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资源详情
高中数学
人教A版(2019)
必修 第一册
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
2.3.3 一元二次不等式的应用(课件 学案 练习)高中数学人教A版(2019)必修 第一册
文档属性
名称
2.3.3 一元二次不等式的应用(课件 学案 练习)高中数学人教A版(2019)必修 第一册
格式
zip
文件大小
825.1KB
资源类型
教案
版本资源
人教A版(2019)
科目
数学
更新时间
2025-07-07 23:16:02
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文档简介
2.3.3 一元二次不等式的应用—— (教学方式:拓展融通课—习题讲评式教学)
[课时目标]
1.掌握与一元二次不等式相关的不等式解法(分式不等式的解法).
2.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型,并加以解决.
3.会用判别式法、分离参数法、数形结合法等方法解决不等式恒成立问题.
题型(一) 简单分式不等式的解法
[例1] 解下列不等式:
(1)<0;(2)≤1.
听课记录:
|思|维|建|模|
分式不等式的解法
(1)对于比较简单的分式不等式,可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解,但要注意等价变形,保证分母不为零.
(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项再通分(不要去分母),使之转化为不等号右边为零,然后再用上述方法求解.
[针对训练]
1.解下列不等式:
(1)≥0;(2)<3.
题型(二) 一元二次不等式恒成立问题
[例2] 对 x∈R,不等式mx2-mx-1<0,求m的取值范围.
听课记录:
[变式拓展]
1.在本例中,是否存在m∈R,使得 x∈R,不等式mx2-mx-1>0?若存在,求m的取值范围;若不存在,请说明理由.
2.在本例中,把条件“ x∈R”改为“x∈{x|2≤x≤3}”,其余不变,求m的取值范围.
|思|维|建|模|
(1)当未说明不等式为一元二次不等式时,有
①不等式ax2+bx+c>0对任意实数x恒成立 或
②不等式ax2+bx+c<0对任意实数x恒成立 或
(2)一元二次不等式 ax2+bx+c>0在x∈{x|m≤x≤n}时恒成立,等价于当m≤x≤n时,函数y=ax2+bx+c的图象恒在x轴的上方,而非等价于
[针对训练]
2.若关于x的不等式(k-1)x2+(k-1)x-1<0恒成立,则实数k的取值范围是________.
3.当1≤x≤2时,不等式x2+mx+4<0恒成立,求实数m的取值范围.
题型(三) 一元二次不等式的实际应用
[例3] 某电动车生产企业,上年度生产电动车的投入成本为1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1 000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1),则出厂价相应的提高比例为0.75x,同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量.
(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式;
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加,问投入成本增加的比例x应在什么范围内?
听课记录:
|思|维|建|模|
解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型,即分析题目中有哪些未知量,然后选择其中起关键作用的未知量,设此未知量为x,用x来表示其他未知量,再根据题目中的不等关系列不等式.
[针对训练]
4.在一个限速40 km/h的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但还是相碰了.事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m,乙车的刹车距离略超过10 m.又知甲、乙两种车型的刹车距离s m与车速x km/h之间分别有如下关系:s甲=0.1x+0.01x2,s乙=0.05x+0.005x2,问谁超速行驶应负主要责任.
2.3.3 一元二次不等式的应用
[题型(一)]
[例1] 解:(1)<0 (x-3)(x+2)<0 -2
∴原不等式的解集为{x|-2
(2)∵≤1,∴-1≤0,∴≤0,
即≥0.此不等式等价于(x-4)·≥0且x-≠0,解得x<或x≥4,∴原不等式的解集为.
[针对训练]
1.解:(1)不等式≥0可转化成不等式组
解这个不等式组,可得x≤-1或x>3.
即知原不等式的解集为{x|x≤-1或x>3}.
(2)不等式<3可改写为-3<0,即<0.可将这个不等式转化成2(x-1)(x+1)<0,解得-1
所以原不等式的解集为{x|-1
[题型(二)]
[例2] 解:若m=0,显然-1<0恒成立;
若m≠0,则解得-4
[变式拓展]
1.解:不存在.理由如下:
显然当m=0时不等式不成立;当m≠0时,由题意可得解得m∈ ,所以不存在m∈R,使得 x∈R,不等式mx2-mx-1>0.
2.解:由不等式mx2-mx-1<0得m(x2-x)<1,
因为x∈{x|2≤x≤3},所以x2-x>0,
所以m(x2-x)<1可化为m<,
因为x2-x=2-≤6,
所以≥,所以m<.
故实数m的取值范围为
[针对训练]
2.解析:当k=1时,-1<0恒成立;当k≠1时,由题意得解得-3
答案:{k|-3
3.解:令y=x2+mx+4,
∵y<0在1≤x≤2上恒成立,∴y=0的根一个小于1,另一个大于2.如图,可得
解得m<-5,∴实数m的取值范围是{m|m<-5}.
[题型(三)]
[例3] 解:(1)由题意,得y=[1.2×(1+0.75x)-1×(1+x)]×1 000×(1+0.6x)(0<x<1),
整理得y=-60x2+20x+200(0<x<1).
(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加,当且仅当
即解得0<x<,所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加,投入成本增加的比例x应满足.
[针对训练]
4.解:由题意列出不等式s甲=0.1x甲+0.01x>12,解得x甲<-40或x甲>30.由s乙=0.05x乙+0.005x>10,解得x乙<-50或x乙>40.由于x>0,从而得x甲>30 km/h,x乙>40 km/h.
经比较知乙车超过限速,应负主要责任.(共44张PPT)
一元二次不等式的应用
(教学方式:拓展融通课—习题讲评式教学)
2.3.3
课时目标
1.掌握与一元二次不等式相关的不等式解法(分式不等式的解法).
2.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型,并加以解决.
3.会用判别式法、分离参数法、数形结合法等方法解决不等式恒成立问题.
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一) 简单分式不等式的解法
题型(二) 一元二次不等式恒成立问题
题型(三) 一元二次不等式的实际应用
4
课时跟踪检测
题型(一) 简单分式不等式的解法
|思|维|建|模|
分式不等式的解法
(1)对于比较简单的分式不等式,可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解,但要注意等价变形,保证分母不为零.
(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项再通分(不要去分母),使之转化为不等号右边为零,然后再用上述方法求解.
针对训练
[例2] 对 x∈R,不等式mx2-mx-1<0,求m的取值范围.
题型(二) 一元二次不等式恒成立问题
[变式拓展]
1.在本例中,是否存在m∈R,使得 x∈R,不等式mx2-mx-1>0?若存在,求m的取值范围;若不存在,请说明理由.
2.在本例中,把条件“ x∈R”改为“x∈
{x|2≤x≤3}”,其余不变,求m的取值范围.
2.若关于x的不等式(k-1)x2+(k-1)x-1<0恒成立,则实数k的取值范围是______________.
针对训练
{k|-3
3.当1≤x≤2时,不等式x2+mx+4<0恒成立,求实数m的取值范围.
[例3] 某电动车生产企业,上年度生产电动车的投入成本为1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1 000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1),则出厂价相应的提高比例为0.75x,同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量.
题型(三) 一元二次不等式的实际应用
(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式;
解:由题意,得y=[1.2×(1+0.75x)-1×(1+x)]×1 000×(1+0.6x)(0<x<1),
整理得y=-60x2+20x+200(0<x<1).
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加,问投入成本增加的比例x应在什么范围内?
|思|维|建|模|
解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型,即分析题目中有哪些未知量,然后选择其中起关键作用的未知量,设此未知量为x,用x来表示其他未知量,再根据题目中的不等关系列不等式.
4.在一个限速40 km/h的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但还是相碰了.事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m,乙车的刹车距离略超过10 m.又知甲、乙两种车型的刹车距离s m与车速x km/h之间分别有如下关系:s甲=0.1x+0.01x2,s乙=0.05x+0.005x2,问谁超速行驶应负主要责任.
针对训练
课时跟踪检测
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3.若集合A={x|ax2-ax+1<0}= ,则实数a的取值范围是( )
A.{a|0
C.{a|0
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5.已知不等式-x2+4x≥a2-3a在R上有解,则实数a的取值范围为( )
A.{a|-1≤a≤4} B.{a|-1
C.{a|a≥4或a≤-1} D.{a|-4≤a≤1}
解析:由题意知,原不等式可化为-(x-2)2+4≥a2-3a在R上有解,∴a2-3a≤4,即(a-4)(a+1)≤0,解得-1≤a≤4.
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6.已知关于x的不等式x2-ax+a+3≥0在R上恒成立,则实数a的取值范围是______________ .
解析:由题意Δ=a2-4(a+3)≤0,解得-2≤a≤6.
{a|-2≤a≤6}
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7.某商品在最近30天内的价格y1与时间t(单位:天)的关系式是y1=t+10(0
解析:z=(t+10)(-t+35),依题意有(t+10)·(-t+35)≥500,
解得10≤t≤15,t∈N,
所以t的取值范围为{t|10≤t≤15,t∈N}.
{t|10≤t≤15,t∈N}
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解析:由题意知,不等式的解集为{x|x<-1或x>4},
故(x-a)(x+1)>0 (x+1)(x-4)>0,故a=4.
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9.(8分)对于1≤x≤3,mx2-mx-1<-m+5恒成立,求m的取值范围.
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10.(10分)某地区上年度电价为0.8元/千瓦时,年用电量为a千瓦时.本年度计划将电价降低到0.55元/千瓦时至0.75元/千瓦时之间,而用户期望电价为0.4元/千瓦时.经测算,下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k).该地区电力的成本价为0.3元/千瓦时.
[注:收益=实际用电量×(实际电价-成本价)]
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(1)写出本年度电价下调后,电力部门的收益y与实际电价x的关系式;
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(2)设k=0.2a,当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%
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B级——重点培优
11.(多选)若“ x∈R,ax2+ax+1≤0”为假命题,则a的值可能为( )
A.-1 B.0
C.2 D.4
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12.某种杂志原以每本3元的价格销售,可以售出10万本.根据市场调查,杂志的单价每提高0.1元,销售量就减少1 000本.设每本杂志的定价为x元,要使得提价后的销售总收入不低于42万元,则x应满足( )
A.6≤x≤7 B.5≤x≤7
C.5≤x≤6 D.4≤x≤6
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13.某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元,预测六月份销售额为500万元,七月份销售额比六月份增长x%,八月份销售额比七月份增长x%,九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等.若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元,则x的最小值是_____.
解析:由题意,得3 860+500+[500(1+x%)+500(1+x%)2]×2≥7 000,化简得(x%)2+3·x%-0.64≥0,解得x%≥0.2或x%≤-3.2(舍去),所以x≥20,即x的最小值为20.
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14.(12分)不等式x2+8y2≥λy(x+y)对于任意的x,y∈R恒成立,求实数λ的取值范围.
解:因为x2+8y2≥λy(x+y)对于任意的x,y∈R恒成立,
所以x2+8y2-λy(x+y)≥0对于任意的x,y∈R恒成立,
即x2-λyx+(8-λ)y2≥0恒成立,
由二次不等式的性质可得,Δ=λ2y2+4(λ-8)y2=y2(λ2+4λ-32)≤0,
所以(λ+8)(λ-4)≤0,解得-8≤λ≤4.
故实数λ的取值范围是{λ|-8≤λ≤4}.
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15.(12分)已知集合{x∈R|x2-(k+2)x-3k+1≥0}={x|x≤-1或x≥5}.
(1)求实数k的值;
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(2)已知t<2,若不等式x2-(k+2)x-3k-m2+4m+15≥0在t≤x≤4上恒成立,求实数m的取值范围.
解:由(1)知,k=2,原不等式可化为x2-4x+9-m2+4m≥0,
所以x2-4x≥m2-4m-9在t≤x≤4(t<2)上恒成立,
令y=x2-4x=(x-2)2-4,因为t≤x≤4(t<2),所以ymin=-4,
所以不等式恒成立等价于m2-4m-9≤-4,
即m2-4m-5≤0,解得-1≤m≤5,
故实数m的取值范围为{m|-1≤m≤5}.
阶段质量评价(一)
第一、二章 集合与常用逻辑用语一元二次函数、方程和不等式课时跟踪检测(十六) 一元二次不等式的应用
(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.(多选)与不等式≥0同解的不等式是( )
A.(x-3)(2-x)≥0 B.0
C.≤0 D.(x-3)(2-x)>0
2.不等式<0的解集为( )
A.{x|-1
B.{x|1
C.{x|2
D.{x|-1
3.若集合A={x|ax2-ax+1<0}= ,则实数a的取值范围是( )
A.{a|0
C.{a|0
4.已知命题“ x∈R,使2x2+(a-1)x+≤0”是假命题,则实数a的取值范围是( )
A.{a|a<-1} B.{a|-1
C.{a|a>-3} D.{a|-3
5.已知不等式-x2+4x≥a2-3a在R上有解,则实数a的取值范围为( )
A.{a|-1≤a≤4} B.{a|-1
C.{a|a≥4或a≤-1} D.{a|-4≤a≤1}
6.已知关于x的不等式x2-ax+a+3≥0在R上恒成立,则实数a的取值范围是________.
7.某商品在最近30天内的价格y1与时间t(单位:天)的关系式是y1=t+10(0
8.若关于x的不等式>0的解集为{x|x<-1或x>4},则实数a=________.
9.(8分)对于1≤x≤3,mx2-mx-1<-m+5恒成立,求m的取值范围.
10.(10分)某地区上年度电价为0.8元/千瓦时,年用电量为a千瓦时.本年度计划将电价降低到0.55元/千瓦时至0.75元/千瓦时之间,而用户期望电价为0.4元/千瓦时.经测算,下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k).该地区电力的成本价为0.3元/千瓦时.
[注:收益=实际用电量×(实际电价-成本价)]
(1)写出本年度电价下调后,电力部门的收益y与实际电价x的关系式;
(2)设k=0.2a,当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%
B级——重点培优
11.(多选)若“ x∈R,ax2+ax+1≤0”为假命题,则a的值可能为( )
A.-1 B.0
C.2 D.4
12.某种杂志原以每本3元的价格销售,可以售出10万本.根据市场调查,杂志的单价每提高0.1元,销售量就减少1 000本.设每本杂志的定价为x元,要使得提价后的销售总收入不低于42万元,则x应满足( )
A.6≤x≤7 B.5≤x≤7
C.5≤x≤6 D.4≤x≤6
13.某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元,预测六月份销售额为500万元,七月份销售额比六月份增长x%,八月份销售额比七月份增长x%,九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等.若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元,则x的最小值是________.
14.(12分)不等式x2+8y2≥λy(x+y)对于任意的x,y∈R恒成立,求实数λ的取值范围.
15.(12分)已知集合{x∈R|x2-(k+2)x-3k+1≥0}={x|x≤-1或x≥5}.
(1)求实数k的值;
(2)已知t<2,若不等式x2-(k+2)x-3k-m2+4m+15≥0在t≤x≤4上恒成立,求实数m的取值范围.
课时跟踪检测(十六)
1.选BC 不等式≥0可化为≤0,∴解得2
∴0
2.选A 原不等式
所以-1
3.选D 当a=0时,满足条件;当a≠0时,由得0
4.选B 原命题是假命题,则其否定是真命题,即 x∈R,2x2+(a-1)x+>0恒成立,故判别式(a-1)2-4<0,解得-1
5.选A 由题意知,原不等式可化为-(x-2)2+4≥a2-3a在R上有解,∴a2-3a≤4,即(a-4)(a+1)≤0,解得-1≤a≤4.
6.解析:由题意Δ=a2-4(a+3)≤0,
解得-2≤a≤6.
答案:{a|-2≤a≤6}
7.解析:z=(t+10)(-t+35),依题意有(t+10)·(-t+35)≥500,解得10≤t≤15,t∈N,所以t的取值范围为{t|10≤t≤15,t∈N}.
答案:{t|10≤t≤15,t∈N}
8.解析:由题意知,不等式的解集为{x|x<-1或x>4},故(x-a)(x+1)>0 (x+1)(x-4)>0,故a=4.
答案:4
9.解:当1≤x≤3时,mx2-mx-1<-m+5恒成立,即当1≤x≤3时,m(x2-x+1)-6<0恒成立.
∵x2-x+1=2+>0,
∴m<.∵当1≤x≤3时,=,
x=3时,其最小值为,∴只需m<即可.故m的取值范围是.
10.解:(1)设下调后的电价为x元/千瓦时,依题意知用电量增至+a,电力部门的收益为y=(x-0.3)(0.55≤x≤0.75).
(2)依题意有(x-0.3)≥[a×(0.8-0.3)](1+20%),且0.55≤x≤0.75,
整理得
解得0.6≤x≤0.75.
故当电价最低定为0.6元/千瓦时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%.
11.选BC “ x∈R,ax2+ax+1≤0”为假命题,则“ x∈R,ax2+ax+1>0”为真命题,当a=0时,1>0,符合题意,当a≠0时,解得0
12.选A 设提价后杂志的定价为x元,则提价后的销售量为10-×0.1万本,因为销售的总收入不低于42万元,列不等式为x≥42,即(x-6)(x-7)≤0,即6≤x≤7,故选A.
13.解析:由题意,得3 860+500+[500(1+x%)+500(1+x%)2]×2≥7 000,化简得(x%)2+3·x%-0.64≥0,解得x%≥0.2或x%≤-3.2(舍去),所以x≥20,即x的最小值为20.
答案:20
14.解:因为x2+8y2≥λy(x+y)对于任意的x,y∈R恒成立,所以x2+8y2-λy(x+y)≥0对于任意的x,y∈R恒成立,即x2-λyx+(8-λ)y2≥0恒成立,由二次不等式的性质可得,Δ=λ2y2+4(λ-8)y2=y2(λ2+4λ-32)≤0,所以(λ+8)(λ-4)≤0,解得-8≤λ≤4.故实数λ的取值范围是{λ|-8≤λ≤4}.
15.解:(1)由题意可知,-1和5是方程x2-(k+2)x-3k+1=0的两个根,
所以由根与系数的关系得
解得k=2.
(2)由(1)知,k=2,原不等式可化为
x2-4x+9-m2+4m≥0,
所以x2-4x≥m2-4m-9在t≤x≤4(t<2)上恒成立,令y=x2-4x=(x-2)2-4,
因为t≤x≤4(t<2),所以ymin=-4,
所以不等式恒成立等价于m2-4m-9≤-4,
即m2-4m-5≤0,解得-1≤m≤5,
故实数m的取值范围为{m|-1≤m≤5}.
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同课章节目录
第一章 集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念
1.2 集合间的基本关系
1.3 集合的基本运算
1.4 充分条件与必要条件
1.5 全称量词与存在量词
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
2.2 基本不等式
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
第三章 函数概念与性质
3.1 函数的概念及其表示
3.2 函数的基本性质
3.3 幂函数
3.4 函数的应用(一)
第四章 指数函数与对数函数
4.1 指数
4.2 指数函数
4.3 对数
4.4 对数函数
4.5 函数的应用(二)
第五章 三角函数
5.1 任意角和弧度制
5.2 三角函数的概念
5.3 诱导公式
5.4 三角函数的图象与性质
5.5 三角恒等变换
5.6 函数 y=Asin( ωx + φ)
5.7 三角函数的应用
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