2.3.3 一元二次不等式的应用—— (教学方式：拓展融通课—习题讲评式教学)
[课时目标]
1．掌握与一元二次不等式相关的不等式解法(分式不等式的解法)．
2．能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决．
3．会用判别式法、分离参数法、数形结合法等方法解决不等式恒成立问题．
题型(一) 简单分式不等式的解法
[例1] 解下列不等式：
(1)<0；(2)≤1.
听课记录：
|思|维|建|模|
分式不等式的解法
(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零．
(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．
[针对训练]
1．解下列不等式：
(1)≥0；(2)<3.
题型(二) 一元二次不等式恒成立问题
[例2] 对 x∈R，不等式mx2－mx－1<0，求m的取值范围．
听课记录：
[变式拓展]
1．在本例中，是否存在m∈R，使得 x∈R，不等式mx2－mx－1>0？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．
2．在本例中，把条件“ x∈R”改为“x∈{x|2≤x≤3}”，其余不变，求m的取值范围．
|思|维|建|模|
(1)当未说明不等式为一元二次不等式时，有
①不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立 或
②不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立 或
(2)一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0在x∈{x|m≤x≤n}时恒成立，等价于当m≤x≤n时，函数y＝ax2＋bx＋c的图象恒在x轴的上方，而非等价于
[针对训练]
2．若关于x的不等式(k－1)x2＋(k－1)x－1<0恒成立，则实数k的取值范围是________．
3．当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，求实数m的取值范围．
题型(三) 一元二次不等式的实际应用
[例3] 某电动车生产企业，上年度生产电动车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．
(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？
听课记录：
|思|维|建|模|
解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，即分析题目中有哪些未知量，然后选择其中起关键作用的未知量，设此未知量为x，用x来表示其他未知量，再根据题目中的不等关系列不等式．
[针对训练]
4．在一个限速40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m．又知甲、乙两种车型的刹车距离s m与车速x km/h之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2，问谁超速行驶应负主要责任．
2.3.3 一元二次不等式的应用
[题型(一)]
[例1] 解：(1)<0 (x－3)(x＋2)<0 －2
∴原不等式的解集为{x|－2(2)∵≤1，∴－1≤0，∴≤0，
即≥0.此不等式等价于(x－4)·≥0且x－≠0，解得x<或x≥4，∴原不等式的解集为.
[针对训练]
1．解：(1)不等式≥0可转化成不等式组
解这个不等式组，可得x≤－1或x>3.
即知原不等式的解集为{x|x≤－1或x>3}．
(2)不等式<3可改写为－3<0，即<0.可将这个不等式转化成2(x－1)(x＋1)<0，解得－1所以原不等式的解集为{x|－1[题型(二)]
[例2] 解：若m＝0，显然－1<0恒成立；
若m≠0，则解得－4[变式拓展]
1．解：不存在．理由如下：
显然当m＝0时不等式不成立；当m≠0时，由题意可得解得m∈ ，所以不存在m∈R，使得 x∈R，不等式mx2－mx－1>0.
2．解：由不等式mx2－mx－1<0得m(x2－x)<1，
因为x∈{x|2≤x≤3}，所以x2－x>0，
所以m(x2－x)<1可化为m<，
因为x2－x＝2－≤6，
所以≥，所以m<.
故实数m的取值范围为
[针对训练]
2．解析：当k＝1时，－1<0恒成立；当k≠1时，由题意得解得－3答案：{k|－33．解：令y＝x2＋mx＋4，
∵y<0在1≤x≤2上恒成立，∴y＝0的根一个小于1，另一个大于2.如图，可得
解得m<－5，∴实数m的取值范围是{m|m<－5}．
[题型(三)]
[例3] 解：(1)由题意，得y＝[1.2×(1＋0.75x)－1×(1＋x)]×1 000×(1＋0.6x)(0＜x＜1)，
整理得y＝－60x2＋20x＋200(0＜x＜1)．
(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，当且仅当
即解得0＜x＜，所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x应满足.
[针对训练]
4．解：由题意列出不等式s甲＝0.1x甲＋0.01x>12，解得x甲<－40或x甲>30.由s乙＝0.05x乙＋0.005x>10，解得x乙<－50或x乙>40.由于x>0，从而得x甲>30 km/h，x乙>40 km/h.
经比较知乙车超过限速，应负主要责任．(共44张PPT)
一元二次不等式的应用
(教学方式：拓展融通课—习题讲评式教学)
2.3.3
课时目标
1．掌握与一元二次不等式相关的不等式解法(分式不等式的解法)．
2．能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决．
3．会用判别式法、分离参数法、数形结合法等方法解决不等式恒成立问题．
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一) 简单分式不等式的解法
题型(二) 一元二次不等式恒成立问题
题型(三) 一元二次不等式的实际应用
4
课时跟踪检测
题型(一) 简单分式不等式的解法
|思|维|建|模|
分式不等式的解法
(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零．
(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．
针对训练
[例2] 对 x∈R，不等式mx2－mx－1<0，求m的取值范围．
题型(二) 一元二次不等式恒成立问题
[变式拓展]
1．在本例中，是否存在m∈R，使得 x∈R，不等式mx2－mx－1>0？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．
2．在本例中，把条件“ x∈R”改为“x∈
{x|2≤x≤3}”，其余不变，求m的取值范围．
2．若关于x的不等式(k－1)x2＋(k－1)x－1<0恒成立，则实数k的取值范围是______________．
针对训练
{k|－33．当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，求实数m的取值范围．
[例3] 某电动车生产企业，上年度生产电动车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x．已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．
题型(三) 一元二次不等式的实际应用
(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
解：由题意，得y＝[1.2×(1＋0.75x)－1×(1＋x)]×1 000×(1＋0.6x)(0＜x＜1)，
整理得y＝－60x2＋20x＋200(0＜x＜1)．
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？
|思|维|建|模|
解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，即分析题目中有哪些未知量，然后选择其中起关键作用的未知量，设此未知量为x，用x来表示其他未知量，再根据题目中的不等关系列不等式．
4．在一个限速40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m．又知甲、乙两种车型的刹车距离s m与车速x km/h之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2，问谁超速行驶应负主要责任．
针对训练
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3．若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝ ，则实数a的取值范围是( )
A．{a|0C．{a|01
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5．已知不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，则实数a的取值范围为( )
A．{a|－1≤a≤4} B．{a|－1C．{a|a≥4或a≤－1} D．{a|－4≤a≤1}
解析：由题意知，原不等式可化为－(x－2)2＋4≥a2－3a在R上有解，∴a2－3a≤4，即(a－4)(a＋1)≤0，解得－1≤a≤4．
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6．已知关于x的不等式x2－ax＋a＋3≥0在R上恒成立，则实数a的取值范围是______________ ．
解析：由题意Δ＝a2－4(a＋3)≤0，解得－2≤a≤6．
{a|－2≤a≤6}
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7．某商品在最近30天内的价格y1与时间t(单位：天)的关系式是y1＝t＋10(0解析：z＝(t＋10)(－t＋35)，依题意有(t＋10)·(－t＋35)≥500，
解得10≤t≤15，t∈N，
所以t的取值范围为{t|10≤t≤15，t∈N}．
{t|10≤t≤15，t∈N}
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解析：由题意知，不等式的解集为{x|x<－1或x>4}，
故(x－a)(x＋1)>0 (x＋1)(x－4)>0，故a＝4．
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9．(8分)对于1≤x≤3，mx2－mx－1＜－m＋5恒成立，求m的取值范围．
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10．(10分)某地区上年度电价为0.8元/千瓦时，年用电量为a千瓦时.本年度计划将电价降低到0.55元/千瓦时至0.75元/千瓦时之间，而用户期望电价为0.4元/千瓦时．经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k)．该地区电力的成本价为0.3元/千瓦时．
[注：收益＝实际用电量×(实际电价－成本价)]
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(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的关系式；
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(2)设k＝0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%
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B级——重点培优
11．(多选)若“ x∈R，ax2＋ax＋1≤0”为假命题，则a的值可能为( )
A．－1 B．0
C．2 D．4
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12．某种杂志原以每本3元的价格销售，可以售出10万本.根据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就减少1 000本.设每本杂志的定价为x元，要使得提价后的销售总收入不低于42万元，则x应满足( )
A．6≤x≤7 B．5≤x≤7
C．5≤x≤6 D．4≤x≤6
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13．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份增长x%，八月份销售额比七月份增长x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是_____．
解析：由题意，得3 860＋500＋[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]×2≥7 000，化简得(x%)2＋3·x%－0.64≥0，解得x%≥0.2或x%≤－3.2(舍去)，所以x≥20，即x的最小值为20．
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14．(12分)不等式x2＋8y2≥λy(x＋y)对于任意的x，y∈R恒成立，求实数λ的取值范围．
解：因为x2＋8y2≥λy(x＋y)对于任意的x，y∈R恒成立，
所以x2＋8y2－λy(x＋y)≥0对于任意的x，y∈R恒成立，
即x2－λyx＋(8－λ)y2≥0恒成立，
由二次不等式的性质可得，Δ＝λ2y2＋4(λ－8)y2＝y2(λ2＋4λ－32)≤0，
所以(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4．
故实数λ的取值范围是{λ|－8≤λ≤4}．
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15．(12分)已知集合{x∈R|x2－(k＋2)x－3k＋1≥0}＝{x|x≤－1或x≥5}．
(1)求实数k的值；
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(2)已知t<2，若不等式x2－(k＋2)x－3k－m2＋4m＋15≥0在t≤x≤4上恒成立，求实数m的取值范围．
解：由(1)知，k＝2，原不等式可化为x2－4x＋9－m2＋4m≥0，
所以x2－4x≥m2－4m－9在t≤x≤4(t<2)上恒成立，
令y＝x2－4x＝(x－2)2－4，因为t≤x≤4(t<2)，所以ymin＝－4，
所以不等式恒成立等价于m2－4m－9≤－4，
即m2－4m－5≤0，解得－1≤m≤5，
故实数m的取值范围为{m|－1≤m≤5}．
阶段质量评价（一）
第一、二章 集合与常用逻辑用语一元二次函数、方程和不等式课时跟踪检测(十六) 一元二次不等式的应用
(满分100分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1．(多选)与不等式≥0同解的不等式是( )
A．(x－3)(2－x)≥0 B．0C．≤0 D．(x－3)(2－x)>0
2．不等式<0的解集为( )
A．{x|－1B．{x|1C．{x|2D．{x|－13．若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝ ，则实数a的取值范围是( )
A．{a|0C．{a|04．已知命题“ x∈R，使2x2＋(a－1)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围是( )
A．{a|a<－1} B．{a|－1C．{a|a>－3} D．{a|－35．已知不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，则实数a的取值范围为( )
A．{a|－1≤a≤4} B．{a|－1C．{a|a≥4或a≤－1} D．{a|－4≤a≤1}
6．已知关于x的不等式x2－ax＋a＋3≥0在R上恒成立，则实数a的取值范围是________．
7．某商品在最近30天内的价格y1与时间t(单位：天)的关系式是y1＝t＋10(08．若关于x的不等式>0的解集为{x|x<－1或x>4}，则实数a＝________.
9．(8分)对于1≤x≤3，mx2－mx－1＜－m＋5恒成立，求m的取值范围．
10．(10分)某地区上年度电价为0.8元/千瓦时，年用电量为a千瓦时．本年度计划将电价降低到0.55元/千瓦时至0.75元/千瓦时之间，而用户期望电价为0.4元/千瓦时．经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k)．该地区电力的成本价为0.3元/千瓦时．
[注：收益＝实际用电量×(实际电价－成本价)]
(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的关系式；
(2)设k＝0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%
B级——重点培优
11．(多选)若“ x∈R，ax2＋ax＋1≤0”为假命题，则a的值可能为( )
A．－1 B．0
C．2 D．4
12．某种杂志原以每本3元的价格销售，可以售出10万本．根据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就减少1 000本．设每本杂志的定价为x元，要使得提价后的销售总收入不低于42万元，则x应满足( )
A．6≤x≤7 B．5≤x≤7
C．5≤x≤6 D．4≤x≤6
13．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份增长x%，八月份销售额比七月份增长x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是________．
14．(12分)不等式x2＋8y2≥λy(x＋y)对于任意的x，y∈R恒成立，求实数λ的取值范围．
15．(12分)已知集合{x∈R|x2－(k＋2)x－3k＋1≥0}＝{x|x≤－1或x≥5}．
(1)求实数k的值；
(2)已知t<2，若不等式x2－(k＋2)x－3k－m2＋4m＋15≥0在t≤x≤4上恒成立，求实数m的取值范围．
课时跟踪检测(十六)
1．选BC 不等式≥0可化为≤0，∴解得2∴02．选A 原不等式
所以－13．选D 当a＝0时，满足条件；当a≠0时，由得04．选B 原命题是假命题，则其否定是真命题，即 x∈R,2x2＋(a－1)x＋>0恒成立，故判别式(a－1)2－4<0，解得－15．选A 由题意知，原不等式可化为－(x－2)2＋4≥a2－3a在R上有解，∴a2－3a≤4，即(a－4)(a＋1)≤0，解得－1≤a≤4.
6．解析：由题意Δ＝a2－4(a＋3)≤0，
解得－2≤a≤6.
答案：{a|－2≤a≤6}
7．解析：z＝(t＋10)(－t＋35)，依题意有(t＋10)·(－t＋35)≥500，解得10≤t≤15，t∈N，所以t的取值范围为{t|10≤t≤15，t∈N}．
答案：{t|10≤t≤15，t∈N}
8．解析：由题意知，不等式的解集为{x|x<－1或x>4}，故(x－a)(x＋1)>0 (x＋1)(x－4)>0，故a＝4.
答案：4
9．解：当1≤x≤3时，mx2－mx－1＜－m＋5恒成立，即当1≤x≤3时，m(x2－x＋1)－6＜0恒成立．
∵x2－x＋1＝2＋＞0，
∴m＜.∵当1≤x≤3时，＝，
x＝3时，其最小值为，∴只需m＜即可．故m的取值范围是.
10．解：(1)设下调后的电价为x元/千瓦时，依题意知用电量增至＋a，电力部门的收益为y＝(x－0.3)(0.55≤x≤0.75)．
(2)依题意有(x－0.3)≥[a×(0.8－0.3)](1＋20%)，且0.55≤x≤0.75，
整理得
解得0.6≤x≤0.75.
故当电价最低定为0.6元/千瓦时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%.
11．选BC “ x∈R，ax2＋ax＋1≤0”为假命题，则“ x∈R，ax2＋ax＋1>0”为真命题，当a＝0时，1>0，符合题意，当a≠0时，解得012．选A 设提价后杂志的定价为x元，则提价后的销售量为10－×0.1万本，因为销售的总收入不低于42万元，列不等式为x≥42，即(x－6)(x－7)≤0，即6≤x≤7，故选A.
13．解析：由题意，得3 860＋500＋[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]×2≥7 000，化简得(x%)2＋3·x%－0.64≥0，解得x%≥0.2或x%≤－3.2(舍去)，所以x≥20，即x的最小值为20.
答案：20
14．解：因为x2＋8y2≥λy(x＋y)对于任意的x，y∈R恒成立，所以x2＋8y2－λy(x＋y)≥0对于任意的x，y∈R恒成立，即x2－λyx＋(8－λ)y2≥0恒成立，由二次不等式的性质可得，Δ＝λ2y2＋4(λ－8)y2＝y2(λ2＋4λ－32)≤0，所以(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4.故实数λ的取值范围是{λ|－8≤λ≤4}．
15．解：(1)由题意可知，－1和5是方程x2－(k＋2)x－3k＋1＝0的两个根，
所以由根与系数的关系得
解得k＝2.
(2)由(1)知，k＝2，原不等式可化为
x2－4x＋9－m2＋4m≥0，
所以x2－4x≥m2－4m－9在t≤x≤4(t<2)上恒成立，令y＝x2－4x＝(x－2)2－4，
因为t≤x≤4(t<2)，所以ymin＝－4，
所以不等式恒成立等价于m2－4m－9≤－4，
即m2－4m－5≤0，解得－1≤m≤5，
故实数m的取值范围为{m|－1≤m≤5}．