（进阶篇）五年级暑假分层作业第三单元《因数与倍数》（含解析）-2024-2025学年下学期小学数学苏
文档属性
| 名称 | （进阶篇）五年级暑假分层作业第三单元《因数与倍数》（含解析）-2024-2025学年下学期小学数学苏 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 194.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-07-07 21:51:27 | ||
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文档简介
（进阶篇）五年级暑假分层作业第三单元《因数与倍数》（含解析）-2024-2025学年下学期小学数学苏教版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．两个偶数，它们的最小公倍数是40，这两个偶数是（ ）。
A．4和8 B．4和10 C．8和10
2．两个质数的积一定是（ ）。
A．偶数 B．奇数 C．合数 D．不确定
3．哥德巴赫猜想被誉为“数学皇冠上的明珠”，猜想认为：任何大于2的偶数都可以写成两个质数之和。下面的式子中反映这个猜想的是（ ）。
A．4＝1＋3 B．13＝2＋11 C．54＝3＋51 D．36＝7＋29
4．某班的学生不论分成6人一组还是7人一组，都刚好分完，则下面各数中，（ ）可能是这个班的人数。
A．30 B．48 C．40 D．42
5．6的因数有1、2、3、6，这几个因数之间的关系是1＋2＋3＝6，像这样的数叫完全数。下面的数中，（ ）是完全数。
A．8 B．18 C．28 D．17
6．如果是自然数，那么（ ）。
A．一定是奇数 B．一定是偶数
C．既可能是奇数，也可能是偶数 D．不可能是奇数，也不可能是偶数
7．一个数除去本身这个因数后，其它所有因数的和等于这个数，像这样的数叫做“完全数”。例如：6的因数有1、2、3、6，除去它本身6外，其余3个数相加，1＋2＋3＝6。下面几个数中，（ ）也是完全数。
A．8 B．18 C．28 D．48
8．算式的积是（ ）。
A．奇数 B．偶数 C．质数 D．倍数
二、填空题
9．( )( )( )( )( )( )。
10．三个连续奇数的和是63，最小的奇数是( )。
11．使35□成为2的倍数，□里可以填( )。使35□成为5的倍数，□里可以填( )。使35□既是2的倍数，又有因数5，□里可以填( )。
12．最小的质数与最小的两位数的积是( )，把它分解质因数是( )。
13．哥德巴赫猜想说：每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和，如果把168表示为两位质数的和，并且其中一个数的个位数是1，那么这两个质数是( )和( )。
14．如果a、b均为不是0的自然数，且，则a、b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。
15．大雪后的某一天，豆豆和爸爸从同一点出发沿着同一方向分别步测一个圆形花圃的周长。豆豆每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，由于两个人的脚印有重合，所以雪地上只留下60个脚印。请问：花圃的周长是( )米。
三、判断题
16．质数一定是奇数，合数一定是偶数。( )
17．把60分解质因数是60＝2×3×10。( )
18．如果是奇数，那么的结果还是奇数。( )
19．把一张长是18厘米、宽是12厘米的长方形裁成同样大的正方形，如果要求纸没有剩余，裁出的正方形边长最大是6厘米。( )
四、计算题
20．先从下面各数中圈出合数，再把圈出的合数分解质因数。
12 13 18 29 35 42 47 70
21．下面每组数中，哪个数是哪个数的倍数？哪个数是哪个数的因数？
5和10 6和72 91和13 57和19
五、作图题
22．把下面的图分割成几个面积最大并且相等的正方形（没有剩余），写出计算过程，并在图中画一画。
六、解答题
23．小明家无线网的密码是一个八位数。从左边数，第一位数既不是质数也不是合数，第二位数是最小的合数，第三位数既是奇数又是合数，第四位数既是偶数又是质数，第五位数是8的最小因数，其余各位上的数都是最小的自然数。小明家无线网的密码是多少？
24．“孪生质数猜想”是著名的数学猜想之一，1849年，数学家阿尔方·德·波利尼亚克提出了一般的猜想，即对所有自然数K，存在无穷多个质数对（P，P＋2K）K＝1的情况就是孪生质数猜想。孪生质数猜想”中所说的“孪生质数”是指相差为2的两个质数。如3和5都是质数，5－3＝2，所以，3和5就是一对孪生质数，5和7也是一对孪生质数。
（1）写出20以内除了3和5和7以外的所有孪生质数。
（2）如果用a和b表示任意一对孪生质数（a均大于2）那么2a＋b的和一定是 （填“奇数”或“偶数”）。
25．用若干张长12厘米、宽8厘米的长方形彩纸拼成一个正方形，正方形的边长最少是多少厘米？拼成这个正方形需要多少张这样的长方形彩纸？
26．小青家储藏室长16分米，宽12分米，用正方形的地砖铺地正好铺满（且不需要切割），正方形的地砖边长最大是多少分米？一共需要多少块这样的地砖？
27．用长15厘米、宽12厘米的长方形，照下图的样子拼成正方形。拼成的正方形的边长最小是多少厘米？一共需要多少个长方形？
《（进阶篇）五年级暑假分层作业第三单元《因数与倍数》（含解析）-2024-2025学年下学期小学数学苏教版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C D D C B C B
1．C
【分析】能被2整除的数叫偶数；根据求两个数的最大公因数和求最小公倍数的方法：求两个数的最大公因数和求两个数的最小公倍数，首先把这两个数分解质因数，公有质因数的积是它们的最大公因数，公有质因数和各自独有质因数的连乘积是它们的最小公倍数。由此解答。
【详解】A．4和8是倍数关系，最小公倍数是8，不符合题意；
B．4＝2×2，10＝2×5，最小公倍数是2×2×5＝20，不符合题意；
C．8＝2×2×2，10＝2×5，最小公倍数是2×2×2×5＝40。不符合题意。
故答案为：C
2．C
【分析】质数是指除了1和它本身的两个因数以外再没有其他的因数的数。合数是指就除了1和它本身的两个因数以外还有其他的因数的数。不能被2整除的自然数叫奇数，能被2整除的自然数叫偶数。据此解答即可。
【详解】质数×质数＝积，积是两个质数的倍数，这两个质数也就是这个积的因数，这样积的因数除了1和它本身外还有这两个质数，所以它们的积一定是合数；
还可以举例子来说明：比如质数2和5的积是偶数，也是合数；质数3和5的积是奇数，也是合数；两个质数的积至少有3个因数，所以一定是合数；所以两个质数的积一定是合数，不一定是奇数或偶数。
故答案为：C
【点睛】本题主要考查学生奇偶数、质数、合数定义的掌握和灵活运用。
3．D
【分析】根据质数的定义，除了1和本身外，没有其它因数的数叫质数；根据题意“这个猜想的内容是任何大于2的偶数都是两个质数之和”进行判断逐项分析即可。
【详解】A．“4＝1＋3”中1既不是质数，也不是合数，不符合猜想；
B．“13＝2＋11”中13是奇数，不是偶数，不符合猜想；
C．“54＝3＋51”中51是合数，不是质数，不符合猜想；
D．“36＝17＋19”中36是偶数，7和29是质数，符合猜想。
哥德巴赫猜想被誉为“数学皇冠上的明珠”，猜想认为：任何大于2的偶数都可以写成两个质数之和。下面的式子中反映这个猜想的是36＝7＋29。
故答案为：D
【点睛】此题考查了质数的意义以及拓展应用，要熟练掌握熟练掌握质数的意义是解答本题的关键。
4．D
【分析】根据题意，不论分成6人一组还是7人一组，都刚好分完，说明这个班的人数是6和7的公倍数，先求出6和7的最小公倍数，再找出这个最小公倍数的倍数，然后看三个选项中的数是否是这个最小公倍数的倍数，进而得解。
【详解】6和7的最小公倍数是：
某班的学生不论分成6人一组还是7人一组，都刚好分完，则下面各数中，42可能是这个班的人数。
故答案为：D
5．C
【分析】根据题意，分别找出各选项的所有因数，除了这个因数本数，其它因数之和等于这个因数本数，就是完全数，据此解答。
【详解】A．8的因数有：1，2，4，8
1＋2＋4＝7
7≠8；不是完全数；
B．18的因数有：1，2，3，6，9，18
1＋2＋3＋6＋9＝21
21≠18，不是完全数
C．28的因数有：1，2，4，7，14，28
1＋2＋4＋7＋14＝28
28＝28，是完美因完全数
D．17的因数有1，17
1＋17＝18
18≠17，不是完美完全数
故答案为：C
【点睛】本题考查完美因数的理解，掌握完美因数的意义是解答本题的关键。
6．B
【分析】根据偶数和奇数的定义：自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数，根据奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数，偶数＋奇数＝奇数，所以无论x是奇数还是偶数，2x都表示偶数；如果是自然数，，一定是偶数，是奇数，一定是偶数。
【详解】
＝
如果是自然数，那么一定是偶数。
故答案为：B
7．C
【分析】求一个数的因数的方法：用这个数分别除以自然数1，2，3，4，5，6…，一直除到商和除数互换位置结束，把能整除的商和除数按从小到大顺序写出来，就是这个数的因数，重复的只写一个，据此写出8、18、28、48的因数，然后根据题中的方法分析找出，即可得出答案。
【详解】A．8的因数有：1、2、4、8，所以
1＋2＋4
＝3＋4
＝7；
B．18的因数：1、2、3、6、9、18，所以
1＋2＋3＋6＋9
＝3＋3＋6＋9
＝6＋6＋9
＝12＋9
＝21；
C．28的因数有：1、2、4、7、14、28，所以
1＋2＋4＋7＋14
＝3＋4＋7＋14
＝7＋7＋14
＝14＋14
＝28；
D．48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24、48，所以
1＋2＋3＋4＋6＋8＋12＋24
＝3＋3＋4＋6＋8＋12＋24
＝6＋4＋6＋8＋12＋24
＝10＋6＋8＋12＋24
＝16＋8＋12＋24
＝24＋12＋24
＝36＋24
＝60；
因此只有C项符合题意。
故答案为：C
【点睛】本题主要考查求一个数的因数的方法，此题先求出因数然后根据“完全数”的含义分析。
8．B
【分析】从“”中，可找到规律，式子中第一个乘数为：3×1＝3，第二个乘数为：3×2＝6，第三个乘数为：3×3＝9，第n个乘数为：3n，因为最后一个数为33，所以这个式子中一共有乘数：33÷3＝11（个），3的奇数倍都为奇数，3的偶数倍都为偶数，所以原式可看成：，把每个“奇数×偶数”看成一组，那么一共有5组“奇数×偶数”和一个奇数相乘。所以5组“奇数×偶数”和一个奇数相乘就相当于“偶数×偶数×偶数×偶数×偶数×奇数”，最终的结果为偶数。
【详解】由分析可知：原式一共有乘数：33÷3＝11（个）
可将原式看成：
＝偶数×偶数×偶数×偶数×偶数×奇数
＝偶数×奇数
＝偶数
故答案为：B
【点睛】本题考查积的奇偶性的灵活运用，注意：奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数。
9． 2 15 3 10 5 6
【分析】根据列乘法算式找一个数的因数的方法：按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个数就是这个数的因数，据此解答。
【详解】30＝1×30
30＝2×15
30＝3×10
30＝5×6
因此30＝1×30＝2×15＝3×10＝5×6。
【点睛】解答本题的关键是掌握求一个数的因数的方法，也可以列除法算式找因数。
10．19
【分析】可用连续三个奇数的和除以3，得到的是这三个连续奇数的平均数即连续三个奇数的中间一个数，然后再用中间的数分别减去2即可得到答案。
【详解】三个连续奇数的平均数为：63÷3＝21；
最小的奇数为：21－2＝19
最小的奇数是19。
【点睛】此题主要利用计算平均数的方法求得三个连续奇数的中间一个数，然后再分别计算出另外两个数即可。
11． 0、2、4、6、8 0、5 0
【分析】个位数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数；个位数字是0或5的数是5的倍数；同时是2和5的倍数特征：个位数字是0；据此解答。
【详解】使35□成为2的倍数，□里可以填0、2、4、6、8；使35□成为5的倍数，□里可以填0、5；使35□既是2的倍数，又有因数5，□里可以填0。
【点睛】掌握2、5的倍数特征是解答题目的关键。
12． 20 20＝2×2×5
【分析】最小的质数是2，最小的两位数是10，用乘法计算出它们的乘积即可；再把结果写成几个质数相乘的形式即可解答。
【详解】最小的质数是2，最小的两位数是10
2×10＝20
20＝2×2×5
所以，最小的质数与最小的两位数的积是20，把它分解质因数是20＝2×2×5。
13． 71 97
【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数；整数中，是2的倍数的数叫做偶数。
100以内的两位数且个位数是1的质数有：11、31、41、61、71；因为和为168的两个质数都是两位数，据此确定这两个质数。
【详解】168＝71＋97
这两个质数是71和97。
【点睛】掌握质数、偶数的意义，根据“哥德巴赫猜想”，以及“质数是两位数”且“其中一个质数的个位数是1”这两个条件解答。
14． 1 ab
【分析】根据题意，a－1＝b，所以a－b＝1，a和b是相邻的两个自然数，即a和b是互质数，根据两个数是互质数的最大公因数和最小公倍数的求法：它们的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积，据此解答。
【详解】根据分析可知，如果a、b均为不是0的自然数，则a－1＝b，则a、b的最大公因数是1，最小公倍数是ab。
【点睛】熟练掌握两个数为互质数时，最大公因数和最小公倍数的求法。
15．21.6
【分析】已知豆豆每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，那么54和72的最小公倍数就是他们步长的最小公倍数，即216厘米，用216除以豆豆和爸爸每步的长，即可得知豆豆走四步和爸爸走三步的距离是一样的。由于人的脚印有重合，所以平均每走216厘米，雪地上会留下（4＋3－1）＝6个脚印（因为是圆形，第一步的脚印，正好是最后一步的，所以是6个脚印）。每走216厘米，雪地上留下的脚印数＝6，又知雪地上留下60个脚印，所以他们走了60÷6＝10次的216厘米，所以周长＝216×10＝2160厘米，据此解答。
【详解】54＝2×3×3×3
72＝2×2×2×3×3
2×2×2×3×3×3
＝4×2×3×3×3
＝8×3×3×3
＝24×3×3
＝72×3
＝216
72与54的最小公倍数是216。
每走216厘米会留下的脚印为：216÷72＋216÷54－1
＝3＋4－1
＝7－1
＝6（个）
花圃的周长是：216×（60÷6）
＝216×10
＝2160（厘米）
2160厘米＝21.6米
这个花圃的周长是21.6米。
【点睛】本题主要通过求解豆豆和爸爸步长的最小公倍数，然后根据脚印数量推算出花圃的周长。
16．×
【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。
一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。
一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。
【详解】如：质数2是偶数，合数9是奇数。
所以，质数不一定是奇数，合数也不一定是偶数。
原题说法错误。
故答案为：×
17．×
【分析】分解质因数是把合数分解成若干个质因数相乘的形式。
【详解】60＝2×3×10中10不是质数，把60分解质因数应是60＝2×2×3×5。
原题说法错误。
故答案为：×
18．×
【分析】在整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数，且奇数＋奇数＝偶数，据此分析。
【详解】如果是奇数，1093是奇数，由奇数奇数偶数，可知的结果是偶数，所以原题说法错误。
故答案为：×
【点睛】关键是理解奇数、偶数的分类标准，掌握奇数和偶数的运算性质。
19．√
【分析】根据题意，裁出的正方形边长最大是18和12的最大公因数。据此解题。
【详解】18＝2×3×3
12＝3×2×2
2×3＝6
所以，裁出的正方形边长最大是6厘米。
故答案为：√
【点睛】本题考查了最大公因数。求最大公因数时，先将两个数分解质因数，再将两数共有的质因数相乘即可。
20．合数有：12，18，35，42，70
；；；；
【分析】合数是指在大于1的自然数中，除了含有1和本身两个因数以外，还含有其他的因数。例如，4除了有1和4这两个因数外，还含有2这个因数，因此4是合数。由此判断即可。
【详解】12除了含有1和12两个因数外，还含有2，3，6，4这些因数，因此是合数；
13只含有1和13两个因数，因此是质数；
18除了含有1和18两个因数外，还含有2，3，6，9这些因数，因此是合数；
29只含有1和29两个因数，因此是质数；
35除了含有1和35两个因数外，还含有5，7两个因数，因此是合数；
42除了含有1和42两个因数外，还含有2，3，6，7，14，21这些因数，因此是合数；
70除了含有1和70两个因数外，还含有2，5，7，10，14，35这些因数，因此是合数；
综上，合数有：12，18，35，42，70；
12＝2×2×3
18＝2×3×3
35＝5×7
42＝2×3×7
70＝2×5×7
21．5是10的因数，10是5的倍数；6是72的因数，72是6的倍数；13是91的因数，91是13的倍数；19是57的因数，57是19的倍数
【分析】根据因数和倍数的意义：在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数，据此解答。
【详解】由10÷5＝2得，5和2是10的因数，10是5和2的倍数；
由72÷6＝12得，6和12是72的因数，72是6和12的倍数；
由91÷13＝7得，13和7是91的因数，91是13和7的倍数；
由57÷19＝3得，19和3是57的因数，57是19和3的倍数。
因此5和10中，5是10的因数，10是5的倍数；6和72中，6是72的因数，72是6的倍数；91和13中，13是91的因数，91是13的倍数；57和19中，19是57的因数，57是19的倍数。
22．见详解
【分析】分别数出整个长方形的长和宽，求出长和宽的最大公因数就是分割成的最大正方形的边长，全部共有的质因数相乘的积就是这几个数的最大公因数。据此确定正方形的边长，作图即可。
【详解】长方形的长16cm，宽12cm。
16＝2×2×2×2
12＝2×2×3
2×2＝4（cm）
正方形边长最长是4cm，作图如下：
23．14921000
【分析】八位数的每个数位的数字在0到9之间，第一位数既不是质数也不是合数的数是1；最小的合数是4；既是奇数又是合数是9；既是偶数又是质数是2，8的最小因数是1；最小的自然数是0。
【详解】第一位数既不是质数也不是合数的数：1；
第二位最小的合数：4；
第三位既是奇数又是合数：9；
第四位既是偶数又是质数：2；
第五位8的最小因数：1；
其他三位最小的自然数：0；
则小明家无线网的密码是多少14921000。
24．（1）11和13；17和19
（2）奇数
【分析】（1）首先根据质数的定义，只含有1和本身2个因数的数，称为质数，则依据100以内的质数表即可解答；
（2）a、b都是奇数，2a是偶数，偶数×奇数＝偶数，偶数＋奇数＝奇数，那么2a＋b的和一定是奇数。
【详解】（1） 13－11＝2
19－17＝2
20以内除了3和5，5和7以外孪生质数有11和13；17和19。
（2）a、b都是奇数，2a是偶数，偶数＋奇数＝奇数，2a＋b的和一定是奇数。
所以2a＋b的和一定是奇数。
25．24厘米；6张
【分析】正方形边长最小，则拼成正方形的边长是12和8的最小公倍数；两个数的公有质因数与每一个数的独有质因数的连乘积，就是两个数的最小公倍数；如果两个数为倍数关系，最小公倍数为较大的那个数；如果两个数为互质数，最小公倍数就是几个数的乘积；据此求出拼成正方形的边长，再根据正方形面积公式：面积＝边长×边长；长方形面积公式：面积＝长×宽；用拼成正方形面积÷长方形彩纸面积，即可解答。
【详解】12＝2×2×3
8＝2×2×2
12和8的最小公倍数是2×2×3×2＝24，拼成正方形边长是24厘米。
（24×24）÷（12×8）
＝576÷96
＝6（张）
答：正方形的边长最少是24厘米，拼成这个正方形需要6张这样的长方形彩纸。
26．4分米；12块
【分析】用正方形的地砖铺地正好铺满（且不需要切割），正方形的地砖边长最大值是客厅长和宽的最大公因数；因为正好铺满，所以储藏室的面积＝这些正方形地砖面积，由此可得：地砖的块数＝储藏室的面积÷每块正方形地砖面积。
【详解】储藏室的长、宽是16和12，16＝2×2×2×2，12＝2×2×3，则12和16的最大公因数是：2×2＝4。则地砖边长最大是4分米。
（16×12）÷（4×4）
＝192÷16
＝12（块）
答：正方形的地砖边长最大是4分米，一共需要12块这样的地砖。
27．60厘米；20个
【分析】根据题意，拼成的正方形的边长是15厘米、12厘米的公倍数，拼成的最小边长是这两个数的最小公倍数。据此先求出正方形的最小边长，再分别利用除法求出需要几行几列的小长方形，从而利用乘法求出一共需要多少个长方形。
【详解】15＝3×5
12＝3×2×2
3×5×2×2＝60
所以，15和12的最小公倍数是60。
（60÷15）×（60÷12）
＝4×5
＝20（个）
答：拼成的正方形的边长最小是60厘米，一共需要20个长方形。
【点睛】本题考查了公倍数和最小公倍数，掌握最小公倍数的求法是解题的关键。
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．两个偶数，它们的最小公倍数是40，这两个偶数是（ ）。
A．4和8 B．4和10 C．8和10
2．两个质数的积一定是（ ）。
A．偶数 B．奇数 C．合数 D．不确定
3．哥德巴赫猜想被誉为“数学皇冠上的明珠”，猜想认为：任何大于2的偶数都可以写成两个质数之和。下面的式子中反映这个猜想的是（ ）。
A．4＝1＋3 B．13＝2＋11 C．54＝3＋51 D．36＝7＋29
4．某班的学生不论分成6人一组还是7人一组，都刚好分完，则下面各数中，（ ）可能是这个班的人数。
A．30 B．48 C．40 D．42
5．6的因数有1、2、3、6，这几个因数之间的关系是1＋2＋3＝6，像这样的数叫完全数。下面的数中，（ ）是完全数。
A．8 B．18 C．28 D．17
6．如果是自然数，那么（ ）。
A．一定是奇数 B．一定是偶数
C．既可能是奇数，也可能是偶数 D．不可能是奇数，也不可能是偶数
7．一个数除去本身这个因数后，其它所有因数的和等于这个数，像这样的数叫做“完全数”。例如：6的因数有1、2、3、6，除去它本身6外，其余3个数相加，1＋2＋3＝6。下面几个数中，（ ）也是完全数。
A．8 B．18 C．28 D．48
8．算式的积是（ ）。
A．奇数 B．偶数 C．质数 D．倍数
二、填空题
9．( )( )( )( )( )( )。
10．三个连续奇数的和是63，最小的奇数是( )。
11．使35□成为2的倍数，□里可以填( )。使35□成为5的倍数，□里可以填( )。使35□既是2的倍数，又有因数5，□里可以填( )。
12．最小的质数与最小的两位数的积是( )，把它分解质因数是( )。
13．哥德巴赫猜想说：每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和，如果把168表示为两位质数的和，并且其中一个数的个位数是1，那么这两个质数是( )和( )。
14．如果a、b均为不是0的自然数，且，则a、b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。
15．大雪后的某一天，豆豆和爸爸从同一点出发沿着同一方向分别步测一个圆形花圃的周长。豆豆每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，由于两个人的脚印有重合，所以雪地上只留下60个脚印。请问：花圃的周长是( )米。
三、判断题
16．质数一定是奇数，合数一定是偶数。( )
17．把60分解质因数是60＝2×3×10。( )
18．如果是奇数，那么的结果还是奇数。( )
19．把一张长是18厘米、宽是12厘米的长方形裁成同样大的正方形，如果要求纸没有剩余，裁出的正方形边长最大是6厘米。( )
四、计算题
20．先从下面各数中圈出合数，再把圈出的合数分解质因数。
12 13 18 29 35 42 47 70
21．下面每组数中，哪个数是哪个数的倍数？哪个数是哪个数的因数？
5和10 6和72 91和13 57和19
五、作图题
22．把下面的图分割成几个面积最大并且相等的正方形（没有剩余），写出计算过程，并在图中画一画。
六、解答题
23．小明家无线网的密码是一个八位数。从左边数，第一位数既不是质数也不是合数，第二位数是最小的合数，第三位数既是奇数又是合数，第四位数既是偶数又是质数，第五位数是8的最小因数，其余各位上的数都是最小的自然数。小明家无线网的密码是多少？
24．“孪生质数猜想”是著名的数学猜想之一，1849年，数学家阿尔方·德·波利尼亚克提出了一般的猜想，即对所有自然数K，存在无穷多个质数对（P，P＋2K）K＝1的情况就是孪生质数猜想。孪生质数猜想”中所说的“孪生质数”是指相差为2的两个质数。如3和5都是质数，5－3＝2，所以，3和5就是一对孪生质数，5和7也是一对孪生质数。
（1）写出20以内除了3和5和7以外的所有孪生质数。
（2）如果用a和b表示任意一对孪生质数（a均大于2）那么2a＋b的和一定是 （填“奇数”或“偶数”）。
25．用若干张长12厘米、宽8厘米的长方形彩纸拼成一个正方形，正方形的边长最少是多少厘米？拼成这个正方形需要多少张这样的长方形彩纸？
26．小青家储藏室长16分米，宽12分米，用正方形的地砖铺地正好铺满（且不需要切割），正方形的地砖边长最大是多少分米？一共需要多少块这样的地砖？
27．用长15厘米、宽12厘米的长方形，照下图的样子拼成正方形。拼成的正方形的边长最小是多少厘米？一共需要多少个长方形？
《（进阶篇）五年级暑假分层作业第三单元《因数与倍数》（含解析）-2024-2025学年下学期小学数学苏教版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C D D C B C B
1．C
【分析】能被2整除的数叫偶数；根据求两个数的最大公因数和求最小公倍数的方法：求两个数的最大公因数和求两个数的最小公倍数，首先把这两个数分解质因数，公有质因数的积是它们的最大公因数，公有质因数和各自独有质因数的连乘积是它们的最小公倍数。由此解答。
【详解】A．4和8是倍数关系，最小公倍数是8，不符合题意；
B．4＝2×2，10＝2×5，最小公倍数是2×2×5＝20，不符合题意；
C．8＝2×2×2，10＝2×5，最小公倍数是2×2×2×5＝40。不符合题意。
故答案为：C
2．C
【分析】质数是指除了1和它本身的两个因数以外再没有其他的因数的数。合数是指就除了1和它本身的两个因数以外还有其他的因数的数。不能被2整除的自然数叫奇数，能被2整除的自然数叫偶数。据此解答即可。
【详解】质数×质数＝积，积是两个质数的倍数，这两个质数也就是这个积的因数，这样积的因数除了1和它本身外还有这两个质数，所以它们的积一定是合数；
还可以举例子来说明：比如质数2和5的积是偶数，也是合数；质数3和5的积是奇数，也是合数；两个质数的积至少有3个因数，所以一定是合数；所以两个质数的积一定是合数，不一定是奇数或偶数。
故答案为：C
【点睛】本题主要考查学生奇偶数、质数、合数定义的掌握和灵活运用。
3．D
【分析】根据质数的定义，除了1和本身外，没有其它因数的数叫质数；根据题意“这个猜想的内容是任何大于2的偶数都是两个质数之和”进行判断逐项分析即可。
【详解】A．“4＝1＋3”中1既不是质数，也不是合数，不符合猜想；
B．“13＝2＋11”中13是奇数，不是偶数，不符合猜想；
C．“54＝3＋51”中51是合数，不是质数，不符合猜想；
D．“36＝17＋19”中36是偶数，7和29是质数，符合猜想。
哥德巴赫猜想被誉为“数学皇冠上的明珠”，猜想认为：任何大于2的偶数都可以写成两个质数之和。下面的式子中反映这个猜想的是36＝7＋29。
故答案为：D
【点睛】此题考查了质数的意义以及拓展应用，要熟练掌握熟练掌握质数的意义是解答本题的关键。
4．D
【分析】根据题意，不论分成6人一组还是7人一组，都刚好分完，说明这个班的人数是6和7的公倍数，先求出6和7的最小公倍数，再找出这个最小公倍数的倍数，然后看三个选项中的数是否是这个最小公倍数的倍数，进而得解。
【详解】6和7的最小公倍数是：
某班的学生不论分成6人一组还是7人一组，都刚好分完，则下面各数中，42可能是这个班的人数。
故答案为：D
5．C
【分析】根据题意，分别找出各选项的所有因数，除了这个因数本数，其它因数之和等于这个因数本数，就是完全数，据此解答。
【详解】A．8的因数有：1，2，4，8
1＋2＋4＝7
7≠8；不是完全数；
B．18的因数有：1，2，3，6，9，18
1＋2＋3＋6＋9＝21
21≠18，不是完全数
C．28的因数有：1，2，4，7，14，28
1＋2＋4＋7＋14＝28
28＝28，是完美因完全数
D．17的因数有1，17
1＋17＝18
18≠17，不是完美完全数
故答案为：C
【点睛】本题考查完美因数的理解，掌握完美因数的意义是解答本题的关键。
6．B
【分析】根据偶数和奇数的定义：自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数，根据奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数，偶数＋奇数＝奇数，所以无论x是奇数还是偶数，2x都表示偶数；如果是自然数，，一定是偶数，是奇数，一定是偶数。
【详解】
＝
如果是自然数，那么一定是偶数。
故答案为：B
7．C
【分析】求一个数的因数的方法：用这个数分别除以自然数1，2，3，4，5，6…，一直除到商和除数互换位置结束，把能整除的商和除数按从小到大顺序写出来，就是这个数的因数，重复的只写一个，据此写出8、18、28、48的因数，然后根据题中的方法分析找出，即可得出答案。
【详解】A．8的因数有：1、2、4、8，所以
1＋2＋4
＝3＋4
＝7；
B．18的因数：1、2、3、6、9、18，所以
1＋2＋3＋6＋9
＝3＋3＋6＋9
＝6＋6＋9
＝12＋9
＝21；
C．28的因数有：1、2、4、7、14、28，所以
1＋2＋4＋7＋14
＝3＋4＋7＋14
＝7＋7＋14
＝14＋14
＝28；
D．48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24、48，所以
1＋2＋3＋4＋6＋8＋12＋24
＝3＋3＋4＋6＋8＋12＋24
＝6＋4＋6＋8＋12＋24
＝10＋6＋8＋12＋24
＝16＋8＋12＋24
＝24＋12＋24
＝36＋24
＝60；
因此只有C项符合题意。
故答案为：C
【点睛】本题主要考查求一个数的因数的方法，此题先求出因数然后根据“完全数”的含义分析。
8．B
【分析】从“”中，可找到规律，式子中第一个乘数为：3×1＝3，第二个乘数为：3×2＝6，第三个乘数为：3×3＝9，第n个乘数为：3n，因为最后一个数为33，所以这个式子中一共有乘数：33÷3＝11（个），3的奇数倍都为奇数，3的偶数倍都为偶数，所以原式可看成：，把每个“奇数×偶数”看成一组，那么一共有5组“奇数×偶数”和一个奇数相乘。所以5组“奇数×偶数”和一个奇数相乘就相当于“偶数×偶数×偶数×偶数×偶数×奇数”，最终的结果为偶数。
【详解】由分析可知：原式一共有乘数：33÷3＝11（个）
可将原式看成：
＝偶数×偶数×偶数×偶数×偶数×奇数
＝偶数×奇数
＝偶数
故答案为：B
【点睛】本题考查积的奇偶性的灵活运用，注意：奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数。
9． 2 15 3 10 5 6
【分析】根据列乘法算式找一个数的因数的方法：按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个数就是这个数的因数，据此解答。
【详解】30＝1×30
30＝2×15
30＝3×10
30＝5×6
因此30＝1×30＝2×15＝3×10＝5×6。
【点睛】解答本题的关键是掌握求一个数的因数的方法，也可以列除法算式找因数。
10．19
【分析】可用连续三个奇数的和除以3，得到的是这三个连续奇数的平均数即连续三个奇数的中间一个数，然后再用中间的数分别减去2即可得到答案。
【详解】三个连续奇数的平均数为：63÷3＝21；
最小的奇数为：21－2＝19
最小的奇数是19。
【点睛】此题主要利用计算平均数的方法求得三个连续奇数的中间一个数，然后再分别计算出另外两个数即可。
11． 0、2、4、6、8 0、5 0
【分析】个位数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数；个位数字是0或5的数是5的倍数；同时是2和5的倍数特征：个位数字是0；据此解答。
【详解】使35□成为2的倍数，□里可以填0、2、4、6、8；使35□成为5的倍数，□里可以填0、5；使35□既是2的倍数，又有因数5，□里可以填0。
【点睛】掌握2、5的倍数特征是解答题目的关键。
12． 20 20＝2×2×5
【分析】最小的质数是2，最小的两位数是10，用乘法计算出它们的乘积即可；再把结果写成几个质数相乘的形式即可解答。
【详解】最小的质数是2，最小的两位数是10
2×10＝20
20＝2×2×5
所以，最小的质数与最小的两位数的积是20，把它分解质因数是20＝2×2×5。
13． 71 97
【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数；整数中，是2的倍数的数叫做偶数。
100以内的两位数且个位数是1的质数有：11、31、41、61、71；因为和为168的两个质数都是两位数，据此确定这两个质数。
【详解】168＝71＋97
这两个质数是71和97。
【点睛】掌握质数、偶数的意义，根据“哥德巴赫猜想”，以及“质数是两位数”且“其中一个质数的个位数是1”这两个条件解答。
14． 1 ab
【分析】根据题意，a－1＝b，所以a－b＝1，a和b是相邻的两个自然数，即a和b是互质数，根据两个数是互质数的最大公因数和最小公倍数的求法：它们的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积，据此解答。
【详解】根据分析可知，如果a、b均为不是0的自然数，则a－1＝b，则a、b的最大公因数是1，最小公倍数是ab。
【点睛】熟练掌握两个数为互质数时，最大公因数和最小公倍数的求法。
15．21.6
【分析】已知豆豆每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，那么54和72的最小公倍数就是他们步长的最小公倍数，即216厘米，用216除以豆豆和爸爸每步的长，即可得知豆豆走四步和爸爸走三步的距离是一样的。由于人的脚印有重合，所以平均每走216厘米，雪地上会留下（4＋3－1）＝6个脚印（因为是圆形，第一步的脚印，正好是最后一步的，所以是6个脚印）。每走216厘米，雪地上留下的脚印数＝6，又知雪地上留下60个脚印，所以他们走了60÷6＝10次的216厘米，所以周长＝216×10＝2160厘米，据此解答。
【详解】54＝2×3×3×3
72＝2×2×2×3×3
2×2×2×3×3×3
＝4×2×3×3×3
＝8×3×3×3
＝24×3×3
＝72×3
＝216
72与54的最小公倍数是216。
每走216厘米会留下的脚印为：216÷72＋216÷54－1
＝3＋4－1
＝7－1
＝6（个）
花圃的周长是：216×（60÷6）
＝216×10
＝2160（厘米）
2160厘米＝21.6米
这个花圃的周长是21.6米。
【点睛】本题主要通过求解豆豆和爸爸步长的最小公倍数，然后根据脚印数量推算出花圃的周长。
16．×
【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。
一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。
一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。
【详解】如：质数2是偶数，合数9是奇数。
所以，质数不一定是奇数，合数也不一定是偶数。
原题说法错误。
故答案为：×
17．×
【分析】分解质因数是把合数分解成若干个质因数相乘的形式。
【详解】60＝2×3×10中10不是质数，把60分解质因数应是60＝2×2×3×5。
原题说法错误。
故答案为：×
18．×
【分析】在整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数，且奇数＋奇数＝偶数，据此分析。
【详解】如果是奇数，1093是奇数，由奇数奇数偶数，可知的结果是偶数，所以原题说法错误。
故答案为：×
【点睛】关键是理解奇数、偶数的分类标准，掌握奇数和偶数的运算性质。
19．√
【分析】根据题意，裁出的正方形边长最大是18和12的最大公因数。据此解题。
【详解】18＝2×3×3
12＝3×2×2
2×3＝6
所以，裁出的正方形边长最大是6厘米。
故答案为：√
【点睛】本题考查了最大公因数。求最大公因数时，先将两个数分解质因数，再将两数共有的质因数相乘即可。
20．合数有：12，18，35，42，70
；；；；
【分析】合数是指在大于1的自然数中，除了含有1和本身两个因数以外，还含有其他的因数。例如，4除了有1和4这两个因数外，还含有2这个因数，因此4是合数。由此判断即可。
【详解】12除了含有1和12两个因数外，还含有2，3，6，4这些因数，因此是合数；
13只含有1和13两个因数，因此是质数；
18除了含有1和18两个因数外，还含有2，3，6，9这些因数，因此是合数；
29只含有1和29两个因数，因此是质数；
35除了含有1和35两个因数外，还含有5，7两个因数，因此是合数；
42除了含有1和42两个因数外，还含有2，3，6，7，14，21这些因数，因此是合数；
70除了含有1和70两个因数外，还含有2，5，7，10，14，35这些因数，因此是合数；
综上，合数有：12，18，35，42，70；
12＝2×2×3
18＝2×3×3
35＝5×7
42＝2×3×7
70＝2×5×7
21．5是10的因数，10是5的倍数；6是72的因数，72是6的倍数；13是91的因数，91是13的倍数；19是57的因数，57是19的倍数
【分析】根据因数和倍数的意义：在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数，据此解答。
【详解】由10÷5＝2得，5和2是10的因数，10是5和2的倍数；
由72÷6＝12得，6和12是72的因数，72是6和12的倍数；
由91÷13＝7得，13和7是91的因数，91是13和7的倍数；
由57÷19＝3得，19和3是57的因数，57是19和3的倍数。
因此5和10中，5是10的因数，10是5的倍数；6和72中，6是72的因数，72是6的倍数；91和13中，13是91的因数，91是13的倍数；57和19中，19是57的因数，57是19的倍数。
22．见详解
【分析】分别数出整个长方形的长和宽，求出长和宽的最大公因数就是分割成的最大正方形的边长，全部共有的质因数相乘的积就是这几个数的最大公因数。据此确定正方形的边长，作图即可。
【详解】长方形的长16cm，宽12cm。
16＝2×2×2×2
12＝2×2×3
2×2＝4（cm）
正方形边长最长是4cm，作图如下：
23．14921000
【分析】八位数的每个数位的数字在0到9之间，第一位数既不是质数也不是合数的数是1；最小的合数是4；既是奇数又是合数是9；既是偶数又是质数是2，8的最小因数是1；最小的自然数是0。
【详解】第一位数既不是质数也不是合数的数：1；
第二位最小的合数：4；
第三位既是奇数又是合数：9；
第四位既是偶数又是质数：2；
第五位8的最小因数：1；
其他三位最小的自然数：0；
则小明家无线网的密码是多少14921000。
24．（1）11和13；17和19
（2）奇数
【分析】（1）首先根据质数的定义，只含有1和本身2个因数的数，称为质数，则依据100以内的质数表即可解答；
（2）a、b都是奇数，2a是偶数，偶数×奇数＝偶数，偶数＋奇数＝奇数，那么2a＋b的和一定是奇数。
【详解】（1） 13－11＝2
19－17＝2
20以内除了3和5，5和7以外孪生质数有11和13；17和19。
（2）a、b都是奇数，2a是偶数，偶数＋奇数＝奇数，2a＋b的和一定是奇数。
所以2a＋b的和一定是奇数。
25．24厘米；6张
【分析】正方形边长最小，则拼成正方形的边长是12和8的最小公倍数；两个数的公有质因数与每一个数的独有质因数的连乘积，就是两个数的最小公倍数；如果两个数为倍数关系，最小公倍数为较大的那个数；如果两个数为互质数，最小公倍数就是几个数的乘积；据此求出拼成正方形的边长，再根据正方形面积公式：面积＝边长×边长；长方形面积公式：面积＝长×宽；用拼成正方形面积÷长方形彩纸面积，即可解答。
【详解】12＝2×2×3
8＝2×2×2
12和8的最小公倍数是2×2×3×2＝24，拼成正方形边长是24厘米。
（24×24）÷（12×8）
＝576÷96
＝6（张）
答：正方形的边长最少是24厘米，拼成这个正方形需要6张这样的长方形彩纸。
26．4分米；12块
【分析】用正方形的地砖铺地正好铺满（且不需要切割），正方形的地砖边长最大值是客厅长和宽的最大公因数；因为正好铺满，所以储藏室的面积＝这些正方形地砖面积，由此可得：地砖的块数＝储藏室的面积÷每块正方形地砖面积。
【详解】储藏室的长、宽是16和12，16＝2×2×2×2，12＝2×2×3，则12和16的最大公因数是：2×2＝4。则地砖边长最大是4分米。
（16×12）÷（4×4）
＝192÷16
＝12（块）
答：正方形的地砖边长最大是4分米，一共需要12块这样的地砖。
27．60厘米；20个
【分析】根据题意，拼成的正方形的边长是15厘米、12厘米的公倍数，拼成的最小边长是这两个数的最小公倍数。据此先求出正方形的最小边长，再分别利用除法求出需要几行几列的小长方形，从而利用乘法求出一共需要多少个长方形。
【详解】15＝3×5
12＝3×2×2
3×5×2×2＝60
所以，15和12的最小公倍数是60。
（60÷15）×（60÷12）
＝4×5
＝20（个）
答：拼成的正方形的边长最小是60厘米，一共需要20个长方形。
【点睛】本题考查了公倍数和最小公倍数，掌握最小公倍数的求法是解题的关键。
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