,y2),C(2,y3)是抛物线y=3(x+1)2+4m(m为常数)上的三点,则y1,y2,y3的大小关系为(  )
A.y1<y2<y3 B.y2<y1<y3
C.y3<y1<y2 D.y3<y2<y1
10.若把多项式x2+mx+14分解因式后含有因式x+7,则m=________.
11.已知二次函数y=x2+(2a+1)x+a2-1的顶点在x轴上,则a=________.
12.已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1,那么它的另一个根是________,m=________.
13.若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=1,则关于x的方程x2+mx=3的解为________.
14.当a-1≤x≤a时,二次函数y=x2-4x+3的最小值为8,则a的值为________.
15.(13分)已知关于x的方程(k-1)x2+(2k-3)x+k+1=0有两个不相等的实数根x1,x2.
(1)求k的取值范围;
(2)是否存在实数k,使方程的两实根互为相反数?如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由.
16.(17分)如图,抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于点A(-3,0),B(1,0),与y轴相交于点C.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得以点A,C,P为顶点的三角形是直角三角形?若存在,求出点P坐标;若不存在,请说明理由.
课时跟踪检测(十四)
1.选D ∵一元二次方程2x2+px+q=0的两根为-1和2,∴2(x+1)(x-2)=0,∴2x2+px+q可分解为2(x+1)(x-2).故选D.
2.选B 因为是二次函数,所以m≠0.又因为二次函数图象与x轴有交点,故Δ=36-8m≥0,即m≤,且m≠0.所以满足要求的m的值有2个.
3.选A 由判别式Δ=(2m+1)2-8(m2+1)=-4m2+4m-7=-(2m-1)2-6<0得方程的解集为空集.故选A.
4.选B 把x=-3代入方程ax2+bx+c=0,得9a-3b+c=0,即方程一定有一个根为x=-3.
5.选D 若满足题意,则需m≠0,且Δ=(2m+1)2-4m2=4m2+4m+1-4m2=4m+1>0,解得m>-,且m≠0.
6.选D ∵α是方程x2-2x-4=0的实根,∴α2-2α-4=0,即α2=2α+4,∴α3=2α2+4α=2(2α+4)+4α=8α+8,∴原式=8α+8+8β+6=8(α+β)+14,∵α,β是方程x2-2x-4=0的两实根,∴α+β=2,∴原式=8×2+14=30,故选D.
7.选ABC 因为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的对称轴为x=1,所以x=-=1,即2a+b=0,故A正确;当x=-2时,y=4a-2b+c<0,故B正确;该函数图象与x轴有两个交点,则b2-4ac>0,故C正确;因为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的对称轴为x=1,点B的坐标为(-1,0),所以点A的坐标为(3,0).所以当y<0时,x<-1或x>3,故D错误.
8.选A ∵一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根,∴Δ=b2-4ac=0.又a+b+c=0,即b=-a-c,代入b2-4ac=0得(-a-c)2-4ac=0,化简得(a-c)2=0,所以a=c.
9.选A ∵抛物线y=3(x+1)2+4m(m为常数)的开口向上,对称轴为直线x=-1,而点C(2,y3)离直线x=-1的距离最远,点A(-2,y1)离直线x=-1最近,∴y1<y2<y3.
10.解析:设x2+mx+14=(x+7)(x+n),即x2+mx+14=(x+7)(x+n)=x2+(7+n)x+7n,所以7n=14,7+n=m,所以m=9.
答案:9
11.解析:由题意可知Δ=(2a+1)2-4a2+4=0,解得a=-.
答案:-
12.解析:将x=1代入原方程,得3×12-18×1+m=0,解得m=15. 由根与系数的关系可得方程的另一根为=5.
答案:5 15
13.解析:由题意可知-=1,解得m=-2,所以方程x2-2x=3的解为-1和3.
答案:-1和3
14.解析:当y=8时,有x2-4x+3=8,解得x1=-1,x2=5.∵当a-1≤x≤a时,函数有最小值8,∴a-1=5或a=-1,∴a=6或a=-1.
答案:-1或6
15.解:(1)由题知,
∴k<且k≠1,
故k的取值范围为(-∞,1)∪.
(2)若x1+x2=0,即-=0,k=.
由(1)可知,这样的k不存在.
16.解:(1)由题意得解得故抛物线的表达式为y=x2+2x-3.
(2)存在.对于y=x2+2x-3,令x=0,则y=-3,即点C(0,-3),抛物线的对称轴为直线x=-1,
设点P(-1,m),由勾股定理得AC2=32+32=18,AP2=22+m2,PC2=1+(m+3)2,
当AC是斜边时,则18=AP2+PC2=22+m2+1+(m+3)2,解得m=;
当AP是斜边时,则18+1+(m+3)2=22+m2,解得m=-4;
当PC是斜边时,则18+22+m2=1+(m+3)2,解得m=2.即点P的坐标为或或(-1,-4)或(-1,2).