2.3.3 一元二次不等式的应用(课件 学案 练习)高中数学人教A版(2019)必修 第一册

文档属性

名称 2.3.3 一元二次不等式的应用(课件 学案 练习)高中数学人教A版(2019)必修 第一册
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文件大小 825.1KB
资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2025-07-07 23:16:02

文档简介

2.3.3 一元二次不等式的应用—— (教学方式:拓展融通课—习题讲评式教学)
[课时目标]
1.掌握与一元二次不等式相关的不等式解法(分式不等式的解法).
2.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型,并加以解决.
3.会用判别式法、分离参数法、数形结合法等方法解决不等式恒成立问题.
题型(一) 简单分式不等式的解法
[例1] 解下列不等式:
(1)<0;(2)≤1.
听课记录:
|思|维|建|模|
分式不等式的解法
(1)对于比较简单的分式不等式,可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解,但要注意等价变形,保证分母不为零.
(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项再通分(不要去分母),使之转化为不等号右边为零,然后再用上述方法求解.
[针对训练]
1.解下列不等式:
(1)≥0;(2)<3.
题型(二) 一元二次不等式恒成立问题
[例2] 对 x∈R,不等式mx2-mx-1<0,求m的取值范围.
听课记录:
[变式拓展]
1.在本例中,是否存在m∈R,使得 x∈R,不等式mx2-mx-1>0?若存在,求m的取值范围;若不存在,请说明理由.
2.在本例中,把条件“ x∈R”改为“x∈{x|2≤x≤3}”,其余不变,求m的取值范围.
|思|维|建|模|
(1)当未说明不等式为一元二次不等式时,有
①不等式ax2+bx+c>0对任意实数x恒成立 或
②不等式ax2+bx+c<0对任意实数x恒成立 或
(2)一元二次不等式 ax2+bx+c>0在x∈{x|m≤x≤n}时恒成立,等价于当m≤x≤n时,函数y=ax2+bx+c的图象恒在x轴的上方,而非等价于  
[针对训练]
2.若关于x的不等式(k-1)x2+(k-1)x-1<0恒成立,则实数k的取值范围是________.
3.当1≤x≤2时,不等式x2+mx+4<0恒成立,求实数m的取值范围.
题型(三) 一元二次不等式的实际应用
[例3] 某电动车生产企业,上年度生产电动车的投入成本为1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1 000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1),则出厂价相应的提高比例为0.75x,同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量.
(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式;
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加,问投入成本增加的比例x应在什么范围内?
听课记录:
|思|维|建|模|
解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型,即分析题目中有哪些未知量,然后选择其中起关键作用的未知量,设此未知量为x,用x来表示其他未知量,再根据题目中的不等关系列不等式.
[针对训练]
4.在一个限速40 km/h的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但还是相碰了.事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m,乙车的刹车距离略超过10 m.又知甲、乙两种车型的刹车距离s m与车速x km/h之间分别有如下关系:s甲=0.1x+0.01x2,s乙=0.05x+0.005x2,问谁超速行驶应负主要责任.
2.3.3 一元二次不等式的应用
[题型(一)]
[例1] 解:(1)<0 (x-3)(x+2)<0 -2∴原不等式的解集为{x|-2(2)∵≤1,∴-1≤0,∴≤0,
即≥0.此不等式等价于(x-4)·≥0且x-≠0,解得x<或x≥4,∴原不等式的解集为.
[针对训练]
1.解:(1)不等式≥0可转化成不等式组
解这个不等式组,可得x≤-1或x>3.
即知原不等式的解集为{x|x≤-1或x>3}.
(2)不等式<3可改写为-3<0,即<0.可将这个不等式转化成2(x-1)(x+1)<0,解得-1所以原不等式的解集为{x|-1[题型(二)]
[例2] 解:若m=0,显然-1<0恒成立;
若m≠0,则解得-4[变式拓展]
1.解:不存在.理由如下:
显然当m=0时不等式不成立;当m≠0时,由题意可得解得m∈ ,所以不存在m∈R,使得 x∈R,不等式mx2-mx-1>0.
2.解:由不等式mx2-mx-1<0得m(x2-x)<1,
因为x∈{x|2≤x≤3},所以x2-x>0,
所以m(x2-x)<1可化为m<,
因为x2-x=2-≤6,
所以≥,所以m<.
故实数m的取值范围为
[针对训练]
2.解析:当k=1时,-1<0恒成立;当k≠1时,由题意得解得-3答案:{k|-33.解:令y=x2+mx+4,
∵y<0在1≤x≤2上恒成立,∴y=0的根一个小于1,另一个大于2.如图,可得
解得m<-5,∴实数m的取值范围是{m|m<-5}.
[题型(三)]
[例3] 解:(1)由题意,得y=[1.2×(1+0.75x)-1×(1+x)]×1 000×(1+0.6x)(0<x<1),
整理得y=-60x2+20x+200(0<x<1).
(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加,当且仅当
即解得0<x<,所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加,投入成本增加的比例x应满足.
[针对训练]
4.解:由题意列出不等式s甲=0.1x甲+0.01x>12,解得x甲<-40或x甲>30.由s乙=0.05x乙+0.005x>10,解得x乙<-50或x乙>40.由于x>0,从而得x甲>30 km/h,x乙>40 km/h.
经比较知乙车超过限速,应负主要责任.(共44张PPT)
一元二次不等式的应用
(教学方式:拓展融通课—习题讲评式教学)
2.3.3
课时目标
1.掌握与一元二次不等式相关的不等式解法(分式不等式的解法).
2.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型,并加以解决.
3.会用判别式法、分离参数法、数形结合法等方法解决不等式恒成立问题.
CONTENTS
目录
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题型(一) 简单分式不等式的解法
题型(二) 一元二次不等式恒成立问题
题型(三) 一元二次不等式的实际应用
4
课时跟踪检测
题型(一) 简单分式不等式的解法
|思|维|建|模|
分式不等式的解法
(1)对于比较简单的分式不等式,可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解,但要注意等价变形,保证分母不为零.
(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项再通分(不要去分母),使之转化为不等号右边为零,然后再用上述方法求解.
针对训练
[例2] 对 x∈R,不等式mx2-mx-1<0,求m的取值范围.
题型(二) 一元二次不等式恒成立问题
[变式拓展]
1.在本例中,是否存在m∈R,使得 x∈R,不等式mx2-mx-1>0?若存在,求m的取值范围;若不存在,请说明理由.
2.在本例中,把条件“ x∈R”改为“x∈
{x|2≤x≤3}”,其余不变,求m的取值范围.
2.若关于x的不等式(k-1)x2+(k-1)x-1<0恒成立,则实数k的取值范围是______________.
针对训练
{k|-33.当1≤x≤2时,不等式x2+mx+4<0恒成立,求实数m的取值范围.
[例3] 某电动车生产企业,上年度生产电动车的投入成本为1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1 000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1),则出厂价相应的提高比例为0.75x,同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量.
题型(三) 一元二次不等式的实际应用
(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式;
解:由题意,得y=[1.2×(1+0.75x)-1×(1+x)]×1 000×(1+0.6x)(0<x<1),
整理得y=-60x2+20x+200(0<x<1).
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加,问投入成本增加的比例x应在什么范围内?
|思|维|建|模|
解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型,即分析题目中有哪些未知量,然后选择其中起关键作用的未知量,设此未知量为x,用x来表示其他未知量,再根据题目中的不等关系列不等式.
4.在一个限速40 km/h的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但还是相碰了.事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m,乙车的刹车距离略超过10 m.又知甲、乙两种车型的刹车距离s m与车速x km/h之间分别有如下关系:s甲=0.1x+0.01x2,s乙=0.05x+0.005x2,问谁超速行驶应负主要责任.
针对训练
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3.若集合A={x|ax2-ax+1<0}= ,则实数a的取值范围是(  )
A.{a|0C.{a|01
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5.已知不等式-x2+4x≥a2-3a在R上有解,则实数a的取值范围为(  )
A.{a|-1≤a≤4}   B.{a|-1C.{a|a≥4或a≤-1}   D.{a|-4≤a≤1}
解析:由题意知,原不等式可化为-(x-2)2+4≥a2-3a在R上有解,∴a2-3a≤4,即(a-4)(a+1)≤0,解得-1≤a≤4.
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6.已知关于x的不等式x2-ax+a+3≥0在R上恒成立,则实数a的取值范围是______________ .
解析:由题意Δ=a2-4(a+3)≤0,解得-2≤a≤6.
{a|-2≤a≤6}
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7.某商品在最近30天内的价格y1与时间t(单位:天)的关系式是y1=t+10(0解析:z=(t+10)(-t+35),依题意有(t+10)·(-t+35)≥500,
解得10≤t≤15,t∈N,
所以t的取值范围为{t|10≤t≤15,t∈N}.
{t|10≤t≤15,t∈N}
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解析:由题意知,不等式的解集为{x|x<-1或x>4},
故(x-a)(x+1)>0 (x+1)(x-4)>0,故a=4.
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9.(8分)对于1≤x≤3,mx2-mx-1<-m+5恒成立,求m的取值范围.
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10.(10分)某地区上年度电价为0.8元/千瓦时,年用电量为a千瓦时.本年度计划将电价降低到0.55元/千瓦时至0.75元/千瓦时之间,而用户期望电价为0.4元/千瓦时.经测算,下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k).该地区电力的成本价为0.3元/千瓦时.
[注:收益=实际用电量×(实际电价-成本价)]
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(1)写出本年度电价下调后,电力部门的收益y与实际电价x的关系式;
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(2)设k=0.2a,当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%
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B级——重点培优
11.(多选)若“ x∈R,ax2+ax+1≤0”为假命题,则a的值可能为(  )
A.-1 B.0
C.2 D.4


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12.某种杂志原以每本3元的价格销售,可以售出10万本.根据市场调查,杂志的单价每提高0.1元,销售量就减少1 000本.设每本杂志的定价为x元,要使得提价后的销售总收入不低于42万元,则x应满足(  )
A.6≤x≤7 B.5≤x≤7
C.5≤x≤6 D.4≤x≤6
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13.某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元,预测六月份销售额为500万元,七月份销售额比六月份增长x%,八月份销售额比七月份增长x%,九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等.若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元,则x的最小值是_____.
解析:由题意,得3 860+500+[500(1+x%)+500(1+x%)2]×2≥7 000,化简得(x%)2+3·x%-0.64≥0,解得x%≥0.2或x%≤-3.2(舍去),所以x≥20,即x的最小值为20.
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14.(12分)不等式x2+8y2≥λy(x+y)对于任意的x,y∈R恒成立,求实数λ的取值范围.
解:因为x2+8y2≥λy(x+y)对于任意的x,y∈R恒成立,
所以x2+8y2-λy(x+y)≥0对于任意的x,y∈R恒成立,
即x2-λyx+(8-λ)y2≥0恒成立,
由二次不等式的性质可得,Δ=λ2y2+4(λ-8)y2=y2(λ2+4λ-32)≤0,
所以(λ+8)(λ-4)≤0,解得-8≤λ≤4.
故实数λ的取值范围是{λ|-8≤λ≤4}.
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15.(12分)已知集合{x∈R|x2-(k+2)x-3k+1≥0}={x|x≤-1或x≥5}.
(1)求实数k的值;
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(2)已知t<2,若不等式x2-(k+2)x-3k-m2+4m+15≥0在t≤x≤4上恒成立,求实数m的取值范围.
解:由(1)知,k=2,原不等式可化为x2-4x+9-m2+4m≥0,
所以x2-4x≥m2-4m-9在t≤x≤4(t<2)上恒成立,
令y=x2-4x=(x-2)2-4,因为t≤x≤4(t<2),所以ymin=-4,
所以不等式恒成立等价于m2-4m-9≤-4,
即m2-4m-5≤0,解得-1≤m≤5,
故实数m的取值范围为{m|-1≤m≤5}.
阶段质量评价(一)
第一、二章 集合与常用逻辑用语一元二次函数、方程和不等式课时跟踪检测(十六) 一元二次不等式的应用
(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.(多选)与不等式≥0同解的不等式是(  )
A.(x-3)(2-x)≥0 B.0C.≤0 D.(x-3)(2-x)>0
2.不等式<0的解集为(  )
A.{x|-1B.{x|1C.{x|2D.{x|-13.若集合A={x|ax2-ax+1<0}= ,则实数a的取值范围是(  )
A.{a|0C.{a|04.已知命题“ x∈R,使2x2+(a-1)x+≤0”是假命题,则实数a的取值范围是(  )
A.{a|a<-1} B.{a|-1C.{a|a>-3} D.{a|-35.已知不等式-x2+4x≥a2-3a在R上有解,则实数a的取值范围为(  )
A.{a|-1≤a≤4}  B.{a|-1C.{a|a≥4或a≤-1}  D.{a|-4≤a≤1}
6.已知关于x的不等式x2-ax+a+3≥0在R上恒成立,则实数a的取值范围是________.
7.某商品在最近30天内的价格y1与时间t(单位:天)的关系式是y1=t+10(08.若关于x的不等式>0的解集为{x|x<-1或x>4},则实数a=________.
9.(8分)对于1≤x≤3,mx2-mx-1<-m+5恒成立,求m的取值范围.
10.(10分)某地区上年度电价为0.8元/千瓦时,年用电量为a千瓦时.本年度计划将电价降低到0.55元/千瓦时至0.75元/千瓦时之间,而用户期望电价为0.4元/千瓦时.经测算,下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k).该地区电力的成本价为0.3元/千瓦时.
[注:收益=实际用电量×(实际电价-成本价)]
(1)写出本年度电价下调后,电力部门的收益y与实际电价x的关系式;
(2)设k=0.2a,当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%
B级——重点培优
11.(多选)若“ x∈R,ax2+ax+1≤0”为假命题,则a的值可能为(  )
A.-1 B.0
C.2 D.4
12.某种杂志原以每本3元的价格销售,可以售出10万本.根据市场调查,杂志的单价每提高0.1元,销售量就减少1 000本.设每本杂志的定价为x元,要使得提价后的销售总收入不低于42万元,则x应满足(  )
A.6≤x≤7 B.5≤x≤7
C.5≤x≤6 D.4≤x≤6
13.某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元,预测六月份销售额为500万元,七月份销售额比六月份增长x%,八月份销售额比七月份增长x%,九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等.若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元,则x的最小值是________.
14.(12分)不等式x2+8y2≥λy(x+y)对于任意的x,y∈R恒成立,求实数λ的取值范围.
15.(12分)已知集合{x∈R|x2-(k+2)x-3k+1≥0}={x|x≤-1或x≥5}.
(1)求实数k的值;
(2)已知t<2,若不等式x2-(k+2)x-3k-m2+4m+15≥0在t≤x≤4上恒成立,求实数m的取值范围.
课时跟踪检测(十六)
1.选BC 不等式≥0可化为≤0,∴解得2∴02.选A 原不等式
所以-13.选D 当a=0时,满足条件;当a≠0时,由得04.选B 原命题是假命题,则其否定是真命题,即 x∈R,2x2+(a-1)x+>0恒成立,故判别式(a-1)2-4<0,解得-15.选A 由题意知,原不等式可化为-(x-2)2+4≥a2-3a在R上有解,∴a2-3a≤4,即(a-4)(a+1)≤0,解得-1≤a≤4.
6.解析:由题意Δ=a2-4(a+3)≤0,
解得-2≤a≤6.
答案:{a|-2≤a≤6}
7.解析:z=(t+10)(-t+35),依题意有(t+10)·(-t+35)≥500,解得10≤t≤15,t∈N,所以t的取值范围为{t|10≤t≤15,t∈N}.
答案:{t|10≤t≤15,t∈N}
8.解析:由题意知,不等式的解集为{x|x<-1或x>4},故(x-a)(x+1)>0 (x+1)(x-4)>0,故a=4.
答案:4
9.解:当1≤x≤3时,mx2-mx-1<-m+5恒成立,即当1≤x≤3时,m(x2-x+1)-6<0恒成立.
∵x2-x+1=2+>0,
∴m<.∵当1≤x≤3时,=,
x=3时,其最小值为,∴只需m<即可.故m的取值范围是.
10.解:(1)设下调后的电价为x元/千瓦时,依题意知用电量增至+a,电力部门的收益为y=(x-0.3)(0.55≤x≤0.75).
(2)依题意有(x-0.3)≥[a×(0.8-0.3)](1+20%),且0.55≤x≤0.75,
整理得
解得0.6≤x≤0.75.
故当电价最低定为0.6元/千瓦时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%.
11.选BC “ x∈R,ax2+ax+1≤0”为假命题,则“ x∈R,ax2+ax+1>0”为真命题,当a=0时,1>0,符合题意,当a≠0时,解得012.选A 设提价后杂志的定价为x元,则提价后的销售量为10-×0.1万本,因为销售的总收入不低于42万元,列不等式为x≥42,即(x-6)(x-7)≤0,即6≤x≤7,故选A.
13.解析:由题意,得3 860+500+[500(1+x%)+500(1+x%)2]×2≥7 000,化简得(x%)2+3·x%-0.64≥0,解得x%≥0.2或x%≤-3.2(舍去),所以x≥20,即x的最小值为20.
答案:20
14.解:因为x2+8y2≥λy(x+y)对于任意的x,y∈R恒成立,所以x2+8y2-λy(x+y)≥0对于任意的x,y∈R恒成立,即x2-λyx+(8-λ)y2≥0恒成立,由二次不等式的性质可得,Δ=λ2y2+4(λ-8)y2=y2(λ2+4λ-32)≤0,所以(λ+8)(λ-4)≤0,解得-8≤λ≤4.故实数λ的取值范围是{λ|-8≤λ≤4}.
15.解:(1)由题意可知,-1和5是方程x2-(k+2)x-3k+1=0的两个根,
所以由根与系数的关系得
解得k=2.
(2)由(1)知,k=2,原不等式可化为
x2-4x+9-m2+4m≥0,
所以x2-4x≥m2-4m-9在t≤x≤4(t<2)上恒成立,令y=x2-4x=(x-2)2-4,
因为t≤x≤4(t<2),所以ymin=-4,
所以不等式恒成立等价于m2-4m-9≤-4,
即m2-4m-5≤0,解得-1≤m≤5,
故实数m的取值范围为{m|-1≤m≤5}.