第一、二章　集合与常用逻辑用语，一元二次函数、方程和不等式（含解析）高中数学人教A版（2019）必修 第一册

阶段质量评价(一)　第一、二章　集合与常用逻辑用语
一元二次函数、方程和不等式
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．)
1．若集合X＝{x|x>－1}，下列关系式成立的为(　　)
A．0 X　 B．{0}∈X
C． ∈X　 D．{0} X
2．设集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x≤2}，则A∪B＝(　　)
A． B．{x|1C．{x|x≤1或x>2} D．R
3．命题“ x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是(　　)
A． x∈R，x3－x2＋1<0
B． x∈R，x3－x2＋1≥0
C． x∈R，x3－x2＋1>0
D． x∈R，x3－x2＋1≤0
4．不等式ax2－bx＋c>0的解集为{x|－25．王安石在《游褒禅山记》中也说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”．从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的(　　)
A．充分条件 B．既不充分也不必要条件
C．充要条件 D．必要条件
6．若b＞a＞1，则下列不等式一定正确的是(　　)
A．ab>2 B．a＋b<2
C.＜ D.＋>2
7．已知命题p： x∈R，ax2＋2x＋3>0.若命题p为假命题，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
8．已知关于x的不等式ax2＋2bx＋4<0的解集为，其中m<0，则＋的最小值为(　　)
A．－2 B．1
C．2 D．8
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．)
9．已知关于x的不等式t(x＋1)(x－2)－1>0的解集是{x|x1A．x1＋x2－1＝0 B．－1C．|x1－x2|>3 D．x1x2＋2>0
10．设a>1>b>－1，b≠0，则下列不等式恒成立的是(　　)
A.< B.>
C．a>b2 D．a2>b2
11．下列说法正确的是(　　)
A．命题“ x∈R，x2>－1”的否定是“ x∈R，x2≤－1”
B．命题“ x>－3，x2≤9”的否定是“ x>－3，x2>9”
C．“|x|>|y|”是“x>y”的必要条件
D．“m<0”是“关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正一负根”的充要条件
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上)
12．已知全集U＝{1, 2, 3, 4, 5, 6}，集合P＝{1, 3, 5}，Q＝{1, 2, 4}，则( UP)∪Q＝________.
13．某公司计划建造一间体积为600 m3的长方体实验室，该实验室高为3 m，地面每平方米的造价为120元，天花板每平方米的造价为240元，四面墙壁每平方米的造价为160元，则该实验室造价的最小值约为____________万元．(参考数据：≈1.414)
14．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y均为正数，则＋≥，当且仅当＝时，等号成立．根据权方和不等式，＋的最小值为__________．
四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(13分)已知全集U＝R，A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|2≤x<5}，C＝{x|x>a}．
(1)求A∩( UB)；
(2)若A∪C＝C，求a的取值范围．
16．(15分)已知x>0，y>0，且＋＝1.
(1)求x＋y的最小值；
(2)若xy>m2＋6m恒成立，求实数m的取值范围．
17．(15分)已知命题p：方程x2＋tx＋t＝0没有实数根．
(1)若綈p是假命题，求实数t的取值集合A；
(2)在(1)的条件下，已知非空集合B＝{t|2a－118．(17分)某住宅小区为了营造一个优雅、舒适的生活环境，打算建造一个八边形的休闲花园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成面积为200米2的十字形区域，且计划在正方形MNPK上建一座花坛，其造价为4 200元/米2，在四个相同的矩形上(图中的阴影部分)铺花岗岩路面，其造价为210元/米2，并在四个三角形空地上铺草坪，其造价为80元/米2.
(1)设AD的长为x米，试写出总造价Q(单位：元)关于x的函数解析式；
(2)当x取何值时，总造价最少？求出这个最小值．
19．(17分)已知不等式x2＋mx＋n<0的解集为{x|1(1)求m和n的值；
(2)若x2＋mx＋n≥ax对任意x>0恒成立，求实数a的取值范围．
阶段质量评价(一)
1．选D　元素0与集合X之间为∈或 的关系，A错误；集合{0}与集合X之间为 或 的关系，B错误； 与集合X之间为 或 的关系，C错误；集合{0}是集合X的子集，故{0} X，D正确．
2．选D　因为A＝{x|x>1}，B＝{x|x≤2}，所以A∪B＝R.
3．选C　由存在量词命题的否定可得，所给命题的否定为“ x∈R，x3－x2＋1>0”．故选C.
4．选C　根据题意，ax2－bx＋c>0的解集为{x|－25．选D　由题意，“有志”不一定“能至”，但是“能至”一定“有志”，所以“有志”是“能至”的必要条件．故选D.
6．选D　令b＝，a＝，则ab＝×＝2，故A错误；因为a>1，b＞1，所以a＋b＞2，故B错误；又－＝，已知b＞a＞1则b－a＞0，ab＞0，所以－＞0，即＞，故C错误；＋≥2＝2，且b＞a＞1，所以等号不成立，所以＋＞2，故D正确．
7．选C　若a＝0，则不等式等价为2x＋3>0，对于 x∈R不成立，若a≠0，则解得a>，∴命题p为真命题的实数a的取值范围是，
∴命题p为假命题的实数a的取值范围是.
8．选C　由题意可知，方程ax2＋2bx＋4＝0的两个根为m，，则m·＝，解得a＝1，故m＋＝－2b.因为m<0，所以2b＝－m－≥2＝4，当且仅当－m＝－，即m＝－2时，等号成立．则b≥2，所以＋＝＋≥2＝2，当且仅当＝，即b＝4时，等号成立．故＋的最小值为2.
9．选ABD　由t(x＋1)(x－2)－1>0，即tx2－tx－2t－1>0的解集为{x|x1－2，故A、D正确；x2－x1＝＝<3，故C错误；由对称性可知x1>－＝－1，x2<2，故B正确．
10．选CD　若a＝2，b＝－，此时满足a>1>b>－1，但>，故A错误；若a＝2，b＝，此时满足a>1>b>－1，但<，故B错误；由a>1>b>－1可得a>1>b2，故C正确；由a>1>b>－1可得a2>1>b2，故D正确．
11．选ABD　命题“ x∈R，x2>－1”的否定是“ x∈R，x2≤－1”，故A正确；命题“ x>－3，x2≤9”的否定是“ x>－3，x2>9”，故B正确；|x|>|y|不能推出x>y，例如|－2|>|1|，但－2<1；x>y也不能推出|x|>|y|，例如1>－2，而|1|<|－2|，所以“|x|>|y|”是“x>y”的既不充分也不必要条件，故C错误；关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正一负根 m<0，所以“m<0”是“关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正一负根”的充要条件，故D正确．
12．解析：( UP)∪Q＝{2, 4, 6}∪{1, 2, 4}＝{1, 2, 4, 6}．
答案：{1,2,4,6}
13．解析：由题意得，地面面积和天花板面积均为200 m2.设实验室造价为y元，地面的长为x m，则宽为 m，墙壁面积为m2.所以y＝(120＋240)×200＋160×≥72 000＋320＝72 000＋19 200≈9.91万元，当且仅当6x＝，即x＝10时，等号成立．
答案：9.91
14．解析：因为00，所以＋＝＋≥＝8，当且仅当＝，即x＝时，等号成立．所以＋的最小值为8.
答案：8
15．解：(1)A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，且B＝{x|2≤x<5}，U＝R，所以 UB＝{x|x<2或x≥5}，所以A∩( UB)＝{x|－1≤x<2}．
(2)由A∪C＝C，得A C，又C＝{x|x>a}，A＝{x|－1≤x≤3}，所以a的取值范围是{a|a<－1}．
16．解：(1)因为x>0，y>0，所以x＋y＝(x＋y)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即x＝3，y＝6时，等号成立．所以x＋y的最小值为9.
(2)因为x>0，y>0，所以1＝＋≥2＝，所以xy≥16，当且仅当＝，即x＝2，y＝8时，等号成立．因为xy>m2＋6m恒成立，所以16>m2＋6m，解得－8所以实数m的取值范围为{x|－817．解：(1)由方程x2＋tx＋t＝0没有实数根，
得Δ＝t2－4t<0，解得0由綈p是假命题，则p是真命题，
所以实数t的取值集合A＝{t|0(2)由(1)知，A＝{t|0选①，t∈A是t∈B的充分不必要条件，则A?B，于是或无解，
所以不存在实数a，使得t∈A是t∈B的充分不必要条件．
选②，t∈A是t∈B的必要不充分条件，则B?A，于是或而a<2，解得≤a<2，所以存在实数a，使得t∈A是t∈B的必要不充分条件，实数a的取值范围是.
18．解：(1)设AM＝y，又AD＝x，
则x2＋4xy＝200，∴y＝.
故Q＝4 200x2＋210×4xy＋80×2y2
＝38 000＋4 000x2＋(0(2)令t＝x2，则Q＝38 000＋4 000，
且0故当x＝时，Qmin＝118 000(元)．
19．解：(1)由题意知1,4是关于x的方程x2＋mx＋n＝0的两个根．所以－m＝1＋4＝5，n＝1×4＝4，故m＝－5，n＝4.
(2)由(1)易知x2－5x＋4≥ax对任意x>0恒成立，即a≤x＋－5对任意x>0恒成立，即a≤min，x>0.因为x＋≥2＝4(当且仅当x＝2时，等号成立)，所以x＋－5≥－1，所以min＝－1，即a的取值范围是{a|a≤－1}．